Mines Physique 1 MP 2010

Thème de l'épreuve Éléments d'astrophysique
Principaux outils utilisés thermodynamique, mécanique, ondes électromagnétiques
Mots clefs théorème du viriel, ondes électromagnétiques dans les plasmas, pression de radiation, problème à deux corps, bilan de puissance, énergie potentielle

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2010
PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere MP
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE­EIVP

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE I -- MP.
L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
La bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

ELEMENTS D'ASTROPHYSIQUE
Ce probleme se propose d'etudier dans un premier temps la formation et 
l'evolution d'une etoile et
de s'interesser ensuite a differents objets celestes tels que les cometes, les 
pulsars et les exoplanetes.
Toutes les sous-parties sont independantes entre elles. Les donnees necessaires 
aux applications
numeriques sont rassemblees a la fin du sujet. Les vecteurs sont notes avec un 
chapeau s'ils sont
-
unitaires ub, avec une fleche 
v dans le cas general. Hormis i2 = -1, les nombres complexes sont
soulignes : z  C.

I. -- Etude physique des etoiles
Dans toute cette partie on considere qu'une etoile est une boule de masse M, de 
rayon R, de masse
volumique  supposee constante et entouree de vide.

I.A. -- Energie potentielle d'une etoile spherique, theoreme du viriel
1 -- On considere deux particules ponctuelles notees Q1 et Q2 de masses m1 et 
m2 separees par

-
une distance r. Donner l'expression la force d'interaction gravitationnelle f 
12 exercee par Q1 sur
---
Q2 . On utilisera le vecteur unitaire ub = Q1 Q2 /r. En deduire l'expression de 
l'energie potentielle de
gravitation E p associee a cette force en fonction de m1 , m2 , r et de la 
constante de gravitation G. On
fixera l'origine du potentiel de telle maniere que E p = 0 lorsque r  +.
On souhaite exprimer l'energie potentielle de gravitation d'une boule homogene 
de masse M, de
centre O, de rayon R et de masse volumique  supposee constante. Cette energie 
correspond a
l'energie de constitution de la boule en amenant successivement depuis l'infini 
des couches spheriques
concentriques d'epaisseur dr.

Elements d'astrophysique

2 -- On considere un etat intermediaire Br de la boule dans lequel elle possede 
un rayon r tel
que 0 < r < R et une masse mr telle que 0 < mr < M. Justifier le fait que 
l'interaction entre Br et
un corps ponctuel massif K situe hors de Br est equivalente a celle entre une 
particule ponctuelle
situee en O de masse mr et K . On ajoute a Br une couche spherique Cr de masse 
dm et d'epaisseur
dr. Determiner l'energie potentielle de gravitation dE p entre Br et Cr . On 
exprimera dE p en fonction
de r, dr et de  . En deduire que l'energie potentielle de gravitation de la 
boule de rayon R s'ecrit
E p =  GM 2 /R ou  est une constante numerique que l'on determinera.
On considere a present que l'etoile est constituee d'un gaz parfait , chaque 
particule de ce gaz etant
un atome d'hydrogene d'energie cinetique ec = 32 kB T ou kB = R/N est la 
constante de Boltzmann,
R est la constante des gaz parfaits et N le nombre d'Avogadro. La pression 
donnee par la loi des
gaz parfaits est ici uniquement d'origine cinetique et on ne tient donc pas 
compte de la pression de
radiation. Dans ce modele, la pression P et la temperature T sont des fonctions 
de la seule coordonnee
radiale r, enfin le nombre de particules par unite de volume n est constant a 
l'interieur de l'etoile. On
suppose de plus que l'etoile est entouree de vide, ainsi P (R) = 0.
3 -- Exprimer l'energie cinetique totale Ec des particules constituant l'etoile 
sous la forme d'une
integrale faisant intervenir la pression P (r). En ecrivant l'equation 
d'equilibre hydrostatique, et en
effectuant une integration par parties, montrer que l'on obtient la relation
2Ec =  E p
ou  est un facteur numerique que l'on determinera. Cette relation constitue le 
theoreme du viriel, il
est tres utilise en astrophysique pour decrire les proprietes d'objets tels que 
les etoiles ou les galaxies.

