Centrale Physique et Chimie MP 2006

 

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Le sujet de physique se compose de deuxproblèmes indépendants relatifs au
cyclotourisme. Le premier aborde le problème de l'éclairage tandis que le second
s'intéresse à la régulation thermique du cycliste pendant l'effort.

Partie I - Alternateur de bicyclette

I.A -- Schéma de principe
On peut représenter un alternateur de bicyclette de la façon suivante :

0 Un aimant permanent, assimilable à un dipôle magnétique de moment 1ÎÎ
tourne dans le plan (0, fr, È) en faisant avec l'axe (0, ÿ ) un angle 6 : oet , 
avec
ou constante.

0 Une bobine comportant N tours de fil, chaque tour étant assimilable à une
spire de rayon a , de résistance r et d'inductance L est placée dans le plan
(O,5È,Ë), centrée en O , sa normale étant dans le sens de ÿ . Cette bobine,
branchée en série avec une résistance R représentant les lampes de la bicy-
clette, est parcourue par un courant i(t) .

(On rappellgqu'uq îipôle magnétique de moment Il? est équivalent à une boucle
de courant M : IS, S étant supposé beaucoup plus petite que la surface d'une
spire de la bobine).

I.A.1)

a) Rappeler l'expression du champ magnétique créé, en un point de son axe, par
un bobine circulaire de rayon a , d'axe Oy , comportant N spires parcourues par
le courant i(t) ; on précisera sur un schéma la signification des paramètres 
uti-
lisés dans cette expression.

b) Exprimer le flux % du champ magnétique créé par cette bobine à travers la
spire, équivalente au dipôle magnétique, de vecteur surface S .

c) En utilisant les propriétés des coefficients d'inductance mutuelle % 12 et

%21 de deux circuits (1) et (2), déduire de ce qui précède le flux magnétique @ 
M
envoyé par le dipôle dans la bobine de rayon a en fonction du temps t . On 
expri-
mera le résultat en fonction de N , M , a , oe , t et de la splitéabilité 
magnétique
du vide u0.

I.A.2) En déduire le flux total © traversant la bobine, puis la force électromoÂ
trice d'induction @ dont la bobine est le siège, en fonction de M, N, L, a, i, 
m et MO .

I.A.3) En déduire l'équation différentielle vérifiée par i(t) .

I.A.4) En régime permanent, on pose i(t) : Icos(oet + xp) , 1 étant un nombre
réel positif.

Déterminer les expressions de I et il) en fonction des données du problème.

I.A.5) Tracer le diagramme de Bode de I [représentation de 2010g(1) en fonc-
tion de log(oe) ] et de mp [représentation de u; en fonction de log(oe) ].

Quelle est la fonction réalisée par ce filtre ?

I.A.6) Soit U R la tension maximale aux bornes de la résistance R . On pose
UM : lim (UR) . Quelle est la valeur de UM '?

(D'--) 00

I.A.7 ) Calculer la puissance instantanée absorbée par R . En déduire la puis-

sance électrique moyenne (P } absorbée par les lampes de la bicyclette en
fonction de UM, R, L, 0), r.

électrique

Remarque : (X) représente la valeur moyenne de X (t) .

I.A.8) Rappeler l'expression du couple Î" exercé sur un dipôle magnétique

plongé dans un champ magnétique extérieur B uniforme. En admettant que le
champ créé par la bobine est uniforme au niveau de l'aimant tournant, calculer
le couple instantané qu'il faut appliquer sur l'aimant pour que la vitesse angu-
laire de ce dernier soit constante, ainsi que la puissance mécanique instantanée
fournie correspondante en fonction de UM, R, L, oe, r.

