Centrale Physique et Chimie MP 2013

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EUNEHUHS EENÏHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2013

Ce problème est relatif au refroidissement de la matière aux échelles atomique 
et macroscopique. La première
partie du sujet est destinée à montrer qu'un rayonnement laser peut agir comme 
un réfrigérant puissant permet--
tant d'obtenir des gaz d'atomes froids. La seconde partie traite de la synthèse 
industrielle de l'éthylèneglycol,
des propriétés du mélange eau--glycol, couramment utilisé dans des liquides de 
refroidissement antigel, et enfin
du dosage de l'éthylèneglycol.

Les deux parties du sujet sont indépendantes. Les données et les notations 
utilisées sont regroupées en fin
d'énoncé.

Tous les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres 
significatifs compatibles avec les données
fournies.

Première partie : les atomes froids

Le prix Nobel de physique a été attribué en 1997 à Claude Oohen--Tannoudji, 
William Daniel Phillips et Steven
Chu pour leurs contributions décisives au contrôle du mouvement des atomes à. 
l'aide de la lumière. Cette
partie du sujet décrit le principe du ralentissement des atomes a l'aide d'un 
rayonnement électromagnétique.
On propose tout d'abord d'établir un modèle de l'interaction entre une onde 
électromagnétique et un atome, et
ensuite de l'utiliser pour comprendre comment on peut piéger des atomes.

1 Modèle de l'électron élastiquement lié

Dans le modèle de l'atome de Thomson, un atome d'hydrogène est assimilé à un 
système matériel constitué d'un
noyau, de masse M, et d'un électron de masse m. La charge électrique +e du 
noyau est supposée uniformément
répartie dans une sphère de rayon &, de centre P. Un électron, considéré comme 
ponctuel, de charge --6, est
libre de se déplacer dans cette sphère chargée.

I.A -- On repère un point N a l'intérieur du noyau par ses coordonnées 
sphériques (7°, 9, go) relatives au
centre P.

I.A.1) Donner l'expression de la densité volumique de charges p(N), associée au 
noyau, en tout point N à
l'intérieur de la sphère.

I.A.2) Exprimer le champ électrostatique créé par cette distribution de charges 
en un point N à l'intérieur
de la sphère.

I.A.3) En déduire l'expression de la force électrique ressentie par l'électron 
situé au point N. Exprimer cette

. A --> . . ,
force en fa1sant apparaitre le vecteur PN. Donner ausa l'expressmn de la force 
que l'electron exerce sur le noyau.

I.B -- Dans un état excité de l'atome, le noyau et l'électron peuvent osciller 
autour
de leur barycentre 0, sous le seul effet de leur interaction électrique 
mutuelle. On note

R + (t) : OP(t) et R_(t) = ON(t), les déplacements respectifs du noyau et de 
l'électron _, _)
par rapport à 0 (voir figure 1). On admet que le noyau garde sa forme 
sphérique. On R+ R--
pose R(t) : Ë+(t) -- R_ (t). Le référentiel dans lequel on étudie les 
mouvements du noyau P O N

et de l'électron, est supposé galiléen.

I.B.1) Appliquer le principe fondamental de la dynamique à l'électron et au 
noyau.
I.B.2) En déduire l'équation différentielle vérifiée par Ë(t). Figure 1 Atome de

I.B.3) Justifier que les mouvements relatifs de l'électron et du noyau se 
ramènent à. Thomson excité
celui d'une particule matérielle fictive, de masse ,a, soumise à une force de 
rappel élastique

de la forme --uwâË(t). Donner l'expression de ,u en fonction de m et M et 
l'expression

de wo en fonction des différents paramètres du modèle.

I.B.4) En envisageant le cas d'un atome d'hydrogène, proposer la valeur 
numérique de ,a.
On prend a % 0,1 nm ; commenter ce choix.
Calculer la valeur de wo. À quel type de rayonnement électromagnétique 
correspond cette pulsation '?

I.C -- Onde électromagnétique rayonnée par l'atome

Les oscillations de l'électron et du noyau sont a l'origine d'un rayonnement 
électromagnétique. On suppose, par
souci de simplicité, que les oscillations étudiées sont unidimensionnelles, 
selon le vecteur unitaire F:}. On propose
de calculer la puissance électromagnétique moyenne rayonnée par l'atome situé 
au point 0.

