Mines Physique 1 MP 2002

Thème de l'épreuve Transition de phase et évolution vers un état stationnaire hors équilibre
Principaux outils utilisés changements d'état, dérivations partielles et principes thermodynamiques, loi du corps noir, transferts conducto-convectifs
Mots clefs équation de Van der Waals, point critique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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J . 2067

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2002
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

Physique 1 -- Filière MP
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, 
comporte 7 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené

à prendre.

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures, même s'il n'a
pas été démontré.

o Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui semblera pertinent, 
même lorsque
l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que des

qualités de rédaction de la copie.

ASPECTS DES TRAN SITION S

Les deux parties proposées dans cette épreuve sont indépendantes. La première 
partie étudie
l'équilibre d'un fluide décrit par l'équation de Van der Waals et la transition 
d'état liquide-vapeur. La
seconde partie de l'épreuve traite de l'évolution d'un système thermodynamique 
vers un état station-
naire de non-équilibre.

I - Forces et limites de l'équation d'état de Van der Waals.

À la différence de l'équation d'état des gaz parfaits, cette équation rend 
compte des transitions de
phase liquide--vapeur et de l'existence d'un point critique. Elle permet aussi 
de modéliser l'existence de
retards aux changements d'état. Néanmoins, et particulièrement au voisinage du 
point critique, il sub-
siste des écarts notables entre ses prévisions et l'expérience.

I-A L'équation de Van der Waals et les mesures au voisinage du point critique.

L'équation de Van der Waals relie la pression P, le volume V et la température 
T d'un
fluide en introduisant deux constantes a et b, positives et caractéristiques de 
ce fluide ; pour
une mole, et en notant R la constante des gaz parfaits :

{P+%](V--b)= RT. ...

Page 1/7 Tournez la page S.V.P.

Physique I -- Filière MP - 2002

Cl 1 --- Etablir l'équation de Van der Waals pour n moles de fluide en 
utilisant des consi-
dérations sur le caractère intensif ou extensif des variables. Dans la suite, 
on raisonnera sur

une mole de fluide.

E] 2 -- La constante b, nommée covolume, représente l'effet de la répulsion à 
courte
distance entre deux molécules. Dans le cas de molécules de faible atomicité, 
donner un ordre

de grandeur numérique raisonnable pour [) en vous appuyant sur un modèle simple.

' l'...-. D 3-- La figure ci- contre représente, en unités réduites,
l'énergie d'interaction Wentre deux molécules, en fonc--

. ======= tion de la distance r séparant leurs centres de masse. À

l'.ZÉÎ-

' "A....
1.2 1.4 1.6 1.8 2
E] 4 ---- Quel effet représente la constante a ? Comment

justifier le signe positif de a '? Comment interpréter le fait que le terme 
correctif de la pres-
sion (la référence étant le gaz parfait) soit une fonction décroissante du 
volume '?

. --6
grande d1stance, W oc r . Commenter cette figure ; sau-
riez-vous nommer, voire décrire l'origine physique de
l'interaction à grande distance '? à très courte distance '?

Cl 5 --L'isotherme critique est celle qui possède dans le diagramme (P, V) un 
point

critique, point d'inflexion de pente nulle. Déterminer en fonction des 
constantes a, b et R les
coordonnées Pc, VC et TC du point critique C. Justifier le fait que Van der 
Waals ait pu prévoir
les coordonnées du point critique de l'hélium (T c = 5,2 K, Pc = 2,275 >< 105 
Pa) en 1873, bien
avant que la technique ne permette d'atteindre de telles températures. 
Aurait--il été légitime
d'exiger a priori la relation HVC = RTC '?

--l--l----_---- Ü 6--Commenter le diagramme'ci-
contre, représentant trois isothermes du

fluide décrit par l'équation [l] pour les

0.5 k _
l'E/î: ' ' températures ]; > TL, 7£ : 71 et ]g < 71
0 'V ""'-- :\ La courbe en pointillés est le lieu des
. ,(âP]
po1nts ou -- = 0_

av,

1. 5 analogue l'allure des isothermes pour un
fluide réel quand il ne se produit aucun

retard au changement d'état. Faire figurer sur ce dernier diagramme la courbe 
de saturation.

