Centrale Physique et Chimie 1 MP 2016

Physique--chimie 1
MP

4 heures Calculatrices autorisées

2016

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La magnétosphère de la Terre
D'après : Gilbert Pietryk (sous la direction de), Panorama de la physique, Pour 
la Science, Belin, 2007.

La magnétosphère est la dernière enveloppe d'une planète, avant le milieu 
interplanétaire. Ce milieu est dominé
essentiellement par le vent solaire, constitué de protons et d'électrons très 
rapides. Comme son nom l'indique,
la magnétosphère est caractéristique des planètes qui ont un champ magnétique 
propre. La magnétosphère
terrestre est la mieux connue puisqu'elle est la plus facilement accessible et 
qu'elle est explorée depuis l'ère des
projets spatiaux. Pourtant de nombreux mystères subsistent quant a son 
fonctionnement, en particulier sur la
manière dont elle répond aux modifications de l'activité solaire.

æo,
Vent solaire be '
b© ( ,
°°
E°be
Axe ' '
Ë3{ÆÎÂ de rotation, Plasmosphère

Ceintured radiafions
7_777etcouran annu a|re

Figure 1 Coupe méridienne de la magnétosphère de la Terre. Le Soleil est loin
sur la gauche. Les traits fins symbolisent les lignes de champ magnétique, les 
flèches
jaunes le mouvement du plasma.

L'avant de la magnétosphère se caractérise par une première frontière nette, le 
choc. Ce choc est dû au fait que
le vent solaire a une vitesse d'ensemble supérieure a toutes les vitesses 
possibles de propagation des ondes dans
le milieu. Derrière le choc se trouve la magnétogaine, région où le plasma du 
vent solaire est ralenti, chauffé et où
l'on observe une turbulence importante. Le champ magnétique est encore celui du 
vent solaire un peu modifié
par la traversée du choc. Cette région intermédiaire est suivie d'une autre 
frontière nette, la magnét0pause.
Cette frontière sépare la zone d'influence du champ magnétique terrestre de 
celle du vent solaire. Cette frontière
est une discontinuité mince comme un choc mais ce n'est pas un choc, c'est une 
frontière qui isole vraiment les
deux milieux, l'énorme majorité des particules du vent solaire restant à 
l'extérieur. On constate donc que ce qui
fait obstacle au vent solaire ce n'est pas la planète elle--même, ni son 
atmosphère, mais son champ magnétique.
Le contournement du vent solaire donne à la magnétosphère sa forme 
caractéristique, avec une queue allongée
dans la direction opposée au Soleil et deux immenses « lobes » presque 
totalement vides. L'ionosphère est une
région importante dans la dynamique de la magnétosphère (bien qu'invisible à 
l'échelle de la figure). Elle résulte
de l'ionisation des couches supérieures de l'atmosphère par le rayonnement UV 
du Soleil qui la rend conductrice,
et lui fait jouer un rôle dans la fermeture des courants magnétosphériques.

La magnétosphère et son intense activité électromagnétiqne ne sont pas visibles 
du sol sauf dans les régions
polaires où elles peuvent se manifester de façon très spectaculaire. Le champ 
magnétique terrestre est a peu
près celui d'un dipôle dont l'axe passe dans les régions polaires. Les lignes 
de champ qui viennent des régions
éloignées de la Terre plongent donc dans l'atmosphère dans les régions 
polaires. Comme dans la magnétosphère
le plasma est peu dense, il n'y a pas de collisions et les particules chargées 
restent liées aux lignes de champ.
Quand une reconfiguration magnétique intervient (ce qu'on appelle un 
sous--orage magnétique), les particules

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Figure 2 Aurore boréale vue du sol sur la Terre. La
Lune, visible à côté de l'aurore, donne une idée de la lumi--
nosité (Centre d'étude spatiale des rayonnements ©CNRS
Photothèque/V. Génot).

accélérées dans la queue de la magnétosphère arrivent le long du champ sur les 
couches denses de l'atmosphère
et produisent des aurores. Dans le même temps, ces électrons accélérés émettent 
un rayonnement radio dont la
longueur d'onde est de l'ordre du kilomètre et qui s'échappe de la 
magnétosphère par les pôles.

Une liste de données numériques et un formulaire sont disponibles a la fin du 
sujet.