I.B. -- Pression et temperature dans une etoile, reactions de fusion
4 -- En integrant l'equation d'equilibre hydrostatique, determiner la pression 
P (r) au sein de
l'etoile en fonction de M, G, R et r. Pour quelle valeur de r cette pression 
est-elle maximale ? Exprimer cette valeur maximale Pmax en fonction de G, M et 
R ainsi que la temperature maximale Tmax
correspondante en fonction de G, M, R, R et de la masse molaire de l'hydrogene 
MH . Calculer
numeriquement Pmax et Tmax dans le cas du Soleil.
5 -- On considere qu'au sein de l'etoile, chaque atome d'hydrogene occupe une 
petit cube d'arete
 . Exprimer  en fonction de MH , N et  , en deduire une expression de R en 
fonction de MH , N ,
M et  . Montrer alors que l'on peut mettre la masse de l'etoile sous la forme :
M = K( Tmax )3/2

(1)

ou la constante K ne depend que de constantes fondamentales. Calculer la valeur 
numerique de K.
Pendant une grande partie de leur existence, les etoiles tirent leur energie de 
reactions de fusion
thermonucleaire entre des atomes d'hydrogene qui produisent des atomes 
d'helium. Pour que ces
reactions puissent s'amorcer au centre de l'etoile, il faut que l'energie 
d'agitation thermique des
atomes surpasse l'energie potentielle de repulsion coulombienne. La temperature 
qui regne au centre
des etoiles permet de supposer que les atomes d'hydrogene qui fusionnent sont 
completement ionises.
On considerera ici que l'energie d'agitation thermique d'un de ces atomes est 
egale a son energie
cinetique ec = 23 kB T .
6 -- Determiner l'energie potentielle electrostatique d'interaction u pp entre 
deux protons separes
d'une distance  , on fixera l'origine du potentiel de telle maniere que u pp = 
0 lorsque   . En
utilisant le resultat (1) de la question 5, determiner la valeur limite M de la 
masse de l'etoile pour
que les reactions de fusion puissent avoir lieu. On exprimera M en fonction de 
K, kB ,  0 et de la
charge elementaire e. Verifier que la masse du Soleil est bien suffisante pour 
permettre la fusion de
l'hydrogene. L'homme a-t-il deja realise des reactions de fusion nucleaire ?
Page 2/6

Physique I, annee 2010 -- filiere MP

I.C. -- Phenomenes convectifs
Depuis le debut de cette partie, nous avons suppose que l'etoile etait en 
equilibre hydrostatique. Dans
le cas du Soleil, les couches externes (pour r compris entre 0, 7R et R) sont 
le siege de mouvements
de convection dans la direction radiale, causes par une variation rapide de la 
temperature. On admet
que cette convection ne brise pas l'etat d'equilibre si le gradient de 
temperature n'est pas trop grand,
et en particulier inferieur en module a celui correspondant a une 
transformation isentropique.
7 -- Exprimer la composante radiale du gradient de temperature dT
dr au sein d'une etoile spherique
constituee d'un gaz parfait de coefficient  = c p /cv en evolution isentropique 
en fonction de la pression P (r), de la temperature T (r) et de la composante 
radiale du gradient de pression.

I.D. -- Puissance emise et duree de vie du Soleil
Pour rendre compte de la puissance emise par le Soleil, on neglige la 
conduction et la convection
thermique et on ne retient que le processus d'echange thermique radiatif decrit 
ci-dessous.
Chaque sphere de rayon r au sein du Soleil cede, pendant dt, l'energie

 Wr =  (r)dt
ou la quantite  (r) est appelee flux radiatif d'energie. Ce flux est radial et 
dirige vers l'exterieur. La
production d'energie dans le Soleil est assuree par les reactions nucleaires au 
coeur de l'etoile, mais
selon un modele tres simple, nous supposerons que la puissance  degagee par 
unite de masse par ces
reactions, decroit lineairement avec le rayon selon la relation

 (r) =  (1 -

r
) avec 0 < r < RS
RS

L'unite de  est le W.kg-1 et  est une constante. La masse du Soleil est notee 
MS , son rayon RS et
sa masse volumique S est supposee constante dans ce modele .
8 -- En ecrivant un bilan energetique sur une couche spherique d'epaisseur dr 
en regime permanent, determiner  (r) si l'on fait l'hypothese que le flux 
radiatif est nul en r = 0. En deduire la
puissance P =  (RS ) emise par le Soleil dans tout l'espace en fonction de  et 
de sa masse MS . Des
mesures depuis la Terre, ou depuis un satellite, indiquent que P = 3, 8 × 1026 
W, calculer la valeur
numerique de la constante  .
L'energie transportee au sein du Soleil est produite par les reactions de 
fusion de l'hydrogene en
helium qui ont lieu en son coeur : la region centrale la plus chaude 
representant 14% de sa masse.
Chacune de ces reactions convertit 4 atomes d'hydrogene en un atome d'helium et 
fournit l'energie
E f = 4, 23 × 10-12 J. On evalue a 70% la masse du coeur susceptible de 
fusionner en helium. On fait
l'hypothese que la puissance emise par le Soleil est constante.
9 -- En utilisant une celebre equation d'Albert Einstein, determiner la valeur 
numerique de la
masse transformee en energie par le Soleil chaque seconde. En deduire la valeur 
numerique de la
masse d'hydrogene transformee en helium par le Soleil chaque seconde. Combien 
de temps reste-t-il
au Soleil avant qu'il ait epuise tout son hydrogene ? On exprimera ce temps en 
annees.
FIN DE LA PARTIE I