P V
Cl 8 -- Quel est le facteur de compressibilité critiquez C-- '" RT prévu par 
l'équation de
Van der Waals ? On mesure en fait des coefficients z, compris entre 0,29 et 
0,31.
. 4 , . P V T , .
D 9 -- Les var1ables redu1tes pr : î , v, = 7 et 9, : "];-- permettent la 
representat1on

C C C

de tous les « fluides de Van der Waals >> par une équation unique, qui s'écrit :

a9, l'

pÏ=flvr--l v2'

'"

Déterminer les valeurs de a, B et 7 (on trouvera que ce sont des nombres 
entiers).

Page 2/7

Physique I -- Filière MP - 2002

CI 10 ---- Soient p la masse volumique du fluide et pc sa valeur au point 
critique. Intro-

p--p. P--P.
t *:
p.. e p P..

tique ô, défini par la propriété suivante, que l'on établira :

duisant les écarts réduits p* = , trouver la valeur de l'exposant cri--

. . ô '
sur l'150therme cr1t1que, pour | p*l << 1, p* : DI p*l , ou D est une constante.

Cl 11 ---- La valeur expérimentale de 5 est ôexp : 4,80i 0,02 ; en quoi la 
différence
5

EUR

xp ---- 5l ren seigne-t--elle sur le modèle de Van der Waals ?

Cl 12 -- Proposer un dispositif expérimental permettant de faire passer un 
échantillon de
fluide par un état très voisin du point critique. Quel phénomène optique permet 
de repérer le
passage par le point critique '? Quelle en est l'origine '?

I-B Énergie interne, capacité calorifique molaire à volume constant et entropie 
d'un
gaz de Van der Waals.

Dans cette section, nous nous proposons de comparer un gaz de Van der Waals au 
gaz
parfait associé. L'énergie interne est notée U et l'entropie S.

Cl 13 -- À partir de l'expression différentielle du deuxième principe de la 
thermodyna-
mique, établir l'équation de Helmholtz ci--dessous pour un fluide divariant :

gg _T2 a(P/T)
aV , ar V

Cl 14 -- En déduire, sous forme d'une intégrale portant sur le volume, la 
différence entre
l'énergie interne d'une mole de fluide et l'énergie interne d'une mole de gaz 
parfait pris tous
deux à la température T et dans le volume V.

Cl 15 -- Comment s'exprime cette différence dans le cas du gaz de Van der Waals 
'?

Cl 16 -- Quel est le comportement d'un gaz de Van der Waals dans une détente de 
Joule-
Gay--Lussac ?

Cl 17 -- Comparer les capacités calorifiques molaires à volume constant des 
deux gaz.

Cl 18 ---- En considérant la différentielle de l'énergie libre F = U -- 7ÎS' , 
montrer que la

différence des énergies libres molaires du gaz de Van der Waals (VdW) et du gaz 
parfait
(GP) s'écrit

F...(T, V) -- FGP (T, V) =-% -- RT1n(V; b).

Exprimer, dans la représentation (T , V) , l'équation d'une adiabatique 
réversible pour

une mole de gaz de Van der Waals.

I-C Isothermes pour T < T 6, états instables, états métastables et courbe 
spinodale.

On se propose d'établir le théorème de Maxwell qui permet de remplacer 
l'isotherme déduite de
l'équation de Van der Waals par une isotherme présentant un palier de 
changement d'état. Il s'agit
d'abord de trouver la pression à laquelle est observé le changement d'état à la 
température T, avec

T < T'. On discutera ensuite de la signification des portions de l'isotherme 
initiale qui ont disparu.

Page 3/7 Tournez la page S.V.P.

Physique 1 -- Filière MP - 2002

Cl 19 -- En se référant au diagramme ci-dessous, donner sans démonstration la 
relation
liant les potentiels chimiques molaires (notés #) des deux phases : liquide au 
point A et

vapeur au point B. Établir la relation entre les aires hachurée de ce diagramme 
(ce résultat
constitue le théorème de Maxwell). On pourra, par exemple, partir de 
l'expression de la dif--

férentielle du potentiel chimique molaire dans la représentation (T,P) pour des 
grandeurs

molaires : d ,u = --sd T + vd P , ou encore exprimer directement L P dv

C
uu.æs Il
"JWÏIIE. .

l'üêflj' --\\'.

0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5

Cl 20 -- On admet que les états décrits par l'équation de Van der Waals et 
correspondant
à une valeur négative du coefficient de compressibilité isotherme sont des 
états thermody-
namiquement instables. Où ces états sont-ils représentés sur l'isotherme 
dessinée plus haut '?

E] 21 -- Quelle est l'équation P= g(V) de la courbe dite spinodale, située sous 
la

courbe de saturation, qui sépare les états instables des autres états '?