Certaines questions, repérées par une barre en marge, ne sont pas guidées et 
demandent de l'initiative de la part
du candidat. Les pistes de recherche doivent être consignées, si elles sont 
pertinentes, elles seront valorisées. Le
barème tient compte du temps nécessaire pour explorer ces pistes et élaborer un 
raisonnement.

I Confinement d'une particule chargée dans un champ magnétique

I.A -- Aurores polaires terrestres

Les aurores polaires sont des phénomènes lumineux se produisant entre 80 et 400 
km d'altitude causés par
la précipitation de particules chargées en provenance de l'espace sur les 
atomes et les molécules des couches
externes de l'atmosphère terrestre. Ces particules sont principalement des 
électrons dont l'énergie cinétique est
de l'ordre du keV pour les aurores les plus spectaculaires.

I.A.1) Expliquer le caractère lumineux d'une aurore polaire.
I.A.2) Pourquoi une aurore boréale (hémisphère nord) apparaît--elle 
simultanément à une aurore australe
(hémisphère sud) ?

I.A.3) Comparer la carte de champ magnétique donnée figure 1 a celle d'un 
unique dipôle modélisant l'activité
magnétique terrestre.

I.B * Mouvement d'un électron dans un champ magnétique stationnaire et uniforme

Afin d'interpréter l'arrivée des particules chargées a l'origine des aurores 
polaires, on se propose dans la suite
de modéliser la dynamique d'un électron dans une zone de champ magnétique 
stationnaire.

I.B.1) Dans le référentiel géocentrique (JE) supposé galiléen, on considère 
tout d'abord un électron de masse

m pénétrant en 0 dans une zone de champ magnétique Ê0 : BOÜZ (B() > 0). La 
force gravitationnelle terrestre
a--t--elle une influence sur la dynamique de cet électron ? On attend un 
argument qualitatif fondé sur un calcul
d'ordre de grandeur.

I.B.2) On suppose que la vitesse initiale de la particule s'écrit 50 : 'UOZÜZ 
(UOZ > 0). Comment se déplace
l'électron vis a vis des lignes de champ magnétique ?

I.B.3) On suppose désormais que l'électron pénètre dans cette même zone de 
champ magnétique en 0 avec
une vitesse initiale ÜO : UOOEÜ.OE (UOOE > 0).

(1) Mettre en évidence une pulsation wc caractéristique du mouvement de 
l'électron et l'évaluer dans le champ
magnétique terrestre régnant à l'altitude d'un satellite géostationnaire.

b) Montrer que la trajectoire de l'électron est circulaire en établissant son 
équation cartésienne. Évaluer son
rayon RC.

I.B.4) Un électron accéléré non relativiste perd de l'énergie en rayonnant à un 
instant donné une puissance

1 2 d" 2
_eacfi _"

47r50 3 dt

(1) Déterminer les valeurs oz et fi.

électromagnétique ? :

2016--02--08 11:45:03 Page 2/8 (cc BY--NC-SA

b) Après avoir exprimé la variation de l'énergie cinétique de l'électron dE 
lorsque RC varie de dRC, établir
67T£ c3B
l'expression de la fonction Rc(t) et établir que le temps caractéristique T mis 
en évidence s'écrit T = %.
ew

C
Conclure.
I.B.5) On suppose désormais que l'électron pénètre dans cette même zone de 
champ magnétique en 0 avec
la vitesse initiale ÜO : U0OEüoe + vOZÜZ ("cm > 0 et 'U0z > 0). Comment se 
déplace l'électron vis a vis des lignes de
champ magnétique ?

I.C + Mouvement d'un électron dans un champ magnétique stationnaire et non 
uniforme

On se limite ici au cas d'un champ magnétique stationnaire É : BZ (r, z)üz+Br 
(T', z)ür possédant une géométrie
cylindrique autour d'une ligne de champ confondue avec l'axe (Oz). On note L 
l'échelle caractéristique de
variation de ce champ magnétique selon l'axe Oz. On supposera en première 
approximation que BZ ne dépend
que de z : Bz(z).

Figure 3

Initialement, l'électron possède la vitesse ÜO : U0OEÜOE + "0zÜz (vo,C > 0, 
1... > O) et se situe au point de
coordonnées cartésiennes (O, --RC(O), 0).