I.A.9) En passant aux valeurs moyennées
dans le temps, établir la relation entre

{Pmécamque) et {Pélecmque> . Quel est le rendement
de l'alternateur ainsi modélisé ?

pneu

...... ""'"--

molette

I.A.10) Applications numériques :
u0 : 4n10_ US]

La puissance moyenne absorbée par les lampes
de la bicyclette doit être de 3W sous une tension
maximale de 6V pour obtenir un fonctionne-
ment correct. L'axe de rotation de l'aimant est ,

solidaire d'un axe mis en mouvement par le contact d'une molette de diamètre
dm : 25mm au contact du pneu, au voisinage immédiat de la bande de roule-
ment. Le moment magnétique d'un aimant courant vaut 4,0 U.S.I . , la bobine est
réalisée en bobinant 100 tours de fils sur un support de 4 cm de diamètre. La

résistance électrique obtenue est de 19 .
° Calculer oo pour un vélo avançant à une vitesse de 15 km/h.

° Calculer R pour que la puissance maximale dissipée dans les lampes soit de
3W .

° Calculer la valeur de L permettant d'obtenir la tension convenable aux bor--

nes des lampes quelque soit la vitesse du cycliste.

° Calculer numériquement la quantité B; r. Quelle est sa signification dans

le diagramme de Bode ? Le fonctionnement d'un alternateur qui serait cons--
truit conformément à ce modèle théorique serait--il satisfaisant '?

I.B - Une réalisation pratique

Un inventeur a déposé
à l'Institut National de
la Propriété Indus-
trielle (INPI) dans le
courant de l'année
2000, le brevet suivant,
peu compréhensible en
première lecture :

Alternateur sans balais à rotor extérieur

« La présente invention
concerne un alternateur a
induit extérieur sans
balai, et plus particulière-
ment une dynamo de bicy--

clette, dont l'induit est constitué d'une structure à aimants permanents et 
d'une culasse
en forme de corps de cylindre réalisée dans un matériau magnétique dur ou mou, 
entre
lesquels aimants permanents et l'induit se trouve un passage annulaire dans 
lequel
s'enfonce une bobine à noyau d'air encastrée a une extrémité. Afin de permettre 
la dissi-
pation de la chaleur, l'induit présente des lumières ou fentes ou bien alors, 
par le biais
d'un arbre creux de l'alternateur et de prises d'air, l'air circule et est 
amené au passage
annulaire ou en est évacué. Lors de l'entraînement d'un alternateur a induit 
extérieur
sans balai au moyen d'un induit multipolaire et d'une bobine, laquelle comporte 
un nom-
bre de pôles identique à celui de ses enroulements, les ehroulements à bobine 
ou une par-
tie d'entre eux sont mis en circuit selon la combinaison souhaitée soit 
parallèlement les
uns aux autres soit en série en fonction de la fréquence de la tension 
alternative qui est

obtenue. Grâce à cela, il en résulte une augmentation de la tension 
d'alternateur ou du
rendement électrique.»

La suite de ce problème se propose d'étudier théoriquement ce dispositif, en le
modélisant ainsi (voir figures ci-après).

24

spires

| _ ' induit (stator)

)

Figure 2 : lnduit vu
de dessus

à

S]

Figure 3 : Ëpire
S] seule

trace des
sp1res

/ / Figure 1 :Vue générale
/ Les spires sont représentées
hors de l'entrefer

Figure 1 bis : vue
générale de dessus x

L'induit est formé de quatre spires indépendantes, reliées électriquement en
série. Chaque spire est constituée de N tours de fil, géométriquement disposés
sur deux segments parallèles à l'axe des cylindres, et deux arcs de cercle 
centrés
sur l'axe reliant les segments verticaux. Le fil est bobiné de façon telle que 
les

normales de deux spires adjacentes soient de sens contraire selon %. La hau-
teur de chaque spire sera notée h , et le rayon de l'arc de cercle a .

L'ensemble de ces quatre spires est immobile par rapport au repère Oxyz .

Le rotor est un cylindre aimanté tournant à vitesse angulaire constante (»
autour de l'axe Oz . Ce cylindre présente un entrefer ayant la forme d'une gorge
cylindrique dans laquelle l'ensemble des quatre spires peut se placer.