EI22-- Pour l'eau a= 0,545 m6Pa. mol _2 et I): 3, OSX 10"5 m3 .mo.l_1 Jusqu'à 
quelle
pression maximale, exprimée en atmosphères, peut-on espérer comprimer de l'eau 
vapeur à

T- --- 1000 C sans observer la formation de gouttes liquides (on prendra R= 
8,31 J. K ) '?

E] 23 ---- Sous pression assez
faible, loin des conditions de
liquéfa'ction et dans un domaine
limité de température, on peut donner
à la relation P = f(V) d'une mole de
gaz réel la forme, dite du Viriel :

Équation du Viriel
Gaz deVan der Waals A(T ) B(T )

.. _ - Gazparfait PV=RT l+_--+ +... .

V V2

0 2 4 6 8 10 12

Indiquer, sans développer le calcul, sous quelle condition la relation approchée

27 1 1
prvr : 8? l+%(l-- 89): + 2 est valide pour le gaz de Van der Waals.

%
Commenter cette relation (sens, ordres de grandeur...).

,.

Fin de cette partie

Page 4/7

Physique 1 -- Filière MP - 2002

Il - Évolution vers un état stationnaire de non-équilibre.

Un éleveur de moutons installe un pédiluve à l'entrée de ses installations et 
il souhaite maîtriser
en été la température d'eau qu'il contient. Une étendue

Rayonnement de solution aqueuse est assimilée à de l'eau pure
solaire d'épaisseur uniforme EUR et de dimensions horizontales

------- Rayonnement très supérieures à EUR . La masse volumique de l'eau est

ambiant p=1000 kg.m_3, sa chaleur spécifique
q, = 4185 J .kg_l.K'l. À l'instant initial, := 0, la

température du pédiluve est uniforme et notée ]} La

nappe d'eau est soumise, pour t > 0, au rayonnement
solaire et au rayonnement ambiant; sa température,

Nappe d'eau

uniforme à chaque instant, est notée Ï(l'). On précise et

on suppose que I

0 La fraction F de la puissance émise dans le domaine de longueur d'onde [0,11] 
par un
a

À'max
): 0,15399x ------'-1--"------,

u5 [exp(l/ u) -- l]

0,2014l

Â
Â

max

corps noir à la température T est F{

où ÀmaxÎ= 2900 um.K.

. L'éclairement solaire, E} = 1000 W.m"2, et l'éclairement ambiant, E" = 250 
W.m"2
sont l'un et l'autre spectralement distribués comme des corps noirs de 
températures res-

pectives 7}: 5800 K et 7; = 290 K.

0 Les figures ci-après rappellent, en unités réduites, l'allure de la densité 
spectrale de
l'énergie volumique du rayonnement thermique (formule de Planck) et le graphe de

f(x) ; un tableau précise ensuite quelques valeurs numériques.

_ MM....
. ::.-" Loi de Planck
num...

0.

O.

O.

O.

-u--m----_
___--___--

- L'évaporation de l'eau est négligée.

. Les échanges thermiques conducto-convectifs entre la nappe d'eau et l'air 
ambiant, de
température 7;, se font selon la loi de Newton avec un coefficient surfacique h 
uniforme

et constant.

Page 5/7 Tournez la page S.V.P.

Physique 1-- Filière MP - 2002

o La nappe d'eau rayonne de façon isotrope.

- Dans le domaine spectral concerné, on néglige toute réflexion sur la nappe 
d'eau.

2-A Absorption du rayonnement solaire et du rayonnement ambiant par l'eau.

L'indice complexe de l'eau, noté "* = n + jK (j2= --l), rend compte 
simultanément du

déphasage et de l'atténuation d'une onde se propageant dans le milieu (n est 
l'indice Optique

27rc
habituel). Le champ électrique d'une onde monochromatique plane de pulsation w 
= ----

).

se propageant dans la direction des x croissants vers le bas (l'incidence est 
normale) s'écrit

cox Kw
ainsi E: ÆBexp(jn )exp[-- x]exp(--jæl), où c est la célérité de la lumière.
6 c

L'intensité de l'onde, proportionnelle au carré de la norme du champ, s'écrit

/(x) = [(Q) exp(-- ZË:Ù--x] = ](0) exp(--ax) , ce qui définit le coefficient 
d'absorption a.

