Mines Physique 1 MP 2012

Thème de l'épreuve Propagation de la lumière
Principaux outils utilisés optique géométrique et ondulatoire, ondes électromagnétiques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2012
PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere MP
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE­EIVP

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE I -- MP.
L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
Le bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

PROPAGATION DE LA LUMIERE
L'objectif de ce probleme est d'etudier differents aspects de la propagation de 
la lumiere. Dans une
premiere partie on etudiera le modele geometrique de la lumiere. Dans une 
deuxieme partie, on
modelisera la lumiere par une onde ce qui permettra d'introduire une particule 
appelee photon. On
evoquera finalement la possibilite d'une eventuelle masse pour ce photon et on 
essaiera d'en tirer les
consequences.
La valeur des constantes fondamentales utilisees ainsi qu'un formulaire 
d'analyse vectorielle sont
fournis en fin d'epreuve. Hormis le nombre j tel que j2 = -1, les nombres 
complexes seront soulignes, et leurs complexes conjugues seront notes par le 
symbole  en exposant : si a et b sont deux
reels et si z = a + jb alors z = a - jb. Les vecteurs seront surmontes d'un 
chapeau s'ils sont unitaires
ou d'une fleche dans le cas general.

I. -- Propagation geometrique de la lumiere
Dans le modele geometrique de la lumiere, on represente la trajectoire de 
l'energie lumineuse dans
un milieu d'indice de refraction n(M) au point M, par une courbe geometrique C 
nommee rayon
lumineux. L'objectif de cette partie est l'obtention d'une equation 
differentielle dont la solution admet
cette courbe pour graphe.
1 -- Rappeler les lois de Descartes et faire un dessin pour les illustrer. Au 
cours de quel siecle ces
lois ont-elles ete proposees ?
2 -- On considere un dioptre delimitant deux milieux d'indices constants n1 et 
n2 . Expliquer la
notion de reflexion totale ; Demontrer qu'il existe un angle d'incidence limite 
lim pour la refraction.
On exprimera lim en fonction de n1 et n2 .

Propagation de la lumiere

...

...

...

...

...

...

y

...

...

On etudie maintenant la trajectoire d'un rayon lumineux dans un milieu non 
homogene le long d'une
direction. On considere pour cela dans un premier temps, le milieu stratifie 
represente sur la figure
1 : chaque couche horizontale est reperee par un entier i, toutes les couches 
ont la meme epaisseur et
l'indice ni de la couche i est constant. On suppose finalement que l'indice 
decroit avec i : pour deux
entiers i et j si i < j alors ni > n j . On note i l'angle entre le rayon qui 
se propage dans la couche
d'indice ni et le vecteur ebx .

3 -- Relier les couples (ni , i ) et n j ,  j pour i 6= j. Reproduire le schema 
sur la copie et dessiner
la trajectoire du rayon lumineux.

n0

y

...

...

ni

x

0

O
F IGURE 1 ­ Milieu inhomogene stratifie suivant Oy
Afin de determiner l'equation differentielle de la trajectoire du rayon 
lumineux, on rend la stratification infiniment fine : on tend vers un milieu 
continu. A l'ordonnee y, l'indice de refraction est n(y)
et l'angle entre le rayon et le vecteur ebx est note  (y). Le point M(x, y) 
decrit la trajectoire du rayon
lumineux, on note s son abscisse curviligne, c'est-a-dire la longueur de la 
trajectoire OM, et ebs le vecteur unitaire tangent a la trajectoire. Ainsi en 
tout point M de la trajectoire, on a ds ebs = dx ebx +dy eby
avec ebs = cos [ (y)] ebx + sin [ (y)] eby .
4 -- Determiner une quantite C0 constante en tout point M de la trajectoire en 
fonction de n(y) et
 (y) puis exprimer n(y) en fonction de C0 , ds et dx.
5 -- Montrer que la courbe C correspond a la solution de l'equation
 2
d
n
d2 y
=-
- 2
2
dx
dy