Page 3/6

Tournez la page S.V.P.

Elements d'astrophysique

II. -- Quelques problemes d'astrophysique
II.A. -- Orientation de la queue d'une comete
Une particule spherique de rayon µ de masse volumique c situee dans l'espace 
interstellaire a la
distance r du Soleil recoit de la part de cette etoile une energie  W pendant 
l'intervalle de temps

-
dt. Si l'on considere que toute cette energie est absorbee par la particule, 
celle-ci subit une force F
radiale repulsive, due a la pression de radiation, dont le module s'ecrit F = 
1c dtW ou c est la celerite
de la lumiere dans le vide.
10 -- Determiner l'expression de F en fonction de µ , r, c et de la puissance P 
emise par le Soleil.
A quelle condition sur µ cette force est-elle superieure a la force de 
gravitation exercee par le Soleil
sur la particule ? La valeur limite µ sera exprimee en fonction de P, G, MS , c 
et c. Calculer la
valeur numerique de µ pour une valeur de la masse volumique c = 3, 0 × 103 
kg.m-3 .
11 -- Une comete est constituee d'un noyau, d'une chevelure et de plusieurs 
queues dont l'une,
constituee de fines poussieres, est toujours situee a l'oppose du Soleil par 
rapport au noyau. Comment
interpretez-vous ces observations ?

II.B. -- Mesure de la distance d'un pulsar par la methode de dispersion
Axe de rotation

ma Axe
gn
éti
que

jet
électromagnétique

Étoile
à neutron

F IG . 1 ­ Schema d'un pulsar.

Apres avoir consomme tout leur carburant nucleaire,
la plupart des etoiles massives s'effondrent et forment
une structure tres compacte composee de neutrons. On
parle d'etoile a neutrons. La conservation du moment
cinetique impose une rotation tres rapide a ce type
d'etoile, de l'ordre d'un tour par seconde. La structure dipolaire du champ 
magnetique intense regnant autour des etoiles a neutrons, permet l'emission 
d'ondes
electromagnetiques par les regions polaires du champ
magnetique. Si l'axe de rotation de l'etoile a neutrons n'est pas aligne avec 
l'axe de symetrie du champ
magnetique, on peut alors observer un pulsar (voir figure 1) depuis la Terre. 
Cette onde est associee a un
champ electrique ~E dont la representation complexe
~
s'ecrit ~E = ~E0 ei( t-k.~r) ou ~E0 est un vecteur constant.
Cette onde se propage dans le milieu interstellaire que
nous assimilerons a un plasma homogene globalement
neutre et constitue de N electrons par m3 et N ions par
m3 libres de se deplacer.

Les ions sont supposes immobiles et les electrons ne sont soumis qu'a la force 
imposee par le champ
electromagnetique de l'onde emise par le pulsar.
12 -- Pourquoi cette onde est-elle recue sur Terre sous la forme d'un signal 
impulsionnel periodique ? Quelle est la frequence de ces impulsions ?
13 -- En appliquant le principe fondamental de la dynamique, ecrire l'equation 
verifiee par la
-
vitesse 
ve d'un electron du plasma interstellaire. Dans quelle condition la force 
magnetique est-elle
negligeable ? Etablir la relation de dispersion de l'onde dans le plasma liant 
k = ~k et  . On fera
intervenir la pulsation plasma  p telle que  p2 = Ne2 /(me 0 ).
-
14 -- Si  >  p , la vitesse de propagation de l'energie, ou vitesse de groupe 
vg , a pour module
d
vg = dk . Exprimer vg en fonction de c,  et  p . Donner une forme approchee a 
l'ordre 2 de cette
expression dans le regime    p .
Page 4/6

