Centrale Physique et Chimie 2 MP 2015

Thème de l'épreuve Contrôle non destructif et alliage. Intégrité et structure d'alliages d'aluminium en aéronautique.
Principaux outils utilisés électromagnétisme, électrocinétique, oxydoréduction, cristallographie, solutions aqueuses, courbes courant-potentiel, diagrammes E-pH
Mots clefs courant de Foucault, bobine, impédance, détection synchrone, convertisseur courant-tension, ALI, filtre, alliage 2024, alliage aluminium-cuivre, corrosion, passivation de l'aluminium

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


î. '» Physique--Chimie 2 LD

%, FI
_/ MPQ

cunnnuns EENTHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

L'aluminium tient une place de choix dans la fabrication des pièces métalliques 
des avions en particulier sous
forme d'alliage. Dans les avions récents comme l'A380, les alliages d'aluminium 
représentent 75% de la masse
de l'avion vide. La sensibilité de ces alliages a la corrosion justifie le 
nombre élevé d'études récentes dans les
laboratoires de recherche, publics et privés.

Ce problème s'intéresse d'une part à une méthode physique non destructive 
permettant de détecter des crevasses
a l'intérieur d'une structure métallique et d'autre part, à l'alliage « 2024 >> 
aluminium--cuivre utilisé dans la
fabrication des avions.

I Contrôle non destructif (GND) par courants de Foucault

Le but des essais non destructifs est de déceler dans une pièce métallique, et 
en respectant son intégrité, toute
particularité de sa structure. On souhaite ici contrôler la qualité d'une 
plaque d'aluminium, de faible épaisseur
par rapport à ses autres dimensions, en utilisant une technique de contrôle non 
destructif par courants de
Foucault.

Le dispositif utilisé comprend :

-- une bobine alimentée par un générateur de tension sinusoïdale de fréquence f 
. Cette bobine est déplacée à
la surface de la plaque à tester, sans contact électrique ;

-- un système de mesure d'impédance par détection synchrone afin de mesurer en 
direct l'impédance de la
bobine. En effet, la bobine joue a la fois le rôle d'émetteur et de récepteur: 
lorsque l'opérateur passe la
bobine au dessus d'un défaut interne à la plaque, son impédance interne est 
légèrement modifiée.

La figure 1 présente le système de détection, le dispositif de mesure 
d'impédance n'est pas représenté.

i(t) : io cos (wifi)

J

V V
A

Bobine

(%

ill!

l!lÏlÏlllÏlÏll

:
-
l\l\lllllllllllll

l

""'

courants de Foucault

Figure 1 Principe du CND

Données :
fréquence du générateur f = 50 Hz
épaisseur de la plaque (1 = 3,0 mm
longueur de la bobine lb = 12 cm
nombre de spire de la bobine N = 1,0 >< 103
rayon moyen du bobinage Rb : 2,5 cm
masse molaire de l'aluminium M = 27 g--mol"1
masse volumique de l'aluminium # = 2,7 >< 103 kg--m"3
conductivité électrique de l'aluminium 70 = 3,8 >< 107 S--m"1
perméabilité magnétique du vide ,u0 : 47r >< 10"7 H--m"1

2015-03--16 15:47:54 Page 1/14 [_

-->

LA -- Expression approchée du champ magnétique B créé par la bobine eæcitatm'ce 
dans la
plaque

À l'aide d'un logiciel de simulation, on visualise les cartes du champ 
magnétique Ë créé par la bobine dans
différentes situations et ce afin d'établir son expression approchée.

Les figures 3, 4 et 5 représentent les cartes du champ créé par la bobine ainsi 
que les profils axiaux et radiaux
de ce champ dans trois cas, avec une même amplitude de courant io :

-- la bobine seule pour f = 50 Hz (carte 1) ;

-- la bobine en présence de la plaque pour f = 50 Hz (carte 2) ;

-- la bobine en présence de la plaque pour f = 200 Hz (carte 3).

Le profil axial représente l'amplitude du champ magnétique H en un point M 
appartenant à l'axe (Oz) en
fonction de sa coordonnée z, l'origine de cet axe étant choisie au centre de la 
bobine (voir figure 2). Le profil
radial représente l'amplitude du champ magnétique H en un point M appartenant 
au plan 2 = 1 b / 2 en fonction
de son abscisse ac, sur l'axe (M, EUR,), l'origine de cet axe étant choisie sur 
un des côtés de la bobine (voir figure 2).