7" dBZ
_ä dz '
I.C.2) À quelle condition sur L, la composante radiale B,.(r,z) du champ 
magnétique pourra--t--elle être
traitée comme une perturbation de la composante axiale BZ '?

I.C.1) Montrer qu'une propriété structurelle du champ magnétique impose : B,. 
(7°, z) 2

Dans la suite, on supposera cette condition vérifiée.

I.C.3) Justifier qualitativement l'existence d'un rayon caractéristique R(z), 
dépendant de z, pour la trajec--
toire électronique. On donnera l'expression de R(z) en fonction de BZ et de va, 
composante orthoradiale de la
vitesse de l'électron.

LCA) En assimilant le mouvement de l'électron a une boucle de courant, associer 
un moment magnétique JÎ
au mouvement de l'électron et l'exprimer en fonction de R(z) et de la 
composante du champ magnétique suivant

(Oz). Établir que la relation entre Mz, composante de JÎ selon "(L, et Æz, 
moment cinétique de l'électron par
rapport à l'axe (Oz), s'écrit

__L
MZ _ 2mzz

1.0.5) En supposant que l'on puisse utiliser les résultats relatifs à l'action 
d'un champ magnétique sur un
dipôle magnétique, justifier que MZ est une constante du mouvement. Comment se 
déplace l'électron vis a vis
des lignes de champ magnétique '?

2
1.0.6) Dans cette question, on suppose un champ axial de la forme Bz(r, z) u B0 
(1 + ;) .

(1) Pourquoi peut--on dire que cette configuration de champ magnétique assure 
un confinement de l'électron
dans un domaine de l'espace situé entre deux limites appelées miroirs 
magnétiques ?
Le candidat pourra s'appuyer sur la conservation de l'énergie...

b) Exprimer une pulsation caractéristique w... associée à ce confinement et en 
déduire l'ordre de grandeur du
temps mis par un électron confiné pour accomplir un aller--retour entre le pôle 
Nord et le pôle Sud terrestres.

1.0.7) La Terre émet un rayonnement radio au--dessus de ses régions aurorales 
(cf. document d'introduction).

a ) Expliquer les localisations spatiale et spectrale de ce phénomène.
b ) Pourquoi a--t--il fallu attendre l'ère spatiale pour observer ce 
rayonnement '?

2016--02--08 11:45:03 Page 3/8 @@ BY--NC-SA

I.D -- Ceintures de Van Allen

La Terre est entourée d'une zone où des particules de haute énergie cinétique, 
typiquement de quelques 100 MeV
au GeV, sont piégées par le champ magnétique. Ces particules sont réparties 
dans des ceintures autour du plan
équatorial dites ceintures de Van Allen ou ceintures de radiation. Ces 
ceintures sont très stables et contrai--
rement aux autres éléments de la magnétosphère, elles sont peu sensibles aux 
orages, sous--orages et autres
reconfigurati0ns de la magnét0sphère. De ce fait, les particules s'en échappent 
difiicilement.

Évaluer la vitesse typique d'un électron dans ces ceintures. La dynamique d'un 
tel électron peut--elle se déduire
des résultats précédents ?

II Confinement d'objets quantiques

II.A * Confinement d'électrons dans une boîte quantique

On sait réaliser depuis quelques années des « boîtes quantiques », de 
dimensions nanométriques, qui confinent
les électrons de conduction d'un solide à basse température. La possibilité de 
contrôler les états d'énergie d'un
tel dispositif ouvre des perspectives très riches en opto--électronique. Une 
boîte quantique est constituée d'un
matériau A jouant le rôle de puits, autour duquel on dépose un matériau B qui 
forme une barrière de potentiel
autour de A (figure 4).

17 (nm)

Figure 4 Ensemble de boîtes quantiques de GaN (matériau A) déposées à 705 °C 
sur un substrat

d'AlN (matériau B) et mûries sous vide. Image obtenue par microscopie à force 
atomique. Source :
CEA--Grenoble/DSM/DRPMC/SP2M Rapport d'activité 1996--1998 du SP2M

II.A.1) Fonction d'onde électronique

Nous nous intéressons ici au confinement d'un électron dans une telle boîte. 
Les directions 33 et y étant suppo--
sées équivalentes, on traite dans un premier temps le problème a une dimension 
horizontale ac. L'influence du
confinement vertical suivant la direction 2 sera abordé ultérieurement.

