Centrale Physique et Chimie MP 2009

Thème de l'épreuve Le seigneur des anneaux
Principaux outils utilisés statique des fluides, rayonnement thermique, analogie électrostatique-gravitation, théorème de Gauss, mécanique du point et des systèmes, mouvement à force centrale, thermochimie, cinétique, diagramme binaire, cristallographie, solutions aqueuses
Mots clefs Cassini-Huygens, Titan, planétologie, glace diamant, Saturne, bilan radiatif, anneaux, pluie d'hélium, développement quadrupolaire, conservation du moment cinétique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Concours Centrale - Supélec 2009

Épreuve :

PHYSIQUE-CHIMIE

Filière

MP

PHYSIQUE-CHIMIE

Filière MP

PHYSIQUE-CHIMIE
Calculatrices autorisées.

Le Seigneur des Anneaux
Données :
Masse

Rayon

Soleil

2, 00 u 10

30

Saturne

5, 69 u 10

26

Jupiter

1, 90 u 10

27

Période de
rotation
autour du
Soleil

Distance au
Soleil

8

-

-

7

29, 5 ans

1, 43 u 10 km

7

11, 9 ans

7, 78 u 10 km

kg

6, 96 u 10 m

kg

6, 03 u 10 m (rayon équatorial)
7
5, 82 u 10 m (rayon moyen)

kg

7, 15 u 10 km

9

8

Données thermodynamiques à 298 K :
0
· 6 f H : enthalpie standard de formation,
0
· S : entropie molaire standard,
0
· C p : capacité thermique molaire standard à
pression constante.
N H3(g)

Composés
0

­1

6 f H ( kJ u mol )

-

-

­1

192, 5

191, 6

130, 7

­1

32, 8

29, 1

28, 8

G

= 6, 67 u 10

­1

uK )

0

­1

uK )

C p ( J u mol

H2(g)

­ 46, 1

0

S ( J u mol

N 2(g)

Constante de gravitation :

­ 11

­8

3 ­2

m s
­2

kg

­1

­4

Constante de Stefan :

m = 5, 67 u 10

Numéro atomique :

Z(O) = 8 ; Z( H ) = 1 ; Z( N ) = 7

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Wm K

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PHYSIQUE-CHIMIE

Filière MP

Filière MP
­1

Masse molaire :

M O = 16 g u mol ; M H = 1 g u mol
­1
M N = 14 g u mol

Nombre d'Avogadro :

N A = 6, 02 u 10

Constante des gaz parfaits :

R = 8, 314 J u mol

Constante d'équilibre de l'autoprotolyse de l'eau à 298 K :

Ke = 10

23

mol
­1

­1

;

­1

uK

­1

­ 14

Tous les gaz sont considérés comme parfaits.
Notations : u AB : vecteur unitaire dirigé de A vers B .
En 2005, la mission Cassini-Huygens a permis d'obtenir de nouvelles 
connaissances sur le système planétaire de Saturne. La sonde Huygens a traversé
l'atmosphère de Titan, un des satellites de Saturne.

Partie I - Bilan radiatif de Saturne
I.A - Saturne est composée principalement d'éléments légers composant la
nébuleuse primordiale, l'hydrogène et l'hélium, sous forme liquide. On modélise,
ici et dans toute la suite du problème, cette planète comme une sphère de rayon
7
moyen R Sa = 5, 82 u 10 m .
I.A.1)
Calculer numériquement la masse volumique moyenne l de Saturne.
Commentaire.
I.A.2)
En supposant la masse volumique uniforme et le référentiel lié à
Saturne galiléen, exprimer le champ de pesanteur g ( r ) à une distance r < R Sa
du centre O de Saturne, en fonction de G , M Sa , R Sa , r et u r .
Application numérique : calculer le champ de pesanteur g o à la surface de
Saturne.
I.A.3)
a) On admet que le champ de pression à l'intérieur de Saturne suit la loi de
l'hydrostatique et que la pression à la surface de Saturne est nulle. Établir
l'expression du champ de pression P ( r ) pour r < R Sa .

