E3A Physique et Chimie MP 2008

Thème de l'épreuve Traitement thermique d'une plaque d'acier
Principaux outils utilisés cristallographie, thermochimie, électromagnétisme, transferts thermiques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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3 &)
CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Physique - Chimie MP

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa 
copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est autorisé.

' .
L usage de calculatrices est autorisé.

Traitement thermique d'une plaque d'acier

Le problème comprend deux parties totalement indépendantes qui s'intéressent
à l'acier et aux traitements thermiques qu'il subit lors de l'opération de 
trempe. La

première partie concerne la chimie du fer et de l'acier ainsi que la 
pyrométallurgie
des oxydes de fer. La seconde partie est consacrée aux phénomènes d'induction

dans un conducteur métallique, puis au chauffage d'une plaque conductrice par
courants de Foucault.

Remargues préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que

. les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au 
même titre
que les développements analytiques et les applications numériques ;

. tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italique ont pour objet d'aider 
à la
compréhension du problème ;

. tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé parla suite, 
même s'il n'a pas
été démontré par les candidat(e)s ;

. un document--réponse sera complété puis remis avec la copie.

Tournez la page S.V.P.

PREMIERE PARTIE

CHIMIE DU FER ET DE L'ACIER

A I STRUCTURE CRISTALLINE DU FER ET DE L'ACIER

Le fer peut cristalliser sous deux formes selon la température. À basse 
température, la
maille conventionnelle du fer et possède la structure cubique centrée (CC) 
alors qu'à haute
température, le fer ;! adopte la structure cubique à faces centrées (CFC). La 
transition s'opère à
910 °C àla pression standard ; puis, au--dessus de 1390 °C, le fer 5 reprend 
une structure CC.

Données numériques : masse molaire du fer M(Fe) : 55, 85 g.mol",
masse molaire du carbone M(C) : 12 g.mol",
nombre d'Avogadro o/l£= 6, 02. 1023 mol".

A----1 Fer oc

A1*a. Donner la définition d'une maille élémentaire. Par quel(s) paramètre(s) 
est--elle
déterminée?

A1*b. Dessiner la maille conventionnelle du fer oc.

A1*c. Combien cette maille renferme-t--elle d'atomes ?

A1*d. Définir puis calculer la compacité %C d'une structure CC en adoptant le 
modèle de
sphères dures indéformables.

A1*e. Calculer le paramètre au de la maille cubique, sachant qu'à 20 °C la 
masse volumique du
fer ce est pa : 7868 kg.m'°.

A1 *f. Calculer le rayon R,, de l'atome de fer ou à 20 °C.

A----2 Influence de la température

Le volume massique du fer a passe de la valeur v...)20 : 0,1271 cm'Îg" a la 
température

de 20 °C, à la valeur v...)... =-- 01321 cm3.g'1 a 910 °C, la variation étant 
linéaire en fonction dela
température. L'étude est menée à pression constante.

A2*a. Lequel des trois coefficients thermoélastiques @, B ou XT ces données 
vous permettent-
elles de calculer ? En donner la valeur moyenne.

A2*b. Entre quelles limites le paramètre de maille varie--t--il entre ces deux 
températures ?

A2*c. Quel est le rayon de l'atome de fer cc à 910 °C ?

Dans la suite le rayon atomique du fer a sera Ra : 125 pm.

A;3_ Fery

A3*a. Dessiner la maille conventionnelle du fer y.

A3*b. Combien cette maille renferme-t-elle d'atomes ?

A3*c. Calculer la compacité 'ËCFC d'une structure CFC (modèle de sphères dures
indéformables).

A3*d. Le rayon atomique du fer 7 est R, = 129 pm. Calculer le paramètre aY de 
la maille cubique.

A3*e. Evaluer le volume massi ue v 910 du fer .
(7) Y

3

Si le carbone est très soluble dans le fer liquide (au--dessus de 1536 °C), il 
n'en va pas de
même lorsqu'il se forme une solution solide fer--carbone (fonte ou acier). En 
effet, le carbone,

dont le rayon atomique vaut RC : 77 pm, doit s'insérer dans les sites 
octaédriques des mailles
cristallines de fer a ou de fer 7.

