Mines Physique 1 MP 2007

Thème de l'épreuve Satellites de communication
Principaux outils utilisés mécanique, induction, ondes électromagnétiques
Mots clefs satellite, ionosphère, dynamo

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 2007 PHYS. I MP

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2007
PREMIERE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP

(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : EN SAE (Statistique), EN STIM, INT, 
TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE ] --MP.

L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il est
invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant 
les raisons des initiatives
qu'il est amené à prendre.

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures, même s'il n'a
pas été démontré.

. Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques)
qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement. Le barème
tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la 
copie.

Notations : vecteur --> À (gras) ; norme du vecteur Y --> V(italique) ; vecteur 
unitaire --> â.

Dans toute l'épreuve, exprimer signifie << donner l'expression littérale » et 
calculer signifie << donner
la valeur numérique ».

SATELLITES DE TÉLÉCOMMUNICATION

On se propose d'étudier quelques aspects du fonctionnement de satellites de 
télécommunica-
tion en orbite autour de la Terre. Sauf mention contraire, on considérera que 
la Terre est une
sphère homogène de rayon RT et de centre O, immobile dans l'espace, sans 
rotation propre.

À la fin de cet énoncé (page 7), sont regroupées des valeurs de grandeurs 
physiques et un
formulaire utilisables dans cette épreuve.

I SATELLITES SUR ORBITE CIRCULAIRE

D 1 -- Un satellite de masse M5 est en orbite circulaire de centre 0, a une 
altitude h de

l'ordre de quelques centaines de kilomètres (orbite basse). Établir la relation 
entre la période

Physique 1 2007 : filière MP.

de révolution T et h. Exprimer de même la relation entre la vitesse \) = HYH et 
h.

D 2 -- Soient EC et Ep l'énergie cinétique du satellite et son énergie 
potentielle dans le

champ de gravitation de la Terre ; établir le << théorème du viriel >> : 2EÇ + 
Ep = 0 .

D 3 -- À chaque position P du satellite

correspond un point Q sur la Terre a la
verticale de ce point. L'ensemble des
points Q définit la trace de la
trajectoire. Pour un observateur situé
en Q, la durée de visibilité T d'un
satellite est l'intervalle de temps entre
son apparition sur l'horizon {point A
de la Fig. 1) et sa disparition sous
l'horizon {point B). Exprimer T en

fonction de h, G, M T et RT.

Calculer T pour h = 8 >< 105 m.

D 4 -- Calculer T / T . Pour les besoins

Fig. 1 : Satellite P, point Q et ligne des horizons AB. de la téléphonie 
mobile» on place Sur
Le plan orbital représenté est dit polaire (la ligne des Orbloes P0131Ï65 (C 
eSt'a'dloe
des pôles est N 'SNS '). L 'angle est dit aneillaire. C0noenues dans un plan 
méfldlên

terrestre) un ensemble de satellites,
identiques, appelé << train de satellites >>. Ces satellites sont disposés 
régulièrement sur leur
orbite polaire commune, à l'altitude de 800 km. Calculer le nombre minimal de 
satellites
nécessaires pour former un << train >> afin que tous les points au sol, dans le 
même plan méri-
dien que l'orbite, voient au moins un satellite atout instant.
Combien d'orbites polaires de ce type faut-il pour couvrir la surface de la 
Terre, c'est a dire
pour que chaque point de la surface terrestre voie au moins un satellite à tout 
instant ? Com-
bien doit-on disposer de satellites en tout ?

D 5 -- Dans cette question, on prend en compte la rotation de la Terre. 
Calculer la période et

l'altitude d'un satellite placé sur orbite géostationnaire. La notion de durée 
de visibilité
garde-t-elle, dans ce cas, un sens ? Quels sont les avantages et les 
inconvénients d'un satellite
géostationnaire comparé au train de la question 4 ?

D 6 -- La Terre est entourée d'une atmosphère qui s'oppose au mouvement du 
satellite. La

force de frottement Ï'a créée par l'atmosphère est proportionnelle au carré de 
la vitesse v du

satellite et elle s'exprime par fa = --05 Ms VÏ' , où a a une valeur positive, 
constante dans
cette question. Déterminer la dimension de a. Écrire le théorème de l'énergie 
cinétique en
supposant que le théorème du viriel établi à la question 2 reste applicable en 
présence de fa .

Établir l'équation différentielle vérifiée par h.

