Centrale Physique et Chimie MP 2014

Thème de l'épreuve Les LIDAR atmosphériques
Principaux outils utilisés électromagnétisme, thermodynamique, cristallographie, solutions aqueuses, statique des fluides, thermochimie
Mots clefs LIDARS, atmosphère, pluies acides, dipôle oscillant, moteur, essence, effet Doppler

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Physique--Chimie <'
F|

M P Q

4 heures Calculatrices autorisées N

Le LIDAR et la physico-chimie atmosphérique

Le 27 Septembre 2013 le GIEC (Groupe d'experts Intergouvernementa] sur 
l'Évolution du Climat) présentait son
nouveau rapport : la température moyenne sur Terre qui a déjà augmenté de 0,8 
°C depuis l'ère pré--industrielle
devrait continuer a s'accroître, de 1,1 a 6,4 C'C durant le siècle prochain. 
Les activités humaines semblent être
la principale cause de ce réchauffement climatique (certitude à 95%) et 
notamment la production humaine de
gaz a effet de serre, principalement le dioxyde de carbone. Le 17 Octobre 2013 
l'OMS (Organisation Mondiale
de la Santé) et le CIBC (Centre International de Recherche sur le Cancer) 
déclaraient l'air que nous respirions
cancérigène a cause des polluants (particules fines essentiellement) qui le 
composaient. Dans ces circonstances,
il apparaît essentiel de surveiller et de contrôler la qualité de notre 
atmosphère. Le LIDAR (Light Detection
And Ranging) atmosphérique répond parfaitement à ces attentes. En utilisant des 
sources laser il fournit en effet
des informations sur la composition et la concentration des différents 
constituants de l'atmosphère, et permet
également par effet Doppler de suivre le déplacement de nuages de particules.

Ce problème étudie le principe de fonctionnement du LIDAR atmosphérique et 
quelques propriétés de l'atmo-
sphère.

I LIDARS atmosphériques

Le principe de fonctionnement du lidar est proche de celui du radar. C'est un 
instrument de sondage atmosphé--
rique a distance, utilisant des ondes électromagnétiques dont la longueur 
d'onde se situe dans le domaine de
transparence de l'atmosphère, entre 0,3 um et 10 pm environ. L'émetteur est un 
laser à impulsions. Le rayonne--
ment émis interagit avec les particules et les molécules de l'atmosphère, dans 
la direction de la ligne de visée.
Une partie du rayonnement est renvoyée dans la direction de l'émetteur : elle 
est rétrodiffusée. Le lidar mesure
l'intensité rétrodiffusée au cours du temps pour la caractérisation des 
aérosols et des gaz. Certains lidars utilisent
l'effet Doppler et mesurent la fréquence du signal rétrodiffusé pour étudier la 
vitesse des vents par exemple.

I.A -- Équations simplifiées du lidar atmosphérique

Le laser, situé à l'altitude z : 0, émet un signal électromagnétique de 
puissance 970. La traversée de l'atmosphère
atténue la puissance du faisceau. A l'altitude z, celle-ci est ?(z). Une couche 
d'atmosphère située entre 2 et
2 + dz rayonne la puissance : d?my : a(z)?(z) dz. L'axe des 2 est orienté 
suivant la verticale ascendante et
a(z) est fonction de la nature et de la concentration des particules et 
molécules situées à l'altitude 2.

On supposera pour simplifier que la vitesse de propagation des ondes 
électromagnétiques est la même en tout

point, on la note 0.

I.A.1) a ) L'aire de la section droite du faisceau laser est notée S. La durée 
de l'impulsion laser est te- À
quelle date est reçue par le laser l'impulsion émise a la date to et diffusée 
par une molécule se situant à la
distance 2 '?

Le signal reçu à la date t a été diffusé par des molécules se trouvant dans un 
cylindre de volume S Az. Donner
l'expression puis la valeur numérique de Az sachant que le lidar émet des 
impulsions de durée tEUR : 7,0 ns.

b) Les impulsions sont émises à la fréquence Fg : 20 Hz. Ce lidar permet-il de 
sonder l'atmosphère jusqu'à une
altitude de 12 km ?

I.A.2) Établir l'équation différentielle vérifiée par la puissance ?(z). En 
déduire l'expression de ?(z) en

fonction de 970 et de l'intégrale / a(u) du.
0

I.A.3) Seule la puissance diffusée dans la direction du laser est utile. On 
note k la fraction de la puissance
diffusée qui retourne vers le laser. Le facteur k est un coefficient sans 
dimension dépendant uniquement de la
nature de l'interaction entre l'onde électromagnétique et la molécule. On note 
?rd(z) la puissance rétrodiffusée
par le volume S Az sondé par l'impulsion laser et situé à l'altitude 2.

Montrer que, si on note 6(z) : ka(z), ?rd(z) : %ctfi(z)?(z).

I.A.4) La lumière rétrodiffusée revient vers l'émetteur en traversant a nouveau 
l'atmosphère. Cette lumière
est reçue par un détecteur d'aire A, situé en z : 0. La puissance reçue par le 
détecteur est égale à

t A Z
ÿ(létecteur : Kÿ(0) %6(2) _ EURXp (2/ a(u) du)
0

22

où K est un facteur numérique sans dimension.
Commenter soigneusement l'expression de la puissance reçue par le détecteur.
Cette puissance reçue est très faible (de l'ordre de quelques nanowatts pour 
une cible située a 3 kilomètres), le

signal doit donc être amplifié. L'étude du signal permet de remonter a la 
fonction a(z) et donc a la composition
du volume d'atmosphère sondé.