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PHYSIQUE-CHIMIE

Filière MP

b) Sous une pression supérieure à P mét = 2 Mbars , l'hydrogène existe sous une
phase métallique inconnue sur Terre. À quelle distance r mét du centre 
l'hydrogène est-il dans cet état ?
I.A.4)
Saturne reçoit de la part du Soleil une puissance lumineuse. On admet
que la surface du Soleil se comporte comme un corps noir rayonnant à la 
température de T S = 5700 K .
a) Exprimer la puissance totale émise par le Soleil, \ o , en fonction de T S , 
R S
et m , constante de Stefan. Application numérique.
b) Saturne absorbe une fraction a de la puissance interceptée, exprimer la
puissance absorbée \ abs par Saturne en fonction de \ o , d SaS , a et R Sa .
c) Saturne rayonne comme un corps noir de température T Sa . En supposant
qu'il y a équilibre thermique de Saturne, établir l'expression de la température
T Sa en fonction de T S , d SaS , R S et a .
Application numérique : on donne a = 0, 66 . Calculer T Sa . La température de 
la
surface est de 130 K . Commenter.
I.B Pour expliquer l'origine de la puissance émise ainsi que la rareté de 
l'hélium
dans les couches supérieures de Saturne, des physiciens ont proposé le modèle
suivant : l'hélium est miscible dans l'hydrogène liquide mais insoluble dans
l'hydrogène métallique liquide. Il se forme alors des gouttelettes d'hélium
liquide plus denses que l'hydrogène. Ces gouttelettes tombent vers le centre de
Saturne sous forme d'une « pluie d'hélium ».
On note l He et l H les masses volumiques de l'hélium et de l'hydrogène 
métallique. On a l He > l H .
I.B.1)
Soit m la masse d'une gouttelette d'hélium et v He sa vitesse dans le
référentiel de Saturne, supposé galiléen. La résultante des forces de frottement
sur la gouttelette est F = ­ hv He avec h constante positive. Faire le bilan 
des forces qui s'appliquent sur la gouttelette au sein de l'hydrogène 
métallique liquide
dans le champ de pesanteur g ( r ) . Écrire le théorème de la résultante 
cinétique
appliqué à cette gouttelette.
I.B.2)
Soit n le nombre de gouttelettes
Figure 1
jm
d'hélium par unité de volume. Le vecteur
densité de courant d'hélium j He est défini
par : dm He = j He u dSdt où dm He est la
dS
masse d'hélium traversant l'élément de surv He
face dS durant dt (figure 1).
a) Montrer que j He = nmv H e .
gouttelette de
masse m

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PHYSIQUE-CHIMIE

Filière MP

b) La pluie d'hélium descendante est accompagnée d'un flux d'hydrogène montant 
dont le vecteur densité de courant est
lH
j H = ­ n --------- mv He
l He

En régime permanent, montrer que le vecteur densité de courant massique
j m = j He + j H s'écrit sous la forme j m = a g ( r ) et exprimer a en 
fonction de n ,
m , l H , l He et h . Quelles sont les dimensions de a ?
c) Donner une relation analogue en électromagnétisme en précisant les grandeurs.
I.B.3)
a) Les forces de frottement dissipent de l'énergie mécanique. Exprimer la 
puissance P F de la force de frottement sur une gouttelette en fonction de h et 
v He .
Exprimer la puissance volumique P V de ces forces en fonction de a et j m puis
en fonction de a et g ( r )
b) Donner une analogie de ces relations en électromagnétisme en précisant les
grandeurs analogues.
c) La pluie d'hélium a lieu dans les couches profondes comprises entre les 
sphères de rayons R 1 = 0, 2 R Sa et R 2 = 0, 55 R Sa . Exprimer la puissance 
totale dissipée P diss par cette pluie en fonction de a , G , M Sa , R Sa , T 
Sa et \ abs . Quelle doit
être la valeur numérique de a pour que T Sa soit égal à 130 K ?

Partie II Titan, la plus grosse lune de Saturne, est le seul satellite du 
système solaire à
posséder une atmosphère dense. Dans certaine théories sur l'histoire de Titan,
son atmosphère primitive, riche en ammoniac ( N H 3 ) et en méthane ( CH 4 ) , 
se
trouvait initialement à une température d'environ 250°C , puis a connu un lent
refroidissement. L'irradiation de cette atmosphère primitive par les UV solaires
et les rayons cosmiques aurait rapidement dissocié l'ammoniac. Dans les basses
couches, moins irradiées, l'ammoniac est resté en équilibre chimique avec du
dihydrogène et du diazote. On se propose d'étudier quelques aspects de cet 
équilibre gazeux, en supposant une pression constante P = 1 bar , sauf en 
II.A.6.
II.A - Une réaction de dissociation de l'ammoniac
On étudie la réaction de dissociation de l'ammoniac en dihydrogène et diazote :
2 N H 3 ( g ) = N 2 ( g ) + 3H 2 ( g ) .
II.A.1) Déterminer la valeur de l'enthalpie molaire standard de réaction à
0
298 K : 6 r H ( 298 K ) . La réaction est-elle endothermique ou exothermique ?

