Mines Physique 1 MP 2003

Thème de l'épreuve Étude thermodynamique de la surface de la Lune
Principaux outils utilisés rayonnement et conduction thermiques, corps noir
Mots clefs atmosphère de la Lune, température, rayonnement du corps noir

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURS DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
Physique 1 --- Filière MP
L 'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, 
comporte 6 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené
à prendre.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lors--
que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que
des qualités de rédaction de la copie.

La surface de la Lune

On se propose d'étudier deux aspects de la surface lunaire : la température de 
surface et le
sol. Ces deux parties sont indépendantes entre elles.

Dans tout le problème, étoile et planètes seront considérées comme des sphères 
en équilibre
thermique, et qui se comportent comme des corps noirs.

0 Important : on trouvera en pages 5 et 6 un ensemble de données relatives à ce 
pro-
blème ; ces données complètent (ou, à l'occasion, répètent) celles de l'énoncé. 
Quelques--
unes de ces données pourront servir plusieurs fois ; - d'autres n'ont de valeur
qu'informative. Quand l'énoncé ne les indique pas, il appartient aux candidats 
de repérer
et d'utiliser les données utiles pour la résolution de certaines questions.

0 Les questions numérotées avec un astérisque (par exemple, D 4*) sont de type 
essen--
tiellement qualitatif ; elles demandent peu de calculs, voire pas du tout.

Partie I Températures de surface

Température terrestre

. Un modèle bien fluste

D 1 -- On modélise la surface de la Terre par une coquille sphérique de 
température uni--
forme, en équilibre thermodynamique : puissance absorbée et puissance émise 
sont égales.

Soit PS la puissance totale émise par le Soleil. Exprimer & en fonction du 
rayon solaire RS
et de la température solaire T S. Exprimer, en fonction de PS, la puissance Po 
reçue par la

Terre, à la distance DST du Soleil, supposé ponctuel. Exprimer alors la 
température de sur--
face de la Terre, 7} .

D 2 ---- En réalité, la puissance absorbée par la surface de la Terre n'est 
qu'une fraction de la

puissance du rayonnement solaire incident : la surface terrestre réfléchit la 
fraction A,,

nommée albe'do, de ce rayonnement. L'albédo moyen de la Terre est égal à 0,35, 
ce qui
signifie que 65 % du rayonnement solaire incident est absorbé. Etablir 
l'expression suivante

de la température de surface de la Terre :

2
Tt = --R--S-- (l'--Ar)1s4-

2DST

Cl 3 ---- Calculer alors la valeur numérique de T, ; ne pas s'offusquer de la 
valeur trouvée à
partir de ce premier modèle.

0 Influence de l'atmosphère terrestre

L'atmosphère joue un rôle essentiel dans le bilan thermique terrestre. 
Désormais, on enten--
dra par « Terre » la planète proprement dite, de rayon RT, entourée d'une 
pellicule sphérique
de gaz, qui constitue l'atmosphère.

L'atmosphère est modélisée par une couche d'épaisseur e << RT et de température 
uniforme

Ta ; elle absorbe la fraction a du rayonnement solaire non réfléchi ; elle 
absorbe aussi la
totalité du rayonnement du corps noir émis par la surface de la Terre. La Terre 
absorbe la
totalité du rayonnement émis par l'atmosphère vers celle--ci (Fig. 1).

Solaire, absorbé Solaire, absorbé Rayonné par
par la Terre par l'atmosphère la Terre
Atmosphérique,
vers le ciel
Atmosphérique,

vers la Terre

Fig. 1 : un bilan des rayonnements

E] 4* -- À quoi pourrait être due la différence d'absorption de l'atmosphère 
pour les rayon--
nements solaire et terrestre '?

Cl 5 -- Soit E' la température superficielle moyenne de la Terre calculée en 
tenant compte de
l'influence de l'atmosphère. Exprimer R , puissance solaire absorbée par la 
surface terres--
tre; exprimer P2, puissance rayonnée par l'atmosphère vers la Terre. Effectuer 
un bilan

thermique pour l'atmosphère. En déduire la relation TT" : (2 -- a)Tf' .
Cl 6 -- Application numérique : calculer E' pour a= 0,35 (l'égalité et : AT est 
fortuite).
C] 7 ---- Montrer que la température de l'atmosphère]... est égale à T, .