I .B -- Dipôle rayonnant

Les molécules atmosphériques, excitées par l'onde électromagnétique du laser, de
pulsation ou, vont se comporter comme des dipôles oscillants, diffusant l'onde 
reçue.
Nous modéliserons, pour simplifier, la molécule comme un dipôle de moment Î9(t) 
: M
p(t)üoe situé en un point 0. Un point de l'espace est repéré par ses 
coordonnées @
sphériques d'origine 0 et d'axe 0513 (cf figure 1).
On pose p(t) : eÉ(t) : eÉO cos(wt). M

La longueur d'onde du laser est de l'ordre de quelques micromètres.

I.B.1) a ) Quelle est la relation entre la pulsation ou de l'onde et sa 
longueur y
d'onde À si on prend la relation de dispersion d'une OPPM dans le vide ? 90

b} Les échelles de longueur décrivant le système vérifient EO << À et E0 << 7". 
Figure 1

Préciser la signification physique de ces deux inégalités.

0} Définir la zone de rayonnement. Est--il légitime d'étudier le champ rayonné 
par la molécule dans cette zone ?
I.B.2) L'observation montre que le champ magnétique rayonné par le dipôle 
décroît en 1/7", qu'il est indépen--

dant de go, qu'il varie en sin9 et que sa norme est proportionnelle à 
l'accélération des charges donc a la dérivée
seconde de p, notée 19". On peut donc écrire :

_+ ' 6
B(M,t)=aäsm p" (t--Î)ü
7" (:

47T 90

où a est un coefficient qui s'exprime en fonction de constantes fondamentales.

a ) Justifier par un argument de symétrie que le champ magnétique en M est 
dirigé par üSÛ.
b) Quelle est la signification du terme t -- r/c dans l'expression de Ë ?

c) Justifier par une analyse dimensionnelle que l'expression a = 1/0 est 
cohérente.

d} Déterminer l'expression du champ électrique sachant que l'onde rayonnée a 
localement la structure d'une
onde plane progressive.

I.C -- Puissance rayonnée

I.C.1) a ) Établir l'expression du vecteur de Poynting ÎÎ de ce champ.

b) Établir que l'expression de la puissance moyenne rayonnée a travers la 
sphère de centre O et de rayon 7"
s'écrit

#0 4 2
50 = _
< "'> 127rcw %

c} Comment peut--on interpréter le fait que  ne dépend pas de 7" ?

I.C.2) La molécule est excitée par l'onde électromagnétique du laser. Le moment 
dipolaire résultant de cette
2

EUR _)
excitation s'écrit : Î9(t) : --2E(0, 15), où 6 est la charge élémentaire, m la 
masse de l'électron, wo une pulsation
w
0
caractéristique de la molécule traduisant l'interaction entre l'électron et le 
reste de la molécule et E(O,t) le
champ électrique émis par le laser au point 0 où se trouve la molécule.

Montrer que  peut se mettre sous la forme

<50m> : 050 (ï)4

000

où 50 est l'éclairement de l'onde excitatrice, défini comme la puissance 
moyenne reçue par une surface orthogo--
nale a la direction de propagation et 0 une grandeur que l'on exprimera en 
fonction de e, ,aO et m et dont on
donnera la dimension.

I.C.3) On s'intéresse maintenant a des molécules situées au voisinage de 
l'altitude z.

Exprimer alors la grandeur a(z) utilisée précédemment en fonction de a, des 
pulsations w et wo et de la densité
moléculaire n(z) à l'altitude z.

Le traitement du signal reçu par le détecteur permet de remonter à la fonction 
a(z) donc a la concentration en
molécules, comme les molécules d'eau, de diazote, de dioxyde de carbone...

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I.D -- Choioe de la source laser - Étude d'une source laser à solide : le 
saphir dopé titane : Ti :
saphir

Les progrès récents dans la réalisation de lasers a solides performants 
permettent dorénavant de les utiliser dans

les lidars.

I.D.1) Cristal ionique de Corindon

Les saphirs incolores sont constitués d'oxyde d'aluminium (AlpOg) cristallisant 
en « Corindon » : structure
hexagonale d'ions 02_ dans laquelle les ions Al°+ occupent le centre d'une 
partie des sites octaédriques. La
figure 2 présente la maille à base losange d'une structure hexagonale de type 
Corindon et la position des sites
octaédriques.

a ) À partir de la configuration électronique de l'atome d'aluminium dans son 
état fondamental, déduire quel

1q+

cation très stable A peut se former à partir de l'aluminium.

b) Compte tenu de l'électro--neutralité du cristal ionique déterminer la valeur 
de p.
c) Déterminer la proportion (en pourcentage) de sites octaédriques occupée dans 
la structure du Corindon.
d) Calculer la masse volumique d'un cristal de Corindon.

e ) Exprimer en fonction de a et c la plus courte distance, notée dA1_O, entre 
le centre d'un atome d'hydrogène
et d'un atome d'aluminium. En déduire dans le cas d'un contact anion--cation le 
rayon ionique de l'ion Al".