D 7 -- Un satellite placé sur une orbite d'altitude 800 km subit une diminution 
d'altitude

d'environ lm par révolution; sa vitesse est, en norme, très peu affectée au 
bout d'une
révolution. En déduire une estimation au premier ordre de a (ne pas s'étonner 
de la petitesse

Physique 1 2007 : filière MP.

extrême du résultat !). Calculer, avec la même approximation, ce qu'il advient 
de l'altitude
au bout de 10 ans de fonctionnement du satellite. Comparer à la solution 
exacte. Le fait
d'avoir une augmentation de la vitesse en présence d'une force opposée au 
mouvement est-il
paradoxal ?

D 8 -- En réalité, les frottements dépendent de la densité de l'atmosphère et 
donc de

l'altitude. Dans un certain domaine d'altitudes, & varie selon la loi a(h) = 
hLfl , où )/ et ,6'

sont positifs. Le même satellite que celui de la question 7 (perdant 1 mètre 
par révolution
pour h = 800 km) perd, à l'altitude de 400 km, 2 mètres par révolution. 
Calculer yet ,B.

Il STABILISATION DE L'ATTITUDE D'UN SATELLITE SUR
SON ORBITE PAR GRADIENT DE GRAVITE

La méthode de stabilisation d'attitude par gradient de gravité a été mise en 
oeuvre pour les
satellites artificiels afin qu'ils présentent

vers la Terre toujours le même côté. Elle
Il y ne requiert aucune ressource d'énergie
, , embarquée. Le principe de cette méthode
' 9 a été établi par Lagrange, au XVIIème, afin
X' d'expliquer pourquoi la Lune présente
toujours la même face vers la Terre.
Modèle : le satellite est constitué de deux
S points matériels M1 et M2 de masses
1"0 r 2 identiques m = %MS reliés par une tige

Qt

rigide de masse nulle et de longueur 2].
Le barycentre S du satellite décrit autour
de la Terre une orbite circulaire de rayon
@ = RT + h (! << rg). Le référentiel géo-
centrique (R) lié au repère (Oxyz) est
supposé galiléen. Le plan orbital est Oxy.
Le référentiel (R') défini par le repère
(Ox 'y 'z) lié au satellite tourne autour de

O
><10'6 T. À tout instant, le satellite est stabilisé en position 
9: 0. Les

points M1 et M2 sont reliés entre eux par un câble conducteur isolé par une 
gaine en téflon.

D 17 -- Tracer l'allure des lignes de champ à l'extérieur de la Terre. Comment 
est dirigé le

champ sur un cercle de centre O et de rayon R (R > RT) dans le plan équatorial ?

D 18 -- Montrer que, lorsque le satellite se déplace dans le champ magnétique 
équatorial de

la Terre, une f.e.m d'induction eM apparait entre M1 et M2 Exprimer eM en 
fonction de RT, h,
B et l, ainsi que de constantes que l'on précisera. Calculer eM dans les cas l 
: 10m et
l = 10 km.

D 19-- Le circuit est fermé par les ions de l'ionosphère ; un courant 
d'intensité ] = 0,44 A

circule dans le câble. Exprimer la force de Laplace exercée sur le câble, long 
de 10 m.
Quelle est, dans le référentiel géocentrique, la puissance de cette force ?

D 20 -- En conservant cette valeur d'intensité, quelle est alors la puissance 
pour l = 10 km ?

D 21 -- Comment la force de Laplace affecte-t-elle le mouvement du satellite ? 
On pourra

comparer l'intensité de cette force a celle de la force de frottement des 
questions 6 et 7.

D 22 -- Grâce à des batteries chargées par des panneaux solaires, la puissance 
disponible est

de l'ordre de 500 W. On suppose que l = 10 m. Quelles sont les conséquences de 
cette cir-
culation de courant sur le mouvement du satellite ? Dans quel sens doit-on 
faire circuler le
courant pour permettre au satellite de se placer sur une orbite plus haute ? 
Combien de temps
serait alors nécessaire pour une élévation d'orbite de 500 m ?

D 23 -- Comparer les résultats obtenus dans la question précédente avec ceux 
obtenus dans
le cas h = 400 km.

D 24 --Dans le Journal << Pour la Science >> de septembre 2004 (n0 323) était 
évoqué un

satellite composé de deux cabines reliées par un fil conducteur rigide. 
Commenter les phra-
ses suivantes publiées dans ce numéro: « En équipant de longs câbles les 
satellites et les
sondes spatiales, les astrophysiciens espèrent produire a bon compte de l 
énergie électrique,
un moyen de propulsion ainsi qu 'une forme de gravité artificielle. Dans cette 
technique, un
câble conducteur est relié a deux cabines en orbite autour de la Terre. Le 
câble de cet engin
spatial échange de la quantité de mouvement avec la planète par l'intermédiaire 
de son
champ magnétique. » On pourra effectuer une approche comparative quantitative 
en sachant
que le contrôle d'attitude d'un satellite s'effectue souvent avec des fusées << 
vemier >> dont la
poussée est de l'ordre de 0,1 N, et que les modifications d'orbite sont 
effectuées par d'autres
fusées << vemier >> dont la poussée est de l'ordre de 50 N.

