Mines Physique 1 MP 2011

Thème de l'épreuve Transports planétaires
Principaux outils utilisés mécanique du point, mécanique du solide

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2011
PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere MP
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE­EIVP

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE I -- MP.
L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
Le bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

TRANSPORTS PLANETAIRES
Ce probleme etudie divers aspects physiques du voyage a l'echelle planetaire. 
Il est compose de
deux parties independantes, la premiere envisage le deplacement d'un train dans 
un tunnel creuse
dans la sphere terrestre, la seconde etudie la montee d'un ascenseur le long 
d'un cable vertical fixe a
l'equateur. Dans tout le probleme la Terre est assimilee a un corps spherique 
homogene de rayon rT ,
de centre OT et de masse volumique homogene µT .
Pour les applications numeriques on prendra µT = 5, 50·103 kg.m-3 , rT = 6, 
38·106 m , et on utilisera
3 chiffres significatifs. On rappelle la valeur de la constante universelle de 
la gravitation de Newton
G = 6, 67 · 10-11 m3 .kg-1 .s-2 . Les vecteurs sont surmontes d'un chapeau 
s'ils sont unitaires ubx ou
-
d'une fleche dans le cas general OP. Une quantite surmontee d'un point designe 
la derivee totale par
d
rapport au temps de cette quantite  =
.
dt

I. -- Le metro gravitationnel
Dans toute cette partie on neglige tous les effets de la rotation de la terre 
sur elle-meme et on se place
dans le referentiel geocentrique que l'on supposera galileen.

I.A. -- Etude preliminaire
--
-- -
On considere un point P situe a l'interieur de la sphere terrestre. On note OT 
P = 
r = r ubr et g (P)
le champ gravitationnel cree par la terre en P.
--
1 -- Justifier que g (P) est porte par ubr et que son module ne depend que de 
r, on notera donc
--
g (P) = g (r) ubr . En utilisant le theoreme de Gauss gravitationnel determiner 
l'expression de g (r) en
4
fonction de  2 =  GµT et r.
3

Transports planetaires

2 -- Deduire de la question precedente que la force de gravitation s'exercant 
sur un point de masse
m situe en P derive de l'energie potentielle
1
E p (r) = E p0 + m 2 r2
2
ou E p0 est une constante qui depend de la reference choisie et que l'on ne 
demande pas d'expliciter.
Quelle est la dimension de  ?

I.B. -- Le tunnel droit
On relie deux points A et B de l'equateur terrestre par un tunnel cylindrique 
traversant la Terre selon
le schema de la figure 1 qui presente egalement les notations utilisees.

F IG . 1 ­ Le tunnel droit
On considere un mobile ponctuel P de masse m se deplacant dans le tunnel sous 
l'effet du champ
gravitationnel terrestre. La position du mobile est reperee sur le segment [AB] 
par la coordonnee x
-

-
telle que PH = x ubx ou le vecteur unitaire ubx est colineaire a AB et de meme 
sens et H est la projection
orthogonale de OT sur [AB]. On note finalement h = OT H.
Dans toute la partie I, on suppose que le point P reste en permanence dans 
l'axe du tunnel grace a un
systeme de confinement. Il n'y a donc pas de contact avec les parois et donc 
pas de frottement avec
celles-ci. Un tel confinement est envisageable en utilisant des parois 
magnetiques ! On suppose enfin
qu'un vide suffisament pousse a ete cree dans le tunnel. Sous toutes ces 
hypotheses, on considerera
que la seule force qui s'applique au mobile est la force de gravitation 
qu'exerce sur lui la terre.
A l'instant t = 0, on abandonne le mobile au point A sans vitesse initiale.
3 -- Determiner l'equation differentielle (lineaire) du second ordre verifiee 
par x (t). En deduire
l'expression de x (t) en fonction de h, rT ,  et t.
4 -- Determiner la valeur de la vitesse maximale atteinte par le point P sur le 
trajet. En quel point
cette vitesse est-elle atteinte ?
5 -- Exprimer la duree 0 du trajet entre AB et calculer sa valeur numerique.