Bobine Bobine
lb
: @, plan 2 = %
0 %
' '
Z Z
Figure 2 Conventions pour les profils axial et radial
I.A.1) Justifier que le champ créé en un point M de l'espace est de la forme
Ê(M) = B,(r, z, t)ê, + Bz(r, z, t)êz
: 1.m3æoaz:>1.oeoemz '
:. 9.880e--003 : 1.043e-002
5'î 9.331e003 : 9.880e--003
& » 8.782e--003 : 9.331e--003
{' ._ 8.733e--003 : s.7azæoo3
, 7.684e--003 : eau--003
{ 7.13æooa : 7....3
| 6.587e003 : 7.13oe003
! e.oaæooa : emma
} 5.489e--003 : mom--003
| 4.940e--003 : 5.489e003
|_ 4.391e003 : 4.940e--003
| 3.a42e--ooa : 4.391e--003
! 3.294e--003 : 3.a4u--oaa
' 2.745e--003 : 3.294e--003
} 2.196e--003 : 2.745e--003
:; 1.647e--003 : 2.196e--003
. 1.09oe003 : 1.647e--003
5.493e--004 : 1.osaæoo3
<4.102e--007 : 5.493e--004
Density Piot: |a|,rætæ
IB | (T) \ -
0,011 0,011
0,010
0,010 0,009
0,009 ? 0,008
: 0,007
0,008 £ 0,006
0,005
0,007 0,004
0,006 | | | | | > 0,003 | | | | | | | >
0 1 2 3 4 0 1 2 3 5 6 7
95 (cm) Z (cm)

Figure 3 Première simulation

2015--03-16 15:47:54 Page 2/14 [°°

3....3 : >3.407&003
3.066e--003 : 3.736e--003
2.8W3 : 3.0669--003
2.725e--003 : 2.896e--003
2.555e--003 : 2.725e--003
2.385e--003 : 2.555e--003
L214&003 : 2.385e--003
2.044e--003 : 2.214e--003
1.874e--003 : 2.044e--003
1.703e--003 : 1.874e--003
1.533e--003 : 1.703e--003
1.363e--003 : 1.533e--003
1.1929003 : 1.363e--003
1.022e--003 : 1.192e--003
8.517e--004 : 1.022e-003
6.814e--004 : 8.517e--004
5.11... : 6.814e--004
3.407e--004 : 5.11...
1.704e--004 : 3.407e--004
<6.338e--008 : 1.704e-004

lBl (T) ' Density Hot: lBl,Tæla

0,0030

0,0025

0,0020

0,0015

0,0010

0,0005

0 I | >
6 7
: >5.917e--003
5.326e--003 : 5.622e--003
5.030e--003 : same--003
4.734e--003 : 5.030e--003
4.4382--003 : 4.734e--003
4.142e--003 : 4.4M3
3.8462--003 : 4.1422--003
3.551m3 : anse--003
3.255e--003 : 3.551e--003
2.959m3 : 3.255e--003
2.663e--003 : 2.959e--003
2.367e--003 : 2.663e--003
2.071e003 : 2.367e--003
1.7762--003 : 2.071e--003
1.480e003 : 1.776e003
1.1842--003 : 1.4809-003
a.aalæoo4: 1.184e--003
5.973e--004:8.881e--004
_ » ' » 2.965e--004 : 5.923e--004
<6.225e--007 : 2.965e--004
IBl (T) Densitbet: |Bl,Teda
0,006 0,006
0,005 0,005
?
0,004 : 0,004
È
0,003 0,003
0,002 0,002
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6
95 (cm) 2 (cm)

Figure 5 Troisième simulation

I.A.2) Affecter chaque simulation a chaque carte.

I.A.3) On s'intéresse au champ magnétique créé dans la partie de la plaque 
directement au contact avec la
bobine (zone (A) sur la figure 1). Dans une première approximation, on suppose 
que le champ dans cette zone
est de la forme B(M ) = B0 cos(wt)êz où B() est l'amplitude du champ magnétique 
supposée uniforme.

a) En vous aidant des profils de la carte 2, proposer une valeur numérique pour 
Bo-

b ) En considérant que le champ au centre O de la bobine peut être assimilé au 
champ créé par un solénoïde
infini et en vous aidant de la carte 2, justifier que BO peut s'écrire

N.
BO = a"° '" (1.1)

où oz est un coefficient dont on précisera la valeur numérique.

2015--03--16 15:47:54 Page 3/14

I.B -- Courants de Foucault

On se place toujours dans l'hypothèse où le champ magnétique dans la zone (A) 
est de la forme Ê : B0 cos(wt)êz.
Ce champ magnétique étant variable, il apparait dans la plaque, un champ 
électrique E orthoradial, lui--même
a l'origine de courants induits.

I.B.1) À l'aide de la forme intégrale de l'équation de Maxwell--Faraday, 
déterminer dans la zone (A) l'expres-
sion du champ électrique Ê induit par les variations temporelles de Ë.