ou l'on exprimera  en fonction de C0 . Quelle analogie mecanique peut-on 
envisager ?
6 -- L'indice du milieu s'ecrit sous la forme n2 (y) = n20 + ky2 ou n0 et k 
sont deux constantes
reelles. Determiner, selon le signe de k, l'expression de la trajectoire y = y 
(x) passant par l'origine O
de coordonnees x = 0 et y = 0. On exprimera y (x) en fonction de x, 0 , k et n0 
. Quel est le signe de k
dans le cas d'un mirage et dans le cas d'une fibre optique.
FIN DE LA PARTIE I

Page 2/6

Physique I, annee 2012 -- filiere MP

II. -- Nature ondulatoire de la lumiere
La lumiere est a present modelisee par une onde electromagnetique plane de 
pulsation  et de vecteur

-
d'onde k . On associe a cette onde une particule, appelee photon, d'energie E = 
h  et de quantite de

-
-
mouvement 
p = h k ou h est la constante de Planck. On suppose que ces expressions sont 
toujours
valables, quel que soit le milieu dans lequel se propage l'onde et 
independamment de l'eventuelle
masse du photon. On utilisera les notations suivantes :

-
­ Champ electrique au point M a l'instant t : E (M,t),

-
­ Champ magnetique au point M a l'instant t : B (M,t),

-

-

-
­ Champ de Riemann-Silberstein au point M et a l'instant t :  (M,t) = E (M,t) + 
jc B (M,t) ;
­ Potentiel scalaire au point M a l'instant t : V (M,t) ;

-
­ Potentiel vectoriel au point M a l'instant t : A (M,t) ;

-
­ Vecteur de Poynting au point M a l'instant t :  (M,t) ;
­ Densite volumique d'energie electromagnetique au point M a l'instant t : uem 
(M,t) ;
­ Densite volumique de charge en M a l'instant t :  (M,t) ;

-
­ Densite de courant en M a l'instant t : j (M,t).

-
On pourra utiliser le vecteur  represente dans la base cartesienne B = (ebx , 
eby , ebz ) par le triplet

 x ,  y ,  z . Dans le referentiel galileen {O, B}, on repere le point M par le 
vecteur
-

-r = -
OM = xebx + yeby + zebz .

II.A. -- Propagation dans le vide

-
7 -- Ecrire les equations de Maxwell dans le vide. Donner l'expression de  et 
de uem en fonction

-

- 
-
de E et B ainsi que des constantes utiles. En quelles unites s'expriment  et 
uem ?
8 -- Enoncer l'equation locale de conservation de l'energie dans le vide, 
appelee aussi equation
locale de Poynting. Par analogie avec une ou plusieurs equations de bilan local 
dans d'autres domaines

-
de la physique que l'on precisera, donner l'interpretation physique de  et uem 
ainsi que celle du flux

-
de  a travers une surface fermee arbitraire.

-

-
9 -- Retrouver en les justifiant les expressions de E (M,t) et B (M,t) en 
fonction des potentiels

-

-

-
V (M,t) et A (M,t). En deduire l'expression de  (M,t) en fonction des 
potentiels V (M,t) et A (M,t).

-

-
Montrer que les quatre equations de Maxwell en E (M,t) et B (M,t) se reduisent 
a deux equations

-
aux derivees partielles ne faisant intervenir que  (M,t) et c.

-

-

-

-
10 -- Relier chacune des deux grandeurs  (M,t)·  (M,t) et  (M,t)  (M,t) a une 
grandeur
physique connue.

-
11 -- Determiner l'equation de propagation du champ  (M,t). Nommer cette 
equation et en
deduire les equations de propagation du champ electrique et magnetique. Le 
champ electrique s'ecrit

- 
-

-

-
sous forme complexe E (M,t) = E 0 e j( t- k . r ) . En deduire la relation de 
dispersion reliant la norme

-
du vecteur d'onde k = k k k et la pulsation  . Determiner l'expression de 
l'energie du photon E en
-
fonction de sa quantite de mouvement 
p .