2013--04-30 22:23:13 Page 1/7

I.C.1) On définit la grandeur vectorielle Ï5(t) = eË(t). Que représente Ïi(t) ?
On pose Î5(t) = p(t)êx avec p(t) = eoe(t).

I.C.2) On utilise le système des coordonnées sphériques d'origine 0
(voir figure 2).

a ) Dans la zone de rayonnement, parmi les champs électrique et magné-- ê
tique, lequel admet au point M l'expression %jä(t --r/c)êîP ? Justifier M & Î

la réponse en utilisant un argument d'analyse dimensionnelle. /

b) Sachant que l'onde rayonnée a, dans la zone de rayonnement, une struc- N,' 7«
ture locale d'onde plane progressant dans le sens du vecteur unitaire radial
ê',., compléter la détermination des champs électrique et magnétique.

0) On note À la longueur d'onde de l'onde sinusoïdale rayonnée par l'atome.

Rappeler la hiérarchie des différentes échelles de longueur ||Ë(t)|l, ?" et À
qui permet de valider les expressions des différents champs dans la zone de
rayonnement. On prendra soin de dégager le sens physique des différentes
inégalités écrites. Figure 2

I.C.3) Établir l'expression du vecteur de Poynting dans la zone de rayon--
nement et donner une expression de sa valeur moyenne temporelle faisant 
intervenir (332).

I.C.4) Montrer que la puissance moyenne rayonnée par l'atome a travers une 
sphère de rayon r s'écrit :

59 62 ..2
< -- 67r50c3 On rappelle que / sin3 9d9 = 4/ 3. 0 LE -- Amortissement des oscillations par rayonnement Le rayonnement électromagnétique de l'atome entraine l'amortissement des oscillations de l'électron et du noyau. On propose d'en déduire que l'atome, dans son état excité, peut être modélisé par un oscillateur amorti. I.D.1) On souhaite mettre la puissance moyenne rayonnée (S") sous la forme (Fd2}. Sachant que (à?) = (cc 513), déterminer l'expression de la force F = Fe}. I.D.2) On suppose qu'en plus de la force de rappel élastique définie à la question l.B.3, la force Ê' agit aussi sur la particule fictive. En déduire la nouvelle équation différentielle vérifiée par æ(t). I.D.3) En notation complexe, on cherche une solution de cette équation différentielle sous la forme g(t) = &0 exp(iwt). On pose w = wo --|-- ôw, avec ôw EUR 03 tel que |ôw| << wo. La force Î' est traitée comme une perturbation . . . woe2 des oscfllat10ns harmoniques : on suppose 3 << 1. eo,ac 62w2 a ) Montrer qu'à l'ordre d'approximation le plus faible, &) = 71--03. 127r50,ac b) En déduire l'expression de Æ(t) sous la forme $(t) = % exp (--Ft/ 2) exp (iw0t). Donner l'expression de I' en fonction des différents paramètres. c) Application numérique Calculer la valeur numérique de F pour l'atome de rubidium ; la valeur obtenue est--elle compatible avec la valeur expérimentale figurant dans les données numériques en fin d'énoncé ? II Interaction d'un atome avec une onde électromagnétique plane On suppose qu'un atome, immobile dans le référentiel d'étude supposé galiléen, est placé à l'origine O de l'espace. Il est soumis à. une onde électromagnétique plane dont les champs électrique et magnétique s'écrivent Ê(z, t) = E0 cos(wt -- kz)ë_.,, et Ë(z, t) = Eo/ccos(wt -- kz)ëy, avec k = w/c, où c est la célérité de la lumière dans le vide. On convient aussi d'appeler intensité ] de cette onde la valeur moyenne temporelle de son vecteur de Poynting Î, soit 50Eâ 2 I=(H)=c II.A -- Polarisation de l'atome Pour décrire les oscillations du noyau et de l'électron, on utilise le modèle de l'électron élastiquement lié : une particule fictive, de masse ,a, dont la position est repérée par le vecteur R(t), est soumise à une force de rappel élastique --awâÎâ, a une force de frottement --aI'Ë et à. l'action de l'onde électromagnétique. On suppose que 2013--04--30 22:23:13 Page 2/7 kl|lîll << 1 et que "I?" << c. On admet que la particule fictive doit être affectée d'une charge électrique égale à +e. II.A.1) Compte tenu des hypothèses, justifier que l'équation différentielle vérifiée par ÏÎ(t) peut se simplifier sous la forme suivante : ÏÎ + 1"Îi' + wâÎÎ = îEÛ cos(wt) ë'oe II.A.2) Montrer, qu'en régime sinuso'idal forcé, on a Îô(t) = a(w)EO cos(wt + @) êæ. Exprimer a(w) en fonction de e, ,a, ca, wo et I' et sin1fl en fonction de I', au et wo. On note A = w -- wo. Lorsque wo > F et wo >> |A| (voisinage de la résonance où 
w % wo), on admettra les
relations simplifiées suivantes :