I.D.2) Source laser à solide Ti : saphir

Lorsque 0,1% a 1% des ions Al°+ sont substitués par des ions M Q+, les saphirs 
incolores peuvent devenir colorés.
Dans les lasers a solide saphir dopé titane 0,2% en masse, des ions aluminium 
sont remplacés par du titane. Le
saphir dopé titane absorbe alors dans le visible entre 450 et 550 nm et 
ré--émet entre 650 et 950 nm.

a ) Commenter l'évolution des rayons ioniques pour les différents cations du 
titane.

b) La substitution d'un cation métallique par un autre n'est possible que si la 
variation de rayon ionique n'excède
pas 15%. Commenter.

II Production anthropogénique de dioxyde de carbone

On appelle gaz a effet de serre les gaz présents dans l'atmosphère qui piègent 
une partie des radiations (no--
tamment infrarouges) émises par le sol vers l'espace et peuvent ainsi provoquer 
un réchauffement des couches
d'air proches de la terre. Les gaz a effet de serre « naturels >> sont 
primordiaux puisqu'ils permettent d'élever la
température moyenne sur Terre de --18 °C à 15 °C, permettant ainsi le 
développement de la vie. Mais depuis
l'ère industrielle des gaz a effet de serre anthropogéniques (créés par 
l'homme) sont également produits, en
quantité toujours plus importante, provoquant (source GIEC) un réchauffement 
climatique pouvant atteindre
jusqu'à 6 °C et une élévation du niveau des océans, par dilatation et fonte des 
glaciers, pouvant atteindre près
d'un mètre.

La production anthropogénique de dioxyde de carbone contribuerait à elle seule 
a plus de 50% a cet effet de serre
additionnel. Le transport routier contribue à plus de 25% a la production de 
dioxyde de carbone anthropogénique.
En effet la combustion de l'essence dans les moteurs à explosion des 
automobiles libère une quantité importante
de dioxyde de carbone. Le tableau 1 présente quelques données techniques sur un 
véhicule Renault Clio IV.

Cylindrée VmaX -- Vmin : 900 cm3
Puissance 90 chevaux au régime de 5250 tours par minute (1 cheval : 735 W)
Émission de C02 99 g-km"1

Consommation moyenne 4,3 L pour 100 km

Tableau 1 Renault Clio IV, modèle essence, version 0.9 energy zen eco2 99g

L'octane liquide C8H18... est un composant représentatif des constituants de 
l'essence.
On considérera dans la suite l'essence uniquement constituée d'octane.

L'essence alimente un moteur à combustion interne dont le fonctionnement peut 
être modélisé par un cycle de
Beau de Rochas. Les gaz seront supposés parfaits et l'air constitué de 20% de 
dioxygène et de 80% de diazote.
Le rapport y : c,,/c,, de l'air vaut y = 1,4.

À chaque tour de cycle, des volumes V1 d'air et VOCt d'octane liquide sont 
introduits dans un cylindre fermé par
un piston mobile. Le cylindre subit les transformations suivantes, supposées 
réversibles :

-- (a) --> (19) compression adiabatique ;

-- (0) --> (c) combustion isochore ;

-- (c) --> (d) détente adiabatique ;

-- (cl) --> (a) transformation isochore.

L'état initial (a) est caractérisé par : P1 = 1,0 bar, V1 : VmaX : 1000 cm3, T1 
: 300 K et VOCt : 9,2 >< 10_5 L.

II .A -- Représenter ce cycle dans un diagramme de Clapeyron (P, V).

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II .B -- En tenant compte des données techniques, calculer Vmin : V2 puis le 
coefficient 04 : V1/V2

II. C -- Exprimer la température T 2 et la pression P2 après la compression 
adiabatique réversible en fonction
de oz, de T1 ou Pl. En déduire les valeurs numériques de T2 et P2.

II.D -- État physique de l'octane pur

La réaction de combustion de l'octane a ensuite lieu, pour former de l'eau et 
du dioxyde de carbone gazeux.
Cette question et la suivante permettent de déterminer l'état physique de 
l'octane et de l'eau sous la pression
P2 et a la température T 2. On considérera dans cette question et la suivante 
que l'octane et l'eau sont des corps
purs.

On rappelle la formule de Clapeyron pour un équilibre liquide--vapeur où les 
indices m indiquent des grandeurs
molaires

dP _ AH£b
dT _ T(V --V

m,gaz m,liq)

II.D.1) Justifier que cette formule se simplifie en

dP _ AH£b
dT _ TV...,gaZ
II.D.2) En supposant le gaz parfait, exprimer le volume molaire Vm,gaz en 
fonction de la constante des gaz

parfaits R, de la pression P et de la température T.

II.D.3) En déduire l'expression de la pression de vapeur saturante P en 
fonction de R, de AHâÛ, de la pression
standard. P°, de T et de Téb, température d'ébullition sous pression P°.

II.D.4) Faire l'application numérique de la pression de vapeur saturante pour 
l'octane a la température T2.
Conclure sur l'état physique de l'octane pur dans les conditions (P2, T2).

ILE -- État physique de l'eau pure

La figure A du document réponse présente le diagramme d'état de l'eau.