Température lunaire

. Température de la surface ensoleillée

L'albédo moyen de la Lune,AL, est égal à 0,073 : 92,7 % du flux solaire est 
absorbé par le
sol. On suppose l'albédo uniforme sur toute la surface éclairée.

D 8 ---- Exprimer et calculer la valeur numérique de la température de surface 
de la Lune,
T L,So,e,-, , en ne tenant compte que du rayonnement solaire.

D 9* --- L'hypothèse d'une température uniforme pour la Lune n'est pas conforme 
à la
réalité : la surface lunaire présente de gros écarts de température. 
Représenter sur un schéma
la position, par rapport au Soleil, de la zone de températures les plus élevées.

Cl 10--- Effectuer un bilan thermique pour une surface élémentaire de cette 
zone et en
déduire T L...... , la température maximale à la surface de la Lune. La valeur 
expérimentale est

de l'ordre de 120°C.

. Le « clair de Terre ».

Lorsque l'axe Soleil-Lune est perpendiculaire à l'axe Lune-Terre, on cherche à 
déterminer la
température superficielle de la Lune en un point M éclairé uniquement par la 
Terre. Ce point
reçoit le rayonnement de deux corps noirs de nature différente, celui du 
Soleil, réfléchi par la
Terre, et celui de l'atmosphère terrestre.

D 11 --- Evaluer la puissance surfacique de chacun de ces rayonnements.

D 12 -- Déterminer la température maximale à la surface de la Lune uniquement 
éclairée par
la Terre : ]}LTem.

D 13* -- Comment serait modifiée la température d'un point M' situé dans la 
zone éclairée
par le Soleil si l'on tenait compte également du rayOnnement terrestre '?

E] 14* -- Un instrument situé à la surface de la Lune détecte un rayonnement 
visible et un
rayonnement infrarouge. Indiquer le domaine de longueurs d'onde caractéristique 
de chacun
de ces rayonnements. Le résultat sera donné en micromètres.

Cl 15* ---- À quel domaine de longueurs d'onde appartient le rayonnement 
thermique émis par
la Lune '? quelle est l'origine du rayonnement visible provenant de la Lune ?

0 Influence de la radioactivité

. . . . 238 40 .
La Lune contient des roches rad10act1ves, essentiellement U et K. La puissance
volumique moyenne libérée par les roches lunaires, pL , a été évaluée à 10" 8 
W.m"3 .

D 16 --- Exprimer la température superficielle de la Lune, T L, Roches, pour 
les zones à l'ombre
du Soleil et de la Terre et en ne tenant compte que de l'apport énergétique 
radioactif.

Cl 17 * -- La radioactivité modifie--t-elle de façon significative la 
température dans les zones
très éclairées ?

Partie II Le sol lunaire

Modélisations

Le sol lunaire est bombardé et réduit en poussière par les météorites et le 
vent solaire, cons--
titué essentiellement de protons et d'électrons. La composition du sol lunaire 
est proche de
celle des silicates, dont quelques caractéristiques physiques sont indiquées 
pages 5 et 6. La
couche supérieure, très fine, est représentée par un empilement compact de 
sphères de sili--

cates, de rayon RS,--, et de température uniforme (Fig. 2). Le contact entre 
les sphères est
supposé ponctuel. On note c la distance verticale minimale entre deux sphères 
en positions

semblables : c =2J; RS,--, zl,633Rsü. Dans une telle structure compacte, le 
volume occupé

par les sphères est de l'ordre de 74 % du volume de l'empilement.

D 18* --- Justifier qu'avec un tel modèle
les échanges thermiques entre les
sphères soient limités au rayonnement.

D 19* -- L'empilement précédent est
maintenant modélisé par un ensemble
de plans parallèles opaques, placés dans
le vide, séparés par la distance c/2. Que
pensez--vous de ce modèle '?

Fig. 2 : Le plan inférieur de l'empilement compact est Ü 20 _ On suppose que 
l'écart de tem--
constitué de sphères dont les centres sont notés A. Une , ' , . , .
perature AT d un plan a l autre est tres

couche identique de sphères, dont les centres sont à ! 'à--pic _
des points de type B, est superposée à ce plan. Les centres pet1t devant la 
température de ces plans.

des sphères de la troisième couche sont en sites de type A, La puissance 
surfacique émise à
et ainsi de suite (empilement de type ABAB ...).