Physique I, annee 2010 -- filiere MP

15 -- Une partie du signal emis par le pulsar se decompose en la superposition 
de 2 ondes
electromagnetiques de frequences differentes f1 et f2 . On considere que ces 
ondes sont emises au
meme instant dans notre direction pendant un intervalle de temps tres bref. 
Apres avoir parcouru la
distance d dans le plasma interstellaire, elles arrivent sur Terre avec un 
decalage dans le temps  t. En
conservant l'hypothese    p , exprimer d en fonction de  t, f1 , f2 ,  p et c.
16 -- La densite moyenne d'electrons dans le plasma interstellaire est N = 1, 
0×104 electrons.m-3 .
Dans le cas du pulsar PSR0950+08, on observe un decalage  t = 0, 05 s entre des 
signaux de frequences
f1 = 234 MHz et f2 = 405 MHz. Apres avoir verifie l'hypothese de la question 
15, calculer sa distance
d en annees-lumiere.

II.C. -- La planete Osiris
En 1999, des astrophysiciens ont observe une baisse periodique de la luminosite 
de l'etoile HD 209458
situee dans la constellation de Pegase a 150 annees-lumiere de la Terre. Cette 
chute de luminosite dure
quelques heures puis la luminosite reprend sa valeur habituelle, le phenomene 
se reproduit avec une
periode T = 3, 5 jours. On interprete cette variation par l'existence d'une 
planete, baptisee Osiris,
tournant autour de l'etoile et dont on admettra que le plan de l'orbite passe 
par la Terre. La luminosite
de la planete est supposee negligeable par rapport a celle de l'etoile. On 
supposera egalement dans la
suite que la masse m2 de la planete Osiris est tres inferieure a la masse m1 de 
l'etoile HD 209458 et
qu'Osiris est l'unique planete de cette etoile.
17 -- Pourquoi la baisse periodique de luminosite peut-elle s'interpreter comme 
l'existence d'une
planete ? Sachant que la baisse periodique de luminosite observee est de 1, 7% 
, exprimer le rayon
R2 d'Osiris en fonction du rayon R1 de HD 209458. Par des mesures 
spectrometriques, on peut
determiner le type de l'etoile HD 209458 ce qui permet d'obtenir (en utilisant 
un modele d'etoile)
son rayon, on trouve R1 = 1, 1 RS . En deduire la valeur numerique de R2 que 
l'on exprimera en
fonction du rayon moyen de Jupiter RJ .
18 -- Les effets de maree conduisent rapidement a l'annulation de 
l'excentricite de l'orbite de
la planete dans ce type de configuration. Preciser, dans ces conditions, le 
type de mouvement suivi
par Osiris autour de son etoile. Pendant l'intervalle de temps necessaire aux 
diverses mesures, on
-
peut considerer que le systeme HD 209458-Osiris est en translation a la vitesse 
vt dans le referentiel
geocentrique. La composante radiale de cette vitesse est mesurable depuis la 
Terre en utilisant l'effet Doppler-Fizeau. On remarque que cette vitesse 
radiale varie periodiquement entre les valeurs
extremes vr- = 14, 68 km.s-1 et vr+ = 14, 85 km.s-1 . Determiner le module v1 
de la vitesse orbitale de
l'etoile HD 209458 dans le referentiel RB barycentrique du systeme HD 
209458-Osiris.
19 -- On note v2 le module de la vitesse orbitale de la planete Osiris dans RB 
suppose galileen.
Quelle relation existe-t-il entre m1 , m2 , v1 et v2 ? Exprimer m2 en fonction 
de v1 , m1 , T et de la
constante de gravitation G. On pourra negliger m2 devant m1 .
20 -- Sachant que m1 = 1, 1 MS , calculer la valeur numerique de m2 en fonction 
de la masse MJ
de Jupiter.

FIN DE LA PARTIE II

Page 5/6

Tournez la page S.V.P.

