Centrale Physique MP 2011

Thème de l'épreuve Laser de forte puissance
Principaux outils utilisés diffraction, réseaux, conduction électrique
Mots clefs diffraction, modèle de Drude, réflexion des ondes, conduction dans les métaux, ionisation, réflexion sur une sufrace métallique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


t '» Physique

°°«
--/ MP

EDNE[IHHS EENTHHLE'SHFËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2011

Ce problème est constitué de deux parties largement indépendantes. Certaines 
valeurs numériques sont regroupées
en fin d 'énoncé. Les résultats numériques fournis par les candidats tiendront 
compte du nombre de chiffres
significatifs des valeurs numériques de l'énoncé. Dans l'ensemble du sujet on 
notera j le nombre compleæe dont
le carré vaut -1.

Laser de forte puissance

Ce problème présente une méthode performante d'amplification d'impulsions 
laser, appelée technique CPA
(chirped pulse amplification), qui est mise en oeuvre en laboratoire depuis les 
années 2000. Cette technique est
utilisée dans les lasers de forte puissance, comme par exemple le laser 
petawatt au Laboratoire pour l'Utilisation
des Lasers Intenses de l'École Polytechnique et sera utilisée dans le projet 
européen ELI (Extreme Light Infra--
structure).

La technique CPA consiste à étaler spatialement et temporellement a l'aide 
d'une paire de réseaux de diffraction
une impulsion temporellement courte, puis d'amplifier l'impulsion couleur après 
couleur, de sorte que la puissance
dans le matériau amplificateur reste en--dessous d'un seuil destructeur. On 
recomprime ensuite l'impulsion par
un dispositif symétrique de réseaux pour obtenir une impulsion très intense.

I Étirement temporel d'une impulsion laser

Après avoir établi les propriétés fondamentales des réseaux de diffraction, 
cette partie étudie la manière dont
on peut étirer temporellement une impulsion laser de courte durée avec une 
paire de réseaux.

I.A -- Difiraction par un réseau plan

Le réseau utilisé est un réseau en réflexion constitué d'une succession de 
facettes réfléchissantes contenues dans
le plan 0502. Il est placé dans le vide et éclairé par une onde plane 
progressive monochromatique de longueur
d'onde À et d'amplitude AO.

I.A.1) Énoncer le principe de Huygens et Fresnel.

I.A.2) On considère une facette contenue dans le plan Omz (le repère Oæyz étant
orthonormé direct). Suivant OOE la largeur de la facette est b (elle est 
contenue entre 9
a: = 0 et a: = b), alors que sa longueur (suivant 02) est très grande devant À. 
L'onde
incidente, est contenue dans le plan 0103; et fait un angle io avec l'axe Oy 
(io E [O, 7r/2]). i0
On observe l'onde diffractée dans la direction du plan Oæy faisant un angle 9 
avec Op

(0 EUR [--7r/2,7r/2]). 0

a) Justifier qu'on se limite à l'étude de l'onde diffractée dans le plan Omy. 
Figure 1

b ) Établir l'expression de so(9), amplitude complexe de la vibration lumineuse 
diffrac-
tée à l'infini dans la direction (9.

o) En déduire l'éclairement Ig(0) diffracté dans la direction 9 par une 
facette. Préciser la valeur 90 de l'angle
9 pour laquelle on a un maximum d'éclairement. Quel résultat d'optique 
géométrique retrouve-t-on '?

d ) Tracer l'allure de l'intensité lumineuse en fonction de sin 9. Préciser sur 
le graphique la largeur de la tache
centrale de diffraction.

I.A.3) On considère un réseau constitué de N facettes
identiques à la précédente, translatées les unes par rapport aux y
autres de la distance a > b suivant 0316 (cf. figure 2). L'onde
incidente et la direction d'observation n'ont pas changé.