_ l'équilibre thermodynamique par un
corps de température T est P = 0'T4, où 0' est la constante de Stefan. Exprimer 
à l'aide de
ces hypothèses le flux thermique J Q qui se propage de plan en plan dans la 
direction perpen-

diculaire à ces derniers. Montrer que l'on peut caractériser le milieu ainsi 
modélisé par un
coefficient de conductivité thermique dépendant de la température de la forme

/1(T ): A(RS,,,a)T" ; trouver la valeur de n et l'expression de A.

E] 21 -- La dimension des grains de poussière est, en ordre de grandeur, RS,-, 
z100 um;

comparer l'ordre de grandeur de Â(T ) obtenu avec ce modèle avec la valeur 
expérimentale
de la conductivité des silicates : KS,-, z1,11 W.K'1 .m'l _

D 22 -- Comparer la densité d et la capacité calorifique massique c de la 
couche supérieure
avec ds,--, et CS,--[.

D 23* ---- Il est généralement admis que ce sont les couches les plus profondes 
qui ont les
caractéristiques physiques les plus voisines de celles des modèles ci-dessus. 
Pourquoi ?

Influence de l'impact des météorites

On admet que les météorites heurtant la surface lunaire ont même composition 
que le sol
lunaire. On rappelle que le référentiel de Copernic, ou référentiel 
héliocentrique, est lié au
centre de masse du système solaire et que ses axes pointent vers des étoiles 
réputées fixes.

Le référentiel de Copernic est supposé galiléen.

D 24 -- Vérifier que la vitesse d'impact d'une météorite frappant la surface 
lunaire et de

vitesse négligeable dans le référentiel de Copernic est de l'ordre de 3 x 104 
m.s'1 .

Cl 25 -- Montrer que l'impact d'une météorite de masse 111! peut dégager une 
énergie suffi--
sante pour porter à l'état liquide une masse m2 de la surface de la Lune. 
Déterminer puis
calculer le rapport mz/m1.

E] 26* --- La solidification du matériau en fusion n'est pas sans effet sur la 
nature des trans-
ferts thermiques ultérieurs. Vers quelle valeur se rapproche alors la 
conductivité thermique
calculée précédemment ?

Fin du problème

Données numériques (avec une précision variable)

Soleil
- Rayon RS z 7><105 km

0 Température de surface T 5 % 5800 K

2

. L'angle solide sous lequel on voit la Terre depuis le Soleil est 7z----2T

ST

. Rayon terrestre RT z 6,38x 103 km
0 Distance Terre-Soleil DST x 1,5 >< 108 km

0 Masse terrestre MT z6><1024 kg
. Albédo AT z0,35

. Rayon lunaire RL = 1740 km
0 Masse lunaire M L = 7, 7 >< 1022 kg

. Distance Terre-Lune DLT % 3,84 x 105 km

0 Période du mouvement circulaire autour de la Terre PTL z27,25 jours (en 
restant
dans le plan de l'orbite terrestre)

. Période de rotation propre de la LunePL : PTL % 27,25 jours. La Lune présente 
ainsi
toujours la même face à la Terre.

Silicates
. Densité ds,--, oe 2,51
. Conductivité thermique K S,--, x 1,11 W.K"'.m"1
. Capacité calorifique massique CS,--[ z 860 J .kg"1 K"1
0 Ordre de grandeur du rayon RS,--, z 100 um

. Température de fusion du silicate T [ x 1500 K

. Chaleur latente de fusion L f z 130 kJ .kg"1

» Constantes physiques

. Célérité de la lumière dans le vide c z 3 >< 108 ms"1 ,

. Constante de la gravitation G x 6,67 ><10'11 m3 .kg".s'2

h
. Constante de Planck hz6,63><10'34 J.s ( =-2-- ::10"34 J.s)
7z

. Constante de Boltzmann kB z 1,38 >< 10"23 J .K°1
. Charge électrique élémentaire e = 1,6 >< 10"19 C

0 Masse de l'électron me z9,11 >< ..."31 kg

' Constante de Stefan o*= 5,7 >< 10"8 W .m"2.K"4
. Nombre d'Avogadro N A z 6,02 >< 1023
. Permittivité du vide 80 _z 8,85 >< IO"12 F.m"'

. Constante des gaz parfaits R = N AkB x 8,31 ] .mol'1 .K'1

Données physiques

_ U"...
.Il%=-

Loi de rayonnement du corps noir
(loi de Planck)

L'exitance M (en W.m'2) d'une source
est la puissance totale qu'elle émet par
unité de surface, toutes directions et toutes
longueurs d'onde confondues.