e2 1 --I'
a ou = ---- et sin = _
( ) ludo \/1"2 + 4A2 " \/1"2 + 4A2
II.B -- Force de pression de radiation

On souhaite maintenant déterminer la force électromagnétique que l'onde exerce 
sur l'ensemble de l'atome
(c'est--à--dire l'électron et le noyau) immobile en 0. Comme précédemment, les 
déplacements de l'électron et du

noyau sont notés respectivement Ï--?Î_ (t) et Ë+(t).

II.B.1) Montrer que la résultante des forces électromagnétiques Frad, dite 
force de pression de radiation, que

l'onde exerce sur l'atome peut être mise sous la forme : Êad = Ï5 /\ Ë .
II.B.2) Donner l'expression de la force de pression de radiation moyenne (Î.ad) 
en fonction de I , 50, c, a(w),
sin1b et du vecteur d'onde Îé.

II.B.3) On se place au voisinage de la résonance : w % wo, ce qui correspond à 
wo >> |A| et on suppose en
outre que wo >> I'.

a) En utilisant les résultats de la question II.A.2, simplifier l'expression de 
la force de pression de radiation
moyenne et la mettre sous la forme suivante :
_, I I' _,
< rad) = I_1î hk 3 + 4A /I' On exprimera la constante Is en fonction de EUR... ,a, c ,e, F, wo et de la constante de Planck réduite h. b) Préciser pour quelle valeur de A, la force exercée par l'onde sur l'atome a une intensité maximale. III Ralentissement D0ppler des atomes III.A -- Force eoeercée par deuoe ondes sur un atome en mouvement On considère maintenant un atome en mouvement unidimensionnel soumis à l'action de deux ondes électro-- magnétiques planes, progressives, harmoniques se propageant en sens opposés. Nous allons montrer que cette configuration, proposée en 1975 par Hänsch et Schawlow, permet de ralentir l'atome. Dans le référentiel fi du laboratoire, l'atome est animé d'une vitesse "Ü = v(t)êz, avec v(t) << c. Dans le référentiel KR, les champs électriques des deux ondes sont notés : E(+)(z,t) = E() cos(wt -- kz)êoe et E(_)(z, t) = EO cos(wt + kz)êæ. Dans le référentiel lié à l'atome, noté 7EUR' , une onde électromagnétique de vecteur d'onde Î--i présente une pulsation w' différente de au, en raison de l'effet Doppler : w' = w -- k -- Ü. _) _) k 6 -fV\/VV\--> o--> <--\/vvvv > (Oz)
Figure 3 Atome en mouvement soumis a deux ondes

III.A.1) Donner les expressions des pulsations apparentes wE+> et wE_> des deux 
ondes dans le référentiel ÿEUR'

en fonction de w, v(t) et c.
III.A.2) Analyse qualitative

On suppose w < wo, soit A < 0. Considérons la situation où v(t) > O. Indiquer 
quelle onde a une pulsation
apparente se rapprochant le plus de la pulsation de résonance w0. Laquelle des 
deux forces de pression de
radiation agit avec la plus grande intensité sur l'atome (on utilisera les 
résultats de la question II.B.3) ? Ce
dernier est--il ralenti ou accéléré ? La conclusion reste--t-elle la même si 
l'on suppose v(t) < 0 ? En reproduisant le même type de raisonnement, dire si un désaccord A > 0 
permet, ou pas, de ralentir l'atome.
III.A.3) Dans la limite des faibles vitesses, on admet que la résultante des 
forces de pression de radiation

moyennes s'écrit sous la forme : f = fifîî, avec :

2013--04--30 22:23:13 Page 3/7

1 16A/F hwâ
Ïs(1+4A2/F2)2 62

@:

Quel est le signe de 5 correspondant à un ralentissement de l'atome ? Ce 
résultat s'accorde-t-il avec l'analyse
qualitative précédente ?