A;_A_l_ Sites octaédriques

A4*a. Dans la représentation de la maille de fer oc ci-dessous (figure 1), un 
site interstitiel a été
singularisé. De quel de type de site s'agit--il ? Est-il régulier ? (réponse à 
justifier)

Figure 1

A4*b. Quel serait le rayon maximal R... d'un atome qui s'insérerait dans ce 
site sans entraîner
de déformation de la structure cristalline ? Calculer RMC,.

A4*c. Où sont situés les sites octaédriques dans le fer y ? S'agit--il 
d'octaèdres réguliers ?

A4*d. Quel serait le rayon maximal R... d'un atome qui s'insérerait dans ce 
site sans déformer la
structure cristalline ? Calculer R....

A4*e. Que pouvez--vous en conclure sur la solubilité par insertion du carbone 
dans le fer solide ?

A--5 Insertion du carbone

Par hypothèse, lorsqu'un atome de carbone s'insère dans le cristal de fer, 
toutes les
mailles subissent la même expansion. L'insertion de carbone dans le fer a 
permet de former un

alliage appelé ferrite ; lorsque l'insertion s'0pere dans le fer y, l'aliiage 
obtenu est dénommé
austénite.

A5*a. Quelle valeur prend le paramètre de maille du fer oc lorsqu'un atome de 
carbone s'insère
dans un site octaédrique ? A quelle variation relative de volume cela 
conduit-il ?

A5*b. De même, que devient le paramètre de maille du fer y lorsqu'un atome de 
carbone
s'insère dans un site octaédrique ? Quelle est la variation relative de volume 
induite ?

A5*c. Quelles conclusions pouvez--vous en tirer quant à la formation de la 
ferrite et de
l'austénite ?

Un acier austénitique contient 1,33% de carbone en masse.

A5*d. Quel est le nombre moyen d'atomes de carbone qui ont été insérés par 
maille ?

A5*e. Calculer la masse volumique de cet acier. Que pensez--vous de ce résultat 
?

Tournez la page S.V.P.

4

B I PYROMETALLURGIE DES OXYDES DE FER

_B;_1 Diagramme d'Ellingham

B1*a. En quoi consiste l'approximation d'Ellingham ?

B1*b. Quelle est la contrainte imposée aux réactions représentées sur un même 
diagramme
d'Ellingham ?

Chaque droite d'El/ingham scinde le diagramme en deux parties distinctes et 
représente
une réaction de passage d'une forme réduite d'un corps a une forme oxydée de ce 
corps parla
consommation d'une mole de dioxygêne.

B1*c. Que représente chacun des domaines ainsi délimités ? Lequel est relatif à 
la forme
réduite ? à la forme oxydée ? (illustrer à l'aide d'un schéma)

_B_--_--_2_ Diagramme du fer

BZ*a. Quels sont les degrés d'oxydation du fer dans les trois oxydes FeO, Fe304 
et Fe203 ?

BZ*b. Montrer que l'oxyde magnétique Fe304 est un mélange équimolaire des deux 
autres
oxydes.

BZ*c. Comment devraient être a priori disposés les domaines de stabilité des 
différents oxydes
et du fer dans le diagramme ?

BZ*d. Ecrire les trois réactions d'Ellingham correspondant aux trois frontières 
ainsi définies a
priori (il faudra tenir compte du B1*b).

Sur le diagramme fourni en annexe (à compléter puis à rendre avec la copie), 
les trois
droites d'E/Iingham correspondantes ont été pré--tracées ; leurs équations 
respectives en fonction
dela température sont :

A,G,°(T) == --- 518, 7 + 0, 125. T (k./.mofl),
A,Gg°(T) : -- 624,1 + 0,250. T (kJ.mofl),
A,G3°(T) =..-- - 500,0 + 0,281. T (kJ.mof').

Il est précisé que la disposition déterminée au BZ*c n'est valable que pour des
températures supérieures à la température TE, pour laquelle les trois phases 
solides Fe, FeO et

Fe304 sont en équilibre.

BZ*e. Associer les enthalpies libres de réactions A,Gf(T), Aer°(T) et ArGg°(T) 
aux trois
réactions du BZ*d.

BZ*f. Déterminer la valeur de la température TE.

BZ*g. Indiquer clairement sur le document-réponse le domaine de stabilité de 
Fe0.

BZ*h. Que se passe--HI pour des températures inférieures à T.; ? Quelle est 
alors la seule
réaction d'oxydation du fer qui prévaut ?

BZ*i. Calculer l'enthalpie libre de réaction A,G4°(T) de cette réaction et 
tracer la droite (4)
correspondante sur le diagramme.