Remarques :

° Les quatre spires S i sont isolées électriquement les unes des autres le long 
des côtés
parallèles à l'axe Oz .

Un dispositif, non représenté sur la figure, permet de les brancher en série de 
façon à
ce qu'elles soient parcourues par le même courant.

° Les indications des pôles Nord et Sud sont représentés pour des raisons de 
commodité
sur les figures 1 et 1bis dans le plan supérieur des aimants (parallèle à xOy 
), mais
les pôles sont en réalité au niveau des surfaces cylindriques situées dans 
l'entrefer,
créant ainsi dans ce dernier un champ radial.

Soit E) l'angle permettant de repérer un point situé sur une des surface S,, 90

l'angle de rotation du rotor aimanté par rapport au repère Oxyz .
+

Le champ magnétique B B
créé dans l'entrefer sera sup-
posé radial, son module indé-
pendant de 2 sur toute la
hauteur de chaque spire, et
dont la dépendance en fonc-
tion de 9 -- 90 est représentée
par la fonction représentée
ci-contre.

I.B.1) Montrer que pour
la spire S] , le flux (1)! a pour
expression :

(a) si (80EUR [O, --]) : » = 0,3 U.S.l.

Coefficient de transfert conducto--convectif peau/air intervenant dans la loi de
Newton, en fonction de V , norme de la vitesse relative de l'air par rapport à 
la
peau :

Kc=5+5v ; KC en WK_l m_2 ; V en ms"l
Masse du cycliste : m = 80 kg Taille du cycliste : h = 1,80 m

II.A - Modélisation

II.A.1) Détermination du coefficient global de transfert thermique entre le
corps et l'extérieur

a) Rappeler la loi de Stefan pour le rayonnement thermique d'un corps noir, et
donner sa signification énergétique.

b) En considérant que le corps humain se comporte comme un corps noir de
température de surface T8 dans un environnement extérieur rayonnant comme

un corps noir à la température Ta , montrer que la puissance surfacique échan-
gée par le corps humain avec son environnement peut se mettre sous la forme

approchée p,. : k(Ta -- Ts) pour T8 peu différente de Ta , ou le est un 
coefficient
que l'on exprimera en fonction de o et Ta

Calculer numériquement le pour Ta : 298 K

c) On admettra que le coefficient k calculé précédemment pour 298 K varie peu

pour les températures ambiantes qui seront considérées par la suite (typique--
ment entre 0° C et 40° C ).

En déduire que le coefficient de transfert total entre la peau et l'air 
(conduction

-convection-rayonnement) est alors donné par la formule approchée
_ _7
K =11+5V(enWK'm ")

CÏ'

Il.A.2) Représentation du corps humain

Pour faciliter les calculs, on désire modéliser le corps humain par une sphère 
de
rayon R .

À l'aide des données numériques fournies, calculer la surface de peau du
cycliste. En déduire le rayon R .

II.B' - Modèles physiques de thermorégulation

II.B. 1) Premier modèle

La température interne du corps est Ti tandis que la température ambiante
extérieure est Ta . On supposera que les pertes thermiques ne se produisent que
sur la surface extérieure, la vitesse de l'air par rapport à la sphère étant 
nulle.

S,Ti et Ta.

b) En déduire la plage de température ambiante Ta permettant la régulation
thermique.

a) Ecrire la relation entre la puissance de thermogenèse PM, Km.,

c) Faire l'application numérique pour l'organisme au repos. Conclusion ?
II.B.2) Deuxième modèle

Afin de réguler sa température, le corps humain est capable de limiter ou de
favoriser la circulation sanguine dans ses couches périphériques (vasoconstric-
tion ou vasodilatation), le sang étant le principal responsable de l'uniformisa-
tion de la température interne (homéothermie).