Page 3/6

Tournez la page S.V.P.

Propagation de la lumiere

On souhaite determiner la vitesse moyenne de deplacement dans le
vide de l'energie electromagnetique associee a une onde plane monochromatique 
de pulsation  et de vecteur d'onde ~k = kebz . On
considere le cylindre elementaire de longueur d et de section dS
incluse dans le plan d'onde de cote z represente sur la figure 2. Afin
de simplifier le modele, on suppose que l'onde etudiee est polarisee
rectilignement, la representation complexe du champ electrique as
-
socie s'ecrit donc E (M,t) = E0 e j( t-kz) ebx .
F IGURE
2
elementaire

­

Cylindre

D
-E

-
12 -- Exprimer  et huem i, valeurs moyennes temporelles (sur une periode) 
respectives de 
et uem , en fonction de E0 et des constantes utiles. Determiner les deux 
energies moyennes temporelles
sur une periode, celle contenue dans le cylindre elementaire et celle 
traversant l'element de surface
dS pendant le temps dt. En supposant que l'energie electromagnetique se deplace 
dans le vide a la
vitesse moyenne ve =d/dt , deduire des expressions precedemment obtenues dans 
cette question, la
valeur de ve .

II.B. -- Propagation dans un dielectrique
On suppose maintenant que la lumiere se propage dans un dielectrique d'indice 
de refraction constant
n. Cela signifie que les equations de Maxwell sont modifiees en remplacant la 
permittivite du vide 0
par une permittivite n2 0 .
13 -- Quelle est la nouvelle relation de dispersion ? Quelle est la vitesse de 
phase de l'onde ?
14 -- On considere l'interface plane entre
deux dielectriques d'indice n1 et n2 representee
sur la figure 3 . L'interface est dans le plan Oxy,
sa taille suivant l'axe Oy est supposee tres grande
devant sa longueur L suivant l'axe Ox. Une onde
plane de pulsation  arrive avec un angle d'incidence  sur l'interface. On 
modelise l'interface comme une pupille de diffraction suivant
l'axe Ox. Calculer l'eclairement I( ) dans la direction  . Dans quelle 
direction trouve-t-on le
maximum de diffraction ? Conclure. On notera I0 F IGURE 3 ­ Interface entre les 
deux dielectriques
l'eclairement maximum.

II.C. -- Propagation de l'onde lumineuse avec une masse de photon non nulle
On suppose a present et jusqu'a la fin du probleme que le photon possede une 
masse m non nulle.
Dans ce cas, son energie, sa quantite de mouvement et sa masse doivent verifier 
la relation :
E2 = p2 c2 + m2 c4 .

(1)

ou E et p representent toujours l'energie et l'impulsion du photon donnees en 
introduction de la
partie II.
15 -- Quelle est la dimension de la constante  =

h
?
m c

Page 4/6

Physique I, annee 2012 -- filiere MP

16 -- Determiner la nouvelle relation de dispersion entre  , k, c et  . En 
deduire l'equation
aux derivees partielles dont les solutions sont les formulations complexes des 
champs electrique

- 

- 
-
-

-

-

-

-
et magnetique E (M,t) = E 0 e j( t- k . r ) et B (M,t) = B 0 e j( t- k . r ) . 
Cette equation est appelee
 equation de Klein-Gordon .
On souhaite generaliser les equations de Maxwell de maniere a ce qu'elles 
permettent de retrouver l'equation de Klein-Gordon. Pour conserver la linearite 
de ces equations, on effectue deux hypotheses :
­ H1 Les densites de charge et de courant sont modifiees de facon additive par 
l'existence d'une
masse pour le photon
 (M,t) est remplace par  (M,t) + f (M,t)

-

-

-
j (M,t) est remplace par j (M,t) + F (M,t)

-
ou f (M,t) et F (M,t) sont des champs scalaires et vectoriels.