Cl 24 -- Le tableau ci-contre fournit quelques
valeurs numériques. Vérifier numériquement la

validité de la relation entre K et oc

E] 25 -- Exprimer, en fonction de 06 et de EUR , la

fraction q(À,Ê) de l'intensité du rayonne-
ment de longueur d'onde À absorbé par la
nappe d'eau d'épaisseur EUR.

EI 26--Pour une nappe d'eau de 10 cm
d'épaisseur, une documentation commerciale
propose les données figurant dans le dia-

gramme ci-contre. Noter les fenêtres de
- transparence (flèches) pour 0,3< Â < 0,7

O' et À >1. En utilisant ce diagramme et les
indications données plus haut sur le corps noir, calculer numériquement la 
fraction du

rayonnement solaire total absorbé, noté Q_(10). Calculer également la fraction 
Qa(10) du

rayonnement ambiant total absorbé.

Cl 27 -- Exprimer le lien entre Q(10) et Q_(20). Calculer Q(20).

2-B Évolution temporelle de la température de la nappe d'eau.

L'éleveur choisit le matériau constituant le fond du pédiluve. Il calcule 
l'instant tl où la
température du pédiluve d'épaisseur EUR = 10 cm et de température initiale 7; = 
17 0C atteint

la température 7} = 25 °C, en distinguant deux hypothèses extrêmes.

1 - Première hypothèse.

La surface SP sur laquelle repose l'eau réfléchit totalement l'intensité de 
tout rayonne-

ment dans tout le domaine spectral concerné. Elle est également parfaitement 
isolante.

Page 6/7

Physique 1 -- Filière MP -- 2002

Cl 28 -- Quel est dans ce cas le pourcentage de la lumière solaire incidente 
absorbé au total
par la nappe d'eau '?

D 29 -- Nommer et décrire les phénomènes dont le système étudié est le siège ; 
en déduire le
bilan énergétique de la nappe d'eau. Calculer en kelvins par heure les vitesses 
de réchauffe--

ment K(O) et V,,(l'l) pourfi : 10 W.m'Z.K_'. La valeur numérique de la 
constante de Ste--
fan est 0 = 5,7 >< 10--8w.m--2.K4'.

D 30 -- On néglige le rôle de la convection. Exprimer le bilan énergétique sous 
la forme :

où test une constante de temps que l'on calculera et où T ,. est la température 
de reférence,

dont on donnera la signification physique.

D 31 -- Intégrer l'équation de bilan et calculer en heures la valeur numérique 
de l'instant t,.

d u 1 1
On donne : : --arctan(u) + -- ln

1--u4 2 4

1+u +C'e.

1---u

Cl 32 -- On conserve maintenant le terme d'échange convectif et on linéarise 
l'équation obte-
nue plus haut. Montrer qu'elle peut se mettre sous la forme :

d 7 __
d 1
où T0 et 70 sont des constantes dont on établira l'expression.

70 75--79

Cl 33 -- Calculer [, dans les deux cas suivants : convection faible /z= 10 
W.m_Z.K_' et
convection forte Æ : 50 W.m--2.K--'.

2 - Seconde hypothèse.

La surface S]; est assimilable à un corps noir (totalement absorbant) dont on 
note 72([)

la température. Elle est toujours parfaitement isolante.

D 34 -- La vitesse de réchauffement sera--t--elle plus grande ou plus petite 
que dans le cas
précédent '? Justifier votre réponse sans calcul.

D 35 -- Écrire l'équation de bilan énergétique de la nappe. Calculer la vitesse 
de réchauffe-

ment initiale V,\,(0) pour h = 10 W.m_2.K_'.

E] 36 -- On néglige la convection. Démontrer que l'évolution de la température 
de la nappe se
déduit d'une équation de la même forme que l'équation vue plus haut, mais avec 
une nou--
velle température de référence dont la valeur numérique n'est pas réaliste.

FIN DE CE PROBLÈME
FIN DE L'ÉPREUVE

Page 7/7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 MP 2002 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) ; il a été relu par David
Chapot (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (ENS Lyon).