II.E.1) Préciser les noms des états physiques associés aux domaines 1 a 4.

II.E.2) Préciser les noms donnés aux points A et C, et l'abscisse du point B.

II.E.3) Préciser l'état physique de l'eau pure dans les conditions (P2, T2).

II .F -- Écrire l'équation de la réaction de combustion de l'octane que l'on 
notera (l) (on équilibrera l'équation
de la réaction avec une molécule d'octane et on considérera l'eau et l'octane à 
l'état gazeux).

II. G -- Calculer l'enthalpie standard et l'entropie standard de la réaction de 
combustion (1). Ces grandeurs
seront supposées indépendantes de la température.

II .H -- En déduire la valeur de la constante d'équilibre a la température T2. 
Commenter.

II .I -- Quelles conditions de pression et de température favorisent la 
réaction de combustion d'un point du
vue thermodynamique ? On justifiera brièvement.

II.J -- Calculer pour un tour de cycle les quantités de matière initiales en 
réactifs et identifier le réactif
limitant.

II .K -- En considérant la réaction de combustion totale et la consommation 
moyenne de la voiture en essence,

calculer la masse moyenne m1 de CO2 émis par kilomètre. Commenter.

III Acidité des eaux de pluie

Le pH des eaux de pluie est généralement compris entre 4 et 5,5. Cette acidité 
est due aux constituants et

polluants de l'atmosphère. Une « sur-acidité >> des eaux de pluie peut avoir 
des conséquences dramatiques :

-- en décembre 1952 le smog londonien (brouillard très acide dû a des 
concentrations anormalement élevées de
dioxyde de soufre) provoqua une surmortalité de plus de 4000 personnes ;

-- dans les lacs de montagne l'acidification des eaux peut solubiliser les sels 
d'aluminium toxiques pour la faune
aquatique ;

-- l'acidité des pluies peut endommager certains monuments, en solubilisant 
notamment le carbonate de cal--
cium.

Cette partie propose de justifier cette acidité et d'étudier l'effet de 
quelques paramètres sur cette acidité. Dans

toute cette partie l'autoprotolyse de l'eau sera négligée.

On notera de façon indifférente H2EUROg(aq) ou C02(aq) et H2803(aq) ou 8020...)-

III.A -- Acidz'té due au diooeyde de carbone gazeuoe

Le dioxyde de carbone gazeux se solubilise dans l'eau (équilibre (3) dans le 
tableau de données en fin d'énoncé)
puis le dioxyde de carbone aqueux peut réagir avec l'eau pour libérer des ions 
hydronium (seule la première

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acidité sera considérée). L'acidité due au dioxyde de carbone gazeux peut donc 
s'interpréter a partir de l'équation
chimique (2) :

+ H30+ @)

C02(g) + 2H20(1) : HCOg(aq (aq)

)

III.A.1) Exprimer la constante K2 de l'équilibre (2) en fonction de K 3 et Ka1 
puis calculer sa valeur a 25 °C.

III.A.2) La pression partielle moyenne en CO2 au sommet du Mauna Loa à Hawaii 
est actuellement de 39,5 Pa.
En déduire, dans l'hypothèse où seul le dioxyde de carbone est responsable de 
l'acidité, le pH de l'eau de pluie
se formant au sommet du Mauna Loa. Commenter.

III.A.3) En 2100 la pression partielle de CO2 pourrait atteindre 50 Pa. Quelle 
variation de pH accompagnera
cette évolution de la concentration en CO2 dans l'atmosphère ? Commenter.

III.B -- Acidité due au diooeyde de soufre gazeuoe

De la même façon, le dioxyde de soufre gazeux se solubilise dans l'eau 
(équilibre (3') des données) puis le
dioxyde de soufre aqueux peut réagir avec l'eau pour libérer des ions hydronium 
(seule la première acidité sera
considérée). L'acidité due au dioxyde de soufre gazeux peut donc s'interpréter 
a partir de l'équation (2')

+ H30+ @)

(aq)

SOZ(g) + 2H20(1) : HSO£> Kg).

III.B.2) Calculer K2/ a 25 °C. En atmosphère «normalement » polluée la pression 
partielle en SO2 est de
2><10_9 bar. Calculer le pH de l'eau de pluie en supposant qu'il n'est dû qu'à 
la solubilisation du 802. Com--
menter.

III.B.3) On étudie dans cette question l'effet d'une hausse de température (due 
au réchauffement climatique)
sur ce pH.

a ) Rappeler la relation entre la dérivée de ln(K2,) par rapport a la 
température et l'enthalpie standard de la
réaction (2').

b) Exprimer la dérivée du pH par rapport a la température en fonction de 
l'enthalpie standard de la réaction
(2'), de la température et de la constante des gaz parfaits R.

c) Quelle variation de pH résulterait d'une augmentation de température de 5 °C 
à partir de 25 °C ? Commenter.

III.C -- Acidité due a la formation « d'acide sulfurique »

L'acidité des pluies acides est en fait en grande partie expliquée par 
l'oxydation dans l'eau des ions hydrogéno--
sulfites HSOg. Cette oxydation peut se faire notamment grâce a l'eau oxygénée 
H2O2 dont on considérera dans
cette partie que la concentration vaut 1 >< 10_9 mol-L'1 dans les eaux de 
pluie. La figure B du document réponse
donne le diagramme potentiel--pH de quelques espèces du soufre (SO2(aq) et ses 
bases associées et l'ion sulfate

soi--).