_B_--_--_3_ Exploitation du diagramme

B3*a. Quel est le seul oxyde stable à la pression standard ?

B3*b. Pourquoi les gisements d'oxyde magnétique existent--ils cependant ?

5

La combustion du carbone dans l'oxygène peut donner du monoxyde de carbone CO

selon la réaction : 2 CM + Og(g) : 2 CO(g) , pour laquelle l'enthalpie libre 
standard de
réaction s'écrit, en fonction de la température et dans le cadre de 
l'approximation d'El/ingham,

comme suit : A,G5°(T) : -- 221 - o, 125. T (kJ.mo/").

B3*c. Tracer la droite relative à cet équilibre sur le diagramme précédent.

83*d. Au-dessus de quelle température le carbone réduit--|| tous les oxydes de 
fer '?

En sortie du haut--fourneau, I'al/iage obtenu est une fonte (pourcentage 
massique en
carbone > 2 %) qui peut être convertie en acier (pourcentage de carbone en 
masse < 1,5 %) en
la soumettant à un jet d'oxygène puissant qui transforme le carbone en COQ.

DEUXIEME PARTIE

CHAUFFAGE ET TRAITEMENT THERMIQUE D'UNE PLAQUE

L'austénite 7 est a priori stable pour des températures élevées (supérieures à 
910 °C).

Cependant, l'ajout d'éléments d'alliage modifie la plage de stabilité de 
l'austénite y. Certains
éléments (manganèse, nickel, azote par exemple) augmentent cette plage de 
stabilité et sont
dits « gammagènes ». Avec un dosage suffisant, ils permettent, après chauffage 
à 1100 °C suivi
d'une trempe rapide, d'obtenir de l'austénite à température ambiante, et l'état 
métastable ;
l'a/liege austénitique présente alors une résistance mécanique aux contraintes 
extérieures bien

supérieure a celle dela ferrite.

AI INDUCTION DANS UN CONDUCTEUR

Un milieu conducteur de conductivité 0' = 6.106 S.m"' s'étend dans le 
demi--espace

z > 0. À l'extérieur du conducteur, règne un champ magnétique variable Ë = 80 
cos(wt)ûy,
comme le montre la figure 2.

Données numériques : vitesse de la lumière dans le vide c = 3.108 ms",
perméabilité magnétique du vide ,u0 : 47r.10"7 H.m"',
1
permittivité absolue du vide 80 = 2 .
fl00

A--_--_1 Propriétés des champs dans le conducteur

A1 *a. Montrer que dans le conducteur, toute charge volumique p décroît 
exponentiellement vers
zéro, en fonction du temps. Evaluer numériquement le temps caractéristique de 
cette

évolution.

A1*b. Justifier que le courant de déplacement est négligeable devant le courant 
de conduction si
la fréquence du champ utilisée est inférieure au MHz.

Dans la suite du problème, il conviendra de prendre ,a = 0 dans le conducteur 
et de

ôË
négligerle terme en ---------

ôt

A1*c .Ecrire les équations de Maxwell dans le milieu conducteur avec ces 
hypothèses, en y
faisant uniquement apparaitre la densité de courant ] et le champ magnétique Ë.

En notation complexe, une solution de ces équations pour Ê peut s'écrire sous 
la forme :
_Ë_(z,t) == bo exp[i (cat --- _lg_z)] ûy , où _l_<_ peut être complexe.

Tournez la page S.V.P.

6

A1*d. Déterminer la forme que doit alors prendre la densité de courant î(z,t) 
en utilisant
l'équation de Maxwell-Ampère.

A1*e. Etablir, grâce à l'équation de Maxwell--Faraday, la relation suivante : 
_l_<_2 : -----i uOooe.

A--2 Cas du conducteur infini

_

Le conducteur occupe tout le demi--espace z > 0 (figure 2).

_ uoooe
1----- .
( |) 2

A2*a. Montrer que, nécessairement, k =

_

A2*b. En écrivant les conditions de passage en 2 = 0 , vérifier que b0 : BO.

. . , ---- ----.-- / 2
A2*c. Etablir les expressuons reelles de _B__(z,t) et de j(Z,t), en posant 6 == 
.
"' uoooe

(conducteur)

BO cos cut

(extérieur)

Figure 2

A2*d. Comment s'appelle la zone du conducteur où le champ est notablement 
différent de
zéro ? Quel nom donne-t--on à la grandeur ô ; préciser son unité.