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PHYSIQUE-CHIMIE

Filière MP

II.A.2) Lors du refroidissement de l'atmosphère de Titan, dans quel sens
l'équilibre se déplace-t-il ?
II.A.3) Déterminer la valeur de l'entropie standard de réaction 298 K :
0
6 r S ( 298 K ) . Justifier simplement son signe.
0
II.A.4) On définit la température d'inversion T i par 6 r G ( T i ) = 0 . 
Calculer T i
dans le cadre de l'approximation d'Ellingham. Que peut-on dire de l'équilibre
pour T > T i et T < T i ?
II.A.5) Au tout début du refroidissement de l'atmosphère de Titan, on suppose
que la température vaut 500 K et qu'il n'y a que de l'ammoniac dans la zone
d'étude. L'équilibre chimique s'établit à cette température, puis se maintient
pendant le refroidissement, supposé très lent.
a) L'équilibre étant atteint, établir une équation liant la constante 
d'équilibre
o
K de la réaction et le taux de dissociation _ de l'ammoniac, défini par :
quantité dvammoniac dissociée
_ = 
------------------------------------------------------------------------------------quantité dvammoniac initiale

b) Calculer _ à 500 K , puis à 298 K . Comparer aux résultats des questions
II.A.2 et II.A.4. D'après ce modèle, l'ammoniac est-il préservé au cours du 
refroidissement dans la zone étudiée ?
II.A.6) Actuellement on pense que l'ammoniac s'est dissocié essentiellement
dans la zone étudiée ci-dessus. En supposant qu'une évolution de la pression est
responsable de cela, dans quel sens s'est-elle produite ?
Décomposition du méthane : la dissociation du méthane est la principale
source de radicaux dans l'atmosphère de Titan. Suivant l'altitude considérée, on
peut observer différents types de mécanismes.
II.B - Dissociation photocatalysée par l'acétylène
Autour de 250 km d'altitude, les photons sont principalement absorbés par 
l'acétylène C 2 H 2 . Il se produit alors le mécanisme suivant :
hi
0
0
C 2 H 2 A C2 H + H
0

0

C2 H + CH 4 A C 2 H 2 + C H 3

k o = 3, 2 u 10

­ 11 ­ 1

s

6 ­ 250 / T

k = 1, 7 u 10 e

mol

­1

uLus

­1

où la température T est exprimée en Kelvin.
II.B.1) Calculer l'énergie d'activation E a de la seconde étape du mécanisme.
II.B.2) Quelle est l'équation-bilan de la réaction correspondant à ce
mécanisme ?

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PHYSIQUE-CHIMIE

Filière MP

II.B.3) On cherche à exprimer [ CH 4 ] en fonction du temps. Pour cela on part
d'une atmosphère principalement composée de diazote (pression totale
P t = 0, 5 mbar , température T = 175 K ). L'atmosphère contient 3 % de méthane
­4
et 2 u 10 % d'acétylène (en mol). La seconde étape du mécanisme est 
suffisamment rapide par rapport à la première pour que l'on puisse considérer 
la concentration en acétylène comme constante.
a) Montrer que la vitesse de disparition v dis du méthane ne dépend que de k o
et de [ C 2 H 2 ] .
b) Calculer le temps t 1 en années qu'il faut pour observer la disparition du
méthane.
II.C - Dissociation directe du méthane
À des altitudes supérieures à 350 km , la photolyse du méthane est directe et
selon trois voies possibles :
CH 4

hi
A

0

0

CH3 + H

CH 4

A

CH 2 + H 2

CH 4

A

CH + H 2 + H

0

k 1 = 2, 2 u 10

­ 11 ­ 1

k 2 = 2, 5 u 10

­ 11 ­ 1

k 3 = 7 u 10

s

s

­ 13 ­ 1

s

II.C.1) Déterminer l'expression de la vitesse de disparition du méthane.
II.C.2) En déduire l'expression de la concentration en méthane en fonction de
temps (On notera [ CH 4 ] 0 la concentration initiale en méthane).
II.C.3) Calculer le temps t 2 en années au bout duquel 99, 9 % du méthane est
dissocié.
9
II.C.4) L'âge de Titan est d'environ 4 u 10 ans. Qu'en déduisez-vous quant à la
présence de méthane dans l'atmosphère de Titan de son origine à nos jours ?
II.D - Étude de l'eau solide
Une des sources possibles de méthane sur Titan correspondrait à la présence
d'un réservoir de clathrates de méthane (structure de molécules d'eau formant
des cages dans lesquelles des molécules de méthane sont piégées) dans sa
croûte. Il semblerait en effet que Titan possède un épais manteau de glace. Une
variété allotropique de la glace est la structure dite « diamant » : les atomes
d'oxygène occupent un réseau cubique face centrée d'arête a ainsi que la moitié
des sites tétraédriques ; les atomes d'hydrogène pointent vers les sommets des
cubes d'arête a / 2 auxquels ils sont liés. On note d 1 la plus courte distance 
entre
un atome d'hydrogène et un atome d'oxygène ( d 1 = 100pm ) et d 2 la plus 
longue.
Le paramètre de la maille a vaut 637 pm .
II.D.1) Donner le schéma de Lewis d'une molécule d'eau ainsi que sa géométrie 
(vous préciserez l'angle entre les deux liaisons O ­ H ).