I.B.2) Établir que l'expression du vecteur densité volumique de courant _? est 
donnée par la relation j =
700030

rsin(wt)êe où êe est le vecteur unitaire orthoradial des coordonnées 
cylindriques.

I.C -- Modification de l'impédance de la bobine excitatrice

L'impédance de la bobine en l'absence de la plaque est z = R + jLw. En présence 
de la plaque, cette impédance
est modifiée. Le but de cette sous-partie est de déterminer cette nouvelle 
impédance.

On modélise les variations de l'impédance Z de la bobine en présence de la 
plaque de la manière suivante
1
Z = (R + (SR) +jw(L -- (SL) où 6R(i2) : (PJ) et 56L(i2) : (E...)

avec
-- P J la puissance dissipée par effet Joule par les courants de Foucault dans 
la plaque ;
-- Em l'énergie magnétique stockée dans la plaque ;

-- (X ) désignant la valeur moyenne temporelle de la grandeur X (t)

1.0.1) En exploitant soigneusement les annexes 1 et 2, déterminer les valeurs 
numériques de R et de L qui
caractérisent l'impédance de la bobine en l'absence de la plaque.

I.C.2) Justifier a l'aide d'un argument énergétique simple, que la partie 
réelle de l'impédance de la bobine
augmente.

I.C.3) Justifier, en utilisant les cartes données par les figures 3, 4 et 5, 
que la partie imaginaire de l'impédance

de la bobine diminue.

7rdRî70w2Bä
8

Déduire, en utilisant la relation (1.1), l'expression de ôR en fonction de a, 
N, d, R,,, 70, w et lb.

I.C.4) Montrer que P J : sin2 (cut).

I.C.5) L'énergie électromagnétique E... est due au champ magnétique Ë' créé par 
les courants de Foucault
dans la plaque. Pour simplËier, on suppose que ce champ Ë' est nul en dehors de 
la zone (A) et que dans la
zone (A) il est de la forme B' = B'(r, z, t)êz.

a) En utilisant la forme intégrale de l'équation de Maxwell--Ampère écrite dans 
le cadre de l'approximation des
régimes quasi-stationnaires, déterminer le champ magnétique Ë' créé dans la 
zone (A). On supposera ce champ
nul pour r : Rb.

b) En déduire l'expression de E....

c) Déduire, en utilisant la relation (1.1), l'expression de 5L en fonction de 
a, N, d, Rb, 70, w et lb

I.C.6) Déterminer un ordre de grandeur de (SR et 6L. Conclure.

I.C.7) Discuter des avantages et inconvénients a travailler à fréquence plus 
élevée.

I.D -- Mesure de l'impédance de la bobine

Pour mesurer en temps réel l'impédance interne de la bobine, on utilise un 
montage à détection synchrone dont
le schéma de principe est donné par la figure 6 et dans lequel la tension y1(t) 
est proportionnelle à la partie
réelle de £ alors que la tension y2(t) est proportionnelle à la partie 
imaginaire de Z .

>< Sl(t) Filtre passe--bas ï1>(t)

'-- e1£t) oc i(t)

Convertisseur
U - I

t
Filtre 1 >< SZ( ) Filtre passe--bas ï2>(t)
EUR1(t)

Figure 6 Mesure d'impédance par détection synchrone

2015-03-16 15:47:54 Page 4/14 [_

Les deux multiplieurs sont identiques et leur fonctionnement est précisé figure 
7.

EUR1(1Î)

_"-- >< s(t) = k >< 61(t) >< 62(1î)
62(t)

Figure 7 Fonctionnement d'un multiplieur

I.D.1) Convertisseur courant--tension

Le but du convertisseur courant--tension est de fournir des images de la 
tension aux bornes de l'impédance et du
courant la traversant. En vous aidant de l'annexe 2, montrer que le montage 
donné par la figure 8, dans lequel
l'ALI fonctionne en régime linéaire, répond bien au cahier des charges. Plus 
précisément identifier la tension
proportionnelle à i(t) et celle proportionnelle à u(t).

u(t)

i(b')

% &
Ro
_ ALI
Ve(t) V3(t)
/777/777

Figure 8 Convertisseur courant--tension

I.D.2) Filtre 1
Le diagramme de Bode du filtre 1 est donné par la figure 9. Comment nomme--t-on 
un tel filtre ?

@ GdB

î log (fi)) log (50)

>

Figure 9 Diagramme de Bode du filtre 1

I.D.3) Filtres passe--bas

Les filtres passe--bas sont identiques et ils ont les caractéristiques 
suivantes :
-- le gain à basse fréquence doit être égal à un ;

-- leur pulsation de coupure à --3 dB est wc ;

-- l'atténuation pour w1 : 5wc doit être de 80 dB.