III.C.1) Attribuer a chaque espèce son domaine. Commenter les valeurs de pH 
correspondant aux segments
verticaux. Déduire du diagramme potentiel--pH le potentiel standard du couple 
SOîÎäq) /SO2(aq)-

III.C.2) Etablir l'équation de la droite E = f (pH) associée au couple H2O2(aq) 
/HZO. La tracer sur le diagramme

potentiel--pH partiel du soufre. En déduire l'équation bilan de la réaction 
d'oxydation se passant au sein des
nuages (à pH entre 4 et 5,5).

III.C.3) Expliquer pourquoi le pH est alors plus faible que celui calculé à la 
question III.B.2. Deux raisons sont
attendues.

IV Formation et suivi des nuages

Le lidar permet aussi de suivre la formation et le déplacement des nuages par 
effet Doppler, en étudiant l'onde
diffusée par les particules portées par le vent. La seule différence avec le 
lidar étudié dans la partie I est dans le
mode de détection. Au lieu d'une détection directe, on effectue une détection 
hétérodyne, dont le principe est
décrit en IV.B.2.

I V.A -- Stabilité de l'atmosphère
Dans un premier temps, nous allons étudier la stabilité de l'atmosphère et son 
rôle dans la forme des nuages.

L'échelle considérée permet de négliger la courbure de la Terre, on suppose 
donc que la surface de la Terre est
plane. On introduit une base de coordonnées cartésiennes (t,, üy, füz), dont 
l'axe des 2: est vertical ascendant.

Le champ de pesanteur ÿ : --güz est supposé uniforme.

Les différentes grandeurs physiques qui caractérisent l'air ne dépendent que de 
l'altitude z.

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L'air est assimilé a un gaz parfait de masse molaire M , constitué de 20% de 
dioxygène et de 80% de diazote.
IV.A.1) Équilibre de l'atmosphère isotherme
On suppose la température uniforme, égale a T0-

a} En étudiant l'équilibre d'un petit cylindre de surface de base 8 , d'axe 
(Oz), situé entre les plans de cote z
et 2 + dz, établir l'équation différentielle vérifiée par la pression P(z), en 
fonction de g, M , R et T(z).

b) Montrer que la pression varie en fonction de l'altitude selon la loi

Z

P(z) : P(O) exp (_Ê)

où H est à exprimer en fonction de M , Q, R et T0-
0) Quelle est la dimension de H ?
d) Calculer la masse molaire de l'air.

6) Calculer la valeur numérique de H pour une atmosphère a 0 0C. Commenter la 
valeur obtenue.

IV.A.2) Équilibre de l'atmosphère adiabatique
On envisage maintenant l'air en évolution adiabatique réversible.

&) Énoncer la loi de Laplace reliant la température et la pression pour un gaz 
parfait en évolution adiabatique
réversible pour lequel le rapport v : c,,/c,, est constant.

dT

b) On définit le gradient de température adiabatique réversible dans 
l'atmosphère par Pa : --d--. Montrer
que Z
-- 1 M
P.. _ 1__9
V R

c) Effectuer l'application numérique. Commenter.

d) En déduire la loi d'évolution de la température de l'atmosphère en fonction 
de l'altitude z.
EUR) En déduire l'expression de la pression en fonction de z.

f ) Ce modèle vous semble--t--il réaliste pour toute l'atmosphère ?

IV.A.3) Stabilité

0111 EUR 11 1EUR1' a S a 1 1 EUR EUR EUR 111 1 1EUR 011 SU. OSEUR 1113111 enan 
11EUR a 1HOSp EUR1'EUR EURS EUR11 equ1 1 1EUR 108 a 1q11EUR
P 't d' 1 t b'l't' d l"q '1'b , pp 't t q 17 t h' t ' 'l'b hyd t t'

mais a priori non isotherme. On définit, comme précédemment, le gradient de 
température T = --d--.
2:

0) Que vaut F pour un équilibre isotherme ? pour un équilibre adiabatique ?

On isole par la pensée un petit volume d'air que l'on appellera particule de 
fluide. On note Tp(z) sa température,
pp(z) sa masse volumique et 6Vp(z) son volume à l'altitude 2.
À l'altitude zo, il est a la même température T(zO) et sous la même pression 
P(z0) que l'air environnant.

À la suite d'une perturbation, la particule de fluide se trouve à l'altitude 
250 + ôz. L'évolution est suffisamment
rapide pour qu'elle puisse être supposée adiabatique réversible. La particule 
de fluide se retrouve donc à l'altitude
zo + 6.2: a la température T ,,(z0 + dz), différente de la température T (zo + 
ôz) de l'air environnant. En revanche,
sa pression est la même que celle de l'air environnant.

b} Justifier cette dernière hypothèse.

c} Montrer que la résultante des forces qui agissent sur la particule de fluide 
située à l'altitude 2: peut se mettre
sous la forme

? = 5Vp(Z) (MZ) -- pp(Z)) 9%.

où p(z) est la masse volumique de l'air environnant.

d) En déduire l'équation du mouvement de la particule de fluide, que l'on 
mettra sous la forme

d2 (dz)

dt2 +æôz=0

où FL est a exprimer en fonction de F(z0), Fa(z0), g et T(z0).
EUR) À quelle condition l'atmosphère est--elle stable ?
f ) Montrer qu'une atmosphère isotherme est stable.

g) Quelle est la forme des nuages dans une atmosphère stable ? dans une 
atmosphère instable ?