On numérote les facettes de 0 a N -- 1 de façon a ce que la
facette de rang n est comprise entre :o = na et x = na + b.

a ) Soit sn(9) l'amplitude complexe de la vibration lumineuse
difiractée à. l'infini dans la direction 0 par la énième facette.
Montrer que l'on peut mettre sn(9) sous la forme :

@@ = âo(9) exp(jn@)

où rt est un déphasage à exprimer en fonction de À, a et des angles io et 9.

Figure 2

b) En déduire l'expression de l'éclairement I(9) diffracté à l'infini dans la 
direction 9 par l'ensemble des fentes.

c) La figure 3 représente le tracé de l(9) en fonction de sin 9 en incidence 
normale (io = 0) pour une radiation
de longueur d'onde À = 1050 nm.

I(9)

sin 0
-1 -0,5 0 0,5 1
Figure 3

À quel domaine des ondes électromagnétiques appartient cette longueur d'onde '?

Commenter ce tracé. En particulier, on déduira de la position des maxima la 
valeur du pas a du réseau. Préciser
l'ordre d'interférence pour chacun des pics visibles. Pourquoi n'en voit-cn pas 
plus? Estimer la valeur de b.

d) Que se passe-t-il si on éclaire le réseau avec une lumière polychromatique? 
Tracer I(0) dans les mêmes
conditions qu'à la question précédente pour une onde composée de deux 
radiations monochromatiques de lon-
gueurs d'onde /\1 = 1050 nm et À2 = 1200 nm. Laquelle est la plus déviée?

I.B -- Difiractz'on par un réseau à échelettes

En pratique on préfère utiliser un réseau a échelettes constitué de facettes 
réfléchissantes (largeur b) inclinées
d'un angle & par rapport au plan du réseau. Une onde plane progressive 
monochromatique de longueur d'onde
À éclaire le réseau sous un angle ig par rapport à l'axe Oy et on observe 
l'onde diffractée à l'infini dans la
direction faisant un angle 0 avec ce même axe. Les angles d'incidence et 
d'observation par rapport a la normale
à la facette sont respectivement 70 et fy (cf. figure 4).

Figure 4

I.B.1) Diffraction par une facette

a) Exprimer la différence de marche à l'infini entre les ondes correspondant a 
deux rayons incidents dont l'un
arrive sur l'extrémité O de la facette et l'autre en un point P quelconque de 
la facette en fonction de m, "y et
de la distance a" : OP (cf. figure 5).

b) En déduire l'expression de l'amplitude complexe de la vibration lumineuse
diffractée par une facette dans la direction v.

43) Quelle est la valeur de "y correspondant au maximum d'éclairement de la
figure de diffraction?

I.B.2) Diffraction par le réseau

a) Exprimer le déphasage entre deux ondes diffractées par deux facettes suc-
cessives séparées d'une distance a7 en fonction de a et des angles io et 0.

Figure 5

b ) On note HP les valeurs des directions d'observation correspondant aux maxima
principaux. Exprimer sin EUR,, en fonction de ig, a, À et de l'ordre 
d'interférence p.

0) On veut faire coïncider pour une longueur d'onde A = 1050 nm, le maximum à 
l'ordre 1 du réseau avec
le maximum de la figure de diffraction par une facette. Donner l'expression de 
l'angle & permettant de réaliser
cette condition en fonction de a, A et ig.

Sachant qu'il s'agit d'un réseau constitué de 1740 facettes par millimètre et 
qu'il est utilisé sous une incidence
io = 61,0°, calculer & ainsi que l'angle 01.

d ) Quel est l'intérêt de ce réseau par rapport au réseau plan du I.A '?

I.C -- Etirement temporel d'une impulsion laser avec une paire de
réseau:):

On utilise deux réseaux identiques, placés symétriquement dans le vide. Ils sont
parallèles et distants de d. L'onde incidente, plane progressive arrive sur le 
pre-
mier réseau en faisant un angle io avec sa normale. Les caractéristiques des
réseaux sont telles que seuls les rayons à l'ordre 1 sont a prendre en compte. 
La
figure 6 représente la marche d'un tel rayon pour une onde plane progressive
monochromatique de longueur d'onde /\.