A2*e. Calculer 6 pour le conducteur considéré, pour les fréquences f1 = 100 Hz 
et \"2 = 125 kHz.

A2*f. Déterminer la puissance volumique @, cédée par le champ électromagnétique 
au
conducteur ; préciser sa valeur moyenne.

A2*g. Exprimer la puissance moyenne {®} cédée par le champ électromagnétique au

conducteur dans tout le volume d'un cylindre d'axe parallèle a 02, de longueur 
infinie et
de section S, découpé dans le conducteur.

A2*h. En déduire la puissance thermique (Do reçue par le conducteur par unité 
de surface
extérieure.

A2*i. Calculer (D0 pour la fréquence f2 ==125 kHz et pour un champ magnétique 
extérieur
d'amplitude B() = 0,5 T.

7

A--3 Courant surfacigue équivalent (conducteur semi--infini)

A3*a. Quel est le courant élémentaire dl qui traverse un rectangle élémentaire 
(voir figure 3),

parallèle au plan yOz, de côtés dy et dz, orienté selon üx '? (utiliser la 
notation complexe)

A3*b. Montrer que le courant total _t_qui traverse un ruban de largeur Ay : EUR 
et s'étendant sur

EUR B .
toute la profondeur du conducteur peut s'écrire sous la forme : I = ° e""'.
_ P«o
üx
(conducteur)
_1_
ÊO cos ont

--
--
--
--
--
--
--
--
--
-- .
--
--

À la limite où la zone de conducteur perméable au champ est d'épaisseur nul/e,
considérons que ce conducteur est parcouru en surface par un courant ] : jsO 
e'"' üx et que le

---S
champ est nul en tout point intérieur au conducteur.

A3*c. Comment s'appelle un tel conducteur '? Quelle hypothèse doit-on faire 
pour aboutir à un
tel modèle ?

A3*d. Quelle valeur doit être affectée à pour obtenir le courant _I_ du A3*b ?

.iso

A3*e. Retrouver cette valeur en utilisant les relations de passage.

A3*f. Exprimer la puissance (Do du A2*h en fonction de iso.

A;fl_ Plague conductrice d'épaisseur finie

Le conducteur est maintenant compris entre les deux plans 2 = 0 et z : 2a. Il 
est
d'extension infinie dans les directions Ox et Oy. A l'extérieur, de part et 
d'autre de la plaque, le

champ magnétique s'écrit toujours É : BO cos(wt) Üy .

Rappelons les formules de trigonométrie hyperbolique :

sh(u)+sh(v) =2 sh(u+v) ch(ugv)

2
sh(u + v) : sh(u) ch(v) + sh(v) ch(u)
ch(u + v) : ch(u) ch(v) + sh(u) sh(v)
sh(2u) == 2 sh(u) ch(u)

Tournez la page S.V.P.

8

1__.
A4*a. Montrer que _l_<_ peut maintenant prendre les deux valeurs _lg_ : 
i---â---l- .

À quoi correspondent ces deux signes ?

Dans la suite du problème, adoptons pour notations : __lgo : --1--Ï--I-- et 
_l_<_ : i ik0.
5

A4*b. Préciser les nouvelles conditions aux limites.

A4*c. Exprimer le champ magnétique dans le conducteur et l'écrire sous la forme 
:

ioet Ch [KO (Z -- a)] --*
... u ,
ch [Koa] '

Ë(z,t) = 30 e

où la fonction ch (u) est définie de façon usuelle par ch (u) = %(e9 + e'--").

A4*d. En déduire l'expression du courant volumique l(z,t).

Envisageons maintenant une plaque conductrice de section 8, dont l'épaisseur 2a 
est
très petite devant 5, de sorte que |_l<_o a| << 1.

A4*e. Justifier qu'alors, en tout point de la plaque, LKO (z --- a)| << 1.

A4*f. Développer l'expression de î(z,t) au premier ordre non nul en 1/8, pour 
obtenir:

'BO (Z"'3) ioet-r _

A4*g. Déterminer la puissance moyenne cédée par le champ électromagnétique à la 
matière au
sein de cette portion de plaque.