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IV.B -- Le LIDAR pour les mesures de vents
IV.B.1) Effet Doppler

Une onde électromagnétique plane, progressive, harmonique, polarisée 
rectilignement, est décrite par son champ
électrique

Ê(M,t) : E0 cos(27rft -- koe + go)üz : E0 cos (27rf (t -- £) + SO) @
(:

Cette onde se réfléchit sur une surface métallique parfaite, plane, parallèle 
au plan (füy, üz), située en a: = 0 a
t = 0, animée d'un mouvement de translation rectiligne et uniforme a la vitesse 
17 : mîoe, avec "U << 0.

a} On cherche l'onde réfléchie sous la forme d'une onde plane, progressive, 
harmonique, de fréquence f ', d'am--
plitude E...., de phase à l'origine go,. et polarisée elle aussi selon @.

Écrire le champ électrique Ê,.(M , t) de l'onde réfléchie.

b) Justifier la continuité du champ électrique au niveau du conducteur et 
montrer que

E0r=E0
SÛT=SÛ+7T

, 1--0/c
f _f1--l--v/c

IV.B.2) Application à la mesure de la vitesse du vent

On admettra que la relation entre ]" et f est valable dans le cas de l'étude de 
la question LB, l'onde étant
maintenant rayonnée par une molécule animée de la vitesse 6 . Si 6 n'est pas 
dans la direction 1150, on remplace
?) par 6 - 1156 dans la formule.

&) Simplifier l'expression de la fréquence f ' de l'onde rayonnée compte tenu 
du fait que ?} << c. On exprimera
f' -- f en fonction de f, U et c.

b) L'impulsion laser excitatrice a pour longueur d'onde À : 10 11m. Quelle 
variation relative de fréquence cela
représente--t--il ? On supposera que la vitesse du vent vaut 60 km-h".

c) Pour détecter l'onde diffusée et mesurer sa fréquence, on utilise une 
détection « hétérodyne ». On superpose
sur un détecteur deux signaux : l'onde rétrodiffusée et l'onde du laser 
d'émission. La réponse du détecteur est
proportionnelle à la valeur moyenne du carré de la somme des amplitudes de ces 
deux signaux, cette valeur
moyenne étant prise sur une durée égale au temps de réponse du détecteur, qui 
est de l'ordre de la nanoseconde.

Le signal électronique, copie fidèle en amplitude et en phase du signal 
optique, est numérisé et traité pour
mesurer le décalage en fréquence induit par les mouvements des particules.

On écrit l'onde du laser d'émission sous la forme: EOL(M,t) : EO cos(27rft -- 
çb(M )) et l'onde diffusée:
ED(M,t) : E0D cos(27rf't -- çb'(M)).

1
Comparer le temps de réponse TD du détecteur et T = f f' .

d) En déduire que le signal obtenu s'écrit
3H('Ï) : 30 (Eâ + Eâp + 2EOEOD COS (27T(f _ f,)t _ (@(M) _ @/(M))))

6) Quelle est la principale qualité du faisceau laser mise en oeuvre dans cette 
mesure ?

Formulaire

7' 4
/ sin3(9) d9 = --
0 3

Données
Célérité de la lumière dans le vide (: = 3,00 >< 108 ms--1
Masse de l'électron m = 9,11 >< 10_31 kg
Charge élémentaire @ = 1,60 >< 10_19 C
Perméabilité magnétique du vide #0 = 471" >< 10_7 H-m_1
Permittivité diélectrique du vide 50 = 8,85 >< 10-12 F-m--1
Constante des gaz parfaits R = 8,32 J-K_1-mol_1
Constante d'Avogadro NA : 6,02 >< 1023 mol--1
Constante de Boltzmann kB : 1,38 >< 10_23 J-K_1
Constante de Planck h = 6,62 >< 10_34 J-s
Champ de pesanteur a la surface de la Terre g = 9,8 ms--2

2014-03-03 16:16:27 Page 7/8 OE=C BY-NC-SA

\ RT
A 25 °C, on prendra : ? ln(10) OE 0,06 V, potentiel standard E°(H202(aq)/HZO) : 
1,77 V.

H C N 0 Al S Ti
Numéro atomique 1 6 7 8 13 16 22
Masse molaire atomique (g-mol'1) 1,01 12,0 14,0 16,0 27,0 32,1 47,8

CO2 octane
Masse molaire moléculaire (g-mol'1) 44,0 114
Masse volumique du liquide (g-L'1) 700
Température d'ébullition a P° : 1,013 bar (°C) --56,6 126
AHâÛ (kJ-mol'1) 34,88

02 (8) 002 (8) %... (8) 00tane (8)

Enthalpie standard de formation (kJ-mol'1) 0 --393,5 --241,8 --227,4
Entropie molaire standard (J-K-1-mor1) 205,1 213,8 188,7 436,4

Les enthalpies standard de formation et les entropies molaires standard sont 
supposées indépendantes de la
température.