On considérera donc toujours le corps humain comme une sphère de même
dimension que précédemment. Le volume est décomposé en deux zones :

° une zone centrale de rayon R--e, thermorégulée, dont la température est
constante et égale à Ti ,

° une zone périphérique de transition d'épaisseur e constituée de tissus 
faible--
ment irrigués, siège'uniquement d'une conducti0n thermique radiale.

a) Equation de la chaleur dans la zone de transition

° Rappeler la loi de Fourier de la conduction) thermique. Préciser la direction
du vecteur densité de courant thermique jth

° En faisant un bilan énergétique pour la couche contenue entre les sphères de
rayon r et r + dr , établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par T 
(r, t)
dans la zone de conduction (on pourra introduire toute donnée utile non
explicitement fournie dans l'énoncé).

b) Dans le cas du régime permanent, montrer que T : % + B. Déterminer les
constantes A et B en fonction de T,- , Ts , R et e .

c) On pose 8 : R--r . En supposant que e « R , montrer que dans la zone de tran-
sition, T(s) est alors une fonction linéaire de a (on vérifiera que les valeurs
extrêmes de T(s) pour s = 0 et s = e sont convenables).

d) En utilisant l'expression du flux thermique, exprimer PM en fonction de
R,À,e,T,- et T8.

e) Exprimer de même la relation donnant PM en fonction de R, K Ts et Ta .

CÏ"

f) En déduire la relation donnant T,- -- Ta en fonction de PM.

g) Dans les ouvrages de physiologie, on estime que le volume de la zone de con-
duction (zone de vasoconstriction/vasodilatation) peut représenter un pourcen-
tage x compris entre 20% et 50% du volume total.

Calculer e en fonction de R et de x . Faire l'application numérique pour les 
deux
valeurs extrêmes de x .

h) On suppose l'air immobile par rapport à la peau.

° pour un organisme au repos, calculer les valeurs extrêmes de Ta pour les-
quelles la régulation thermique est possible.

° pour un organisme effectuant un effort modéré, calculer de même les valeurs
extrêmes de Ta pour lesquelles la régulation thermique est possible.

i) On considère maintenant un cycliste effectuant un effort modéré en roulant
à 18 km/h dans une atmosphère sans vent.

Calculer les valeurs extrêmes de Ta pour lesquelles la régulationthermique est
possible.

La régulation est-elle possible si la température extérieure est de 30° C ?
II.B.8) Troisième modèle

Le dernier phénomène intervenant dans la thermorégulation est la transpira-
tion. Dans le domaine de température considéré, l'évaporation de la sueur
nécessite une enthalpie massique de changement de phase de l'ordre de
LU : 2450 J/g.

Soit M le débit massique de sueur produite par l'organisme (en g/heure ). On 
sup-
posera que l'évaporation est suffisamment rapide pour ne pas avoir d'accumula-
tion de sueur sur la peau : la surface du corps reste donc pratiquement sèche.

a) La transpiration ne modifiant pas de façon notable la conduction de la cha-
leur dans la zone périphérique, calculer la différence Ti -- TS .

b) En faisant un bilan thermique à la surface, exprimer Ts 4 Ta en fonction de
PM' M,LU,R et KCÏ"°

c) Déduire des deux relations précédentes l'expression de M en fonction de
Ti, Ta, PM et des données du problème.

d) Applications numériques :

calculer la valeur minimale de M en g/heure dans les cas suivants :

° corps au repos, Ba : 30° C.

' cycliste fournissant un effort important, Ba : 35° C , vitesse V = 18 km/h.

' Les ouvrages de physiologie font état de débit de transpiration pouvant
valoir jusqu'à plusieurs litres par heure dans des conditions extrêmes. Le
modèle présenté ici vous paraît-il satisfaisant ?

e) Ce qui est présenté ici ne vaut que pour une atmosphère sèche. Dans une
atmosphère humide, la vitesse de l'évaporation diminue quand la pression par--
tielle de l'eau augmente, jusqu'à s'annuler quand cette pression devient égale à
la pression de vapeur saturante à la température considérée. Expliquer quelle
est l'influence du taux d'humidité de l'atmosphère sur la régulation thermique.

