Centrale Physique MP 2012

Thème de l'épreuve Étude du satellite Jason 2
Principaux outils utilisés mécanique du point, optique ondulatoire, ondes électromagnétiques
Mots clefs satellite, moment cinétique, vecteur de Runge-Lenz, potentiel de gravitation, période nodale, radar, diffraction, milieu conducteur, ionosphère, plasma froid, pulsation plasma

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


MP
4 heures

Calculatrices autorisées

2012

Physique

Lancé le 20 juin 2008 de Vandenberg (Californie), le satellite océanographique 
Jason 2 permet, entre autre, de
mesurer la hauteur des océans.
Dans une première partie, le problème étudie la trajectoire de ce satellite 
au-dessus de l'ionosphère, d'abord
en considérant la Terre comme sphérique, puis en prenant en compte sa 
non-sphéricité. La seconde partie du
problème aborde la diffusion des ondes radar sur l'océan et la troisième partie 
étudie l'influence de l'ionosphère
sur la propagation de telles ondes.
Les trois parties sont indépendantes.
Notations
+
,
Dans tout le problème, f (M, t) désigne la valeur moyenne dans le temps de la 
grandeur f (M, t).
La pulsation  sera toujours réelle, positive, non nulle.
!
"
À toute grandeur réelle
f (M, t)
!
" = A(M ) cos t - (M ) , on pourra associer la grandeur complexe
f (M, t) = A(M ) exp i t - (M ) .

Le nombre imaginaire i est tel que i2 = -1.
La polarisation d'une onde électromagnétique fera référence au champ électrique.
Données utiles
Masse d'un proton

mp = 1,67 × 10-27 kg

Masse d'un électron

me = 9,11 × 10-31 kg

Charge élémentaire

e = 1,60 × 10-19 C

Permittivité diélectrique du vide

0 = 8,85 × 10-12 F · m-1

Perméabilité magnétique du vide

µ0 = 410-7 H · m-1

Célérité de la lumière dans le vide

c = 3,00 × 108 m · s-1

Constante de gravitation

G = 6,67 × 10-11 N · m2 · kg-2

Masse de la Terre

MT = 5,97 × 1024 kg

Rayon de la Terre

RT = 6378 km

Vitesse angulaire de rotation de la Terre sur
elle-même dans le référentiel géocentrique

T = 7,29 × 10-5 rad · s-1

Formulaire
2
- 1- þ 2 -- 1
þ ) - A
þ
rot rot(A ) = grad div(A
Gradient d'un champ scalaire V en coordonnées sphériques (r, , )
--
1 V
1 V
V
þur +
þu +
þu
grad V =
r
r 
r sin  

Les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres significatifs 
compatible avec celui utilisé pour
les données de l'énoncé.

3 avril 2012 10:50

Page 1/6

I Le satellite Jason 2
I.A ­

Étude de l'orbite

I.A.1) Rappeler l'expression de la force de gravitation Fþ qu'exerce la Terre 
(centre T , masse MT ) sur un
satellite (point matériel S, masse m), en fonction de la constante de 
gravitation G, des masses MT et m, de la
-
distance r = T S et du vecteur unitaire þuT S = T S/T S.
y

þu

þuT S

S
x

T
Figure 1

I.A.2) On se place dans le référentiel géocentrique (T, xg , yg , zg ) noté (Rg 
), de base fixe (þexg , þeyg , þezg )
(figure 2b).
zg

Nord
zg

zg
S

þ
Z

N
yg

i

yg

T

Plan équatorial

N
xg

xg

(xg T yg ) : plan équatorial

Sud
(a)

(b)

r = TS
(c)

Figure 2
a) Définir le référentiel géocentrique. Pourquoi ce référentiel n'est-il pas 
rigoureusement galiléen ? Justifier.
Dans toute la suite, le référentiel géocentrique (Rg ) est considéré comme 
galiléen et, sauf mention contraire,
seule l'action de la Terre est prise en compte.
b) Dans ce référentiel, quelles sont les deux grandeurs mécaniques du satellite 
qui se conservent (on justifiera
la réponse) ? Quelles caractéristiques du mouvement peut-on en déduire ?
I.A.3) On se propose d'établir l'expression de la trajectoire du satellite 
autour de la Terre à partir de l'invaþ = þv  þT - GMT m þuT S où þv est
riant dynamique de Runge-Lenz. On définit le vecteur de Runge-Lenz par R
la vitesse du satellite dans (Rg ) et þT le moment cinétique du satellite dans 
(Rg ), calculé en T .
þ
dR
dans (Rg ). Conclure.
a) Calculer
dt
þ ? Justifier.
b) Dans quel plan se trouve R
2