LL
2
volumique sur tout le volume dela portion considérée)

-2

(Il est conseillé d'utiliser <] >= en notation complexe puis d'intégrer la 
puissance

A4*h. Montrer que cette puissance est équivalente à une puissance volumique de 
la forme :
Bâ m a2

?Ï'V-- "'--=;-
u0 36

A4*i. Calculer ? pour f1 =100 Hz et pour un champ magnétique extérieur 
d'amplitude

V

BO : 2,5 T, lorsque la largeur de la plaque d'acier est 2a : 3 mm.

B ! CHAUFFAGE D'UNE PLAQUE CONDUCTRICE PAR COURANTS DE FOUCAULT

Une plaque conductrice en acier d'épaisseur 2a (comprise entre les plans 2 = 0 
et
z : 2a ) est soumise pendant une durée déterminée à un champ magnétique 
variable. Les
courants qui se développent au sein de la plaque engendrent un échauffement par 
effet Jou/e
qui sera schématisé comme suit :

1) si la plaque est de faible épaisseur, elle s'échaufiera sous l'effet d'une 
puissance
calorifique uniformément répartie en son volume et dont l'expression a été 
donnée au

A4*h,

9

2) si la plaque est de grande épaisseur, seul l'échauffement de la paroi en z = 
0 sera pris en

compte et le conducteur sera considéré comme infini. Dans ce cas la chaleur est 
produite
au niveau de la surface, de part et d'autre de la plaque, la puissance 
thermique par unité
de surface s'écrivant :

© : Bâ (p 6

, ---- (cf. A2*hl.
Mo 4

B--1 Temps caractéristigues des échanges

Pour une plaque d'épaisseur 2a, chauffée en contact avec l'air extérieur, 
peuvent se
développer trois types d'échanges thermiques :

1) la diffusion qui obéit à l'équation de Fourier : pC%--È : À AT + OEV ,
2) le rayonnement (loi de Stefan) : CD = O'... T4 ,
3) les échanges conducto-convectifs (loi de Newton) (D = h (T,... --- Text) .

B1*a. Que représentent les grandeurs p, c, 7\... et J/JV dans la loi de Fourier 
?

B1*b. Que représente CD dans les lois de Stefan et Newton ? Dans quel sens les 
échanges
modélisés par ces lois s'effectuent-ils ?

L'étude est menée sur un solide de section extérieure S, d'épaisseur a et de 
température

T0. La durée caractéristique r à évaluer est le temps nécessaire pour faire 
varier la température
du solide sur un intervalle d'amplitude To, selon les différents modes 
d'échange thermique.

B1*c. Montrer que pour les lois de Fourier, Stefan et Newton, ces durées 
caractéristiques sont
données respectivement par :

2
C8 CG 08
=p " = p :r...=BÎ'

F S 3

À 36...T0
Pour cela, il faut imaginer que le solide de volume Sa, de température moyenne 
T0 est
plongé dans un milieu de température T,, - 5T avec lequel il échange de 
l'énergie selon
l'un ou l'autre des modes indiqués ci--dessus. En évaluant les transferts de 
puissance,

l'application de la loi de conservation de l'énergie selon les modalités 
indiquées ci--
dessous conduit aux expressions demandées.

"C

Loi de Fourier: Quelle durée r,, permet la diffusion de l'écart ôT de 
température sur la
distance a ?

Loi de Stéfan et de Newton: A quelle durée 1:S ou TN correspond une chute de

température de ST du corps sous l'effet du seul rayonnement ou des seuls 
échanges
conducto--convectifs ? (l'approximation ôT << T0 est supposée vérifiée)

Données pour l'acier, a la température To : 700 K :
a = 46 Wm".K' ; p = 7850 kg.m'3 ; c = 640 J.kg".K' ; h = 10 W.m'2.K1 ; a = 
6.106 $..."

Constante de Stefan : a... = 5,6 7. 10°"8 W.m"'°zK""

B1*d. Compléter les tableaux numériques suivants (les reporter sur la copie)

2a=3mm

Expérience n°1

"CF=??

Tournez la page S.V.P.

10

. . , B,=O,5T
Expef'en'f'e" 2 f2=1zskHz

B1*e. Quel est le type de transfert qui prédomine dans l'acier ?

B1*f. Pour tenir compte des deux autres types d'échange, il convient, pour 
simplifier le modèle
étudié, de prendre h = 30 W.m"2.K"1 et de ne plus tenir compte du rayonnement.
Pouvez--vous justifier ce choix ?