IV COMMUNICATIONS SPATIALES

Le satellite communique avec la Terre en émettant ou recevant des ondes 
électromagnéti-
ques. Ces ondes traversent l'atmosphère, assimilée ici au vide, à l'exception 
d'une couche
appelée ionosphère située environ a partir de l'altitude z,- = 100 km de la 
Terre. L'ionosphère
est constituée d'un gaz sous très faible pression et partiellement ionisé par 
le rayonnement

Physique 1 2007 : filière MP.

solaire, encore appelé plasma ionosphérique. Ce plasma contient donc des ions 
positifs de
charge +6 et de masse M et des électrons de charge --6 et de masse me. 
L'ionosphère étant

électriquement neutre, ions positifs et électrons ont même densité particulaire 
n.
On étudie la possibilité de propagation selon une verticale locale (Fig. 4) 
d'une onde élec-

tromagnétique monochromatique plane progressive décrite par les champs E et B :
E : EO ei(oet--kz)ûx
B

_ i(oet--kZ)A
-- BO @ uy

, , , , . . , . 00
avec wreel et constant. On admettra qu etant donne les conditions 
expérimentales, ; % c .

D 25 -- Exprimer la force de Lorentz

z exercée sur les charges. Dans quelle

_:la_ condition peut-on négliger la contri-
bution du champ magnétique devant
E celle du champ électrique ?
. h h' '
B Ionosphere Dans cette ypot ese, exprmrer en
notation complexe la vitesse V 6 prise

par un électron ; exprimer de même la
vitesse Vi prise par un ion. On admet

que l'amplitude des mouvements de
l'électron est très petite devant la lon-
gueur d'onde du rayonnement. En

@? } déduire la densité de courant j qui
? Terre . . . .
apparait dans le plasma. Simplifier
cette expression en tenant compte de
Figure 4 : schéma de l'ionosphèoe. la relation M,-- >> me.

D 26 --Écrire les équations de Max-

well dans le plasma. En déduire l'équation aux dérivées partielles vérifiée par 
le champ Ë ,

1
Puis l'expression de k2 en fonction de 0) et des données. On introduira C =Î. On
50 flo

2
ne

posera ou?, = .
m 80
D 27 -- Discuter suivant la valeur de a) la possibilité de propagation de 
l'onde a travers le

plasma. On montrera que l'ionosphère se comporte comme un filtre passe-haut 
dont on don-
nera la fréquence de coupure fC_

D 28 -- Dans le cas où la propagation est possible, donner la relation de 
dispersion, la vitesse

de phase va la vitesse de groupe vg_ Le milieu est-il dispersif ? Tracer les 
graphes de % et vg
en fonction de a) et donner une relation simple entre % et vg.

Physique 1 2007 : filière MP.

D 29 -- La densité particulaire est n = 2.1010 m'. Comparer cette densité avec 
celle du cui-

vre, que l'on évaluera en admettant par exemple que chaque atome du cristal de 
cuivre métal
fournit un électron libre. Donner le domaine de fréquences qui permet de 
communiquer avec
le satellite.

D 30 -- On considère un canal de communication entre un satellite placé à une 
altitude de

800 km et un observateur terrestre tel que le satellite soit exactement a sa 
verticale. La fré-
quence de ce canal est 1 GHz. Quel sera le retard induit par l'ionosphère en 
supposant que
celle-ci est homogène entre 100 km et 300 km d'altitude (on considérera dans ce 
problème
que l'atmosphère comprise entre 0 km et 100 km d'altitude a un indice égal à l, 
et qu'au
dessus de 300 km, la propagation s'effectue dans le vide) ? Comment se modifie 
ce retard
lorsque la densité particulaire passe de la valeur de no : 2.1010 m'3 {valeur 
typique de nuit) a
nl : 5 1011 m'3 {valeur typique de jour), et en supposant que l'extension de 
l'ionosphère ne
varie pas entre le jour et la nuit ?