þ et  l'angle entre R
þ et -
þ · þuT S = T - GMT m où T est la
c) On note R la norme de R
T S. Montrer que R
mr
norme du moment cinétique þT du satellite. En déduire l'expression de la 
trajectoire du satellite sous la forme
p
r() =
; donner les expressions de p et e en fonction de T , G, MT , m et R.
1 + e cos 
Suivant les valeurs de e, rappeler les différentes trajectoires possibles.
I.A.4) On admet que la trajectoire de Jason 2 est circulaire (en réalité, e = 
9,5 × 10-5 ), de centre T , de rayon
r0 = 7714 km, soit une altitude h = 1336 km (juste au dessus de l'ionosphère). 
La masse du satellite Jason 2
est m = 525 kg.
Établir en fonction de G, MT , m et r0 , les expressions de :
- la norme de la vitesse orbitale du satellite v0 ;
- la période de révolution T0 ;
- son énergie mécanique Em .
Calculer numériquement ces grandeurs pour le satellite Jason 2.

3 avril 2012 10:50

Page 2/6

I.B ­
Écart à la trajectoire circulaire
On appelle inclinaison du satellite l'angle i = 66 entre le plan équatorial et 
le plan de l'orbite (ici 0 < i < 90 :
þ le vecteur unitaire orthogonal au plan de l'orbite et orienté
on parle d'orbite prograde) (cf. figure 2a). On note Z
à partir du sens de parcours de la trajectoire (le sens de parcours est indiqué 
sur les schémas). On appelle noeuds
N et N  les deux intersections de la trajectoire circulaire du satellite avec 
le plan équatorial (figure 2b).
À cause des irrégularités de la répartition de la masse terrestre (en 
particulier l'aplatissement aux pôles) et des
forces d'attraction de la Lune et du Soleil, en utilisant les coordonnées 
sphériques (figure 2c.), le potentiel de
gravitation V s'écrit (à l'ordre le plus bas en la perturbation) :
B
A
3
42
"
RT
J2 !
GMT
2
3 cos  - 1
1-
V (r, ) = -
r
r
2
où J2 = 1083 × 10-6 est un nombre sans dimension.
I.B.1) Déterminer les composantes gr , g , g du champ de gravitation dans- la 
base
- sphérique (þur , þu , þu )
(cf. figure 2c). Donner l'ordre de grandeur de la valeur maximale du rapport -g 
/gr - dans le cas du satellite
Jason 2. Conclure.

La composante gr confère à la trajectoire les propriétés essentielles 
(mouvement plan, circulaire) ; on se propose
d'étudier l'influence de g .
I.B.2) Soit þT le moment en T de la force de gravitation, appliquée en S. 
Déterminer ses coordonnées dans
la base sphérique (þur , þu , þu ).
Ce moment peut également être projeté dans la base fixe (þexg , þeyg , þezg ) 
de (Rg ) (cf. figures 2b et c) ; on peut
montrer (la démonstration n'est pas demandée au candidat) qu'en moyennant sur 
une période T0 on obtient,
pour le mouvement circulaire du satellite :
2
= - T
T0

3

RT
r0

,
2
y = - T
T0
+ ,
z = 0

3

RT
r0

+

+

x

,

42
42

3
J2 sin i cos i cos 
2
3
J2 sin i cos i sin 
2

Exprimer þT en fonction de sa norme T , i,  et des vecteurs unitaires þexg , 
þeyg et þezg .
dþT
Déterminer ensuite
dans (Rg ) (à ce stade, on considèrera que T , i et  dépendent du temps).
dt
+ ,
dþT
= þT et que la norme T reste à peu près constante, déterminer de nouvelles
En admettant que
+ , dt
+ ,
+ ,
expressions de x , y et z .
I.B.3)

I.B.4)