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PHYSIQUE-CHIMIE

Filière MP

II.D.2) Dans un réseau cubique face centrée, où se situent les sites
tétraédriques ?
II.D.3) Représenter un huitième de maille (cube d'arête a / 2 ), dans le cas où
le site tétraédrique est occupé.
II.D.4) Combien de molécules d'eau comporte une maille ?
II.D.5) Déterminer la valeur de la distance d 2 .
II.D.6) Déterminer la masse volumique de la glace. Commentaire.
II.E - Les océans eau-ammoniac de Titan
Pendant le refroidissement de Titan, des mélanges homogènes eau-ammoniac
liquides ont formé de véritables océans, qui sont demeurés au contact de
l'atmosphère pendant près de 100 millions d'années, sous une température de
20 à 40°C. Le refroidissement se poursuivant, une épaisse couche de glace de
plusieurs kilomètres d'épaisseur a fini par se former. Actuellement, la 
température à la surface de Titan est de l'ordre de -170°C, mais il est 
probable que les
océans eau-ammoniac perdurent sous la glace, à des températures plus élevées.
Les conditions passées -- et même actuelles dans certaines zones -- ne seraient
pas totalement défavorables à l'apparition ou au maintien de micro-organismes
vivants, bien que cette hypothèse n'ait pu être validée ou infirmée pour 
l'instant.
Dans toute cette partie, on considérera que la pression est constante et égale à
1 bar.
II.E.1) Donner le schéma de Lewis de la molécule d'ammoniac, ainsi que sa
géométrie.
II.E.2) L'ammoniac est un ampholyte. Rappeler le sens de ce terme et écrire
les équations d'échanges de protons de l'ammoniac avec ses espèces conjugués
+
­
(ion ammonium N H 4 et ion amidure N H 2 ).
II.E.3) En déduire l'équation de la réaction d'autoprotolyse de l'ammoniac.
II.E.4)
a) On donne (figure 2) le diagramme binaire liquide-vapeur tracé sous P = 1
bar.
Reproduire grossièrement le graphe sur votre copie et positionner les différents
domaines d'existence/coexistence et le nom des courbes séparant ces domaines.
Quelles sont les températures normales d'ébullition de N H 3 pur et H 2 O pure ?
b) Lors du refroidissement de Titan avant formation de la glace, on considère
une zone de l'océan eau-ammoniac à l'équilibre avec sa vapeur, à 0°C. Donner la
composition des deux phases dans ces conditions.
c) On désire reconstituer en laboratoire la phase liquide envisagée à la 
question
précédente.

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PHYSIQUE-CHIMIE

Filière MP

Pour ce faire, calculer le volume
T en oC
minimum V S d'ammoniac à 100
mettre au contact d'un litre 90
d'eau liquide, l'ensemble étant
80
maintenu à 0°C. Calculer la
masse du mélange liquide ainsi 70
obtenu. Commenter la valeur de 60
V S et proposer un argument 50
microscopique pour expliquer
cette hydrosolubilité de N H 3 . 40
Pour cette question, on prendra 30
la masse volumique de l'eau 20
­3
liquide égale à 1000 kg u m .
10
d) Pour simuler des conditions
0
plus anciennes dans l'histoire de
Titan, on porte la phase liquide - 10
de l'échantillon précédent à - 20
40°C. Déterminer la masse de
- 30
liquide et de vapeur obtenues,
ainsi que leur composition en - 40 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 x 
H O
eau et en ammoniac. Comparer Figure 2 : Diagramme binaire isobare
aux résultats précédents.
liquide-vapeur eau-ammoniac
e) Sous quelle température verrait-on cet échantillon se vaporiser entièrement ?
II.E.5) On pense que dans certaines zones des océans de Titan, l'eau a pu être
majoritaire, induisant des conditions de pH plus modérées qu'ailleurs. 
Envisageons l'existence d'un tel milieu affichant une concentration c 0 en N H 
3 valant
­1
0, 1 mol u L , avant toute évolution chimique, sous une température de 25°C. À
+
--
cette température, les pK a des couples N H 4 / NH 3 et N H 3 / NH 2 sont 
respectivement 9, 2 et 23 .
a) Établir le diagramme de prédominance faisant intervenir NH 3 et ses espèces
conjuguées (ou l'une d'elles), dans le domaine de pH allant de 0 à 14.
b) Que peut-on dire de la base conjuguée de NH 3 dans l'eau ?
c) Proposer une réaction prépondérante traduisant le comportement de NH 3
dans la solution. Calculer sa constante d'équilibre.
d) En supposant que la réaction est peu avancée à l'état final, calculer le pH
de la solution. L'hypothèse était-elle satisfaisante ? Sachant que sur Terre 
dans
ces conditions de pression et de température, on rencontre des micro-organis2

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PHYSIQUE-CHIMIE

Filière MP

mes (bactéries) pour pH ) 12 , des formes de vie analogues auraient-elles 
survécu dans la zone océanique de Titan envisagée ici ?