La loi de Stefan stipule que l'exitance
d'un corps noir augmente comme la qua--
trième puissance de sa température:

M=0'T".

L'exitance spectrale M(À) est la puis--
sance émise à la température T par l'unité de surface du corps noir dans 
l'intervalle spectral

[1,1 +dÀ] : dM= M(Â)dÀ .

1

1
Son expression est M(À)=2flhc2îg----r--. L'exitance spectrale est maximale
c
exp{ ) --

kB T Â
pour la longueur d'onde Â... liée à la température par la relation A : À...T : 
2898 K. pm. On a

27rh02 (Â...)5T5 P À 1 f _ d ,
.... 050115 x =-- ; a 1 ure Cl- EURSSUS I'C l'ê--
A5 « { hC Âm) _  g p

donc M(À)=

"!

t 1 f t' =--------=--------------.
seneaonc10nmAx MÀ) x5 {{hc] 1
ex ---

Formule mathématique

div [grad(f)]= Af .

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 MP 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Nicolas Caudal (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (ENS Lyon).

Ce problème aborde différents aspects de la thermodynamique lunaire. Il est de
longueur raisonnable. De nombreuses questions qualitatives font appel au sens 
physique du candidat.
· La première partie est consacrée à l'étude des transferts thermiques par 
rayonnement entre le Soleil, la Terre et la Lune. Elle repose essentiellement 
sur l'écriture de bilans radiatifs à l'équilibre thermodynamique.
· Dans la seconde partie, on envisage le comportement thermodynamique du sol
lunaire. Là encore, des questions qualitatives nécessitent une bonne 
compréhension physique des phénomènes mis en jeu.
Dans l'ensemble, l'énoncé est clair et progressif et les questions sont très 
abordables. Cela en fait un bon problème d'application en thermodynamique.

Indications
Première partie
1 Calculer P0 grâce à l'angle solide sous lequel la Terre est vue depuis le 
Soleil.
4 L'atmosphère est un milieu dispersif.
5 Considérer que seule une fraction (1 - AT ) du rayonnement solaire P0 est 
reçue
par l'atmosphère terrestre. Effectuer un bilan thermique pour la Terre puis pour
l'atmosphère et éliminer Ta dans ces bilans. Ne pas oublier que l'atmosphère
rayonne aussi vers l'espace et relier très simplement cette puissance rayonnée 
vers
l'espace à la puissance P2 rayonnée vers la Terre.
7 Trouver Ta à l'aide de l'un des bilans de la question 5.
8 Faire une simple analogie avec la question 2 en considérant que la distance 
séparant la Lune du Soleil est sensiblement égale à la distance séparant la 
Terre du
Soleil.
10 L'angle solide sous lequel est vu cette surface élémentaire est d = dS/DST2 .
Reprendre alors le raisonnement de la question 8.
11 L'angle solide sous lequel est vu cette surface élémentaire est d = dS/DLT2 .
Utiliser l'albedo terrestre AT .
12 Ne pas oublier l'albedo lunaire AL .
13 Comparer TL,Terre et TL,max .
16 Évaluer la puissance totale libérée par les roches lunaires puis la fraction 
transférée
à une surface élémentaire dS.
17 Comparer TL,Roches et TL,max .
Deuxième partie
19 Justifier que le modèle surévalue les transferts thermiques par rayonnement.
20 Considérer un plan inférieur à T et un plan supérieur à T + T. Évaluer le
gradient de température. Effectuer le bilan des transferts thermiques radiatifs
entre les deux plans au premier ordre et comparer avec la loi de Fourier.
22 La capacité calorifique d'une phase condensée est indépendante du volume 
qu'elle
occupe.
24 Décomposer le mouvement de la surface lunaire dans le référentiel de Copernic
en trois sous-mouvements et évaluer les vitesses associées.
25 Appliquer Ec + U = Wext + Q au système {Lune + météorite}, supposé isolé
pendant l'impact, avec U = H dans le vide. Supposer que la Lune est beaucoup
plus massive que la météorite et que la température initiale du sol lunaire vaut
au moins TL,Roches trouvée à la question 16.

I.