I.C. -- Projet de metro
Pour desservir plusieurs points sur l'equateur, on considere un systeme de 
tunnels representes sur la
figure 2.
Un tunnel circulaire est perce a une distance rH du centre de la Terre dans le 
plan de l'equateur et l'on
creuse des tunnels rectilignes de descente ou de remontee A1 H1 A2 H2 , etc... 
Ces tunnels se raccordent
au tunnel circulaire interne en des points H1 , H2 , · · · . Chaque jonction 
est tangentielle, c'est-a-dire que
--- --- --- ---
A1 H1 .OT H1 = A2 H2 .OT H2 = · · · = 0. Les points H1 , H2 , ... sont equipes 
d'un systeme d'aiguillage
Page 2/6

Physique I, annee 2011 -- filiere MP

F IG . 2 ­ Le systeme de tunnels

assurant la continuite du vecteur vitesse de la rame de transport des voyageurs 
lors du transfert entre
le tunnel de descente ou de remontee et le tunnel circulaire.
On assimile cette rame a un point materiel P de masse m astreint a circuler 
dans l'axe du tunnel et
sans contact avec ses parois grace au systeme de confinement. A l'instant t = 
0, on laisse tomber une
rame du point A1 et sans vitesse initiale.
6 -- Quelle est la nature du mouvement de la rame sur le trajet circulaire 
interne H1 H2 . Determiner
la vitesse de la rame sur cette portion, en deduire que la duree 1 du transfert 
de H1 vers H2 se met
sous la forme

1 =
f (y)

ou y = rT /rH et f est une fonction que l'on determinera.
7 -- Determiner la duree totale  du voyage de A1 vers A2 en fonction de  ,  et 
y. Determiner la
valeur numerique de  pour un voyage tel que  =  /3 avec rH = rT /2. Comparer 
les caracteristiques
de ce voyage avec son equivalent a la surface de la terre.
8 -- Avec un diametre moyen de 7 m, evaluer la quantite de deblais a evacuer 
pour creuser le
tunnel circulaire, ainsi qu'un tunnel radial. Commenter le resultat obtenu.

L'une des nombreuses hypotheses necessaires a la realisation d'un tel projet 
est la creation et le
maintien d'un vide suffisant dans le tunnel. En fait, ce vide ne peut etre que 
partiel sur un tel volume
et le tunnel contient de l'air de densite volumique de masse  maintenu a la 
pression p et a la
temperature ambiante. Ce dernier point serait a discuter dans le cadre d'une 
etude plus complete que
nous ne menerons pas ici. On supposera que p et  sont constantes dans 
l'enceinte du tunnel et que
l'air s'y comporte comme un gaz parfait. Pour cette etude on se place dans le 
cas du mouvement dans
le tunnel circulaire.
Des experiences d'aerodynamique montrent que le mouvement d'un solide dans un 
gaz au repos est
soumis a une force de frottement, dite trainee. Cette trainee depend de la 
taille caracteristique L et de
la vitesse v du solide ainsi que de la densite  du gaz dans lequel s'effectue 
le mouvement.
9 -- En effectuant une analyse dimensionnelle, determiner l'expression de cette 
force de frottement.

Page 3/6

Tournez la page S.V.P.

Transports planetaires

10 -- On note P la puissance developpee par la trainee subie par la rame de 
metro lorsqu'elle
circule dans la portion circulaire du tunnel. Determiner la pression qu'il faut 
maintenir dans le tunnel
afin que P soit comparable a la puissance que developpe la force de trainee 
dans le cas d'une rame
de TGV circulant a la vitesse de 360 km.h-1 a la surface de la terre. On 
supposera qu'en dehors
de la vitesse la rame de metro et la rame de TGV possedent les memes 
carateristiques physiques.
Commenter le resultat obtenu.
FIN DE LA PARTIE I

II. -- Ascenseur spatial
Ce probleme etudie certains aspects physiques de la realisation d'une idee 
recurrente dans de nombreux contextes « l'ascenseur spatial ». Il s'agit d'un 
mecanisme permettant de s'extraire du champ
de pesanteur terrestre sans utiliser de fusee. On suppose pour cela qu'un cable 
realise par filage de
nanotubes de carbone, de plus de 100 000 km de long, inextensible, a pu etre 
dresse a la verticale d'un
point de l'equateur de la Terre. Ce cable possede une masse lineique  = 1, 00 
kg.m-1 extremement
faible et une resistance mecanique extremement forte par rapport a un cable en 
acier, qui le rend capable de supporter de tres fortes tensions sans casser. 
Dans cette partie, le referentiel terrestre est en
rotation uniforme autour de l'axe des poles par rapport au referentiel 
geocentrique suppose galileen. Il
effectue un tour en un jour sideral de duree T = 8, 62 · 104 s. La terre est 
toujours supposee spherique
et homogene de masse mT = 34  rT3 µT = 5, 98 · 1024 kg.