Partie III - Les anneaux de Saturne
Les anneaux de Saturne sont formés de fragments de
roche et de glace d'eau (les « particules » de l'anneau) de 1
à 10 cm , tournant dans le plan équatorial de la planète sur
des orbites circulaires. Ils forment des bandes peu denses,
très fines (quelques centaines de mètres !) et larges (de
l'ordre de 20 000 km ). L'origine des anneaux est due soit à
la fragmentation d'un satellite naturel, soit à un nuage de
particules qui n'ont pas pu s'agglomérer.
On étudie dans cette partie l'évolution d'un nuage de particules initialement
concentrées en un anneau fin et étendu. On se place dans le référentiel 
saturnocentrique, supposé galiléen. On négligera l'attraction gravitationnelle 
des particules entre elles par rapport à l'attraction de Saturne.
III.A - Circularisation de la trajectoire
La masse de Saturne est supposée répartie de façon sphérique autour de son
centre O . Initialement, le nuage est dense, de masse M . Son centre de masse G
gravite autour de Saturne sur une orbite elliptique, d'excentricité e .Les 
particules décrivent des mouvements individuels complexes (rotation propre de 
chaque particule dans son référentiel barycentrique, trajectoires influencées 
par
des chocs...), dont l'effet moyen est un mouvement « collectif » de révolution
autour de la planète. Le moment cinétique en O dû à ce mouvement étudié dans
le référentiel saturnocentrique est appelé moment cinétique orbital. Il est noté
L Oorb . Sa norme est supposée constante pour les mouvements étudiés. 
L'extension du nuage est supposée faible devant r = OG .
*
III.A.1) On note E c l'énergie cinétique barycentrique du nuage.
Donner l'expression de l'énergie mécanique E m du nuage en fonction de M ,
*
M Sa , r , r , G , E c et L Oorb .
III.A.2) L'équation polaire de la trajectoire de G est :
2

L Oorb
---------------------------2G M Sa M
r = ---------------------------------------- où e est l'angle polaire de la 
trajectoire et e 0 une constante.
1 + e cos ( e ­ e 0 )
*

En déduire l'expression de E m en fonction de M , M Sa , G , E c , L Oorb et e .
III.A.3) Le système {Saturne + nuage} est isolé, tandis que les chocs des 
particules du nuage entre elles provoquent une augmentation de l'énergie 
cinétique

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PHYSIQUE-CHIMIE

Filière MP

barycentrique. En déduire que la trajectoire de G se circularise au cours du
temps.
III.B - Localisation équatoriale
La trajectoire du nuage est à présent circulaire mais le plan du cercle, 
contenant
le point O , a une orientation quelconque. Pour expliquer que les anneaux 
évoluent dans le plan équatorial de Saturne, on tient compte de l'aplatissement 
de
la planète.
III.B.1) Expliquer qualitativement, mais
précisément, pourquoi la rotation propre
de Saturne est la cause de son aplatissement aux pôles.

III.B.2) À cause de cet aplatissement, le
champ gravitationnel de Saturne n'est
plus exactement un champ newtonien. On
modélise la répartition de la masse de
Saturne par une sphère contenant deux
cavités sphériques vides (Figure 3). MonFigure 3
trer que cette répartition crée le même
champ gravitationnel que la superposition
des trois sphères ci-contre :
· ( S 0 ) est homogène, de masse volumique l < 0 , de masse M 0 , de centre O , 
de
rayon R Sa ;
· ( S 1 ) et ( S 2 ) sont homogènes, de masse volumique ­ l , de masse ­ m , 
centrées
sur A et B respectivement, de rayon R = R Sa ­ b .
On pose b = OA = OB et M Sa = M 0 ­ 2m .
III.B.3)
a) Exprimer le potentiel gravitationnel V ( r, _ ) en un point P de l'espace 
créé
par Saturne en fonction des données précédentes.
b) On se place loin de la planète c'est-à-dire tel que r » R Sa . Montrer que le
potentiel V ( r, _ ) se met alors sous la forme :
2

G M Sa £
R Sa £ 3 2
1 ¥
V ( r, _ ) = ­ ------------------- ² 1 ­ J 2 ---------- --- sin _ ­ ---¥¦ ´
2 ¤2
r ¤
2 ¦
r
où J 2 une constante positive dont on donnera l'expression en fonction de M Sa ,
m , R Sa et b .
c) Application numérique : le rayon équatorial de Saturne ( R Sa ) est supérieur
de 11% au rayon polaire ( b ) . Calculer la valeur de J 2 .