III.A.4) Etablir l'équation différentielle vérifiée par l'énergie cinétique 
d'un atome de rubidium soumis aux
deux ondes. Donner l'expression du temps caractéristique 7' de décroissance de 
cette énergie en fonction de M B,,

et |5|.

III.B -- Ralentissement et refroidissement d'un jet atomique

Un four a rubidium est constitué d'une ampoule contenant du rubidium, chauffée 
à T() = 443 K. A la sortie

du four, un dispositif, non décrit ici, permet de ralentir et de sélectionner 
les atomes ayant une vitesse orientée

selon êz. Ces atomes sont alors soumis à l'action de deux ondes planes, 
progressives, harmoniques se propageant
, _) _, . . . \ /

en sens opposes selon eZ et --ez. On admet que chaque atome de rub1d1um est 
seulement senable a la resultante

des forces de pression de radiation moyennes exercées par les deux ondes.

III.B.1) Quelle est la vitesse quadratique moyenne des atomes de rubidium a la 
sortie du four ? Réaliser
l'application numérique.

III.B.2) Ordres de grandeur

Il n'est en réalité pas possible d'immobiliser complètement les atomes. En 
effet, on peut montrer que les processus
d'absorption et d'émission spontanée d'un photon par un atome immobilisé 
animent ce dernier d'un mouvement
d'agitation erratique. La vitesse quadratique moyenne associée à cette 
agitation résiduelle est non nulle et prend

une valeur minimale égale à V3hI'/MRM lorsque A = --I'/ 2.
a) En déduire une valeur numérique de la température minimale des atomes 
ralentis. Commenter.

b) Donner la valeur numérique de 7' lorsque I : Is/ 2 et A = --I'/ 2. Commenter.

III.B.3) Comment peut-on procéder, selon vous, pour immobiliser les atomes en 
trois dimensions et non plus
seulement sur l'axe (Oz) ? On parle, dans ce cas, de << mélasse optique >>. 
Justifier brièvement cette appellation.

Seconde partie : le mélange eau-glycol

Les différentes parties sont indépendantes et à l'intérieur de chacune les 
questions sont largement indépendantes.
Les valeurs numériques sont regroupées en fin d'énoncé.

Le glycol, (formule brute C2H602), HOCH2CH20H, ou éthylèneglycol ou 
éthane--1,2--diol est principalement
utilisé pour fabriquer des polyesters et des mélanges de refroidissement 
antigel pour l'automobile. C'est a cette
dernière utilisation que nous nous intéressons ici.

IV Obtention de l'éthylèneglycol ou glycol
Le glycol résulte de l'addition d'eau a l'oxyde d'éthylène, en phase gazeuse, 
selon la réaction (IV.1) d'équation :
H C--CH
2 \ / 2(g)
O
oxyde d'éthylène O glycol E

k
+ Hgo(g) _1> HOCHgCH2OH(Ë) (IV.1)

Cette réaction est effectuée à 473 K et sous une pression p = 15,0 bar. 
Industriellement le temps de passage
dans le réacteur ne permet pas d'atteindre l'état d'équilibre thermodynamique 
et on constate l'apparition de
diéthylèneglycol (noté D). Pour modéliser la formation de glycol et de 
diéthylèneglycol, une deuxième réaction
(IV.2), concurrente de (IV.1), est envisagée. Les réactions (IV.1) et (IV.2) 
seront considérées comme totales.

H2C--CH2(g) k2
\ O/ + HOCH2CH20H(g) --> HOCHQCH2OCH2CH20H(g) (IV.2)
oxyde d'éthylène O glycol E diéthylèneglycol D

Les réactions sont supposées d'ordre un par rapport a chacun des réactifs. Pour 
traduire le fait que l'eau réagit
moins vite que l'éthylèneglycol sur l'oxyde d'éthylène, les constantes de 
vitesse k1 et k:2 sont choisies telles que
kz2 = 5k1.

Le mélange initial est constitué d'oxyde d'éthylène et d'eau à la concentration 
molaire 1,00 mol - L_1 chacun.
On note {,,,1 et Q,; les avancements volumiques respectivement de la réaction 
(IV.1) et de la réaction (IV.2).