II.A. -- Etude de l'equilibre du cable
Les notations sont celles de la figure 3 : Le point d'ancrage E du cable est un 
point de l'equateur
terrestre, rT est le rayon de la Terre et OT son centre. L'altitude d'un point 
M du fil est notee z,
r = rT + z est le rayon OT M et h est la hauteur totale du cable. Le point H 
represente l'extremite
haute du cable : zH = h et rH = rT + h. Ce point est libre. On pourra enfin 
utiliser le vecteur unitaire
---
ubr = OT M/r.

rT
OT

z
M

E

H

r
h

F IG . 3 ­ Vue generale de la Terre et du cable
11 -- Rappeler la definition de l'orbite geostationnaire terrestre. Etablir 
l'expression litterale du
rayon rs correspondant a cette orbite en fonction de la masse mT de la terre, 
de G et de la pulsation
2
siderale terrestre  =
.
T
Dans toute la suite du probleme, on considerera un cable de longueur totale h = 
4rs - rT , on a donc
OT H = rH = 4rs . On note gs le module du champ de gravitation en r = rs , 
c'est-a-dire la quantite
telle que fs = mgs ou fs est le module de la force de gravitation subie par un 
corps de masse m situe
en r = rs . Enfin, on note g le module du champ de gravitation en r = rT .
Page 4/6

Physique I, annee 2011 -- filiere MP

12 -- En ecrivant que le cable est en equilibre, montrer que la derivee de la 
tension du cable en M
verifie la relation
 2

dT
rs
r
= 2-
dr
r
rs
ou  est un parametre que l'on exprimera en fonction de  et gs . En admettant 
que T (rH ) = 0,
determiner l'expression de la tension T (r) en fonction de  , r et rs .
13 -- Determiner les valeurs numeriques de rs , gs de la tension du fil au 
point d'ancrage notee
TE = T (rT ), ainsi que la valeur maximale Tmax de T (r). Commenter le resultat 
obtenu, on pourra par
exemple se « servir » de la question 8, on donne aussi le module d'Young de 
l'acier a = 210 GPa et
d'un cable en nanotubes de carbonne c = 1 TPa.

II.B. -- Montee de la cage d'ascenseur le long du fil
Le systeme de propulsion de la cabine est modelise sur la figure 4. La montee 
est assuree par la rotation
en sens inverses de deux gros cylindres de caoutchouc identiques, chacun de 
rayon Rc = 1, 00 m, de
masse mc = 2, 00 · 103 kg, de moment d'inertie par rapport a son axe J = 12 mc 
R2c . Ces cylindres sont
mus par un moteur electrique exercant sur chacun un couple. Le moment resultant 
de ce couple est
-

-

g = +0 uby pour le cylindre de gauche et d = -0 uby pour le cylindre de droite. 
Les deux cylindres
serrent le cable grace a un ressort reliant leurs centres. La longueur a vide 0 
= Rc et la constante de
raideur k du ressort permettent d'assurer un roulement sans glissement au 
contact du cable. On prend
fs = 0, 5 pour le coefficient de frottement statique entre le caoutchouc des 
cylindres et le cable. On
neglige les masses de la cabine, de ses occupants et des moteurs par rapport a 
celle des cylindres.

F IG . 4 ­ Vue generale des cylindres assurant la montee de la cabine
On negligera toute action de l'air (frottement et vent) sur le systeme.
Dans le referentiel (E, ubx , uby , ubz ) avec ubz = ubr la cabine, reperee par 
le point M, est en E a t = 0.
La montee de z = 0 (ou la vitesse est nulle) a z = h dure au total tm = 4 jours 
et se decompose en
une phase d'acceleration constante d'intensite a = 1 m.s-2 pendant une duree t0 
suivie d'une phase a
vitesse constante de module v0 .
14 -- Calculer les valeurs numeriques de la duree t0 , de la vitesse v0 et de 
l'altitude z0 atteintes a
la fin de la premiere phase. On verifiera que z0  h.
15 -- Justifier le fait que l'on puisse considerer que pendant la premiere 
phase, la force de
gravitation exercee par la Terre sur le systeme est sensiblement constante et 
negliger une des forces
par rapport a celle-ci.
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Tournez la page S.V.P.