Elements d'astrophysique

Pour les applications numeriques, on utilisera les donnees suivantes
Masse molaire de l'hydrogene : MH = 1, 0 × 10-3 kg.mol-1
Constante de gravitation : G = 6, 67 × 10-11 N.m2 .kg-2
Constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J.K-1 .mol-1
Vitesse de la lumiere dans le vide : c = 3, 0 × 108 m.s-1
Permittivite du vide : 0 = (36 )-1 × 10-9 F.m-1
Permeabilite du vide : µ0 = 4 × 10-7 H.m-1
Constante d'Avogadro : N = 6, 02 × 1023 mol-1
Charge elementaire : e = 1, 6 × 10-19 C
Masse de l'electron : me = 9, 1 × 10-31 kg
FIN DE L'EPREUVE

Page 6/6

Masse du Soleil : MS = 2, 0 × 1030 kg
Rayon solaire : RS = 7, 0 × 108 m
Masse de Jupiter : MJ = 1, 9 × 1027 kg
Rayon de Jupiter : RJ = 7, 0 × 107 m
Masse de la Terre : M = 6, 0 × 1024 kg
Rayon terrestre : R = 6, 4 × 106 m

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 MP 2010 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par 
Sandrine
Ngo (ENS Cachan) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

Ce sujet aborde plusieurs thèmes d'astrophysique : les étoiles, les comètes, les
pulsars et les exoplanètes. Ses sept sous-parties sont indépendantes.
· On commence par étudier la vie d'une étoile. Une approche énergétique reliant 
énergie potentielle, énergie cinétique et pression du gaz constituant l'étoile
aboutit au théorème du viriel pour les systèmes soumis à des forces centrales
en 1/r2 . Puis on établit un critère sur la masse de l'étoile pour déterminer 
si des
réactions de fusion sont possibles : il faut que l'agitation thermique l'emporte
sur la répulsion coulombienne. Un bilan de puissance permet enfin de calculer
la puissance rayonnée par le Soleil et d'en déduire le temps qu'il reste avant
que notre étoile n'ait épuisé tout son hydrogène.
· On s'intéresse ensuite aux comètes. Si leurs trajectoires sont déterminées par
l'interaction gravitationnelle, leurs queues de poussières sont, elles, dues à 
la
pression de radiation.
On passe aux pulsars, dont on cherche à estimer la distance à la Terre. Pour 
cela,
on utilise la propagation d'ondes électromagnétiques dans les plasmas et le
caractère dispersif de ces milieux.
Enfin, la dernière sous-partie aborde une méthode de détection des exoplanètes
dite méthode du transit. Lorsqu'une planète passe entre son étoile et la Terre,
on constate en effet une diminution de la luminosité de l'étoile, ce qui permet 
de
calculer le rayon de la planète. D'autres caractéristiques (masse, vitesse) sont
ensuite étudiées.
De nombreuses parties du programme sont abordées ; remarquons que les questions 
1 à 7 (ainsi que 17 à 20) ne font appel qu'aux connaissances de sup. Sous 
réserve
que le cours soit bien maîtrisé, la difficulté de ce sujet est très raisonnable.

Indications
Partie I
-

--
1 Utiliser f 12 = - grad Ep .
2 Le théorème de Gauss permet de justifier l'équivalence. Calculer dEp à l'aide 
de
l'expression obtenue à la question 1, en posant m2 = dV (où dV est un élément
de volume de la coquille sphérique) et m1 = mr . Sommer sur tous les dV de la
coquille et exprimer sa masse dm en fonction de dr puis intégrer.
3 Écrire dEc pour les molécules situées dans la coquille sphérique de rayon r et
d'épaisseur dr. Relier kB T à la pression à l'aide de l'équation des gaz 
parfaits.
Projeter l'équation de l'hydrostatique et relier dEp à dP/dr.
4 Intégrer entre r et R ; P(R) est fourni par l'énoncé. L'équation des gaz 
parfaits
permet de relier Pmax à Tmax .
5 Exprimer la densité d'atomes dans l'étoile en fonction de . Relier la masse de
l'étoile à sa masse volumique. Utiliser le résultat de la question 4.
6 upp est l'énergie coulombienne d'interaction entre les deux protons. Pour que 
la
réaction de fusion puisse se produire, il faut (d'après l'énoncé) ec > upp . 
Cette inégalité doit être vérifiée pour T = Tmax . Utiliser alors le résultat 
de la question 5.
7 Pour un gaz parfait en évolution isentropique, P1- T = Cte .
8 Montrer que (r) - (r + dr) + (r)dm = 0. Intégrer alors d/dr.
9 La formule de Einstein est E = mc2 . Quelle est la masse convertie par une 
réaction
de fusion ? P est directement relié aux réactions de fusion. Le noyau représente
14% de la masse du Soleil et seulement 70% du noyau peut participer à la 
réaction
de fusion.
Partie II
10 Exprimer la puissance surfacique en r en fonction de P. Quelle est alors la 
puissance interceptée par la particule ? Cette force est supérieure à la 
gravitation si
F > Fgravitation .