En notant 9 l'angle que fait ce rayon avec la normale au premier réseau on a l\ 
Plan sc : 0

(avec a le pas du réseau) :
Figure 6

sin io + sin 0 = --
a

I.C.1) Cas d'une onde monochromatique

a) Justifier que. quelle que soit la longueur d'onde, le rayon émergent de 
l'ensemble est parallèle au rayon
incident.

b) On note P et Q les intersections entre les rayons incident et émergent et le 
plan x = 0 (cf. figure 6).
Calculer le chemin optique entre P et Q en fonction de 'l0, 0 et la distance d 
entre les réseaux. En déduire le

temps t de parcours entre P et Q.
I.C.2) Cas d'un doublet
L'onde incidente est constituée de deux longueurs d'onde À1 et À2 (avec À1 < 
À2).

@) Faire un schéma de la marche des deux rayons dans la paire de réseaux. On 
fera clairement apparaître les
angles 91 et 02 correspondant respectivement aux longueurs d'onde À1 et À2.

b) On note At : t2 --t1 le décalage temporel entre les deux rayons émergents 
(ti représentant la date d'arrivée
du rayon correspondant à À,-). Montrer que l'on peut écrire At sous la forme :

2 . à . .
At = 5' (mg) -- f(À1)) f(A) = #
c 1 -- (à -- sin ig)

où c est la vitesse de la lumière dans le vide.

43) On a d = 70 cm, a = 0,58 um, À1 = 1050 nm, À2 : 1060 nm et io : 61,0°. 
Calculer At et la dérive de
fréquence [? définie par :

A
5=A--î OùAÀ=À2--À1

On exprimera B en nm - ns_1. Quel est le signe de 5 ? Interpréter.
I.C.3) Cas d'une impulsion laser

On éclaire maintenant la paire de réseaux précédente avec une impulsion laser 
(onde plane progressive) de
longueur d'onde moyenne À0 = 1050 nm et de durée 7' = 1 ps. On supposera que 
l'amplitude de l'onde est
constante sur la durée T et égale à A0. En un point d'abscisse a: = 0 on peut 
alors écrire l'onde g(t) en notation
complexe sous la forme :

Q(t) = {A0 EURXp(j27wot) si t E [0,T] c

_ avec 1/0 = --
0 s1non À0

On rappelle qu'une telle onde peut s'écrire sous la forme d'une somme d'ondes 
harmoniques :

+00 +00
g(t) =/ A(V)éxp(j27flflî)dV où A(1/) =/ g(t)exp(--j27rut)dt

--00 --00

@) Exprimer A(V) en fonction de A0, T, 1/0 et u. Que représente |A(U)| ? Tracer 
l'allure de |A(V)| en fonction
de V. On fera apparaître 1/0 sur ce graphique ainsi que les deux premières 
valeurs 1/1 et V2 de la fréquence
(V1 < 1/0 < V2) pour lesquelles |A(V)| = 0.

b) Donner l'expression puis la valeur numérique de la largeur spectrale A1/ = 
V2 -- V1. Comparer à la fréquence
moyenne U0 et en déduire la largeur spectrale en longueur d'onde AA de 
l'impulsion.

EUR) Cette impulsion est envoyée sur la paire de réseaux. Expliquer pourquoi on 
peut parler d'étirement
temporel. En supposant que la dérive de fréquence 5 est de l'ordre de 5 nm - 
ns"1 dans le domaine de fréquence
utilisé, quelle est la durée de l'impulsion qui émerge du système ? A--t-on 
réalisé le but recherché'.7

d) Une fois l'impulsion étirée elle peut être amplifiée puis recomprimée avec 
une deuxième paire de réseaux
afin de retrouver une impulsion de la durée initiale. Quelle condition doit 
vérifier la dérive de fréquence pour
cette deuxième paire de réseau ?

En pratique cette condition est réalisée en ajoutant un ensemble de deux 
lentilles afocal entre les réseaux.