Montrer que le filtre de fonction de transfert fi telle que

1

w 271
H (_)
wc

convient. Quelle valeur entière de n doit-on retenir pour satisfaire le cahier 
des charges du filtre ?

lïl =

I.D.4) Fonctionnement du montage complet

a ) Déterminer les expressions de el(t), 62 (t) et sl(t). Comment choisir wc 
pour que y1(t) soit proportionnelle à
Re (Z ) ? Cette condition étant vérifiée en déduire l'expression de y1 (t)

(J) Comment choisir wo et wc pour que la tension 312 (t) soit proportionnelle à 
Im (Z ) ? Ces conditions étant
vérifiées en déduire l'expression de 312 (t)

LE -- Évolution de Z en présence d'un défaut

La bobine est déplacée le long de la plaque suivant une trajectoire rectiligne. 
On note a: sa position. Afin de
détecter facilement la présence d'éventuels défauts, on observe Re(â) -- (R + 
(SR) et Im(â) -- (La; -- 5Lw) en
fonction de a:.

2015-03-16 15:47:54 Page 5/14 [_

La plaque présente une fissure superficielle rectiligne, de 0,8 mm de largeur 
et de 0,4 mm de profondeur, repré-
sentée sur la figure 10 et l'opérateur déplace la bobine en direction de la 
fissure.

@
U

Fissure
Déplacement

Figure 10 Déplacement de la bobine a la surface de la plaque (échelle non 
respectée)

La figure 11 présente un exemple de relevés ainsi que des tracés correspondant 
a une simulation pour une fissure
centrée en 95 = O.

40
EUR? 30 ' Courbe simulée de Im(â ) -- (La; -- 6Lw)
@ 4/// les points correspondent aux valeurs mesurées
"g 20
63
EUR 10
% ° "
% 0 =:...--... , , , '
.Ë --10
.Ë 20 \ Courbe simulée de Re(â) -- (R + (SR)
;'>'3 _ les croix correspondent aux valeurs mesurées
--30

--5 --4 --3 --2 --1 0 1 2 3 4 5
:c (mm)

Figure 11 Mesure et simulation des variations de Z

I.E.1) Commenter les relevés.

I.E.2) Comment seraient modifiés les relevés si la fissure était suivant l'axe 
(Ox) ?

II Étude de l'alliage 2024

II.A -- Structure

L'alliage 2024 contient essentiellement de l'aluminium et du cuivre à hauteur 
d'environ 4%. La structure micro-
scopique d'un tel alliage n'est pas homogène. L'alliage présente une phase 
majoritaire dite &, dans laquelle les
atomes de cuivre sont dispersés au sein d'une matrice d'aluminium. Entre les 
grains de phase &, on trouve une
seconde phase dite fl comme le montre la figure 12.

Figure 12 Structure microscopique d'un alliage 2024

II.A.1) Étude de la phase a

À partir des documents de l'annexe 3 et des données numériques figurant en 
annexe 4, préciser à quel type
d'alliage appartient la phase &. Les étapes du raisonnement ainsi que les 
calculs permettant d'aboutir à une
conclusion seront clairement explicités.

2015-03-16 15:47:54 Page 6/14 [_

II.A.2) Étude de la phase 5

La structure cristallographique de la phase 3 dépend des conditions
d'obtention de l'alliage. La maille donnée figure 13 a pu être mise en
évidence.

a) Déterminer la formule chimique de cette phase fl .
b ) Quelle est la coordinence d'un atome de cuivre dans cette structure ?

c) Déterminer la masse volumique de la phase [3 . La comparer a celle
de l'aluminium pur donnée dans la partie I.

II.B -- Analyse chimique de l'alliage

La composition chimique de l'alliage aluminium--cuivre peut être déter-
minée par titrage selon le protocole suivant.

II.B.1) Première phase : Séparation du cuivre et de l'alumi-
nium
Après avoir réduit l'alliage à l'état de poudre, une masse m = 1,0 g
est introduite dans un ballon de 250 mL. 100 mL d'une solution d'hy-
droxyde de sodium (Na+, HO_) à environ 8 mol-L'1 sont versés sur l'al-
liage. Quand le dégagement gazeux de dihydrogène tend à diminuer,
le contenu du ballon est porté à ébullition pendant 15 minutes. Après
refroidissement, le contenu du ballon est filtré. Les particules solides

restées sur le filtre sont rincées, puis placées dans un bécher de 200 mL.

(1 ) Pourquoi utilise--t-on l'alliage sous forme de poudre ?