Partie III - Le chlore et ses dérivés

La désinfection des eaux de piscine fait encore largement appel au chlore et à
ses dérivés.

L'objet du problème suivant est d'aborder quelques aspects de ce traitement.

III.A - L'élément chlore

III.A.1) Donner la structure électronique du chlore.

III.A.2)

a) A quelle famille d'éléments chimiques appartient le chlore ?

b) Donner le nom des autres éléments chimiques de cette famille.
III.A.3) Donner la structure de Lewis de Cl2, Cl', H C10, ClO' .

III.A.4) Indiquer la géométrie de la molécule HClO, obtenue à partir de la
méthode VSEPR.

III.B - Oxydoréduction

III.B.1) Dans les conditions standard, à 298 K, le potentiel chimique du
dichlore en solution aqueuse vaut :

u°(298K)Clz(aq) : + 5, 70 w...." (u°(298K)CZ2(g) = o kJ. mol--l) .

Déterminer la concentration en Cl2(aq) d'une eau en présence de dichlore
gazeux sous une pression de 1 bar, à 298K .

III.B.2) Lecture du diagramme E = f ( pH ) ci-après.

a) Déterminer le nombre d'oxydation de l'élément chlore pour les espèces inter--
venant dans le diagramme: Cl2(aq), Cl',HClO, ClO'. Quelles sont les espèces
qui peuvent se comporter comme des oxydants, des réducteurs ?

b) Identifier les espèces A, B, C, D .

c) Déterminer, à partir du diagramme et en justifiant la méthode utilisée :
° le potentiel standard du couple H ClO/ Cl" .

° le pKa du couple HClO/ClO'

0 Comparer les valeurs déterminées à celles indiquées dans l'énoncé.

d) Calculer les pentes des différentes frontières du diagramme.

III.B.3) Écrire la réaction de dismutation du dichlore en solution aqueuse, cal-
culer sa constante d'équilibre.

E(V) 1.8
..l"ll"llll'l
I'll-""IIIIII
SII-"."IIIIII
Ë_!---I".-E--I

Illllllllflll'l

Il.lllllllfi!ll
I'll-IIIIIIIË!

11

13 14 pH
Diagramme potentiel- pH du chlore

1.5

1.4

1.3

1.2

1.1

0.9

0.80

Le diagramme ci-dessus est tracé pour une concentration totale en élément
chlore dans la solution aqueuse de c = 0, 100 mol.L_l . La frontière entre 
espèces
correspond à l'égalité des concentrations molaires en élément chlore de part et
d'autre de cette frontière.

III.C - L'eau de Javel

L'eau de Javel est une solution aqueuse équimolaire d'ions N a+ et Cl O' .

Le degré chlorométrique désigne le nombre de litres de dichlore qui peuvent être
libérés par l'addition d'acide chlorhydrique en quantité non limitante à un 
litre

d'eau de Javel dans les conditions normales de température et de pression
(273 K, 1, 013bar) .

III.C.1) À combien de moles de dichlore correspond un litre d'eau de J avel com-

merciale à 48 « degrés chlorométriques » ?

. .. 3
Dans une p1sc1ne de 60 m

degrés chlorométriques.

, on introduit de l'eau de {Javel commerciale à 48

III.C.2) Quelle est la concentration des ions ClO_ , en mol.L_l , d'une 
solution à
1 mg.L_l en élément chlore ? En déduire le volume d'eau de J avel commerciale à
verser dans la piscine pour obtenir la même concentration.

III.C.3) Quel est alors le pH de l'eau de la piscine ?

III.C.4) Quel volume d'acide chlorhydrique à 9 mol.L_
amener le pH de cette eau à 7,5 . --

l .
do1t -on verser pour

III.C.5) Quelle est la propriété de cette eau ?