02-- T12+ T13+ T14+
Rayon ionique (pm) 126 94 75 69
60%... SOZ(âOÙ
_ _ \ pKOE1 = 6,4 pKal, : 1,9
Couples ac1do--bas1ques a 25 °C
pKOE2 : 10,3 pKa2, : 7,2
(3) CO2(g) : CO2(aq) K3 : 3,6 X 10_2 à 25 °C
(3') SO2(g) : SO2(aq) K3/ : 1,62 à 25 °C

Structure cristalline octaédrique type Cortndon

Positions des centres des ions O2--

-- a la verticale de O, de A, de B et de C aux altitudes z = 0 et z = c ;
-- a la verticale de J, a l'altitude z = (3/2.

Positions des centres des sites octaédriques

-- a la verticale de ], aux altitudes z = (3/4 et z : 3c/4.

Valeurs des paramètres de maille : a = 276 pm et c = 432 pm.

Zz\

I
I
I
I
I
I
I
I
l
I
I
I
I
I
I
:
|?

A _ o

/ ,_//7 ------------
/ / / 1203 /
v \ a
o %>a B

Maille a base losange Base losange

Figure 2 Maille a base de losange d'une
structure cristalline octaédrique type Corindon

oooFlNooo

2014-03-03 16:16:27 Page 8/8 OE=C BY-NC-SA

LPJ ,
aB;Mim`2 ,

S`ûMQK ,
úT`2mp2 /2 S?vbB[m2@+?BKB2 6BHB`2 JS
LlJú_P
.1 SG*1

L2 `B2M TQ`i2` bm` +2ii2 72mBHH2 pMi /pQB` `2KTHB +QKTHi2K2Mi H2M@ii2
S`2bbBQM U#`V
Uû+?2HH2 `#Bi`B`2V

kkR

9

j
k
R-yRj

y-yR
6B;m`2 

R

jd9

\

h2KT2`im`2 Uê*V

.B;`KK2 /ûii /2 H2m

 UoV
R-8
R-y
y-8
y-Rd

T>

y-8
R-y
R-8

k
6B;m`2 "

9

e

3

Ry

Rk

.B;`KK2 TQi2MiB2H@T> /2 [m2H[m2b 2bT+2b /m bQm7`2

R9

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique et Chimie MP 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Kim Larmier (ENS Ulm) ; il a été relu par Cyril Jean
(ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet développe quelques aspects de la physico-chimie de l'atmosphère et d'un
instrument de télédétection par laser permettant sont étude : le LIDAR.
Il donne l'occasion d'exploiter une très large partie du programme de physique 
et
de chimie, en proposant des problèmes assez proches du cours. Les quatre 
parties sont
totalement indépendantes, si bien que le sujet peut être commencé indifféremment
par l'une ou l'autre, mais les parties elles-mêmes sont relativement cohérentes 
­ à
l'exception de la quatrième.
· Le sujet débute par l'étude de l'interaction avec l'atmosphère du rayonnement
émis par un LIDAR. Un raisonnement énergétique macroscopique est tenu dans
un premier temps, puis l'aspect microscopique du problème est abordé à travers
le rayonnement dipolaire. Quelques questions de cristallographie sont posées.
· La deuxième partie se penche, sous l'angle de la thermodynamique, sur la 
production par l'homme de dioxyde de carbone rejeté dans l'atmosphère : étude
d'un moteur thermique, changements d'état et thermochimie de la réaction de
combustion de l'octane sont au programme.
· La troisième partie examine les processus chimiques potentiellement 
responsables de la formation des pluies acides, ce qui est l'occasion de mettre 
en
application ses connaissances en chimie des solutions.
· Le sujet s'achève sur une partie hybride, regroupant une analyse de 
l'équilibre
vertical de l'atmosphère avant de revenir au LIDAR et aux ondes 
électromagnétiques pour aborder une méthode de mesure de la vitesse du vent.
L'épreuve est d'une difficulté modérée et d'une longueur raisonnable. Les 
différents
thèmes sont bien amenés, quoique sans originalité.
Avec les indications fournies dans ce corrigé, il est possible de traiter ce 
sujet
dans le cadre des programmes entrés en vigueur en 2014 car l'immense majorité 
des
questions leur est conforme.

Indications
Partie I
I.A.1.a On reçoit à t un mélange de toutes les émissions entre t0 et t0 + t .
I.A.2 Réaliser un bilan de puissance sur la tranche de fluide décrite dans 
l'énoncé.
I.C.2 L'éclairement E0 défini dans l'énoncé est en fait un éclairement 
surfacique.
-

-
-

Il s'exprime hR0 · d S i/dS, R0 étant le vecteur de Poynting de l'onde
incidente.
I.D.1.c Ne pas être déstabilisé par le fait de trouver un nombre d'aluminium par
maille non-entier : une certaine fraction des sites octaédriques est occupée, 
sur l'ensemble du cristal. L'important est que la composition chimique
moyenne d'une maille respecte celle du cristal.
I.D.2.b Une substitution doit conserver l'électroneutralité de la structure !
Partie II
II.C L'octane est instantanément vaporisé dès son introduction dans le moteur.
Il faut alors considérer le mélange air/octane comme un gaz parfait.
II.D.4 Comparer la pression partielle d'octane (elle est bien sûr inférieure à 
P2 )
dans le moteur dans ces conditions et sa pression de vapeur saturante.
II.I Utiliser les lois de Le Châtelier et Van't Hoff.
Partie III
III.B.1 La molécule de CO2 est linéaire tandis que la molécule de SO2 est 
coudée.
III.B.3.c Vérifier le résultat à la lumière de la loi de Van't Hoff.
III.C.3 Envisager un déplacement d'équilibre.
Partie IV

-
IV.A.1.a L'expression de la -
force de pression d F exercée sur un élément de surface dS

centré en M est : d F = P(M) dS -
n , où -
n est le vecteur normal à la surface.