FIN DU PROBLÈME

DONNÉES PHYSIQUES

constante de gravitation G = 6,67 10'11 m'.kg".s'2

rayon de la Terre RT : 6400 km
masse de la Terre MT : 6,0 1024 kg
masse du satellite MS : 2,0 103 kg
perméabilité du vide ... = 47c.10'7 H.m"
vitesse de la lumière c = 3.108 m.s'1

masse de l'électronme : 0,91.10'30 kg

charge élémentaire @ : 1,6.10'19 C

FORMULAIRE

_)

rot(1ît) = grîi(div) -- Â

FIN DE L'ÉPREUVE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 MP 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Dumont (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Olivier Frantz (Professeur agrégé) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE).

Ce sujet porte sur différents aspects de la physique des satellites de 
communication et fait principalement appel à la mécanique du point et à 
l'électromagnétisme.
Le problème est constitué de quatre parties de longueur et de difficulté 
comparables :
· La première s'intéresse au déploiement d'un réseau de satellites à orbite 
circulaire et à des résultats classiques concernant ces satellites. Cette 
partie utilise
principalement des outils de mécanique de première année.
· La deuxième, plus originale, étudie l'orientation d'un modèle de satellite 
constitué de deux masses. Cette étude s'appuie sur la dynamique en référentiel 
non
galiléen et constitue un bon rappel sur les forces d'inertie. La dernière 
question
posait néanmoins des problèmes comme nous le verrons plus loin.
· La troisième partie porte sur l'utilisation du champ magnétique terrestre 
comme
source d'énergie pour le satellite, grâce aux phénomènes d'induction.
· Enfin la quatrième partie, assez classique, porte sur la propagation d'ondes
électromagnétiques dans l'ionosphère ; elle nécessite une solide connaissance du
cours correspondant.
Ce sujet est de difficulté moyenne, mais il est très long et nécessite de bons 
réflexes
sur des parties du cours très différentes et parfois oubliées, car vues en 
première année.
Il constitue un bon entraînement pour les révisions.

Indications
Partie I
3 Relier la durée de visibilité à l'angle balayé par le satellite et la vitesse 
de ce même
satellite. Pour cela, un schéma et une étude géométrique sont utiles.
6 Comment s'exprime le travail de la force de frottement pour une petite 
variation
de l'angle  ? Exprimer alors le théorème de l'énergie cinétique pour ce petit 
angle,
sans oublier la force gravitationnelle.
7 Considérer d'abord que la vitesse est constante pour intégrer l'équation 
trouvée à la
question 6. Intégrer ensuite directement l'équation avec la méthode de 
séparation
des variables. Calculer l'écart relatif entre les deux méthodes et conclure.
Partie II
-
-

10 L'énoncé ne précise pas que -
r1 = OM1 . Faire bien attention, tout au long de cette
partie, aux différents vecteurs que l'on utilise.
11 Montrer que le moment des forces d'inertie d'entraînement est lui aussi nul. 
Pour
calculer simplement les produits vectoriels, décomposer un vecteur bien choisi
avec la relation de Chasles, en essayant de faire apparaître des vecteurs 
formant
un angle  entre eux.
13 Chercher les angles qui annulent la force. Établir alors les équations 
différentielles
pour un petit angle autour de chaque position d'équilibre et étudier leurs 
solutions.
15 Faire un développement limité à l'ordre deux de r1 et r2 , en portant 
particulièrement attention au traitement du terme d'ordre deux. On rappelle que
(1 + ) = 1 +   +

 ( - 1) 2
 + o (2 )
2

16 Cette question comporte une erreur d'énoncé. La résoudre dans le référentiel
tournant, et non dans le référentiel géocentrique.
Partie III
17 L'angle  défini dans le texte n'est pas le même que précédemment, mais 
représente ici la colatitude. Dans le plan équatorial, ce champ magnétique est 
dirigé
.
suivant -
u
z
21 Interpréter le signe de la puissance. On demande de comparer l'intensité des 
forces
et non leur puissance.
Partie IV
29 Exprimer la densité volumique d'électrons en fonction de la masse molaire et 
de la
masse volumique du cuivre. Pour l'application numérique, donner une estimation
de ces deux grandeurs.
30 Calculer le temps mis pour traverser l'ionosphère, et le temps mis pour 
traverser
un domaine vide de même épaisseur.