III.C.6) Quel risä1»ue y a-t-il à verser de l'acide chlorhydrique dans de l'eau 
de
J ave] concentrée ?

III.D - Réaction de Deacon

La production de dichlore est actuellement assurée essentiellement par électro-
lyse d'une solution aqueuse de chlorure de sodium. Cependant, dans le cas où on
souhaite valoriser le chlorure d'hydrogène obtenu comme sous produit dans des
synthèses organiques, on utilise la réaction de Deacon :

4HCl(g) + Oz(g) : 2H20(g) + 2Clz(g)
III.D.1)

a) Calculer l'enthalpie libre standard de réaction en fonction de la température
(on se placera dans le cadre de l'approximation d'Ellingham).

b) Calculer la constante d'équilibre K° à 750 K

lll.D.2) Sous une pression de 1 bar, maintenue constante, àla température de
750 K, on mélange une mole de dioxygène et 4 mole de chlorure d'hydrogène.
Calculer la composition du système à l'équilibre. '

IlI.D.8) Indiquer et justifier dans quel sens évolue cet équilibre, si :
a) on augmente la température, la pression étant maintenue constante ;
b) on augmente la pression, la température étant maintenue constant ;

c) on introduit une faible quantité d'air, la pression et la température étant
maintenues constantes.

III.D.4) Cette réaction est catalysée par du chlorure de cuivre Il . Quel est
l'effet du catalyseur sur la réaction '?

III.E - Diagramme binaire H Cl/ H 20
Diagramme binaire H 20/ H Cl
9 120 ----

<°C> Ï,Z rar---
,, -|--L'

-

l\')

Illll!lilfill
llllllllli

-100

Pour ajuster le pH d'une eau trop basique, on peut ajouter de l'acide 
chlorhydri-
que, solution aqueuse de chlorure d'hydrogène. Le diagramme binaire liquide
vapeur du mélange H 2O/H Cl sous une pression de 1 bar est représenté ci-des-
sus. (En abscisse est porté le pourcentage en masse en chlorure d'hydrogène, en
ordonnée la température en °C ).

III.E.l) Préciser la nature des domaines A, B, C, D. Indiquer le nom des cour-

bes frontières entre D, B et A ; entre D, B et C. Quelle est la particularité du
point E ?

III.E.2) Déterminer à 25°C sous une pression de 1 bar, la composition de la

phase liquide, en équilibre avec la phase vapeur. En déduire la solubilité du
chlorure d'hydrogène, en litres pour 1 kg d'eau.

III.E.3) La solution commerciale a un titre massique en H Cl égal à 83 %.
a) Déterminer la température de début d'ébullition de cette solution.

b) Un kilogramme de cette solution commerciale est portée à 90°C, sous une
pression de 1 bar. Déterminer :

° la masse de la phase liquide ;

° la masse de la phase vapeur

° la masse de chlorure d'hydrogène contenu dans la phase vapeur ;
° la masse de chlorure d'hydrogène contenu dans la phase liquide.

Données :

Nombre atomique du chlore Z = 17 , de l'oxygène Z = 8 , de l'hydrogène Z = 1

Masse molaire atomique du chlore : 35, 5 - 10""kg.mol"'

--3 1

Masse molaire atomique de l'hydrogène : 1,0 - 10
couple HClO/ClO'pKa : 7,5 ; [(eau : 10--14 ;
R = 8,314 J.mol_'.K_l

Dans la relation de Nernst, on prendra %Ln( 10) = 0, 059V à 298 K

kg.moÎ

Potentiels rédox standards :

HClO/Cl' Clz(aq)/Cl' HClO/Cl2(aq) I,(aq)/I' S4oä'/s,oâ'
E (à pH : 0' 1,49V 1,39 1,59 0,62 0,08
en Volt

AfS°(298 1<)J.mo1"'.K"l 186,77 223,06 000 FIN ooo