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PHYSIQUE-CHIMIE

Filière MP

III.B.4) Quelle est l'expression de l'énergie mécanique E m du nuage, en fonc*
tion de M , V ( r, _ ) , r , G , E c et L Oorb ?
III.B.5) Les conditions d'évolution sont les mêmes que dans la question III.A.3.
Montrer qu'alors la trajectoire se rapproche du plan équatorial de Saturne.
III.C - Étalement du nuage
Le nuage est encore compact et peu étendu. Son centre de masse G suit une 
trajectoire circulaire dans le plan équatorial de Saturne. Cette planète exerce 
une
force newtonienne sur le nuage. Le nuage est d'abord concentré en une masse
quasi ponctuelle. Les collisions entre les particules vont étaler ce nuage tout 
en
conservant son moment cinétique orbital L Oorb . On considère que les particules
du nuage ont formé un anneau très fin homogène, de rayon r 0 = 150 000 km .
III.C.1) Exprimer le moment cinétique orbital L Oorb en O et son énergie 
mécanique E m de l'anneau en fonction de G , M Sa , M et r 0 .
III.C.2) L'anneau fin va s'étaler en un anneau plat, dans le plan équatorial du
fait de la dissipation de son énergie mécanique par le biais des collisions 
entre
particules. On suppose que cet anneau plat est homogène, de masse surfacique
m , et qu'il s'étend de la distance r 1 à r 2 de O . Exprimer le champ des 
vitesses
v ( r ) pour r 1 < r < r 2 . En déduire l'expression du moment cinétique L o v 
en O et
de l'énergie mécanique E m v de l'anneau en fonction de G , M Sa , M , r 1 et r 
2 .
III.C.3)
a) Montrer que la conservation du moment cinétique de l'anneau implique que
r 1 et r 2 sont liés. Exprimer cette relation sous la forme
r2
r1
----- = f ( X ) où X = ----- . Donner l'expression de f ( X ) .
r1
r0

b) Exprimer la variation relative d'énergie mécanique
r1
r2
6E m
Em v ­ Em
------------ = ------------------------- en fonction de ----- et ----- .
r2
r0
Em
Em

Concours Centrale-Supélec 2009

11/12

PHYSIQUE-CHIMIE

Filière MP
r

r

On donne le tracé de ----2- en fonction de ----1- . Compléter le tableau 
ci-dessous et
r0
r0
conclure.

r1
----r2

1

6E m
-----------Em

0

0, 8

0, 6

0, 5

c) Donner la largeur relative
r2 ­ r1
---------------- de l'anneau lorsque 1% de l'énergie initiale a été dissipée.
r0

··· FIN ···

Concours Centrale-Supélec 2009

12/12

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique et Chimie MP 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sébastien Dusuel (Professeur en CPGE) et Tiphaine
Weber (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Stanislas 
Antczak
(Professeur agrégé), Sandrine Brice-Profeta (Professeur agrégé en école 
d'ingénieur),
Julien Dumont (Professeur en CPGE) et Thomas Tétart (ENS Cachan).

Ce problème, intitulé « Le Seigneur des Anneaux », s'intéresse à des aspects 
physiques et chimiques ayant trait à la planète aux anneaux bien connus, 
Saturne.
· La première partie porte sur l'un des nombreux mystères qu'offrent aux 
astrophysiciens les planètes géantes gazeuses, en particulier Saturne et 
Jupiter : elles
rayonnent plus d'énergie qu'elles n'en reçoivent du Soleil. Après un peu de 
statique des fluides utilisant l'analogie électrostatique-gravitation et 
permettant
de se faire une idée approximative de la structure interne de Saturne, la 
partie I.A aborde le calcul de sa température de surface. La différence 
importante
entre la température théorique ainsi obtenue et celle que l'on mesure est la 
motivation de la partie I.B. La luminosité « excessive » de Saturne y est 
expliquée
par la théorie de la « pluie d'hélium », qui dissipe de l'énergie par 
frottements
avec l'hydrogène métallique liquide, dans lequel l'hélium est insoluble. C'est
l'occasion d'étudier une analogie entre courants électrique et massique.
· La deuxième partie s'intéresse aux données obtenues sur le satellite Titan par
la sonde Huygens. Elle fait intervenir l'ensemble du programme de chimie.
De la thermodynamique d'une réaction de dissociation de l'ammoniac à la 
cinétique de la décomposition du méthane, les premières sous-parties permettent
de décrire l'évolution de l'atmosphère de Titan. Les deux dernières sous-parties
envisagent l'existence d'océans eau-ammoniac souterrains, par une approche
cristallographique de la glace diamant puis par l'exploitation du diagramme 
binaire H2 O/NH3 et le calcul du pH d'une telle solution. Cette partie ne 
présente
pas de difficulté majeure mais elle est longue. Il ne faut pas hésiter, dès que
c'est possible, à faire des approximations afin d'alléger les calculs.
· La dernière partie explique pourquoi les anneaux de Saturne sont circulaires,
localisés dans le plan équatorial de la planète et étendus radialement. Ces 
questions demandent de maîtriser la mécanique du point (en particulier les 
mouvements à force centrale) et des systèmes, ainsi que le principe de 
superposition.
Un développement quadrupolaire, introduit de façon didactique (cette notion
étant hors-programme), est demandé dans la sous-partie III.B. La difficulté 
essentielle de cette partie réside dans la compréhension de l'énoncé : les 
textes
introductifs des sous-parties ne sont pas toujours limpides.
Bien que ce sujet soit intéressant et de difficulté raisonnable, on peut 
regretter
son manque de précision et de clarté, en particulier dans la troisième partie ; 
il n'est
pas toujours aisé de comprendre quelles approximations sont implicitement 
faites.
De plus amples renseignements sur les sondes Cassini-Huygens et les programmes
scientifiques associés sont disponibles en ligne :
http://saturne.jpl.nasa.gov (en anglais)
http://www.cnes.fr/web/CNES-fr/323-cassini-huygens.php (en français)