On admet que dans la boîte, la dynamique de l'électron est décrite par 
l'équation de Schrôdinger où :

-- la masse de l'électron libre m est remplacée par une masse effective m* = 
0,07 m ;

-- l'ensemble des atomes des matériaux A et B crée un potentiel effectif 
harmonique V(æ) : %m*w
varie lentement à l'échelle atomique et pour lequel w = 9,10 >< 1013 rad-sil. Dans tout le problème, on néglige tout effet associé au spin de l'électron. 2332 qui a) Citer deux exemples de systèmes analogues de confinement, dans des domaines différents de la physique classique. Pour chacun d'eux, établir l'équation d'évolution par une méthode énergétique et décrire les échanges énergétiques mis en jeu. b) Écrire l'équation de Schrôdinger vérifiée par la fonction d'onde '111D(x,t) associée à l'état quantique de l'électron dans la boîte. Que représente cette fonction d'onde '? 2016--02--08 11:45:03 Page 4/8 (CC BY--NC-SA c) On s'intéresse aux états stationnaires unidimensionnels \IllD(æ,t) :  est nulle.

Montrer que cette valeur de l'énergie est liée au confinement spatial de 
l'électron.

Comparer au cas classique.

Dans la suite. on admettra que les états stationnaires unidimensionnels \111D7n 
(oe, t) ont des énergies du type
E0 + nOEhw avec nm EUR IN.

On souhaite désormais prendre en compte le confinement équivalent de l'électron 
dans la direction horizontale
y. Le potentiel effectif bidimensionnel dans lequel évolue l'électron doit 
alors s'écrire

V(æ) + V(y) : %m*w2æ2 + %m*w2y2
9) On cherche les états stationnaires bidimensionnels \112D (æ,y,t) : 
BS(T)
() 2 4 6 8 10

Figure 5 Fréquence des deux premiers pics d'absorption de la boîte quantique en 
fonction
du champ magnétique appliqué à une température T : 10 K