I V.A -- Que valent les concentrations molaires en chacun des réactants 
(réactifs et produits des réactions)
,. . . .
lorsque le temps t tend vers l infini en fonction des avancements volum1ques 
£v,l,oo et £v'2,oe '?

I V.B -- Établir le système d'équations différentielles en {ml et {,,,2.

I V.C -- La résolution de ce système n'étant pas envisageable ici, la figure 4 
donne les courbes traduisant
l'évolution des concentrations molaires des différents composés intervenant 
dans les réactions (IV.1) et (IV.2)
au cours du temps.

2013--04--30 22:23:13 Page 4/7

concentration molaire (mol - L_1)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
temps

Figure 4

Identifier chacune des courbes (a) à (d) en justifiant. Quelle conclusion 
peut--on en tirer quant à la synthèse
industrielle du glycol ?

I V.D -- Pour remédier à ce problème, dans l'industrie, l'eau et l'oxyde 
d'éthylène sont introduits dans un
rapport 25/1 dans les mêmes conditions de température et de pression.

IV.D.1) Quel est le facteur cinétique qui intervient ici ? Quelle conséquence 
cela a--t--il sur les réactions (IV.1)
et (IV.2) ?
IV.D.2) Les courbes représentant l'évolution au cours du temps des 
concentrations molaires des composés O,

E et D dans ces nouvelles conditions sont données figure 5 où la courbe de 
l'eau mise en large excès, n'est pas
représentée afin de rendre le graphe lisible.

1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2

concentration molaire (mol - L--1)

0,1

0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
temps

Figure 5

Identifier les courbes (e), (f) et (g) en justifiant. En déduire le rapport des 
concentrations molaires des espèces
E et D, [E]/ [D], au temps t infini. Quelle conclusion peut--on en tirer quant 
a la synthèse industrielle du glycol ?