Figure 13 Structure cristallographique
de la phase [3

Les diagrammes potentiel--pH des éléments aluminium et cuivre ont été tracés 
pour une concentration en espèces
dissoutes égale à 1,0><10_2 mol-L'1 sur chaque frontière (figures 14 et 15). 
Les frontières associées aux couples

de l'eau ont été ajoutées en traits plus fins.

1
0

5 A B
@ --1

C
--2
D

--3

10 11 12 13 14 15

Figure 14 Diagrammes potentiel-pH superposés de l'aluminium et de l'eau

b) Attribuer un domaine à chacune des espèces suivantes : Al(s), AlO2_(a

Al3+ et Al(OH)3 (S).

q)' (aq)

13+

c) Retrouver le pH d'apparition du solide Al(OH)3 (S) dans une solution 
contenant les ions A (aq) a la concen-

tration C = 1,0 >< 10"2 mol--L.

d) Déterminer la valeur théorique de la pente de la frontière séparant les 
domaines de stabilité des espèces

Cuäv et Cu2O(S).

e ) Au moyen des deux diagrammes potentiel-pH, justifier l'utilisation du 
traitement par la soude pour séparer

les éléments aluminium et cuivre. Ecrire l'équation de la (ou des) réaction(s) 
qui ont lieu au cours de cette

phase.

2015-03-16 15:47:54 Page 7/14

[cc--

1,5

1
2+
0 5 Cll(s)
EUR CU(OH) 2 (8)
m 0 U2O(s
--0,5
Cll(s)
--1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Figure 15 Diagrammes potentiel--pH superposés du cuivre et de l'eau

f ) Pourquoi est-il judicieux de travailler en milieu très basique plutôt que 
neutre ?
g ) Quel peut être l'intérêt de porter le mélange à ébullition quand le 
dégagement gazeux faiblit ?

II.B.2) Deuxième phase : Dissolution du cuivre

Le cuivre solide récupéré à l'issue de la première phase est totalement dissout 
au moyen de 10 mL d'une solution

d'acide nitrique concentrée H+ + NO_ . Un dégagement gazeux de monoxyde d'azote 
NO est observé.
(aq) 3 (aq)

Écrire l'équation (R1) de la réaction de dissolution du cuivre Cu(S) en 
présence d'acide nitrique.
II.B.3) Troisième phase : Dosage du cuivre dans l'alliage

Après addition d'une quantité excédentaire d'iodure de potassium (K+,I_), la 
solution prend une coloration
brune attribuable à la formation de diiode 12. Ce dernier est ensuite dosé par 
une solution aqueuse de thiosulfate
de sodium (2Na", S2Oâ_) a C = 5,0 >< 10--2mol--L_l. L'équivalence est détectée 
pour un volume versé V : 12,5mL.

Les équations des réactions supposées totales qui ont lieu pendant cette phase 
sont :

2---- _
2 Cll(aq) + 4 I(aq) _) 2 CU.I(S) + 12 (aq) (R2)
2-- 2_ _
2 8203 (aq) + 12 (aq) _) 8406 (aq) + 2 I(aq) (R3)

(1 ) Justifier, par un calcul, le caractère total de la réaction (R3).
b ) Déduire des résultats du dosage le pourcentage massique de cuivre dans 
l'alliage dosé.

c ) Serait-il utile de répéter une nouvelle fois ce dosage ? Si oui, pourquoi ?

II.C -- Modélisation de la corrosion

L'hétérogénéité de l'alliage 2024 entraîne l'existence de contacts entre des 
zones riches en aluminium et des zones
riches en cuivre. Ceci peut conduire à une corrosion localisée susceptible de 
créer des micro--cavités au sein de
la structure métallique de l'avion. Pour étudier ce phénomène, des chercheurs 
ont élaboré un matériau modèle,
représenté dans la figure 16, formé de deux cylindres concentriques l'un en 
aluminium et l'autre en cuivre.

cuivre pur (rayon 3,15 mm)

aluminium pur

Figure 16 Coupe du matériau binaire cuivre--aluminium

Après 24 heures d'immersion dans une solution aqueuse adaptée, ce matériau fait 
apparaître une micro-crevasse,
signe d'une dissolution locale de métal, et un dépôt de cuivre à la surface de 
l'aluminium (voir figure 17).

2015-03-16 15:47:54 Page 8/14 [_

Figure 17 État du matériau avant (A) et après (B) immersion pendant 24 h

L'objectif de cette sous-partie est de rendre compte d'un mécanisme probable 
pour ce phénomène. Le mécanisme
proposé par les chercheurs a été schématisé dans la figure 18.