Ce sujet est constitué de deux problèmes indépendants de thermodynamique.
Le premier problème porte sur l'équation de Van der Waals. Il se subdivise en
trois parties :
· La partie A introduit l'équation d'état de Van der Waals. Elle calcule 
notamment les coordonnées du point critique et souligne les limitations de la 
modélisation à son voisinage.
· La partie B est de loin la plus difficile. Elle démontre des propriétés 
générales des
quantités thermodynamiques. Elle demande une grande maîtrise des concepts
de dérivation partielle et établit des comparaisons non triviales entre gaz de
Van der Waals et gaz parfait associé.
· La dernière partie s'intéresse aux changements d'état modélisés par l'équation
de Van der Waals et notamment à la prédiction d'états métastables.
Le second problème porte sur le chauffage d'un pédiluve grâce au rayonnement
solaire. Il est très déroutant car l'énoncé contient deux grosses coquilles qui 
mettent
en défaut la plupart des applications numériques.
· La première partie traite de l'absorption des rayonnements solaire et ambiant
par la nappe d'eau.
· La seconde s'intéresse au bilan énergétique total de la nappe et à l'évolution
temporelle de la température sous diverses hypothèses (avec ou sans échanges
convectifs, fond parfaitement réfléchissant ou absorbant).
Ce n'est pas un énoncé facile à traiter le jour du concours. Bien qu'il 
comporte des
questions de difficulté raisonnable (partie I.A, second problème sans les 
applications
numériques), le coeur du sujet (questions 13 à 19) est difficile d'accès et les 
coquilles
du second problème ne facilitent pas la mise en confiance du candidat.
Ce sujet nécessite des notions sur les échanges de chaleur conducto-convectifs
et le rayonnement du corps noir, une connaissance des changements d'état et une
bonne maîtrise des dérivations partielles ainsi que des relations 
thermodynamiques
générales.

Indications
Partie I
4 L'attraction intermoléculaire freine l'expansion du gaz.
5 Les dérivées première et seconde de P par rapport à V doivent être nulles.
6 Faire le lien avec le point critique des diagrammes (P, T) de changements 
d'état.
10 Faire un développement de Taylor de la fonction pr = f c (v r ) au voisinage 
du
point critique en remarquant que les deux premières dérivées sont nécessairement
nulles.

U
13 Exprimer
en écrivant U en fonction de T et V puis supprimer le terme
V T

S
qui devrait apparaître en appliquant la commutation des dérivées parV T
tielles à l'expression de l'entropie en représentation (T, V).

U
14 Intégrer
entre V et V . Le comportement de gaz parfait se retrouve pour
V T
un fluide infiniment dilué.
16 La détente de Joule Gay-Lussac se fait à énergie interne constante.
17 Utiliser la définition de la capacité calorifique à volume constant

U
CV =
T V

F
18 Procéder de même qu'à la question 14 en intégrant
entre V et V .
V T
Exprimer la différentielle de l'entropie en représentation (T, V) et intégrer.
19 Trouver une expression formelle à chaque aire et montrer qu'elles sont 
égales en
utilisant l'enthalpie libre (ou les potentiels chimiques).
22 Trouver VC par résolution numérique.
Partie II
26 Écrire Qs (10) sous la forme d'une intégrale sur . Utiliser la fonction 
commerciale
q constante par morceaux pour intégrer.
Pour Qa (10), ne pas prendre en compte le diagramme mais plutôt le tableau de la
question 24. Supposer une forme (très) simple pour q(, 10) sur le domaine utile
d'intégration.
27 Faire un bilan énergétique intermédiaire à 10 cm de profondeur.
28 Prendre garde à l'homogénéité et aux indications implicites de l'énoncé afin 
de
ne pas oublier de terme.
Prendre Tf = 23 C au lieu de 25 C afin d'obtenir un résultat numérique 
plausible.
32 Considérer que T = Ta (1 + ) avec   1 et linéariser T4 .
33 Faire l'application numérique pour Tf = 23 C. Vérifier le sens physique (et 
mathématique !) de l'intégration auparavant.
35 Supposer Tp (0) = Ti pour l'application numérique.

I. Forces et limites de l'équation
d'état de Van der Waals
I.A

L'équation d'état de Van der Waals et les mesures
au voisinage du point critique

1 Considérons n moles de fluide comprises dans un volume V, à une température T
et une pression P. V étant la seule variable extensive, une mole de ce fluide 
occupe
donc un volume V/n en restant à une température T et une pression P. 
L'application
de l'équation de Van der Waals à cette mole de fluide donne
!