-

-

-
­ H2 L'expression des champs E (M,t) et B (M,t) en fonction des potentiels V 
(M,t) et A (M,t)
n'est pas modifiee par l'introduction de la masse du photon.
17 -- Reecrire les equations de Maxwell dans le vide sous l'hypothese H1 . 
Montrer que l'hypothese H2 n'est pas en contradiction avec ces equations. En 
ecrivant les nouvelles equations de
propagation, montrer que l'on peut fixer des conditions dites de jauge pour 
lesquelles

-

-
A = 1 F et f = 2V
ou l'on determinera 1 et 2 en fonction de  et µ0 ou 0 . On conservera ces 
conditions dans la suite
du probleme.
18 -- Demontrer que

V

-
=  div( A ).
t
ou l'on determinera  en fonction de c. On supposera que cette relation est 
toujours valable dans tout
le reste du probleme.

-
19 -- Determiner les deux equations de Maxwell verifiees par le champ  (M,t). 
En deduire que

-

-
 (M,t), V (M,t) et A (M,t) sont aussi solutions de l'equation de Klein-Gordon.
Une source emet une onde plane progressive se propageant le long de l'axe Oz. 
Elle est decrite
par le potentiel vecteur complexe ~A(M,t) = ~A0 e j( t-kz) et le potentiel 
scalaire complexe V (M,t) =
V0 e j( t-kz) . On decompose ~A0 = ~A|| + ~A ou ~A|| est la projection de ~A0 
sur l'axe de propagation et ~A
est la projection de ~A0 dans le plan perpendiculaire a l'axe de propagation. 
Le vecteur d'onde s'ecrit
~k = kebz .
20 -- Montrer que la relation de dispersion associee a la propagation de cette 
onde s'ecrit sous la
forme k2 c2 =  2 -  p2 ou  p est une pulsation de coupure que l'on determinera.
21 -- Determiner l'expression des vecteurs ~E 0 et ~B0 tels que ~E = ~E 0 e j( 
t-kz) et ~B = ~B0 e j( t-kz) .
On exprimera ~B0 en fonction ~k, ~A|| et/ou ~A puis ~E 0 en fonction en 
fonction de  ,  p , ~A|| et/ou ~A .
Qu'en deduire de la nature transverse du champ electromagnetique si la masse du 
photon est non
nulle ?
22 -- Etudier en fonction de la position de  par rapport a  p , l'existence 
d'une onde progressive.
Calculer dans ce cas la vitesse de phase et en deduire l'evolution d'un paquet 
d'onde.
Page 5/6

Tournez la page S.V.P.

Propagation de la lumiere

Afin de mesurer l'eventuelle masse du photon on peut faire une experience 
d'astrophysique. On etudie
la lumiere emise par une etoile distante de D = 1000 annees-lumiere et recue 
par la terre. Les pulsations rouge r = 8 1014 rad.s-1 et bleue b = 16 1014 
rad.s-1 de cette lumiere peuvent etre associees a deux photons l'un dit rouge 
et l'autre bleu. L'existence d'une masse pour le photon induit un
decalage temporel t separant les arrivees de ces deux photons sur le detecteur 
terrestre. L'experience
montre que t  10-3 s. On suppose que r , b   p .
23 -- Determiner la masse du photon en fonction de t et des donnees du 
probleme. En deduire
une limite superieure pour la masse du photon m l .
On peut aussi faire un raisonnement sur la portee de l'interaction 
electrostatique.
24 -- Une charge Q ponctuelle se trouve en O, origine d'un referentiel 
galileen. Determiner
l'equation differentielle verifiee par le potentiel electrique V (M) si le 
photon possede une masse. La

-
resoudre puis calculer le champ electrique E (M) en fonction de r,  en tout 
point de l'espace. On
supposera que le potentiel et le champ s'annulent a l'infini. En deduire 
l'expression du potentiel scalaire avec un photon massif sous les hypotheses H1 
et H2 . Quelle est alors la portee de l'interaction
electrique dans ce modele ? Que peut-on en conclure ?
FIN DE LA PARTIE II
Constantes fondamentales
1
-9 F.m-1 ,
36 10
= 4 .10-7 H.m-1 ,