Montrer que i ne dépend pas du temps et que
ó
3
42
GMT RT
d
3
cos i
= - J2
dt
2
r03
r0

d
þ correspondant à cette variation ? Comparer les
. Que représente le vecteur 
dt
þ et 
vecteurs 
þ T (vecteur rotation de la Terre sur elle-même) en direction et sens. En 
s'aidant de la figure 2b
et du théorème du moment cinétique en T , montrer qu'on pouvait prévoir le sens 
de variation de .
I.B.5) On définit alors une nouvelle période, la période nodale, qui est le 
temps entre deux passages à l'équateur dans le même sens. Pour Jason 2, elle 
vaut Tn = 112 min 26 s, elle est très voisine de T0 .
Pour les satellites océanographiques, il est intéressant d'avoir un 
échantillonnage homogène de la surface du
globe pendant une période, appelée période de répétitivité TR : il faut pour 
cela que le satellite repasse à la
verticale des mêmes points du sol tous les TR = N Tn où N est le nombre entier 
de révolutions du satellite
durant une période de répétitivité.
On note k le nombre de fois où un même point du sol croise le plan de l'orbite 
du satellite dans un sens donné
pendant une période de répétitivité.
Déterminer l'expression de k en fonction de Tn , T ,  et N . Calculer la valeur 
de k pour N = 127.
Dans la suite, on note  =

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Page 3/6

II Diffusion des ondes radar par l'océan
Un radar altimétrique embarqué émet une onde électromagnétique (onde radio de 
fréquence f = 13,6 GHz).
L'onde est émise en direction de la mer, celle-ci absorbe l'onde et la réémet : 
on parle de diffusion. Cette onde
rétrodiffusée, appelée écho, est captée en retour par le radar.
La mesure de la durée du trajet aller-retour permet de déterminer la distance 
{surface océan ­ satellite} ; par
différence avec la position du satellite par rapport à un ellipsoïde de 
référence, on en déduit la hauteur de la
mer.
On supposera que, durant ce trajet aller-retour, le satellite est immobile au 
dessus de la mer.
Dans toute cette partie, l'atmosphère sera assimilée au vide (indice optique 
égal à 1). Certaines perturbations
apportées par le fait que l'ionosphère est un plasma seront abordées dans la 
partie III.
II.A ­ Diffusion sur une mer plate
On s'intéresse au processus de rétrodiffusion de l'onde réémise par une surface 
S de l'océan, éclairée par le
radar. L'onde arrivant sur l'océan est considérée comme plane (bien qu'étant 
sphérique). Elle se propage dans
la direction þu = sin  þey - cos  þez (figure 3) ( est sans rapport avec celui 
de la partie I). La direction de
propagation n'est donc pas forcément celle de la verticale.
þu 
z

þu

P y
O
--
OP = x þex + y þey
Figure 3
On s'intéresse à la rétrodiffusion dans la direction  , cette rétrodiffusion 
est à rapprocher de la diffraction à
l'infini. On considère que les angles  et  sont faibles.
L'amplitude de l'onde diffractée (ou rétrodiffusée) en un point M à l'infini 
par une ouverture de surface S est
donnée par la relation suivante :
3
4
ÚÚ
--
2 
Ad (M ) = K
t(P ) exp i (þu - þu ) · OP dS

S
où K est une constante complexe, t(P ) un coefficient rendant compte de 
l'efficacité de la diffusion et  la
longueur d'onde de l'onde radar.
On s'intéresse à une portion de mer carrée, de côté a = 7 km selon les axes x 
et y, centrée en O, lisse de telle
sorte que t(P ) = t0 avec t0  R+ . On considèrera que les vecteurs directeurs 
þu et þu  des rayons incidents et
rétrodiffusés sont toujours dans le plan (yOz) (cf. figure 3).
II.A.1) Déterminer l'éclairement diffracté (ou rétrodiffusé) Ed en M , en 
fonction de ,  , , a et de l'éclairement
maximal E0 .
II.A.2) Pour quel angle  l'éclairement est-il maximal ? Cela peut-il 
correspondre à l'écho perçu par le satellite ?
II.B ­ Diffusion sur une mer houleuse
On envisage la même portion de mer, mais cette fois-ci houleuse, de telle sorte 
que
4
3
2y
t(P ) = t0 + t1 cos
d
avec a  d et a  .
II.B.1) L'hypothèse a   était-elle valable à la question précédente ?
II.B.2) Montrer que l'onde diffusée est constituée de trois ondes se propageant 
dans trois directions que l'on
déterminera en fonction de , d et .
II.B.3) Laquelle de ces trois ondes est susceptible de correspondre à l'écho 
reçu par le satellite ? Quelle
condition doivent vérifier d,  et  pour pouvoir effectivement récupérer cet 
écho ?