I. Satellites sur orbite circulaire
1 Désignons par P la position du satellite, puis utilisons le système de 
coordonnées
, -
 -

cylindriques P(r, , z) et la base locale (-
u
r u , uz ). Dans cette base, et puisque le
satellite reste à la distance (RT + h) du centre de la Terre, on peut écrire
-

-

OP = (R + h) -
u
soit
v = (R + h)  -
u
T

r

T

-

 - (R + h) 2 -

et
a = (RT + h)  -
u
u

T
r
On considère le système constitué par le satellite soumis à la seule attraction 
de
la Terre, dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen. La force 
gravitationnelle de la Terre sur le satellite a pour expression
-
G MT MS -

u
FG = -
r
(RT + h)2
 et -
 pour obtenir
Projetons alors le principe fondamental de la dynamique sur -
u
u
r

G MT MS
= MS (RT + h) 2
(RT + h)2

et

MS (RT + h)  = 0

L'accélération angulaire  est nulle,  étant ainsi une constante qui vaut  = 2/T
par définition de la vitesse angulaire. En élevant cette constante au carré et 
en la
substituant dans la première équation, on obtient
4 2
4 2
G MT
 2 = 2
qui donne
=
2
T
T
(RT + h)3
et finalement

(RT + h)3
G MT
=
2
T
4 2

On retrouve ainsi la troisième loi de Kepler dans le cas d'un mouvement 
circulaire.
 que  2 = G M /(R + h)3 , ce qui
On remarque également dans la projection sur -
u
r
T
T
permet d'obtenir le module de la vitesse
r
G MT
v = (RT + h)  = (RT + h)
(RT + h)3
r
G MT
soit
v=
(RT + h)
2 Calculons séparément l'énergie cinétique et l'énergie potentielle de 
pesanteur.
1
1 G MT MS
G MT MS
Ec = MS v 2 =
et
Ep = -
2
2 (RT + h)
(RT + h)
On en déduit immédiatement le théorème du viriel
2 Ec + Ep = 0
L'appellation théorème du viriel désigne un théorème bien plus général, qui
exprime la valeur moyenne de l'énergie cinétique d'un système de points
matériels en interaction. La situation de la question 2 ne constitue qu'un cas
très particulier d'application de ce théorème. Historiquement, il a été 
introduit par Clausius lors de ses études sur la théorie cinétique des gaz et 
il est
régulièrement utilisé dans des domaines aussi variés que la thermodynamique,
la mécanique quantique ou encore l'astrophysique.

B

3 Pour déterminer le temps  , il suffit de déterminer
l'angle 2 balayé par le satellite, puis de le diviser par
la vitesse angulaire calculée à la question 1. On a

P
Q

OQ
RT
cos  =
=
OA
RT + h
ce qui conduit à
soit

=

O
A

2

2
(RT + h)3/2 Arccos
=
G MT

RT
RT + h

= 9, 2.102 s

4 La période T pour une altitude de 800 km vaut, d'après la question 1,
2
(RT + h)3/2
T= 
GMT
On obtient alors

T
=

Arccos

RT
RT + h

 = 6, 6

Pour pouvoir être constamment en vue d'un satellite sur une orbite polaire 
fixée,
il faut donc au minimum un train de 7 satellites, et 7 orbites polaires pour 
couvrir
l'ensemble de la surface terrestre, soit 49 satellites en tout.
5 Un satellite est en orbite géostationnaire s'il apparaît immobile dans le 
référentiel
terrestre pour un observateur lui-même immobile sur Terre. Une orbite 
géostationnaire est forcément située dans le plan équatorial de la Terre, sa 
période étant alors
T = 24 h
À l'aide de la relation établie à la question 1, on constate que cela 
correspond à
r
2
3 G MT T
RT + h =
, = 42.103 km
2
4
soit une altitude

h = 36.103 km

Puisque l'on est toujours en vue d'un même satellite, la notion de durée de 
visibilité n'a plus de sens. L'emploi de la formule obtenue dans la question 
précédente
montre qu'un satellite couvre un angle d'environ 163, trois satellites 
suffisent donc
pour couvrir l'orbite équatoriale complète et leur suivi est facile. Cependant, 
un
satellite géostationnaire ne pourra pas couvrir toute la surface du globe, car, 
comme
on vient de le voir, les zones situées au-dessus d'environ 81 de latitude (et 
en dessous
de -81 ) ne seront pas couvertes, ce qui constitue un inconvénient. De plus, en 
cas
de panne ou de défaut d'un satellite, une communication ne pourra plus être 
assurée, jusqu'à remplacement du satellite ; dans le cas d'un train, cela sera 
impossible
uniquement durant la durée de visibilité du satellite défectueux, il y aura 
donc une
certaine continuité de transmission. Enfin, les émetteurs en relation avec un 
satellite géostationnaire ont besoin de plus d'énergie pour envoyer leur 
signal, puisque
ce satellite est situé plus loin ; c'est également le cas du satellite, mais 
c'est moins
gênant puisqu'il est équipé de panneaux solaires.