· Permittivite dielectrique du vide : 0 =
· Permeabilite magnetique du vide : µ0

· Celerite de la lumiere : c = 3.108 m.s-1 ,
· Constante de Planck : h  6, 62.10-34 J.s et h =

h
2

 1, 05.10-34 J.s ,

Formulaire d'analyse vectorielle.
h
i --
-
 -
 
-
-
-
· rot rot ( u ) = grad [div ( 
u )] - 
u,
--
-
 -
-
 -
-
· Si g est un champ scalaire, rot (g 
u ) = g rot (
u ) + grad (g)  
u,
-

-

-
-v ] = -
-
-v ) + 
-v · rot ( 
-
· div [
u 
u · rot ( 
u ),
h
i
h
i 
-- 
-- - 
-- -
-
 -
 -
-v ) = 
-
-v  -
-
· grad (-
u .
u  rot ( 
v ) +
rot ( 
u ) + 
u · grad 
v + -v · grad 
u,
-
-v  
-
-
-
-v - (
-
-v ) 
-
· 
u  (
w ) = (
u ·
w )
u .
w,
--
· Si f ne depend que de r = OM , alors  f (r) =

2
1  [r f (r)]
r  r2

FIN DE L'EPREUVE

Page 6/6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 MP 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par
Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) et Stéphane Ravier 
(Professeur
en CPGE).

Le sujet, composé de deux parties indépendantes, aborde la propagation de la
lumière du point de vue de l'optique géométrique et de l'optique ondulatoire.
· Après quelques rappels sur les lois de l'optique géométrique, la première 
partie établit l'équation d'un rayon lumineux dans un milieu stratifié, 
typiquement une fibre optique à gradient d'indice ou l'air à proximité d'un sol 
chaud.
Ces raisonnements, courants dans les sujets de ces dernières années, font 
intervenir les méthodes de calcul liées à l'abscisse curviligne.
· La seconde partie propose une approche ondulatoire de la propagation de la
lumière. On commence par rappeler des formules du cours, puis l'introduction
du vecteur de Riemann-Silberstein conduit à une réécriture des équations de
Maxwell dans le vide et à l'obtention de l'équation de d'Alembert. On introduit 
alors une masse pour le photon. Cela conduit à modifier les équations de
Maxwell et l'équation de propagation qui est, dans ce cas, l'équation de 
KleinGordon. Des conditions de jauge sont introduites. Il apparaît qu'une masse
non nulle pour le photon entraîne une relation de dispersion non linéaire pour
les ondes électromagnétiques dans le vide. Les ondes électromagnétiques dans
le vide ne seraient également plus transverses. La partie s'achève par l'étude
d'une expérience visant à déterminer la masse du photon, suivie par le calcul
d'une conséquence d'une masse non nulle pour le champ électrostatique d'une
particule chargée, modifiée et écrantée par cette masse.
Si la fin de la seconde partie, liée à la relativité, est originale, le reste 
du sujet
est en revanche très classique et présente peu de difficultés si les cours sur 
l'optique
géométrique et sur les ondes électromagnétiques sont bien compris.

Indications
Partie I
4 Utiliser la loi de Descartes pour la réfraction et traduire de proche en 
proche, que
C0 = n(y) cos[(y)]
5 Écrire cos  en fonction de dx et ds. Comme dx et ds sont reliés par
s
 2
dy
ds = dx 1 +
dx
élever au carré et dériver par rapport à x.
Partie II
-

- -
9 Calculer div  et rot  .