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III Propagation d'ondes électromagnétiques
III.A ­ Ondes électromagnétiques dans le vide
III.A.1) Rappeler les équations de Maxwell en présence de charges et de 
courants.
Quelles sont les traductions globales, dites aussi formes intégrales, de ces 
lois locales ?
þ
III.A.2) Établir l'équation de propagation du champ E(M,
t) dans le vide (en l'absence de charges et de
courants).
III.A.3) On considère une onde dont le champ électrique en notation complexe 
s'écrit :
þ
E(M,
t) = E0 exp i(t - kx) þey
où E0  R+ et k  R+ .
Caractériser cette onde (donner 5 qualificatifs).
III.A.4) À quelle condition sur k et  cette onde est-elle une solution de 
l'équation de propagation ? Comment
appelle-t-on cette relation ? Le vide est-il un milieu dispersif (à justifier) ?
þ
III.A.5) Déterminer l'expression réelle du champ magnétique B(M,
t).
þ
III.A.6) Déterminer l'expression du vecteur de Poynting (M,
t). Quelle est la signification physique du flux
þ
de  à travers une surface S ouverte, arbitrairement orientée ?
III.B ­ Ondes électromagnétiques dans un milieu conducteur
III.B.1) En absence de densité volumique de charges, mais en présence de 
densité volumique de courants
þ
t) en fonction de þ (M, t).
þ (M, t), établir l'équation de propagation du champ E(M,
þ
III.B.2) On considère une onde du type E(M, t) = E0 exp i(t - kx) þey où E0  R+ 
et k  C. On pose, en
þ
notation complexe, la relation d'Ohm : þ (M, t) =  E(M,
t) où  est la conductivité électrique complexe du
milieu, on suppose qu'elle ne dépend ni de l'espace ni du temps.
þ
t) en fonction de .
Réécrire l'équation de propagation du champ E(M,
À quelle condition sur k et  cette onde est-elle une solution de l'équation de 
propagation ? On ne cherchera
pas à résoudre cette équation.
III.B.3) On pose k = k1 + i k2 , avec k1 et k2 réels.
þ
a) Écrire en notation réelle l'expression du champ électrique E(M,
t).
b) Par analogie avec le vide, dire ce que représente k1 , la partie réelle de 
k. Donner une interprétation du signe
de k1 . Quel phénomène physique traduit k2 , la partie imaginaire de k ?
Que dire si le produit k1 k2 est positif ? Que dire si le produit k1 k2 est 
négatif ?
c) Définir par une phrase la vitesse de phase v et donner l'expression de la 
vitesse de phase de cette onde en
fonction des grandeurs précédemment définies.
þ
þ
t), þk (vecteur d'onde complexe) et B(M,
t).
III.B.4) Démontrer une relation simple entre les vecteurs E(M,
þ
Déterminer les expressions de la représentation complexe du champ magnétique 
B(M, t) et du champ réel
þ
þ
þ
B(M,
t). Que dire des champs E(M,
t) et B(M,
t) si k2 est non nul ?
þ
III.B.5) Déterminer l'expression du vecteur de Poynting (M,
t) puis l'expression de sa valeur moyenne
+
,
þ
(M,
t) . Commenter.
þ (M, t) = E0i exp i(t - k x) þey où E0i  R et k = kA1 + i kA2 avec kA1 et
III.B.6) Une onde incidente, E
+
i
A
A
kA2 deux réels, se propageant dans le milieu (A) arrive en incidence normale 
sur une interface située en x = 0
et séparant le milieu (A) du milieu (B).
þ (M, t) = E exp i(t + k x) þey , se
Cette onde incidente donne naissance à deux ondes, l'une réfléchie, E
r
0r
A
þ
propageant dans le milieu (A) et l'autre transmise, E t (M, t) = E 0t exp i(t - 
k B x) þey où k B = kB1 + i kB2 avec
kB1 et kB2 deux réels, se propageant dans le milieu (B).
On définit les coefficients de réflexion et de transmission énergétiques au 
niveau de l'interface située en x = 0
par
.f
.f
e.
e.
.þ
.
.þ
.
.r (O, t).
.t (O, t).
.f
.f
R = e.
et
T = e.
.þ
.þ
.
.
.i (O, t).
.i (O, t).