IV.A.2.b
IV.A.2.f
IV.A.3.c

IV.A.3.d

IV.B.1.b
IV.B.2.d
IV.B.2.e

La résultante des forces de pression sur le volume proposé par l'énoncé se
calcule alors en 3 termes : la force exercée sur la section supérieure, celle
exercée sur la section inférieure et celle sur la section latérale. Un argument
de symétrie permet d'annuler simplement cette dernière.
Utiliser la différentiation logarithmique.
Que dire de T(z) lorsque z  + ?
La résultante des forces de pression est égale à la poussée d'Archimède,
c'est-à-dire l'opposé du poids d'un volume d'air qui occuperait exactement
le volume de la particule de fluide.
Il faut exprimer i (z) en fonction des gradients thermiques. Considérer
que la particule et le fluide ambiant ne subissent pas la même évolution
thermique.
La composante tangentielle du champ électrique est toujours continue.
Le calcul de la moyenne sur D d'une fonction dépendante du temps nécessite de 
comparer la durée caractéristique d'évolution de cette fonction et D .
Quels sont les principaux avantages d'un laser par rapport à une lampe
classique ?

I. LIDARS atmosphériques
I.A.1.a L'impulsion rayonnée par une molécule en z doit parcourir l'aller-retour
entre le laser et ladite molécule, soit la distance d = 2 z. La lumière 
parcourt cette
distance pendant l'intervalle de temps
d
2z
t - t0 = =
c
c
2z
soit
t = t0 +
c
molécule rétrodiffusante
z
faisceau
incident

faisceau
rétrodiffusé

0
Laser
Ce résultat vaut pour une impulsion infiniment brève émise à t0 . En réalité,
l'impulsion a une certaine durée et peut être considérée comme une succession 
d'impulsions infiniment brèves émises entre t0 et t0 + t . À la date t, 
arrivent au récepteur
simultanément toutes les impulsions émises dans cet intervalle de temps. La 
dernière
a alors atteint l'altitude z - z telle que
2z
2 (z - z)
t = t0 +
= (t0 + t ) +
c
c
c t
dont on tire
z =
= 1,05 m
2
I.A.1.b Le risque est que les signaux issus de deux impulsions successives ­ 
ayant
donc atteint des altitudes différentes ­ arrivent simultanément au récepteur. 
Le signal
relatif aux deux hauteurs atteintes se trouve alors superposé. Considérons deux 
impulsions consécutives, émises respectivement à t0 et t0 + T , T étant la 
période
des impulsions (T = F -1 ). Les signaux issus de ces deux impulsions arrivent au
même instant t au récepteur si les couches de l'atmosphère qui les 
rétrodiffusent sont
séparées d'une hauteur z max telle que
2z
2 (z + z max )
t = t0 +
= (t0 + T ) +
c
c
c
c T
soit
z max =
=
= 7 500 km
2
2 F
Cette valeur étant très supérieure à 12 km, il n'y a pas de superposition entre 
les
signaux issus d'impulsions consécutives, il est donc possible de sonder 
correctement l'atmosphère jusqu'à une telle hauteur.
L'épaisseur de l'atmosphère est considérée égale à environ 100 km. Au-delà,
il n'y a presque plus de molécules pour rétrodiffuser le signal du LIDAR.

I.A.2 Réalisons un bilan de puissance sur une tranche d'atmosphère de section S
comprise entre les cotes z et z + dz.

P(z + dz)

z + dz

S
dP ray (z)

z

S

P(z)

Cette portion de fluide reçoit algébriquement
· la puissance du laser incident en z : +P(z) ;
· la puissance du laser émergent en z + dz : -P(z + dz) ;
· la puissance rayonnée par l'atmosphère vers l'extérieur : -dP ray (z).
Considérons que l'atmosphère ne s'échauffe pas sous l'action du laser, si bien 
que la
somme de ces puissances doit être nulle. Ainsi, on écrit
0 = P(z) - P(z + dz) - dP ray (z)
soit

P(z + dz) - P(z) = -dP ray (z)

ou encore
En substituant à dP ray
vérifiée par P(z) :

dP
dz = -dP ray (z)
dz
l'expression proposée, on trouve l'équation différentielle
dP
= -(z)P(z)
dz

Séparons les variables :
dP
= -(z)dz
P
et intégrons entre z = 0 et z :
ln

On obtient alors

P(z)
P0

=-

Z

z

(u) du

0

 Z z

P(z) = P0 exp - (u) du
0

Ce type d'expression est caractéristique pour décrire l'atténuation d'un
rayonnement à la traversée d'un milieu. La loi de Beer-Lambert peut