-

-

13 L'équation de Maxwell-Faraday permet de comparer k-
ve  B k à k E k. Relier la

-
densité volumique de courant d'électrons au champ électrique. Éliminer B de
l'équation de Maxwell-Ampère.
14 Différentier l'équation de dispersion. Effectuer un développement limité de 
la
racine carré.
15 Montrer que

t = d

1
1
-
vg2
vg1

17 Les intensités rayonnée et interceptée sont proportionnelles au rayon au 
carré.

18 La vitesse de l'étoile est -
v +-
v . Relier cette quantité à v + , puis v à v + .
t

1

r-

1

r-

-

19 Utiliser 0 = m1 -
v1 + m2 -
v2 . Le théorème de la résultante dynamique permet
d'exprimer la distance étoile-planète.

Éléments d'astrophysique
I. Étude physique des étoiles
I.A

Énergie potentielle d'une étoile sphérique, théorème du viriel

1 La force d'interaction gravitationnelle s'écrit
-

G m1 m2
f 12 = -
u
b
r2

Q2

-
De plus, l'énergie potentielle Ep est reliée à f 12 par

-
--
f 12 = - grad Ep
d'où

Ep = -

u
b
Q1

dEp
G m1 m2
=
dr
r2

Ainsi,

-

f 12

G m1 m2
r

La constante d'intégration est nulle pour que Ep tende vers 0 lorsque r tend 
vers
l'infini.

-
2 Considérons un point P quelconque et notons G (P) le champ gravitationnel en P
dû à la distribution de masse de la boule Br de centre O. Cette distribution 
étant
à symétrie sphérique, la norme de la résultante des interactions 
gravitationnelles
est indépendante des coordonnées angulaires et ainsi G qui lui est 
proportionnelle
ne dépend que de la distance OP ; de plus, tout plan contenant la droite (OP) 
est
plan de symétrie pour la distribution de masse. Or, la résultante des 
interactions
gravitationnelles est un vecteur polaire, donc elle est selon l'intersection de 
tous ces
plans de symétrie : la résultante des interactions gravitationnelles entre la 
boule et

-
K (et donc également G ) est selon la droite passant par les centres de masse 
de K

et Br , notons -
er son vecteur directeur orienté de Br vers K .
Appliquons le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel à la sphère S de
centre O, de rayon OP > r (le point P est alors situé en dehors de la boule), 
il s'écrit
ZZ
 -
-

G · d S = -4 G mr
S

-

où d S est selon -
er pour une sphère et orienté vers l'extérieur de la sphère.

-
Comme G est radial, il vient
4 r2 G = -4 G mr
donc

-

G mr 
G =- 2 -
er
r

(1)

Le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel est semblable au théorème de 
Gauss pour le champ électrostatique. On peut aisément le retrouver
en comparant l'expression du champ électrostatique à la distance r d'une
particule ponctuelle de charge Qint

-
Qint -

er
E élec =
4 0 r2

-
avec celle du champ gravitationnel G à la distance r d'une particule ponctuelle 
de masse mint

-
G mint -

er
G =-
r2

-

4 0 -
G
Formellement,
E élec = -
Qint
G mint
ZZ

-
 Qint
-
Or,
E élec · d S =
0
S
(où l'intégration est effectuée sur une surface fermée) alors la forme 
gravitationnelle du théorème de Gauss est
ZZ
 -
-

G · d S = -4 G mint
S

-

-
On passe donc d'une forme à l'autre en échangeant E avec G , Qint avec mint
et 1/0 avec -4 G.
La force exercée par Br sur K est

-
G mr mK -

f Br K = -
er
r2
La force exercée par Br sur K est donc équivalente à celle due
à une particule ponctuelle située en O et portant la masse mr .
Comme la masse volumique est indépendante de r, tous les éléments de volume dV 
qui constituent la coquille sphérique Cr portent la même masse dV.
Puisqu'ils sont tous situés à la même distance de O, ils possèdent la même 
énergie
potentielle -G mr dV/r. Sommons sur toutes les directions angulaires pour 
obtenir
l'énergie potentielle dEp de la coquille sphérique Cr de masse dm, dans le champ
gravitationnel dû à Br de masse mr ,
G mr dm
(2)
dEp = -
r
mais dm = 4 r2 dr  et mr = 4 r3 /3, si bien que
dEp = -

16 2 G 2 4
r dr
3

Il suffit alors d'intégrer entre r = 0 et R pour obtenir
16 2 2
 G R5
15
Comme M = 4 R3 /3, on en déduit que
Ep = -

Ep =

 G M2
R

avec

=-

3
5