 -
 -
-
 -
-

10 Montrer que  ·   uem et que      .
11 Multiplier k = /c par ~ pour relier E à p .

12 On peut calculer la valeur moyenne du vecteur de Poynting à l'aide des champs
en complexe ; en effet,
 -
-

-

EB
hi =
2 µ0
14 Quelle est l'expression de l'amplitude diffractée par une fente infinie 
selon Oy et
de largeur L selon Ox, séparant un milieu d'indice n du vide ?
16 Utiliser

~ 2  2 = ~ 2 k 2 c2 + m 2 c4

pour remonter à l'équation de propagation.
17 À partir des « nouvelles » équations de Maxwell dans le vide, établir 
l'équation

-
de propagation pour E . Par comparaison avec l'équation de propagation obtenue
 -
-

à la question précédente, en déduire les relations entre A et F et entre V et f 
.
18 Repartir de l'équation de conservation de la charge.

-

- -
19 Calculer div  et rot  .

Propagation de la lumière
I. Propagation géométrique de la lumière
1 Les lois de Snell-Descartes sont :
· le rayon réfléchi est dans le plan d'incidence et l'angle de réflexion r est 
relié à
l'angle d'incidence i par i = r ;
· le rayon réfracté est dans le plan d'incidence et l'angle de réfraction i2 
est relié
à l'angle d'incidence i1 par n1 sin i1 = n2 sin i2 , où n1 et n2 sont les 
indices
optiques des milieux 1 et 2 (voir schéma).
i1 r
n1
n2
i2
Les lois de Snell-Descartes ont été énoncées au xviie siècle.
En réalité, ces lois étaient connues des Perses depuis le mathématicien Ibn
Sahl, au xe siècle.
2 Dans certains cas, on n'observe pas de rayon réfracté à la traversée de 
l'interface.
Cela peut se produire lorsque n2 < n1 et que le rayon voyage du milieu 1 vers le
milieu 2. Dans ce cas, puisque n1 sin i1 = n2 sin i2 , i2 > i1 . Ainsi, si l'on 
part d'une
situation où i1  0 et si l'on fait croître progressivement i1 , on constate que 
le
rayon s'écarte fortement de la normale jusqu'à atteindre /2 pour i1 = lim . Si 
l'on
continue à faire croître i1 , on n'observe plus de rayon réfracté, mais 
seulement un
rayon réfléchi : c'est le phénomène de réflexion totale. L'angle de réfraction 
limite est
n2
sin lim =
n1
donc

lim = Arcsin

n2
n1

3 Écrivons la loi de Snell-Descartes à l'interface entre les couches i et i + 1,

ni sin
- i = ni+1 sin
- i+1
2
2
ni cos i = ni+1 cos i+1

En réitérant ce raisonnement entre les couches i + 1 et i + 2, on constate que
ni cos i = ni+1 cos i+1 = ni+2 cos i+2
et de proche en proche,

ni cos i = nj cos j

Comme l'indice optique décroît lorsque y croît, le rayon s'incline de plus en 
plus
fortement par rapport aux normales aux dioptres successifs. Les angles i 
diminuent
lorsque i augmente, si bien que le rayon a l'allure présentée sur la figure 
suivante :
y

n2

2

n1

1

n0

0

x

O
4 D'après la question précédente, la quantité

C0 = n(y) cos (y) est une constante en tout point de la trajectoire.
Mais cos  =

dx
, il vient
ds

n(y) = C0

ds
dx

cos  = dx/ds se retrouve en raisonnant sur un triangle rectangle élémentaire : 
ds est l'hypoténuse donc

ds
dy

dx
cos  =
ds
dx

5 Comme
il vient

ds = dx

s

n 2 = C0 2

2
dy
1+
dx
 2 !
dy
1+
dx

Divisons les deux membres de cette égalité par C0 2 et dérivons par rapport à x,
"  #
 2 
2
d
n
d
dy
=
dx C0 2
dx
dx

dy d2 y
dx dx2
 2 
dy d
n
dy d2 y
Ainsi,
=
2
dx dy C0 2
dx dx2
Après simplification par dy/dx, on obtient
 2 
d2 y
d
n
2 2 =
dx
dy C0 2
=2

soit

d2 y
d
=-
dx2
dy

n2
- 2

avec

 = C0 2