þ i (O, t), 
þ r (O, t) et 
þ t (O, t) représentent respectivement les vecteurs de Poynting, au voisinage 
d'un point O
où 
þ désigne le module du vecteur A).
þ
de l'interface, des ondes incidente, réfléchie et transmise (ëAë
þ (M, t).
a) Justifier l'écriture du champ E
r

b) Donner les expressions de R et de T en fonction des données précédentes.
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c) Que vaut la somme R + T ? Quelle est la signification de cette égalité ?
d) Que dire des coefficients R et T si kB1 = 0 ? Quelle en est la signification 
?
Ne pouviez-vous pas prévoir ce résultat dès les questions III.B.4 ou III.B.5 ?
e) Connaissez-vous un exemple similaire en électrocinétique ?
III.C ­ Propagation des ondes électromagnétiques dans l'ionosphère
L'ionosphère, couche de l'atmosphère située à plus de 60 km d'altitude, peut 
être considérée comme un plasma :
c'est un milieu ionisé, caractérisé par une densité volumique d'électrons 
libres de charge -e, de masse me , égale
à n1 = 1,00 × 1011 m-3 et une densité volumique de cations de charge +e, de 
masse mC , égale aussi à n1 ,
l'ensemble est donc globalement neutre. La valeur de n1 est supposée constante.
þ
t) = E0 exp i(t - kx) þey où
On se propose d'étudier dans ce milieu la propagation d'ondes du type E(M,
E0  R+ et k  C. On pose à nouveau k = k1 + i k2 , avec k1 et k2 réels ; si k1 
Ó= 0, alors on choisira k1 > 0.
Dans toute la suite, vous pourrez utiliser les résultats démontrés dans la 
partie III.B.
Dans le plasma, les électrons et les ions sont soumis à la force de Lorentz due 
aux champs électrique et magnétique
de l'onde. On négligera l'effet de la pesanteur et les interactions entre 
particules chargées, et on supposera que
les particules sont non relativistes (i.e. leurs vitesses sont très petites 
devant c).
III.C.1) En admettant que le rapport /|k| est de l'ordre de c, montrer que les 
effets de la partie magnétique
de la force de Lorentz sont négligeables devant les effets de la partie 
électrique de la force de Lorentz.
III.C.2) En régime établi, et en supposant que l'amplitude des déplacements des 
charges reste petite devant la
longueur d'onde, déterminer l'expression du vecteur vitesse þv e (dans le 
référentiel galiléen d'étude) d'un électron,
þ
t). Donner l'expression du vecteur vitesse þv i
positionné en M à l'instant t, en fonction de me , e,  et E(M,
d'un cation. En déduire l'expression de la conductivité complexe du plasma . À 
la vue des valeurs numériques,
n1 e2
.
montrer que  = -i
me 
III.C.3) Calculer la puissance volumique moyenne fournie par le champ 
électromagnétique aux électrons libres.
Commenter.
III.C.4) Établir l'expression de k 2 dans le plasma. Mettre en évidence une 
pulsation caractéristique dite pulsation plasma p ; donner son expression et 
calculer sa valeur numérique pour l'ionosphère. Calculer la longueur
d'onde dans le vide p associée. À quel domaine du spectre électromagnétique 
appartient cette longueur d'onde ?
III.C.5) On se place dans le cas  < p .
a) Donner l'expression de k en fonction de p ,  et c (on prendra k2 négatif).
þ
þ
b) Donner les expressions des champs réels E(M,
t) et B(M,
t). Caractériser l'onde obtenue.
+
,
þ
c) Donner l'expression de (M, t) dans le plasma.
III.C.6) On se place dans le cas  > p .
a) Donner l'expression de k en fonction de p ,  et c. Commenter.
þ
þ
b) Donner les expressions de E(M,
t) et B(M,
t). Caractériser l'onde obtenue (donner 5 qualificatifs).
+
,
þ
c) Donner l'expression de (M, t) .
d) Déterminer l'expression de la vitesse de phase v () de cette onde en 
fonction de p ,  et c. Le milieu est-il
dispersif (justifier la réponse) ?
e) Calculer la vitesse de groupe vg () en fonction de p ,  et c. Donner la 
signification physique de cette vitesse.
f) Comparer v () et vg () à c. Que penser du fait que v () puisse être 
supérieure à c ?
III.C.7) Le choix de la fréquence des ondes radars émises par Jason 2 (f = 13,6 
GHz) vous semble-t-il correct ?
· · · FIN · · ·

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique MP 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Stanislas Antczak (Professeur agrégé) ; il a été 
relu par
Tom Morel (ENS Cachan) et Vincent Freulon (ENS Ulm).