II Réflexion sur une surface métallique, ionisation, puissance limite

Lors de la réflexion d'une onde électromagnétique de forte intensité sur une 
surface métallique (comme dans le
cas du réseau de la partie I), celle-ci risque d'être endommagée du fait de 
l'ionisation du milieu sous l'effet du
champ électrique. Dans cette partie, le but est de déterminer l'ordre de 
grandeur de la puissance maximale de
l'onde incidente pour éviter ce phénomène.

Le métal (de l'or) occupe tout le demi-espace 2 > 0, le demi espace 2 < 0 étant 
de l'air assimilé au vide. L'onde
incidente est supposé monochromatique et se propage dans le vide suivant l'axe 
Oz dans le sens des z croissants
(incidence normale). La longueur d'onde dans le vide de cette onde est A = 1050 
nm.

II.A -- Propagation d'une onde électromagnétz'que dans le métal

II.A.1) Conductivité du milieu

Le métal est constitué d'ions et d'électrons libres. On note n le nombre 
d'électrons libres par unité de volume,
q = --e la charge d'un électron et m sa masse. La vitesse d'un électron au 
point M à l'instant t est notée 17(M , t).

On adopte le modèle suivant (modèle de Drude) :
-- les électrons sont traités dans le cadre de la mécanique classique;
-- le déplacement des électrons est faible devant la longueur d'onde et 
l'accélération des électrons en M est
317
ôt( )
m _.

-- les électrons subissent de la part du réseau cristallin une force de la 
forme ----v(M , t), où 7' est une constante
7'

caractéristique du milieu;
-- l'effet du champ magnétique sur un électron est négligeable.
a ) En appliquant le principe fondamental de la dynamique a un électron, donner 
l'équation différentielle
vérifiée par Ü(M , t).
On se place pour toute la suite dans le cas d'un régime si11usoïdal forcé de 
pulsation w : Ü(M, t) = Re (ÿ(M, t))
avec ÿ(M,t) = Ü(M)e'"'.

Donner l'expression de ÿ(M, t) en fonction du champ électrique complexe É (M , 
t).

--»

b ) Justifier que la contribution des ions au vecteur densité de courant 
électrique 1 (M , t) est négligeable.
c) Montrer que l'on peut écrire :

i< 107 S -- m_1.
En supposant que chaque atome donne un électron libre, calculer la densité 
d'électrons n dans l'or ainsi que la
constante T.

Montrer, en tenant compte des applications numériques précédentes, que l'on 
peut simplifier l'expression de la

conductivité a :
.nq2

g=--3--
mw

II.A.2) Nature de l'onde

On suppose que le milieu n'est pas magnétique et qu'à tout instant et en chaque 
point la densité volumique de
charge électrique est nulle.

(1) Écrire les équations de Maxwell vérifiées par les champs électrique et 
magnétique dans le conducteur.
b ) En déduire l'équation d'onde vérifiée par le champ électrique.

c) On cherche à étudier la propagation d'un champ de la forme É(M,t) = 
E(0)e'
0 z
)
_

onde réfléchie
métal

Figure 7

Les champs électriques des ondes incidente et réfléchie dans le vide sont 
respectivement :

Ëi(z,t) : E06jw(t--z/c)üæ et Ê,...(z,t) : 'Ï'EOÜjw(t+z/C)üæ

où 7" est le coeflicient, éventuellement complexe, de réflexion.

II.B.1) Donner les expressions des champs magnétiques correspondants.
II.B.2) Quelles relations les champs électriques et magnétiques des ondes 
incidente, réfléchie et transmise
doivent-ils vérifier?

II.B.3) En déduire l'expression du coefficient de réflexion. Que peut-on dire 
de l'amplitude de l'onde réfléchie
par rapport a celle de l'onde incidente ?