Indications
--

I.A.3.a Commencer par montrer que -
g (-
r ) = grad P.
I.A.4.b On peut utiliser la conservation de l'énergie pour calculer la 
puissance surfacique atteignant Saturne et la multiplier par la surface qui 
l'intercepte.
I.A.4.c Écrire l'équilibre radiatif de Saturne.

-
I.B.2 Où se situent les gouttelettes qui vont traverser d S pendant dt ?
I.B.3.b Que vaut la puissance volumique de la force de Lorentz ?
I.B.3.c La question est plutôt mal posée. Utiliser la question I.B.3.a pour 
calculer
la puissance dissipée. Écrire ensuite un bilan de puissance, en prenant en
compte les deux sources d'énergie de Saturne : le Soleil et la pluie d'hélium.
II.A.4 L'approximation d'Ellingham permet de calculer r G en négligeant les
variations de r H et r S en fonction de la température.
II.A.5.a Exprimer les pressions partielles à l'équilibre en fonction de .
II.B.3.b Intégrer la loi de vitesse obtenue à la question précédente. Le 
rapport des
concentrations [CH4 ] / [C2 H2 ] est égal au rapport des abondances molaires
de ces deux composés dans l'atmosphère.
II.D.1 Discuter des encombrements relatifs des doublets liants et non liants 
autour
de l'atome central.
II.D.3 Afin de former des liaisons hydrogène, les atomes d'hydrogène se trouvent
entre les atomes d'oxygène les plus proches.
II.D.4 Pour dénombrer les molécules contenues dans une maille, compter les 
barycentres de ces molécules à l'intérieur de la maille. Pour l'eau, cela 
revient
à décompter les atomes d'oxygène sur le schéma de la question II.D.2.
II.D.5 La distance entre deux atomes d'oxygène adjacents vaut d1 + d2 .
II.E.4.a La température normale d'ébullition d'un corps pur est la température 
pour
laquelle ce composé bout, sous la pression atmosphérique.
II.E.4.c Modifier la composition du mélange à température constante revient, 
sur le
diagramme binaire, à se déplacer le long d'une horizontale. Il faut ajouter
assez d'ammoniac pour avoir la première bulle de vapeur.
II.E.4.d Utiliser le théorème des moments chimiques.
III.A.1 Utiliser le théorème de König, ainsi que les résultats de mécanique du 
point
pour un mouvement à force centrale.
III.A.2 L'énergie mécanique totale Em est la somme de l'énergie cinétique 
barycentrique Ec et de l'énergie mécanique E m = -G MSa M/(2a) associée au
mouvement du barycentre G du nuage dans le champ gravitationnel de
Saturne. Exprimer le demi-grand axe a en fonction de e.
III.A.3 Comment évolue l'énergie mécanique du système ?
III.B.3.b Commencer par développer V(r, ) à l'ordre deux en b/r.
III.B.4 Considérer la trajectoire comme circulaire.
III.C.1 Établir l'expression de la vitesse v0 d'un point de l'anneau. L'énergie 
cinétique barycentrique n'intervient plus ici.
III.C.2 Procéder comme à la question précédente pour trouver v(r). En déduire le
moment cinétique et l'énergie mécanique par intégration. Trouver le lien
entre  et M pour éliminer .
III.C.3.a Qu'implique LO orb = LO ?
III.C.3.b On aura plutôt avantage à exprimer Em /Em en fonction de X uniquement.