Ce sujet, composé de trois parties indépendantes, traite de différentes 
questions
physiques liées à un satellite, en l'occurrence le satellite océanographique 
Jason 2,
lancé en 2008.
· La première partie traite des aspects mécaniques de l'orbite du satellite et 
des
perturbations dues à l'aplatissement de la Terre. Elle débute par des questions
de cours, puis conduit à la démonstration de la trajectoire conique du satellite
à l'aide du vecteur de Runge-Lenz. C'est relativement classique, mais assez
calculatoire et il faut maîtriser les coordonnées sphériques. Ensuite, la 
question
de l'écart à la trajectoire keplerienne du fait de l'aplatissement de la Terre 
est
traitée, de manière guidée, à tel point qu'il est possible de répondre à bien 
des
questions sans en comprendre réellement le sens. Cette partie est certainement
la plus difficile du sujet : elle nécessite une grande vigilance dans les 
calculs et
des capacités de repérage dans l'espace.
· La deuxième partie concerne la diffusion des ondes radar par l'océan, en la
traitant à l'aide de l'expression de l'amplitude diffractée à l'infini. Elle 
débute
par des questions de cours (diffraction par un carré), puis les prolonge avec un
facteur de transmission. Les calculs sont ici aussi relativement guidés.
· Enfin, la troisième partie étudie la communication entre le satellite et les 
stations au sol. Elle pose des questions de cours assez nombreuses et termine 
par le
problème très classique de la détermination de la pulsation plasma en utilisant
un modèle microscopique simple. Cette partie est, elle aussi, très guidée.
La difficulté globale de ce sujet est moyenne, ce qui cache de fortes 
disparités :
d'un côté, les questions de cours, nombreuses et variées, et de l'autre, 
certaines questions, formulées de manière abrupte, mais nécessitant des calculs 
parfois fastidieux.
Peu de réelles difficultés théoriques, hormis celles résultant de la vision 
dans l'espace
dans la première partie.
Pour autant, il faut être à la fois rapide et précis. Répondre à une question 
de cours
ne souffre aucune approximation, et une erreur dans un long calcul peut se 
répercuter
très longtemps après. Certes, des résultats sont donnés régulièrement et 
permettent
de détecter ces erreurs, mais leur recherche peut faire perdre du temps. Il 
importe
donc de rester rigoureux de bout en bout, quitte à sauter certaines questions 
de la
première partie si elles déconcertent trop.

Indications
Partie I
I.A.3.a Exprimer d'abord -

T en coordonnées sphériques, puis calculer la dérivée

-
de R . Se souvenir que

d-
u TS
d -

=
u

dt
dt
I.B.1 Pour le calcul de |g /gr |, se contenter d'évaluer les ordres de grandeur 
du
dénominateur et du numérateur.
I.B.2 Utiliser les coordonnées de gr et g obtenues à la question précédente.

-
I.B.3 Le moment cinétique est dirigé suivant Z , défini à la figure 2.a : 
exprimer
ce vecteur dans la base cartésienne.

-
I.B.4 Le vecteur  est le vecteur rotation de la ligne des noeuds (N N).
I.B.5 De quel angle tourne la ligne des noeuds pendant TR ? Et la Terre ? Quel 
est
le lien entre ces deux angles si la Terre fait k tours complets pendant TR ?
Partie II

II.A.1 Donner l'expression du vecteur -
u  avant de calculer l'amplitude diffractée.
II.B.2 Exprimer t(P) avec le cosinus en notation complexe, puis exprimer 
l'amplitude diffractée sous forme de trois termes. Le calcul n'est pas demandé,
il suffit de faire apparaître les directions de propagation.
Partie III
III.A.6 Calculer le vecteur de Poynting avec les expressions réelles des champs.
III.C.2 Écrire la deuxième loi de Newton appliquée à un électron, en utilisant 
la
dépendance en e it du champ électrique.