Transports planetaires

16 -- Expliquer comment la montee du systeme le long du fil peut affecter la 
verticalite du cable
au cours de sa montee. Proposer un moyen technique de remedier a ce probleme.
Dans toute la suite de cette partie, on supposera que le fil reste parfaitement 
immobile, vertical, tendu
et on negligera la ou les forces susceptibles d'affecter la verticalite du fil.
17 -- L'angle de rotation du cylindre de droite est note  , compte positivement 
comme indique

-
sur la figure 4, le vecteur vitesse angulaire de ce cylindre est donc  = - uby 
. On prend  = 0 pour
z = 0. Etablir la relation entre  et z.
18 -- Etablir l'expression litterale du moment 0 que doit exercer le moteur 
agissant sur ce
cylindre pour assurer la montee pendant la premiere phase (acceleree) du 
mouvement en fonction de
m, Rc , g et a. Effectuer l'application numerique.
19 -- Donner l'expression litterale de la valeur minimale de la constante de 
raideur k du ressort assurant le roulement sans glissement du cylindre de 
droite sur le fil pendant la premiere phase
(acceleree) du mouvement. Effectuer l'application numerique.
20 -- Justifier par un calcul numerique que la montee du systeme n'affecte pas 
sensiblement la
tension du fil dans la premiere phase.
FIN DE LA PARTIE II
FIN DE L'EPREUVE

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 MP 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Vincent Freulon (ENS Ulm) et Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE).

Ce sujet s'intéresse à deux procédés de transport qui s'appuient sur la 
gravitation
et les forces d'inertie, pour réduire les coûts ou les temps de parcours.
· Un projet de métro circulaire, creusé à l'intérieur de la Terre, fait l'objet 
de
la première partie. Après une rapide étude d'un tunnel rectiligne reliant 
directement deux points de la surface, on aborde un tunnel circulaire (creusé à
une profondeur correspondant à la moitié du rayon terrestre), unique, relié à
différents canaux rectilignes qui le connectent à la surface. Si les temps de 
parcours obtenus sont extrêmement intéressants, puisque le dispositif peut 
relier
deux points quelconques de la surface de la Terre en moins d'une heure, il va
sans dire que les difficultés techniques d'un tel dispositif sont colossales 
voire
insurmontables ; cependant, seul le problème des déblais est évoqué.
· Dans la seconde partie, on s'intéresse à un dispositif imaginé dans les 
années 60 et popularisé par A. Clarke, auteur de science-fiction : l'ascenseur 
orbital. Il s'agit d'utiliser la rotation de la Terre pour stabiliser un long 
câble,
solidement arrimé à l'équateur. Une fois ce câble en place, une cabine, analogue
à une cabine d'ascenseur, permet de « monter jusqu'à l'orbite géostationnaire »
pour un coût très réduit. Si ce projet a des défenseurs et apparaît plus 
réaliste
que le premier, il reste d'importantes difficultés, aujourd'hui non entièrement
résolues, à la mise en oeuvre effective d'un tel dispositif.
Ce sujet, qui traite exclusivement de mécanique, était en grande partie commun
avec celui de la filière PSI. Il n'est pas particulièrement long ni difficile. 
Toutefois,
on peut regretter qu'il présente des inexactitudes ou des coquilles qui ont pu 
être
déstabilisantes le jour du concours.

Indications
Partie I
3 Utiliser une méthode énergétique.
4 Traduire la conservation de l'énergie mécanique.
6 La vitesse est continue en H1 .
9 L'énoncé n'est pas clair sur  : il s'agit simplement de la masse volumique 
(ni de
la densité, sans dimension ; ni de la densité volumique de masse, dénomination
pour le moins « originale »...).
Partie II
12 Faire un bilan des forces s'exerçant sur un tronçon élémentaire de câble en 
équilibre dans le référentiel terrestre, qui est non galiléen.
13 Ne pas tenir compte du renvoi sur la question 8 (scorie d'une version 
précédente
de l'énoncé ?). Le module d'Young  caractérise la rigidité d'un matériau (horsdu
du
où
est la variation
programme). La tension T peut être liée à  par : T =  S
dr
dr
relative de longueur du câble.
14 Utiliser la continuité de la vitesse lors du passage de la première phase du 
mouvement à la seconde.
15 Comparer l'interaction gravitationnelle et la force d'inertie centrifuge.
16 La force d'inertie de Coriolis est-elle nulle ?
17 Écrire la relation de non glissement du cylindre et intégrer la relation 
obtenue en
tenant compte des conditions initiales.
18 Exprimer la force de contact tangentielle à partir du théorème de la 
résultante
dynamique, puis appliquer le théorème du moment cinétique barycentrique au
cylindre. Attention à l'orientation de u
cy .

19 Utiliser les lois de Coulomb pour lier, à la limite de glissement, les 
composantes
normale et tangentielle de la force de contact entre le câble et la cabine.
20 Comparer la réaction tangentielle et la tension au niveau du sol TE .