2013--04--30 22:23:13 Page 5/7 E°

V Utilisation comme mélange de refroidissement antigel

V.A -- Étude thermodynamique du mélange

V.A.1) Déterminer l'expression de l'enthalpie standard de fusion de la glace en 
fonction de la température
T< 273,15 K et sous une pression 19 = 1,00 atm oe p° = 1 bar. V.A.2) Le mélange de refroidissement antigel est constitué de glycol (noté 1) et d'eau (noté 2). À l'état liquide ils forment un mélange idéal et ils ne sont pas miscibles à l'état solide. a) Donner l'expression du potentiel chimique à la température T < 273,15 K et à la pression p = 1,00 bar de l'eau solide et de l'eau liquide dans le mélange liquide de fraction molaire 5132 en eau. b) En écrivant la condition d'équilibre de l'eau, au début de solidification, a la température T, établir la relation : AuSG° H 0, f 22 T' =--Rlnæ2 où AfUSGO(HZO, T) est l'enthalpie standard de fusion de la glace a la température T. En déduire la relation AquHO(H2O,D _ Rdlnæ2 T2 _ dT c) L'intégration de l'équation précédente permet d'obtenir la relation suivante qui lie la fraction molaire 5132 et la température T d'apparition des premiers cristaux de glace : T 1 1 1 =Al -- B __-- na:2 an--l-- (T Tf) où A = 4,70, B = 564,35 K et T, = 273,15 K. Déterminer alors la fraction molaire en glycol que doit contenir l'antigel pour que le mélange ne gèle pas jusqu'à une température de --27,0°C. V.B -- Dosage d'un antigel Une solution aqueuse S est obtenue en diluant 200 fois un antigel commercial permettant de protéger les radiateurs des automobiles jusqu'à --27°C. On se propose de doser la solution S ; on note 03 la concentration molaire en glycol de la solution S et C' la concentration molaire en glycol de l'antigel. Le protocole est le suivant. -- Étape 1 0 dans un erlenmeyer introduire un volume V1 = 10,0 mL de dichromate de potassium, (2K+, Cr20%_), de concentration molaire c1 = 1,00 >< 10"1 mol - L_1, puis ajouter lentement en agitant et en refroidissant 5 mL d'acide sulfurique concentré ; ajouter un volume V3 = 10,0 mL de solution S à doser ; porter le milieu réactionnel au bain--marie bouillant pendant 30 minutes (l'erlenmeyer est équipé d'un réfrigérant a air permettant de condenser les vapeurs éventuelles). -- Étape 2 . refroidir le mélange réactionnel à température ambiante, ajouter environ 50 mL d'eau en rinçant les parois de l'erlenmeyer puis en agitant et en refoidissant 3,5 mL d'acide phosphorique concentré ; . ajouter alors quelques gouttes de diphénylaminesulfonate de baryum, indicateur de fin de réaction, doser par une solution d'ions fer(ll), Fe2+, de concentration molaire 02 = 2,50 >< 10"1 mol - L"1 jusqu'au vert franc de la solution dans l'erlenmeyer. V.B.1) Donner les demi--équations électroniques des différents couples rédox intervenant dans ce dosage. V.B.2) Établir les équations des deux réactions (1) et (2) ayant lieu respectivement dans l'étape 1 et dans l'étape 2. On admet par la suite que ces réactions sont totales. V.B.3) Établir la relation a l'équivalence entre les quantités de matière de glycol, n(gly), d'ions dichromate, n(Cr20 ?) et d'ions fer(ll), n(Fe2+), introduits à. l'équivalence. V.B.4) Le volume de solution d'ions fer(ll) versé à l'équivalence est V;ëq = 9,30 mL. En déduire la concentration molaire c3 en glycol de la solution S puis celle, C, de l'antigel commercial. V.B.5) La masse volumique de l'antigel commercial est p = 1,06 g - cm_3, déterminer la fraction molaire en glycol de l'antigel commercial. Ce résultat est-il en accord avec celui obtenu au V.A.2.c ? Le mélange liquide glycol--eau est-il idéal ? 2013--04--30 22:23:13 Page 6/7 Permittivité diélectrique du vide Perméabilité magnétique du vide Célérité de la lumière dans le vide Constante de Planck réduite Constante de Boltzmann Masse de l'électron Masse du proton Charge élémentaire Constante des gaz parfaits Pression atmosphérique Numéros atomiques Masses molaires moléculaires Pour l'atome de rubidium masse pulsation de la raie étudiée largeur naturelle de la raie Pour la glace, sous 1,00 atm température de fusion enthalpie standard de fusion à 273,15 K Potentiels standards à 25°C Cr207_ (aq)/Cr3+ (acl) Fe3+ (aq)/Fe2+ (aq) CO2, H2O (MD/0214602 (811) RT ? ln 10 = 0,059 V (à T: 25°C) Données 50 = 8,85 >< 10"12 F -m_1 #0 = 477 >< 10_7 H - m"1 0 = 3,00 >< 108 ms"1 h = 1,05 >< 10_34 J-S kB = 1,38 >< 10-23 J - K--1 m = 9,11 >< 10_31 kg M= 1,67 >< 10-27 kg 6 = 1,60 >< 10-19 C R = 8,314 J-K"1-mol_1 1,00 atm : 101 325 Pa Z(O) = 8, Z(Cr) = 24, Z(Rb) = 37 M(H20) : 18,0 g-mol_1, M(glycol) = 62,1 g - mol"1 wo = 2,42 >< 1015 rad -s_1 I' = 3,70 >< 107 s"1 Tfus = 273,15 K AfUSH° = 5,994 kJ - mol"1 E; = 1,33 v E; = 0,77 V E; = --0,24 V Capacités calorifiques (ou thermiques) molaires standard à pression constante C; ... considérées comme indépen-- ' dantes de la temperature Oxyde d'éthylène (g) Eau (g) Eau (8) Eau (1) Glycol (g) 013... (J - K"1 -mol"') 47,91 33,58 36,18 75,30 77,99 L'acide sulfurique sera considéré ici comme un diacide fort en solution aqueuse. En solution aqueuse les ions Cr20%_ (aq) sont orangés et les ions Cr3+ (aq) sont verts. Le diphénylamine sulfonate de baryum est un indicateur de fin de réaction utilisé en oxydoréduction : sa forme réduite est incolore et sa forme oxydée rouge--violacée, le potentiel standard du couple est 0,80 V. Notations . -- 2 La notation des der1vees temporelles success1ves est la suivante : A = Ë--Î, A = Ët'Î, À une grandeur sinusoÏdale A(t) = AO cos(wt + 1h), on fera correspondre la grandeur complexe A = AO exp(iwt), avec AO = AO exp(zfi,b), telle que Re(A) : A(t). La valeur moyenne temporelle d'une grandeur A(t) est notée (A) et ainsi de suite. oooFlNcoo 2013--04--30 22:23:13 Page 7/7