Figure 18 Mécanisme de corrosion localisée de l'aluminium

II.C.1) État de surface des métaux
L'aluminium est susceptible de réagir avec le dioxygène de l'air selon la 
réaction d'équation (R5) :

3
2Al(s) + 5 02 (g) = A1203 (s) (R5)

L'aluminium solide Al(s) et l'alumine A1203 (S) sont non miscibles et forment 
des phases condensées pures.

a) À partir des données numériques figurant à la fin de l'énoncé, déterminer 
les valeurs, à 298 K, des grandeurs
thermodynamiques standard associées à l'équation de réaction (R5) : enthalpie 
standard de réaction, entropie
standard de réaction et enthalpie libre standard de réaction.

Associer un commentaire physique au signe de chacune de ces trois grandeurs.

b ) Montrer que la réaction (R5) se produit spontanément dans l'air ambiant. 
Conclure quant à l'état de la
surface de l'aluminium.

c ) La température et la pression ont--elles un effet sur l'avancement de cette 
transformation ? Si oui, indiquer
et justifier l'effet attendu.

On admet par analogie que la surface du cuivre est recouverte d'une couche 
d'oxyde de cuivre(I), Cu2O.
II.C.2) Corrosion galvanique

Les courbes courant--potentiel limitées aux portions mettant en jeu les espèces 
présentes dans le milieu (Cu(s),
Al(s), H2O(£) et 02 (aq)) ont été représentées figure 19.

Ces courbes permettent--elles de justifier la corrosion de l'aluminium ? Si 
oui, identifier le métal jouant le rôle
d'anode et celui jouant le rôle de cathode.

II.C.3) Dissolution de l'oxyde de cuivre(I)

On admet que la formation d'ions Al3+ dans la crevasse entraîne une 
acidification locale du milieu. Par ailleurs,
le caractère confiné de la zone empêche toute modération de l'acidification par 
la migration de bases issues de
l'extérieur de la cavité.

a) Écrire l'équation de la réaction d'oxydo--réduction mettant en jeu les 
couples Cu2+/Cu20 et 02 (aq)/H2O.

b ) En déduire que l'acidification locale du milieu rend favorable la formation 
des ions Cu2+.

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(sur Cu)

Figure 19 Courbes courant-potentiel

Figure 20 Courbes courant-potentiel

II.C.4) Redéposition du cuivre

Les portions de courbes courant-potentiel associées aux espèces présentes sont 
reproduites figure 20. Justifier le
dépôt de cuivre à la surface de l'aluminium.

II.C.5) Protection contre la corrosion

La couche d'alumine A1203 constitue une barrière naturelle contre la corrosion 
mais il est d'usage d'augmenter
son épaisseur au moyen d'une électrolyse pour en améliorer l'efficacité. La 
figure 21 reproduit la courbe courant
surfacique (I ) -- potentiel (E) acquise avec une électrode de travail en 
aluminium plongeant dans une solution
conductrice.

250
200
;
a 150
°?
<}
5 100 (a) (l )
\.

0
--0,5 --0,4 --0,3 --0,2 --0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
E _ Eref (V)
(Eref représente le potentiel d'une électrode de référence)

Figure 21 Courbes courant--potentiel avec une électrode de travail en aluminium

(1) Expliquer ce qui se produit a la surface de l'aluminium lors des phases (a) 
et (b). Proposer une explication
au fait que l'intensité reste très faible lors de la phase (c).

b) Lors de l'électrolyse, à quelle borne d'un générateur continu faut--il 
brancher la pièce en aluminium afin
d'augmenter le dépôt d'alumine Al203 ? Justifier au moyen d'un schéma 
électrique.

0) En fixant le potentiel de l'électrode d'aluminium a --0,25 V par rapport à 
l'électrode de référence, déterminer
l'ordre de grandeur de l'épaisseur de la couche d'alumine obtenue au bout d'une 
heure de fonctionnement.

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ANNEXES

Annexe 1 : Mesure de l'impédance de la bobine détectrice

Pour mesurer l'impédance de la bobine, on réalise le montage donné figure 22 où

-- la résistance R' vaut 500 Q ;

-- l'amplificateur linéaire intégré fonctionne en régime linéaire ;

-- le générateur basse fréquence est réglé en générateur de créneaux de 
fréquence f : 1/T : 1 kHz: pour
0 < t< T/2, e(t) =E=5,00V et pour T/2 < t EUR T, e(t) =0;

-- la tension Y1(t) est utilisée pour déclencher la carte d'acquisition. La 
fréquence d'échantillonnage étant
fe = 50 kHz et la durée d'acquisition est de 20 ms.