Températures de surface

1 En utilisant l'exitance M = TS4 du Soleil, la puissance PS émise par le 
Soleil sur
toute sa surface extérieure 4RS2 est
PS = 4RS2 TS4
La Terre reçoit une fraction de rayonnement solaire égale à l'angle solide sous 
lequel
la Terre est vue depuis le Soleil divisé par 4 d'où
RT2 /DST2
P0 =
PS
4

2
RT
soit
P0 =
PS
2DST
La réponse proposée utilise la notion d'angle solide introduite par l'énoncé
dans les données numériques relatives au Soleil. Une manière équivalente de
procéder consiste à dire qu'à la distance DST  RT à laquelle se trouve la
Terre, la puissance PS est rayonnée sur une sphère de surface 4DST2 où le
disque terrestre occupe une surface RT2 . Ainsi
P0 =

RT2
PS
4DST2

et on parvient au même résultat.
La puissance totale PT émise par la Terre sur sa surface extérieure 4RT2 est
PT = 4RT2 TT4
L'équilibre thermodynamique de la Terre impose que la puissance P0 reçue est 
égale
à la puissance PT émise. Il vient, en remplaçant PS dans l'expression de P0 ,

2
RT RS
4
TS4 = 4RT2 TT4
2DST
TT4

d'où

=

RS
2DST

2

TS4

Dans les calculs effectués dans ce problème, les températures apparaissent 
généralement à la puissance 4. On conserve donc la puissance dans l'expression
littérale des résultats.
2 Seule une fraction (1 - AT ) de la puissance P0 reçue est effectivement 
absorbée
par la Terre. L'équilibre thermodynamique de la Terre impose donc que (1 - AT 
)P0
égale la puissance PT émise. Il vient donc, comme précédemment,

2
RT RS
4(1 - AT )
TS4 = 4RT2 TT4
2DST
soit

TT4

= (1 - AT )

RS
2DST

2

TS4

3 Application numérique :

TT = 252 K

4 Les températures de surface de la Terre et du Soleil étant très différentes,
les rayonnements terrestre et solaire ne se font pas aux mêmes longueurs d'onde.
Or, l'atmosphère est un milieu dispersif, c'est-à-dire qui se comporte 
différemment
suivant la longueur d'onde du rayonnement qui s'y propage. Il est donc normal 
que
l'absorption de ces rayonnements diffère.
En utilisant les températures de surface TS et TT du Soleil et de la Terre
comme on le fait ensuite pour la Lune à la question 15, on trouve que les
longueurs d'onde m du maximum de l'exitance spectrale pour le Soleil et
pour la Terre sont respectivement 0, 5 µm et 11, 5 µm. Le Soleil rayonne donc
dans le visible et la Terre dans l'infrarouge.
5 La Terre entourée de son atmosphère reçoit une puissance (1 - AT )P0 du Soleil
qui est sensiblement égale à celle calculée à la question 2 puisque e  RT . Du 
fait de
l'absorption atmosphérique, seule une fraction (1 - ) de (1 - AT )P0 est reçue 
par
la Terre elle-même. On trouve donc
P1 = (1 - )(1 - AT )P0
soit

P1 = 4(1 - )(1 - AT )

RT RS
2DST

2

TS4

La question et le schéma qui l'accompagne n'expliquent pas clairement le rôle
dans ces échanges de l'albédo, c'est-à-dire de la réflexion par la Terre et son
atmosphère du rayonnement solaire. Afin de parvenir au résultat demandé,
on suppose que cette réflexion se fait avant la traversée de l'atmosphère,
par exemple sur les hautes couches de la couverture nuageuse.
En appliquant la loi de Stefan à l'atmosphère, considérée comme un corps noir à
part entière, la puissance P2 rayonnée vers la Terre par l'atmosphère à partir 
de sa
surface intérieure 4RT2 est
P2 = 4RT2 Ta4
La puissance P2 est totalement absorbée par la Terre. L'équilibre thermique de 
la
Terre impose que la puissance totale absorbée P1 + P2 égale la puissance 
rayonnée
sur toute sa surface 4RT2 vers l'atmosphère. Ainsi
4

P1 + P2 = 4RT2 TT
soit

et

4(1 - )(1 - AT )

RT RS
2DST

(1 - )(1 - AT )

2

4

TS4 + 4RT2 Ta4 = 4RT2 TT

RS
2DST

2

4

TS4 + Ta4 = TT

En identifiant l'expression de TT4 dans cette égalité, il vient
4

(1 - )TT4 + Ta4 = TT

(1)