V
a
P+
-
b
= RT
2
n
(V/n)
d'où

n2 a
P + 2 (V - n b) = n RT
V

2 Le covolume b correspond au volume occupé par les molécules dans un état de
compression maximale. Un modèle simple permettant d'en obtenir une estimation 
est
celui des sphères dures qui ne peuvent s'interpénétrer. On peut obtenir une 
valeur
minimale en considérant un fluide d'hydrogène atomique dont le rayon 
électronique

est donné par le rayon de Bohr atomique a0 = 0, 5 A. En notant NA = 6.1023 la
constante d'Avogadro, on obtient une estimation du covolume
3

b = NA (2 a0 ) = 6.10-7 m3 .mol-1
Pour obtenir un ordre de grandeur grossier et afin d'effectuer cette 
application numérique de tête, on a considéré que chaque atome occupait le
volume d'un carré de côté 2 a0 . De plus la question 22 donne la valeur de b
dans le cas de l'eau.
L'origine de cette répulsion provient du principe d'exclusion de Pauli
qui stipule que deux fermions (électrons, protons) ne peuvent se trouver
dans le même état quantique. La probabilité que deux atomes d'hydrogène
se trouvent au même endroit est donc nulle. En revanche, pour les bosons
(comme l'hélium IV) c'est possible. Il est même possible d'atteindre 
expérimentalement l'état de condensation de Bose-Einstein où tous les atomes
d'hélium se rassemblent de manière macroscopique dans l'état fondamental,
mais les températures requises pour une telle expérience sont de l'ordre du
nanoKelvin.
La répulsion électrostatique des nuages électroniques de chaque atome,
même si elle n'est pas fondamentalement à l'origine de la répulsion observée
à courte distance, aurait été une justification valide le jour du concours.
Le volume occupé par une mole de gaz parfait dans des conditions
usuelles de température et de pression (P = 1 atm et T = 293 K) est
Vm = 24 L. Par conséquent, l'approximation de gaz parfait dans ces conditions 
est parfaitement justifiée puisque l'on a b/Vm = 2, 5.10-5 .
Le domaine de validité de l'approximation de gaz parfait est très large.

Néanmoins cette approximation n'est plus valable pour le cas des transitions
gaz/liquide, que l'équation de Van der Waals peut, au contraire, décrire dans
une certaine mesure.
3 On observe sur le graphe un mur de potentiel à courte distance (r < 1 où 
l'énergie
potentielle est décroissante) rendant compte de la répulsion citée à la 
question précédente. En revanche, la forme (croissante) de l'énergie indique 
une force attractive
entre molécules distantes (r > 1). Le puits de potentiel aux alentours de r = 1 
donne
une distance d'équilibre entre deux molécules du gaz à très basse température 
alors
que la pente quasi-nulle en l'infini indique qu'il n'y a plus d'interaction à 
très longue
distance.
En effet, ce n'est que lorsque l'énergie cinétique moyenne des particules,
proportionnelle à la température, est faible par rapport à l'énergie de cohésion
du solide que cette distance d'équilibre revêt un sens physique à l'intérieur du
fluide. Pour une énergie mécanique totale négative (Ec < -Ep ), la particule
oscille autour de la position d'équilibre. Pour une énergie mécanique totale
positive, la particule n'est pas confinée sur la droite du graphe.
On remarque au passage que pour T = 0 K, on a V = b et les particules
sont situées à une distance req les unes des autres, renforçant le fait que
l'application numérique précédente donne une valeur minimale.
L'interaction à grande distance est nommée force de Van der Waals. Elle 
correspond à une interaction entre les moments dipolaires électriques de chaque 
molécule.
Il en existe de trois types :
· interaction dipôle permanent/dipôle permanent ou interaction de Keesom ;
· interaction dipôle permanent/dipôle induit ou interaction de Debye ;
· interaction dipôle induit/dipôle induit ou interaction de London.
L'interaction à courte distance est due au principe de Pauli appliqué aux 
molécules
du gaz.
Justifions rapidement le fait que l'énergie d'interaction correspondant à
une force de Van der Waals évolue en 1/r6 .

-
S'il existe à un instant donné un dipôle d1 sur une molécule, il crée un
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champ électrique E1 dont l'amplitude décroît en 1/r3 .

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Ce champ crée un dipôle d2 sur la molécule voisine, d'amplitude pro-

portionnelle à kE1 k.
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Ce dipôle crée lui-même un champ E2 en 1/r3 qui est donc en 1/r6 par

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rapport au premier dipôle d1 .
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Il ne reste plus qu'à écrire l'énergie d'interaction égale à -d1 · E2 qui
évolue donc en 1/r6 .
Cette démonstration n'est correcte que dans le cas des interactions de
London et Debye mais on peut montrer que l'interaction de Keesom a aussi
une énergie potentielle évoluant en 1/r6 .