Y1
_,
Aoo
_ Y2
ALI ---->
|
R, L

Rg [] RI vs ,

0 î 100 200 300 400 500 t(us)

78, 4us
Figure 23 Chronogramme de Y2

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Annexe 2 : L'amplificateur opérationnel idéal en régime linéaire

L'amplificateur opérationnel (ALI), représenté figure 24, est un composant 
électronique permettant d'amplifier
la différence de potentiel entre les entrées V+ et V_.

i'Ë) Aoo

Figure 24 Représentation de PAU

Un ALI idéal est un ALI vérifiant les conditions suivantes :

1. les courants d'entrée @@ et i_ (t) sont nuls ;

2. lorsque l'ALI idéal fonctionne en régime linéaire, on a V+ (t) = V_ (t) et 
|Vs(t)l < Vsat % 12 V ;

3. lorsque l'ALI idéal fonctionne en régime non linéaire, on a : Vs(t) = 
--l--Vsat si V+(t V_ (t) et Vs(t) = --V

anoe< 1023 mol"1
Constante de Faraday F = 96,5 >< 103 C-mol'1
Constante des gaz parfaits R = 8,31 J --K"1--mol_1

Potentiels standard d'oæydoréduction

--1,66 0, 00(g --0, 44 O, 34 0,080 0,62 0,96 (1,23

Produit de solubilité de l'hydrooeyde d'aluminium(III) Al(OH)3

Al(0H)3 (S) = AIËÜ + 3 Ho(--aq) pKS = 32

Produit ionique de l'eau
Han> = HÎaq> + HOÎm) pKe : 14

Données thermodynamiques

Enthalpie standard de formation A fH ° (kJ -mol'1) 0 --1700 0
Entropie molaire standard S'y; (J -K'1-mol'l) 27 51 205

oooFlNooo

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique et Chimie 2 MP 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tom Morel (Professeur en CPGE) et Claire Besson
(Docteur en chimie) ; il a été relu par Étienne Thibierge (Professeur en CPGE),
Fabrice Maquère (Professeur agrégé), Vincent Freulon (Professeur en CPGE) et
Alexandre Hérault (Professeur en CPGE).

Ce sujet, composé de deux parties indépendantes, porte sur la détection de 
défauts
dans une structure métallique et sur un alliage aluminium-cuivre.
· La partie de physique est consacrée à l'étude du dispositif de contrôle non 
destructif par courants de Foucault. Tout d'abord, le sujet détermine 
l'expression
du champ magnétique au voisinage d'une plaque métallique à partir de relevés
numériques. Ensuite, on cherche l'expression des courants de Foucault dans la
plaque pour en déduire l'impédance du système couplé {bobine+plaque}. Enfin, on 
mesure cette impédance en utilisant un montage à détection synchrone.
Cette partie s'appuie essentiellement sur des notions d'électromagnétisme et
d'électrocinétique.
· La partie de chimie traite d'un alliage d'aluminium et de cuivre employé dans
la construction aéronautique. L'essentiel des questions concernent divers 
aspects des réactions rédox, incluant diagrammes potentiel-pH, courbes 
courantpotentiel et dosages rédox. Dans plus d'un cas, il est simplement demandé
d'équilibrer une réaction. Par ailleurs, deux questions traitent de 
cristallographie et une de thermochimie.
Pour l'essentiel, ce problème reste très proche du cours et sa structuration en 
de
nombreuses questions indépendantes rend aisé de glaner des points dans les 
sections
les plus faciles. Quelques questions demandent cependant de développer un 
raisonnement autonome, sans guidage par l'énoncé. C'est le cas par exemple de 
la question de
cristallographie ou de la toute dernière question, dans laquelle est étudiée de 
façon
quantitative une courbe courant-potentiel délicate car montrant une passivation 
de
l'électrode.

Indications
Partie I
I.A.3.b Le champ créé par un solénoïde infini parcouru par un courant 
d'intensité I
s'écrit B = µ0 n I avec n le nombre de spires par unité de longueur.

-

I.B.2 Dans un conducteur, la loi d'Ohm locale s'écrit -
 =  E.
0

I.C.1 L'ALI permet de ne pas prendre en compte la résistance interne du 
générateur car i+ = 0. Pour mesurer L et R, on pourra écrire la loi des mailles 
et
calculer la constante de temps et la valeur de la tension en régime permanent.
I.C.4 La puissance dissipée par effet Joule est donnée par
ZZZ

-

-
PJ =
 · E dV
I.C.5.a Écrire l'équation de Maxwell-Ampère sous forme intégrale sur un contour
rectangulaire de longueur h selon (Oz) et compris entre r et 2Rb - r avec
r < Rb .
I.D.4.a Déterminer l'expression de u(t) en passant par la représentation 
complexe,
puis celle de s(t). Montrer que s(t) s'écrit comme la somme d'un signal
continu et de deux signaux sinusoïdaux de pulsations 2.
I.D.4.b La tension e1 (t) doit être déphasée de
imaginaire.