II.B.4) Donner l'expression de l'amplitude E(O)
en fonction de E0, w et Ldp.

|E(O)| du champ électrique à la surface du conducteur

II.B.5) On note @@ la vitesse maximale atteinte par les électrons dans le 
conducteur. En tenant compte des
ordres de grandeur de w et cap, montrer que :

II.C -- Ionisatz'on dans le métal, limite en puissance

Les électrons accélérés risquent d'ioniser par impact les atomes voisins, 
l'équilibre de la matière ainsi rompu
provoque l'éjection de particules hautement ionisés et la destruction du dépôt.

II.C.1) Sachant que l'or a pour numéro atomique Z = 79 et un rayon atomique r = 
140 pm, estimer l'ordre
de grandeur de l'énergie nécessaire pour provoquer une ionisation. Calculer 
cette énergie.

En fait les tables donne une énergie de l'ordre de 9 eV. Comment peut-on 
expliquer l'écart entre les deux valeurs.
On prendra la valeur tabulée pour la suite des calculs.

II.C.2) En supposant que lors d'un choc électron-ion toute l'énergie cinétique 
de l'électron est transmise à
l'ion, quelle est l'ordre de grandeur de la vitesse susceptible de créer une 
ionisation supplémentaire.

II.C.3) Quelle est l'amplitude du champ électrique de l'onde incidente 
susceptible de donner lieu à une telle
vitesse ?

II.C.4) Quelle est la puissance moyenne de cette onde sachant que la section du 
faisceau est de l'ordre de
260 cm2 ?

II.C.5) Expérimentalement, pour une impulsion de une picoseconde, on mesure un 
seuil d'endommagement
de 0,5 J - cm"? Comparer au résultat précédent et commenter la pertinence du 
modèle.

Données

Célérité de la lumière dans le vide (: = 3,00 >< 108 m - s"1
Perméabilité du vide ,u0 = 47r10_7 (SI)
Permittivité du vide 50 = 8,85 >< 10_12 (SI)
Charge de l'électron (] = --e = --1,60 >< 10_19 C
Masse de l'électron m = 9,11 >< 10"31 kg
Constante d'Avogadro N A = 6,02 >< 1023 mol"1

oooFINooo

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique MP 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Roman Yurchak (ENS Cachan) ; il a été relu par Julien
Tailleur (Chercheur au CNRS) et Vincent Freulon (ENS Ulm).

Le sujet est divisé en deux parties largement indépendantes : l'une présente un
procédé de manipulation de la lumière laser, l'autre étudie l'interaction entre 
un
métal et une onde électromagnétique.
· Dans la première partie, on s'intéresse à la technique CPA (chirped pulse 
amplification) qui consiste en un système de quatre réseaux permettant d'étaler
temporellement l'impulsion du laser avant l'amplification et de la recomprimer
par la suite. En particulier, on étudie les réseaux à échelettes qui permettent 
de
limiter les pertes d'intensité lumineuse. Les sous-parties I.A et I.C 
constituent
une bonne révision des notions de diffraction.
· Dans une deuxième partie, on modélise l'interaction du laser avec une surface
métallique. En particulier, on décrit la réflexion de l'onde sur la surface 
ainsi
que le seuil d'intensité lumineuse incidente qui correspond à la dégradation du
métal. Cette partie permet de revoir les équations de Maxwell, la théorie de
conduction électrique ainsi que la réflexion des ondes électromagnétiques.
Ce sujet, suffisamment guidé, ne présente pas de difficultés particulières, 
bien que
la première partie soit assez longue. Il fait appel à des notions d'optique 
ondulatoire,
d'électromagnétisme et il est par conséquent bien adapté à toutes les filières.