(cette valeur de h sera conservée par la suite)

B--2 Ex érience n°1 :* la ue mince (ô>>a)

La figure 4 schématise l'installation permettant le chauffage de la plaque 
d'acier,
d'épaisseur 2a, défilant à vitesse constante entre deux inducteurs fixes et 
parallèles àla plaque.

*<

inducteur

inducteur

Figure 4 déplacement

de la plaque

BZ*a. Exprimer la puissance thermique totale ÿ'T créée au sein de la plaque par 
l'inducteur en
fonction de î%, S et a. (la valeur de @ a été calculée au A4*i)

Compte tenu de la valeur de TF, il est possible de supposer qu'à chaque instant 
la
température est uniforme au sein de la plaque. La plaque glisse entre les 
inducteurs qui
provoquent son échauffement ; elle est environnée d'air à la température Ta 
uniforme et

constante.

BZ*b. Effectuer un bilan d'énergie sur un volume de largeur 2a et délimité par 
une section 8 de
la plaque, conduisant à la relation :

dT(t)
dt

=a '?/J -----h [T(t)----Ta].

pca

11

BZ*c. Poser 9(t)=T(t)--Ta et résoudre cette équation, la plaque étant 
initialement à la
température Ta.

BZ*d. Calculer l'élévation limite de température que peut provoquer ce procédé.

L'acier austénitique désiré n'apparaît qu'au--dessus d'une température de 910 
°C.

BZ*e. Au-dessous de quelle valeur la température ambiante ne doit-elle pas 
tomber ?

L'extérieur est maintenu à la température Ta = 700 °C.

BZ*f. Combien de temps doit--on exposer l'acier au champ magnétique pour 
s'assurer du
passage dans le domaine austénitique ?

_B_--;_3_ Expérience n°2 : plaque épaisse (8 << a)

Compte tenu des valeurs relatives des temps caractéristiques, tout effet 
thermique autre
que la diffusion sera négligé. La plaque sera considérée comme un conducteur 
thermique semi--

infini occupant tout le demi--espace 2 > 0 et recevant de l'extérieur un flux 
surfacique % constant
à travers sa paroi z = O.

L'extérieur est toujours constitué d'air à la température Ta qui est aussi la 
température
initiale dela plaque.

B3*e. Quelle est la grandeur qui, au sein du conducteur, indique la valeur de 
la densité de flux
thermique ? Quelle en est l'expression ?

B3*b. Ecrire l'équation vérifiée par 9(z,t) == T(z,t)----Ta dans le conducteur 
en faisant apparaître

la diffusivité thermique D = 33---- ; calculer la valeur de D.

pC

B$*c. Etablir la condition aux limites imposée par le flux en 2 = 0 .

La résolution de cette équation repose sur l'introduction successive des 
fonctions

suivantes :
2

go (u) = T:: exp(--u2),

91(U)=Î90(v)dv, avec g; (u) : ...gÛ (u) et g, (0) __:1

go (U)

et gz(u) : CJÎg1(v) dv : 2

(toutes ces fonctions décroissent exponentiellement quand u tend vers l'infini)

--ug,(u), avec gê(u)=--g,(u).

La solution de l'équation dela chaleur s'écrit dans les conditions de 
l'expérience :

6(zt)= T(zt) T --q0Jî9'i tg2(2j_D_

B3*d. Exprimer qo en fonction de CDD et ?» puis donner sa valeur numérique.

) où qo est une constante.

B3*e. Calculer 92 (O) et en déduire la température de surface de la plaque en 
fonction du temps
et de (Do. Vérifier que 9(z,0) : 0 à l'instant initial.

Tournez la page S.V.P.

12

BS*f. Evaluer la durée maximale d'exposition de la plaque au champ magnétique, 
sachant que

la température de l'air est Ta : 27 °C et que la plaque ne doit pas atteindre 
son point de
fusion (1536 °C).

Il faut provoquer une austènisation sur une épaisseur zo : 1,25 mm de la plaque.

u
20 , montrer que cet objectif est atteint lorsque 92( °)
2Jfii uo

valeur particulière à déterminer numériquement.

B3*g. En posant u() : prend une

La solution dela condition précédente est ua : 0,246.

B3*h. Quelle est la durée minimale de passage de la plaque entre les 
inducteurs. Ce résultat
est--il compatible avec la question BB*f ?

Les inducteurs créent un champ magnétique sur un domaine de longueur L = 3 m.