Transports planétaires
I. Le métro gravitationnel
I.A

Étude préliminaire

1 La répartition de masse, à l'origine du champ gravitationnel -
g , est à symétrie
sphérique. Ainsi, tout plan contenant O et P est plan de symétrie de cette 
distribution,
donc le champ gravitationnel, qui est un vecteur polaire, est dans 
l'intersection de

tous ces plans, soit -
g = g(r, , ) u
cr . L'invariance par rotation autour de n'importe

quel diamètre implique que la norme de -
g ne dépend ni de , ni de . Finalement,
-

g (P) = g(r) u
cr

Considérons une sphère S de centre O et de rayon r comme surface de Gauss.
Le théorème de Gauss gravitationnel
indique
ZZ

-

-
g · d S = -4GM
int

S

-
où Mint est la masse contenue ZàZ l'intérieur de S . Or, d S est selon u
cr donc

-

-
g · d S = 4r2 g(r)
S

4
µ r3
3 T

4
d'où
4r2 g(r) = -4G
µT r3
3
Avec la définition de , on en déduit
Par ailleurs,

Mint =

g(r) = - 2 r
Rappelons que, si le théorème de Gauss est vérifié sans condition, il
permet de déterminer un champ seulement si la distribution (de masse ou de
charges) présente des symétries suffisantes. En effet, il faut pouvoir trouver
une surface sur laquelle le calcul du flux du champ est simple.
En début d'épreuve, vérifier tout ce que l'on écrit n'est pas du temps
perdu. Ici, le signe du résultat est important : le champ gravitationnel est
attractif en toute circonstance.
-

2 La force gravitationnelle Fg , s'exerçant sur un point matériel de masse m 
situé
en P, est donnée par
-

Fg = m -
g (P) = -m  2 r u
cr
Le travail élémentaire W s'écrit

-
 -
1
2
2 2
W = Fg · d  = -m  r dr = -d
m r
2
-

Ainsi, la force Fg dérive d'une énergie potentielle définie par
Ep (r) =

1
m  2 r2 + Ep0
2

Procédons à une analyse dimensionnelle avec les notations usuelles :
[Ep ] = M.[]2 .L2
Or,

[Ep ] = M.L2 .T-2

Ainsi,

[] = T-1
On pouvait vérifier facilement que  est une pulsation : en effet, g(r) est une
accélération et g(r) = - 2 r, avec r une longueur.

I.B

Le tunnel droit

3 On étudie le point matériel P de masse m dans le référentiel géocentrique, 
supposé
galiléen. Compte tenu des hypothèses, puisque P n'est soumis qu'à l'attraction 
gravitationnelle de la Terre, P est en évolution conservative donc son énergie 
mécanique
est constante. Puisque P est en translation rectiligne, son énergie cinétique 
est
Ec =

1
mx2
2

On en déduit l'énergie mécanique Em :
1
1
mx2 + m 2 r2 + Ep0
2
2
2
2
2
et ici, r = h + x . En dérivant cette relation par rapport au temps, il vient

m x x +  2 x = 0
Em = Ec + Ep =

Comme x(t) n'est pas toujours nul, on peut simplifier et obtenir l'équation 
différentielle recherchée :
x +  2 x = 0
L'énoncé indique que l'on ne prend en compte que la force gravitationnelle ; 
c'est une erreur. La trajectoire rectiligne et ne passant pas par O ne
peut pas être expliquée en prenant en compte cette seule force et ce, pour
une raison simple : cette force est radiale, donc la seule trajectoire 
rectiligne
compatible serait selon un rayon terrestre, ce qui n'est pas le cas. Il y a 
nécessairement d'autres forces pour assurer cette trajectoire. On peut penser
à un système de lévitation pour éviter tout contact (analogue à ce qui est
utilisé pour le Maglev, train japonais à lévitation magnétique). Comme elle
ne travaille pas, elle n'intervient pas dans l'approche énergétique (ni dans
l'équation du mouvement) ; pour autant, elle ne peut pas être oubliée.
En toute rigueur, pour pouvoir simplifier par x, il faudrait se limiter à des
intervalles de temps où la vitesse ne s'annule pas. La vitesse s'annulant à des
instants précis (de façon discrète), on montre en fait que, si l'on raccorde par
continuité les différentes solutions obtenues sur chaque intervalle, on retrouve
bien la solution de l'équation du mouvement, prise cette fois sur toute la durée
souhaitée. C'est pour cela qu'en pratique, on peut simplifier par le terme de
vitesse dans l'obtention énergétique de l'équation du mouvement.