Indications
Première partie
I.A.2.a Comparer  aux dimensions du réseau suivant Ox et Oy.
I.A.2.b Appliquer le principe de Huygens-Fresnel pour la diffraction à l'infini.
Pour cela, calculer la différence de marche entre les rayons incidents en O et
un point quelconque de la facette.
I.A.3.a Remarquer que les ondes émises par chaque facette sont identiques, à un
déphasage près qu'on peut calculer grâce à la différence de marche entre les
ondes émises en x = 0 et en x = n a.
I.A.3.c À partir du graphique, identifier les deux échelles du problème : 
largeur de
la tache de diffraction et distance entre les pics.
I.B.1.a Les calculs sont similaires à ceux de la question I.A.3.a à une 
rotation près.
I.B.2.c Utiliser les résultats de la question I.B.1.c.
I.C.1.b Tracer une droite orthogonale à -
ux passant par A.
I.C.2.b Développer le résultat de la question I.C.1.b en utilisant la relation 
entre i0
et  ainsi que les formules de trigonométrie.

Deuxième partie
II.A.1.b Penser aux rapport des masses entre les ions et les électrons.
II.A.2.b Il faut combiner les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday.
II.B.2 Les champs sont continus à la traversée d'une interface dans une 
distribution
volumique de charges et de courants.
II.B.3 Utiliser l'expression calculée à la question II.A.2.e.
II.B.5 La densité de courant fait intervenir la vitesse des électrons.
II.C.1 Se rappeler du lien entre l'énergie d'ionisation et l'énergie 
potentielle.
II.C.3 Tirer profit du résultat de la question II.B.5.

Laser de forte puissance
I. Étirement temporel d'une impulsion laser
I.A

Diffraction par un réseau plan

I.A.1 Le principe de Huygens-Fresnel s'énonce de la manière suivante. La 
lumière se
propage de proche en proche. Chaque élément de surface atteint par elle se 
comporte
comme une source secondaire rayonnant une ondelette sphérique dont l'amplitude 
est
proportionnelle à l'aire de l'élément de surface. L'amplitude complexe en un 
point
est égale à la somme des amplitudes complexes incidentes en ce point.
I.A.2.a Puisque la longueur de la facette suivant (Oz) est très grande devant ,
la diffraction dans cette direction est négligeable et le problème peut être 
étudié
uniquement dans le plan (Oxy).
I.A.2.b Notons s i l'amplitude complexe de la vibration lumineuse atteignant le
réseau. D'après le principe de Huygens-Fresnel,

Z b
2
s 0 () = K s i exp j
dx

0
avec K une constante et  une différence de marche que l'on calcule à partir de 
la
figure ci-dessous.
y
K2
K1

i0

i0

P

b
x

O

x

 = (K1 P) + (PK2 ) = x (sin  + sin i0 )
Posons  = 2/x,

s 0 () = K s i

e jx
j

b

e j - 1
= K si
j
s 0 () = K s i e jb/2
donc

x=0

e jb/2 - e -jb/2
j

b
b
s 0 () = K b s i exp j (sin  + sin i0 ) sinc
(sin  + sin i0 )

La réflexion sur la facette introduit une phase supplémentaire de  pour
chaque rayon. Néanmoins cette dernière n'intervient pas dans le résultat
puisque l'on s'intéresse uniquement à la différence de marche entre deux
rayons réfléchis.

I.A.2.c Par définition,
I0 () = |s 0 ()|2
d'où

2

I0 () = (|K s i | b) sinc

2

b
(sin  + sin i0 )

Le maximum d'éclairement est atteint pour 0 = -i0 . On retrouve la loi de 
SnellDescartes pour la réflexion.
I.A.2.d Cherchons les zéros de I0 (sin ) notés z+ et z- , qui permettent de 
calculer
la largeur de la tache de diffraction :

b
+ + sin i0
z-
=

+
-

b
(z+ - z- ) = 2

Soustrayons ces deux relations,

La largeur de la tache de diffraction est

2
.
b

I0 (sin )
2
b
z- - sin i z+ 0
0

sin 

I.A.3.a Calculons la différence de marche n entre deux rayons homologues 
diffractés par les facettes O et On .
y

s0 ()

sn ()
K2

K1

i0

i0

x
On

O
x = na

n = (K1 On ) + (On K2 ) = na (sin  + sin i0 )
d'où
soit

sn () = s0 () e j2n /
sn () = s0 () e jn

avec

=

2a
(sin  + sin i0 )