Le Seigneur des Anneaux
I. Bilan radiatif de Saturne
I.A.1 La masse volumique moyenne de Saturne vaut
=

3 MSa
-3
3 = 689 kg.m
4  RSa

Saturne étant composée d'éléments légers comme l'hydrogène et l'hélium, elle est
en moyenne moins dense que l'eau liquide.
Tout comme les données de l'énoncé, les applications numériques sont
fournies avec trois chiffres significatifs.
On aurait aussi pu comparer la masse volumique de Saturne à celle de
la Terre, à condition de se souvenir que cette dernière a un rayon moyen
de 6,37.106 m et une masse de 5,97.1024 kg. L'application numérique donne
Terre = 5,51.103 kg.m-3 , soit huit fois plus que la masse volumique de 
Saturne. En fait, Saturne est la seule planète du système solaire à être moins
dense que l'eau liquide. Jupiter, qui est aussi une géante gazeuse, a une masse
volumique de Jupiter = 1,24.103 kg.m-3 , valeur qu'on peut calculer avec les
données de l'énoncé, en remarquant tout de même que Jupiter a un rayon
(équatorial) de 7,15.107 m et non de 7,15.107 km. Quant au Soleil, étoile du
système solaire, ces mêmes données fournissent Soleil = 1,42.103 kg.m-3 ,
valeur à nouveau supérieure à celle de l'eau liquide.
I.A.2 Si la masse est supposée uniformément répartie, la distribution de masse 
est à

. L'analogie électrostatiquesymétrie sphérique, ce qui implique que -
g (-
r ) = g(r) -
u
r
gravitation permet d'écrire, pour le théorème de Gauss,
ZZ

-

-
g · d S = -4 G Mint
S

où Mint est la masse intérieure à la surface fermée S. Choisissons comme 
surface de
Gauss S la sphère de rayon r < RSa , pour obtenir

3
4
r
4 r2 g(r) = -4 G   r3 = -4 G MSa
3
RSa
puis

G MSa -
-

g (-
r)=-
3 r ur
RSa

À la surface de Saturne, la formule précédente fournit (en norme)
g0 = -g(RSa ) =

G MSa
= 11,2 m.s-2
2
RSa

La notation -
g (r) de l'énoncé est à proscrire, car le champ de gravitation
-

-
-

 dépend de  et  en
g ( r ) = g(r) ur ne dépend pas que de r, puisque -
u
r
coordonnées sphériques.

Qui plus est, l'énoncé confond à tort champ de pesanteur et champ de
gravitation, probablement sous prétexte que le référentiel lié à Saturne est
supposé galiléen. Or, ce n'est pas le cas en pratique puisque Saturne tourne
sur elle-même avec une période T = 10 h 47 min. Par conséquent, toujours
dans l'approximation (grossière) d'une distribution de masse à symétrie 
sphérique, le champ de pesanteur à l'équateur vaut
 2
2
= 9,68 m.s-2
g0 - RSa
T
soit une correction de près de 14% ! La prise en compte de la non-sphéricité
de Saturne modifierait sans aucun doute ce résultat, mais on se contente ici
d'utiliser le modèle suggéré dans l'énoncé.
I.A.3.a La symétrie sphérique de la distribution de masse montre que le champ de
- --
pression ne dépend que de r. La loi de la statique des fluides FV = grad P ne 
met ici
--

en jeu que la force volumique correspondant à la gravitation, soit -
g (-
r ) = grad P.

La seule relation non triviale qui en découle vient de la projection sur -
u
r

dP
G MSa
-
3 r = dr
RSa
dont l'intégration par rapport à r, avec la condition P(RSa ) = 0, fournit

 G MSa
2
P(r) =
RSa
- r2
pour
r < RSa
3
2 RSa
Dans ce modèle (grossier), la pression au centre de Saturne a une valeur de
 G MSa
P(0) =
= 225 GPa. Ceci justifie de négliger la pression en surface.
2 RSa
I.A.3.b L'hydrogène métallique existe pour r < rmét tel que

 G MSa
2
2
Pmét =
RSa
- rmét
3
2 RSa
r
2 RSa Pmét
soit
rmét = RSa 1 -
= 1,93.107 m
 G MSa
Cette valeur correspond à 33,1% du rayon de Saturne.
I.A.4.a D'après la loi de Stefan, le Soleil émet une puissance surfacique  TS 4 
,
qu'on multiplie par la surface 4 RS 2 du Soleil pour obtenir la puissance 
totale émise
0 = 4  RS 2 TS 4 = 3,64.1026 W
I.A.4.b Par conservation de l'énergie, la puissance surfacique rayonnée par le 
Soleil
0
à la distance dSaS a pour expression
2 . Saturne intercepte cette puissance
4 dSaS
2
surfacique sur une surface  RSa
et par conséquent

2
RSa
abs = a 0
2 dSaS