-

III.C.3 La puissance fournie aux électrons est P = -
 · E.
III.C.6.e La vitesse de groupe est v g = d/dk1 .

I. Le satellite Jason 2
I.A.1 La force gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite est
-

m MT -

u TS
F = -G
r2
I.A.2.a Le référentiel géocentrique est lié au centre de la Terre et en 
translation
par rapport aux étoiles lointaines. Il n'est pas galiléen car il n'est pas en 
translation
rectiligne et uniforme par rapport au référentiel de Copernic, supposé galiléen.
Le référentiel géocentrique peut être considéré comme galiléen pour étudier des 
mouvements de durée assez faible pour que son mouvement dans le
référentiel de Copernic puisse être considéré comme rectiligne et uniforme.
Le référentiel de Copernic n'est pas rigoureusement galiléen, vu qu'il est
en translation non rectiligne uniforme dans le référentiel galactocentrique.
La période de révolution du Soleil dans la Voie Lactée est d'environ 200
millions d'années : le référentiel de Copernic peut donc être considéré comme
galiléen avec une bonne approximation.
I.A.2.b Une grandeur mécanique du satellite qui se conserve est son moment
cinétique. En effet, le théorème du moment cinétique dans le référentiel Rg 
s'écrit
- -
 -

d-

T
= TS  F = 0
dt
donc le moment cinétique -

T du satellite par rapport au point T est constant.
-

-

-
Comme -

=
TS

m
v
,
où
v est la vitesse du point S dans le référentiel géoT
centrique, il en résulte que le mouvement est plan.
Par ailleurs, l'énergie mécanique est constante car l'unique force qui s'exerce

-
sur le satellite, F , est conservative.
I.A.3.a Comme la trajectoire est plane, on peut décrire le mouvement dans le 
plan
de la trajectoire à l'aide des coordonnées polaires. Exprimons tout d'abord le 
moment

-
-
 -

cinétique -

T dans la base ( u TS , u , uz ).
-
-

-

T = TS  m v

dr -
d -

-

= r u TS  m
u TS + r
u
dt
dt
-

2 d -

u
T = mr
z
dt
L'expression de

-
dR
comporte trois termes :
dt

-

-

-
dR
d-
v
 dT - G M m d u TS
-
=
-

T+ v 
T
dt
dt
dt
dt

Le deuxième est nul car -

T est constant. Compte tenu de la deuxième loi de Newton,
le premier terme s'écrit

-

d-
v
F -
-

 T =
 
T
dt
m
MT 
d -

= -G 2 -
u TS  m r2
u
z
r
dt
d -
u
= G MT m

dt

d-
v
d-
u TS
-

T = G MT m
dt
dt

-
Finalement, le premier terme de la dérivée de R est égal à l'opposé du 
troisième, d'où

-

-
dR
= 0
dt

-
Ainsi, R est un vecteur constant tout au long du mouvement du satellite.

-
I.A.3.b Le vecteur R est la somme d'un vecteur contenu dans le plan de l'orbite

(parallèle à -
u TS ) et d'un vecteur orthogonal à -

T , lui-même orthogonal au plan de
l'orbite. Par conséquent,
-

R est contenu dans le plan de l'orbite du satellite.

-

I.A.3.c Exprimons le terme -
v -

T apparaissant dans R :

dr -
d -

-
-

2 d -
v  T =
u TS + r
u  m r
uz
dt
dt
dt
 2
d
-

-
3
On en déduit
(v  T ) · u TS = m r
dt
Ceci est égal au premier terme du deuxième membre de l'égalité proposée. En 
effet,
d'après l'expression de -

T déterminée à la question I.A.3.a,
 2
d
T 2
= m r3
mr
dt
Finalement, on obtient bien l'égalité
- -

T 2
R ·
u TS =
- G MT m
mr
 
-
Ce produit scalaire peut également s'écrire R · -
u TS = R cos . Il vient
2
T
R cos  =
- G MT m
mr
T 2 /m
G MT m + R cos 
Ceci peut se mettre sous la forme de l'équation d'une conique :

d'où

r=

r() =

p
1 + e cos 

avec

p=

T 2
G MT m2

et

e=

R
G MT m