2016--02--08 11:45:03 Page 5/8 @@ BY--NC-SA

Dans la suite, on désigne par wc la pulsation cyclotron mise en évidence dans 
la première partie. On admet
alors que, dans le régime wc < w/x/î, la résolution de l'équation de Schrôdinger dans le potentiel V(æ) + V(y) conduit pour les trois premiers niveaux d'énergie accessibles par l'électron a ñwc 2 have E'=ñQ EÎOEZñQ+ 2 0 E+ oe 2ñQ + , _ 2 2 avec Q _ w +wü/4. c) Déterminer les valeurs de champ magnétique vérifiant l'inégalité wc < w/\/Î et wc : eBS /m*. d) À une température de 10 K, on constate que seul le niveau d'énergie Eô contribue de manière significative au signal d'absorption. Justifier quantitativement ce fait. 6) En exploitant la figure 5 reproduite en figure A dans le document réponse, déterminer le domaine de champ magnétique pour lequel le modèle adopté pour la boîte quantique permet d'interpréter les résultats expérimen-- taux obtenus. II.A.3) Anisotropie de la boîte quantique On peut montrer que les résultats expérimentaux précédents sont interprétables intégralement si on prend en compte une légère anisotropie de la boîte quantique, ce qui revient à considérer le potentiel de confinement Y(oe,y) : %m*w2(l + e)æ2 + âm*w2(l -- e)y2 avec 6 << 1 En exploitant la figure 5, déterminer la valeur de l'anisotropie EUR. II.A.4) Rôle de la dimension 2 Le confinement dans la direction 2 peut être modélisé par un puits carré infini de largeur D. a ) Etablir les énergies EZ des états stationnaires unidimensionnels de l'électron suivant la direction 2. b) A quelle condition reliant D et w est--il légitime de considérer que le mouvement de l'électron selon 2 est « gelé », c'est a dire que l'on peut ne s'intéresser qu'aux premiers niveaux du mouvement harmonique dans la direction a: ou y ? 0) Sur la figure 4, l'échelle de la direction verticale n'est pas la même que l'échelle dans le plan oeOy. En supposant que l'approximation consistant à ignorer le mouvement selon 2: est valide, déterminer si cette échelle verticale est dilatée ou contractée. On se servira de la grandeur Aa: déterminée à la question II.A.1. d ) Déterminer complètement l'expression des états stationnaires unidimensionnels de l'électron suivant la direc-- tion 2. e) Proposer une analogie formelle entre ces résultats et ceux obtenus pour une corde vibrante. Mettre en regard les différences notables entre ces deux systèmes. f ) Représenter les fonctions d'ondes spatiales de l'électron dans la direction 2 pour les trois premiers niveaux d'énergies EZ sur la figure B du document réponse ainsi que les densités de probabilité de présence associées. Commenter. 9) Discuter des résultats attendus dans le cas des énergies élevées. II.B + Oscillateur harmonique quantique en équilibre thermique Nous allons préciser les propriétés physiques d'un unique oscillateur harmonique quantique a une dimension en équilibre thermodynamique avec un thermostat a la température T. Comme indiqué dans la partie précédente, la résolution de l'équation de Schrôdinger pour un tel oscillateur de pulsation w conduit a des états stationnaires d'énergie En : E0 + nñw avec n E N. On admet qu'à l'équilibre avec le thermostat, cet oscillateur ne se trouve pas dans un état stationnaire mais dans un mélange statistique des états stationnaires d'énergie En affectés des poids respectivement proportionnels au En facteur de Boltzmann e kBT. II.B.1) Exprimer la probabilité d'occupation p,, de l'état d'énergie En. II.B.2) En déduire le rapport r entre la probabilité d'occupation de l'état d'énergie En,1 et celle de l'état d'énergie En. Comment la température infiuence--t--elle ce résultat '? II.B.3) Déterminer l'énergie moyenne (E') de l'oscillateur harmonique quantique en équilibre thermodyna-- mique. II.B.4) La figure 6 représente la variation en fonction de la température des énergies moyennes d'un oscillateur harmonique quantique et d'un oscillateur harmonique classique. Identifier, en justifiant votre réponse, chacune des courbes. 2016--02--08 11:45:03 Page 6/8 @@ BY--NC-SA Energie moyenne A Figure 6 Commenter le comportement de ces oscillateurs -- à T = 0 K ; -- à basse température ; -- à haute température. Données numériques Célérité de la lumière dans le vide 0 = 3,00 >< 108 ms1 Masse de l'électron m : 9,11 >< 1(T31 kg Charge élémentaire e = 1,60 >< 1049 C Permittivité diélectrique du vide 50 : 8,85 >< 1042 F -mÎ1 Constante d'Avogadro NA : 6,02 >< 1023 molf1 Constante de Boltzmann kB : 1,38 >< 10Ï23 J-KÎ1 Constante de Planck h = 6,63 >< 10Î34 J-s Constante de Planck réduite ñ : h/ (27r) Rayon de la Terre RT : 6,37 >< 103 km Vitesse angulaire de rotation propre de la Terre QT : 7,29 >< 10*5 rad-sf1 Rayon de l'orbite géostationnaire Rg : 4,22 >< 104 km Intensité du champ de pesanteur a la surface de la Terre g : 9,81 m-sf2 Ordre de grandeur du champ magnétique à la surface de la Terre 5 >< 10*5 T Formulaire -- Impulsion d'une particule relativiste 1 1 1 p=*ymv avec Py:-- \/1--'u2/c2 -- Énergie cinétique d'une particule relativiste m «m E =m02(7--1) avec v= C 2016--02--08 11:45:03 Page 7/8 GQ BY--NC-SA -- Champ créé au point [V] par un dipôle de moment magnétique JÎ placé en O Ë(M)-- 'U'0 (3 2'Fä--JÎ/Ï) avec Î"=OM _ 47T7"3 ?" -- Couple subi par un dipôle de moment magnétique ÎÎ dans un champ magnétique extérieur Ë Î : 317 /\ È -- Opérateur divergence en coordonnées cylindriques au point M (T, 0, z) 87" +ÎË+ ôz % 1 ô(rAr) 1 ôAe ôAz ? -- Densité de probabilité pour une loi normale d'espérance (moyenne) (55) et d'écart type a f(x) : U 127T exp (_â <æ--Û_)2)

-- Relation d'indétermination spatiale d'Heisenberg

AOEApOE } %

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2016--02--08 11:45:03 Page 8/8 GQ BY--NC-SA

Signature :
/ Épreuve de Physiquefchimie 1 Filière MP

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