+
- /2

pour pouvoir isoler la partie

Partie II
II.A.1 Déterminer la taille des sites interstitiels. Les plus grands sont les 
sites octaédriques.
II.B.1.d Utiliser la loi de Nernst appliquée au couple considéré.
II.C.1.b Quelle serait la pression partielle de dioxygène à l'équilibre ?
II.C.5.a La couche d'aluminium est infranchissable par les électrons et par les 
ions.
II.C.5.c Pour parvenir au résultat demandé, il faut d'abord calculer la 
quantité d'électrons échangée et en déduire la quantité d'alumine formée. 
Attention aux
unités !

I. Contrôle non destructif (CND)
par courants de Foucault
I.A.1 Le plan contenant M et l'axe (Oz) est plan d'antisymétrie de la 
distribution de
courant. Le champ magnétique en M est donc contenu dans ce plan. Par conséquent,
-

-

B = Br (r, , z, t) 
er + Bz (r, , z, t) -
ez
Le système est invariant par rotation autour de l'axe (Oz). La norme du champ
magnétique ne dépend donc pas de , ainsi
-

-

B = Br (r, z, t) 
er + Bz (r, z, t) -
ez
I.A.2 Les lignes de champ de la première simulation sont celles d'une bobine 
sans
couplage quelconque.
La première carte correspond à la première simulation.
En outre, plus la fréquence augmente, plus les effets inductifs sont importants.
Or, ces derniers diminuent la valeur du champ magnétique au centre du solénoïde.
Pour la troisième simulation, le champ magnétique est plus intense au centre que
dans la deuxième simulation. Ainsi
La deuxième carte correspond à la troisième simulation et la troisième carte 
correspond à la deuxième simulation.
I.A.3.a D'après les profils de la troisième simulation, le champ magnétique au
voisinage de la plaque en x = 2,5 cm (ou bien z = 6 cm) vaut
B0  3 · 10-3 T
I.A.3.b D'après l'allure des lignes de champ, le champ magnétique au centre de 
la
-

-

bobine Bs est bien colinéaire à B0 . Or, le champ magnétique créé au centre 
s'identifie
à celui d'un solénoïde infini, d'où
-
 µ0 N i 0 -

Bs =
ez
b
avec N/b le nombre de spires par unité de longueur. Lisons sur la figure 5 la 
valeur
du champ magnétique pris au centre de la bobine,
Bs  5,7 · 10-3 T
D'après l'énoncé,  est le rapport entre les normes B0 et Bs . Numériquement,
 = 0,5
Avec l'expression de B déterminée précédemment, on trouve
B0 = 

µ0 N i 0
b

I.B.1 Prenons un contour fermé C de rayon r dont le vecteur sur
face est orienté selon -
ez . Notons S(C) l'aire du disque s'appuyant sur C.
L'équation de Maxwell-Faraday s'écrit alors
I
ZZ
C

 -
-
 -
-

d
E · d = -
B · dS
dt
C
S(C)

r
-

ez

D'après l'énoncé, le champ électrique est orthoradial, c'est-à-dire que

-
-
E = E(r, t) 
e
I

 -
-
donc
E · d  = 2r E(r, t)
C

d
dt

et

ZZ

- 

-
d
B · d S = (B0 r2 cos t)
dt
= - B0 r2 sin t

L'équation de Maxwell-Faraday sous forme intégrale donne finalement
-

 B0 r

E =
sin t -
e
2
I.B.2 La plaque est un conducteur ohmique donc, d'après la loi d'Ohm,

- =  -

0 E
- = 0  B0 r sin t 

-
e
2

Ainsi,

I.C.1 D'après l'annexe 2, les courants entrant dans les bornes + et - sont nuls.
Ainsi, la tension aux bornes de la résistance Rg est nulle. Par conséquent, le 
potentiel V+ vaut e(t). L'amplificateur fonctionne ici en régime linéaire, d'où
V- = V+ = e(t)
Le courant dans la maille n'est pas nul puisque le
courant de sortie de l'amplificateur iS est non nul.
La loi des mailles donne
di
E = e(t) = (R + R )i + L
dt
Or, Vs = R i. Par conséquent,

i(t)

L

e(t)

R

R

Vs (t)

dVs
R + R
R
+
Vs (t) =
E
dt
L
L
Faisons apparaître une constante de temps  et la valeur Vslim en t  + tels que
=

L
R + R

et

Vslim =

R E
R + R

Les courbes en pointillés permettent de connaître la valeur du temps  à 63% et 
la
valeur asymptotique. Numériquement,

d'où

R = R

 = 78,4 µs
et
Vslim = 4,90 V

E
- 1 = 10,2  et L = (R + R )  = 40,0 mH
Vslim