B3*i. Quelle doit être la vitesse de la plaque lors de son déplacement entre 
les inducteurs ?
Analyser ce résultat.

La plaque est ensuite soumise à un refroidissement rapide, soit en l'exposant à 
un
puissant jet d'air, soit en la baignant dans l'huile ou l'eau. La température 
chute en quelques
secondes et la rapidité du refroidissement en surface empêche la transition 
austènite ----> ferrite.
La cinétique de cette transition est bloquée à basse température, ce qui assure 
l'augmentation
dela dureté en surface dela plaque. Ce procédé constitue la « trempe » de 
l'acier.

FIN DE L'EPREUVE

DOC REPONSE 1 PAGE

23/01/08

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



E3A Physique et Chimie MP 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Pierre-Marie Billangeon (ESPCI), Stéphane Ravier (Professeur en CPGE)
et Mickaël Profeta (Professeur en CPGE).

Ce sujet traite de différents thèmes liés à l'élaboration de l'acier. Il 
comporte tout
d'abord un problème de chimie, séparé en deux parties.
· Dans un premier temps, on discute de la structure cristalline de l'acier, qui
est obtenu par insertion de carbone dans du fer. Après avoir étudié différentes
cristallisations du fer, on montre comment l'insertion de carbone modifie le
réseau. Seule la fin de cette partie s'éloigne un peu du cours et nécessite plus
de réflexion.
· L'essentiel de la seconde partie consiste à tracer le diagramme d'Ellingham du
fer, pour l'exploiter ensuite dans l'optique de la purification des oxydes de 
fer
par pyrométallurgie. L'ensemble est très proche du cours de thermochimie.
Le problème de physique traite du chauffage et du traitement thermique d'une
plaque d'acier.
· On commence par évaluer le champ électromagnétique dans un conducteur réel,
ainsi que la puissance dissipée par courants de Foucault. Cette partie 
d'électromagnétisme permet de revoir l'effet de peau. Elle est un peu 
calculatoire mais
reste abordable car l'énoncé est bien détaillé.
· Dans la dernière partie, on procède à l'étude thermique de la plaque dans le
but d'obtenir l'acier recherché. Cette partie est plus fine, en particulier on 
y fait
des raisonnements d'ordre de grandeur dans le but de rechercher les processus
thermiques dominants.
Le sujet est relativement long, souvent proche du cours sauf dans la dernière
partie. Il est bien équilibré entre physique et chimie. Pour réussir un tel 
sujet, il faut,
comme le souligne le rapport du jury, commencer par bien comprendre son cours :
beaucoup de questions en sont directement inspirées et permettent à elles seules
d'avoir une note honorable le jour de l'épreuve.

Indications
Partie I
A.2.a Utiliser le coefficient de dilatation isobare  défini par
=

1 V
V T

P

A.2.b Le volume massique v vérifie v = 1/. Utiliser la question A.1.e.
A.4.a La figure de l'énoncé montre que les sites sont octaédriques. Les arêtes 
de
l'octaèdre sont-elles de la même longueur ?
A.4.b Un atome s'insère au centre de la face d'un cube.
B.2.b Le nombre d'oxydation de l'espèce Fe3 O4 est fractionnaire. Que peut-on en
conclure ?
B.2.f Pour T = TE , r G1 (TE ) = r G2 (TE ).
B.2.g Étudier le signe de l'enthalpie libre de réaction et en déduire celui de 
l'affinité
chimique. Comment évolue une réaction d'affinité positive ?
B.3.b Représenter schématiquement les couches successives d'oxyde qui peuvent se
former au contact de l'air. Qu'en résulte-t-il en profondeur ?
Partie II

-

A.1.d Le rotationnel d'un champ magnétique B = By (z) -
ey s'écrit

A.1.e
A.2.a

A.2.b

A.2.f

By -
-
- 

ex
rot B = -
z
Utiliser l'équation de Maxwell-Faraday ainsi que la question A.1.d.
Écrire les deux solutions de l'équation de dispersion en séparant les parties
réelle et imaginaire du vecteur 
d'onde, sachant que les racines du nombre
complexe -i s'écrivent +
-(1 - i)/ 2. Comment évolue l'amplitude du champ
magnétique à l'infini pour chaque solution ?
La composante tangentielle du champ magnétique ne peut subir de discontinuité 
qu'en présence de distribution surfacique de courant. Ici, la distribution
est volumique.
La puissance volumique cédée par le champ aux charges mobiles du conducteur

-

s'écrit P = -
 · E . Attention, il faut utiliser les champs réels !
v

A.3.d Pour un ruban de section  parcouru par Zun courant surfacique de vecteur

-

-
densité de courant -
 s , le courant s'écrit I =
 s ·d  . Identifier le résultat
ruban

A.4.f
B.1.c

B.1.e
B.3.g

obtenu avec celui de la question A.3.b.
Développer le résultat de la question A.4.d en utilisant ch u  1 et sh u  u
pour |u|  1.
Le premier principe appliqué au système constitué par le conducteur subissant
un des trois transferts pendant une durée dt s'écrit dH/dt = P où P est la
puissance thermique reçue par le système. L'équation de la diffusion thermique
en résulte. Il y a une coquille dans l'énoncé : au dénominateur de S , on trouve
un facteur 4.
Le transfert dominant est celui qui est le plus rapide.
Diviser l'expression de la question B.3.a pour la température par z0 /2.

Traitement thermique d'une plaque d'acier
I. Chimie du fer et de l'acier
A.

Structure cristalline du fer et de l'acier

A.1.a Une maille élémentaire est le volume minimal permettant, par un pavage
périodique de l'espace, de reconstruire le cristal. Elle est déterminée par 
trois vecteurs
non colinéaires. Ces vecteurs sont décrits par six paramètres, les normes des 
vecteurs
notés a, b, c et les angles entre eux ,  et .
A.1.b La maille conventionnelle du fer  est le cube
d'arête a représenté sur la figure ci-contre.
La maille élémentaire du fer  est un parallé
-

lépipède obtenu à partir des vecteurs -
a, b

et -
c sur la figure.

-

-
c
b

a

-

a

A.1.c L'atome central n'appartient qu'à la maille conventionnelle. En revanche,
les atomes situés aux sommets du cube appartiennent à huit mailles contiguës.
En conséquence, la maille possède n atomes avec
8
n=1+ =2
atomes par maille
8
A.1.d La compacité est le rapport du volume occupé par les atomes de la maille
sur celui de la maille. Elle quantifie le taux d'occupation.
Pour la structure cubique centrée, dans le modèle 
3 a
des sphères dures indéformables, deux atomes sont
tangents suivant la diagonale du cube. Le rayon de
chaque atome de fer vérifie alors

4 R = 3 a
Le volume de la maille est donné par
V ma = a 3

a

R

Le volume occupé par les deux atomes de la maille est

4
3
3
V oc = 2 ×  R =
 a 3
3
8
La compacité de la structure cubique centrée s'écrit alors
V oc
C cc =
V ma

3
C cc =
 = 0,68
8
La structure cubique centrée est dite pseudo-compacte.
Le rapport du jury précise qu'« aucun résultat sans calcul n'a été admis.
Les compacités directement issues des calculatrices n'ont donné lieu à aucun
point. » Dans une copie de concours, on n'évalue pas la capacité à restituer
des formules, mais celle à poser un raisonnement.

A.1.e La masse volumique du fer  s'écrit
 =

mma
2 m(Fe)
=
V ma
a 3

Or m(Fe) = M(Fe)/NA . Le paramètre de maille a vérifie alors
a =

2 M(Fe)
N A 

= 287 pm

A.1.f D'après la question A.1.d, calculons le rayon d'un atome de fer

3
R =
a = 124 pm
4
A.2.a L'étude est menée à pression constante. Le coefficient thermoélastique à
prendre en compte est donc le coefficient de dilatation isobare . Par définition
=

soit, en valeur moyenne,

On conclut

1 V
V T

P

1 V
Vmoy T

v()910 - v()20
2
 4,3.10-5 K-1
v()910 + v()20
T

La variation du volume avec la température étant linéaire, on vérifie
V
V
=
T
T

P

A.2.b Exprimons la relation existant entre le volume massique et le paramètre de
maille. Sachant que v = 1/, on trouve, d'après la question A.1.e,
a =

2 M(Fe) v
NA

=

287 pm
290 pm

pour
pour

T = 20 C
T = 910 C

A.2.c D'après la question A.1.f, pour T = 910 C, le rayon de l'atome de fer est
R()910

3
=
a()910 = 126 pm
4

On comprend alors le choix de la valeur moyenne du rayon du fer  utilisée
dans la suite du problème (R = 125 pm).