Centrale Physique MP 2007

Thème de l'épreuve Freinage électromagnétique d'une plaque métallique
Principaux outils utilisés oscillateur harmonique amorti, électrostatique, magnétostatique, force de Laplace
Mots clefs freinage électromagnétique, courants de Foucault

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Concours Centrale - Supélec 2007

Épreuve :

PHYSIQUE

Filière

MP

PHYSIQUE

Filière MP

PHYSIQUE

Freinage êlectromagnêtique d'une plaque métallique

Les calculatrices sont autorisées.

Les courants de Foucault sont
d'un usage fréquent dans le frei-
nage des véhicules utilitaires.
L'expérience décrite ci-dessous,
aisément réalisable dans le labo-
ratoire d'enseignement d'un
Lycée, permet une étude quanti-
tative de ce phénomène physique.

Une plaque en aluminium oscille
dans un plan vertical situé entre
deux bobines parcourues par un
courant constant. Les oscillations
de la plaque amorties par l'inte-
raction des courants de Foucault
et du champ magnétique sont sui-
vies par une méthode rhéographi-
que qui génère une tension image

du déplacement horizontal de la DiSPositif rhéographique
1 de mesure de la position
p aque° de la plaque

Les notations et les valeurs
numériques des grandeurs physi-

Générateur de
puissance

Deux bobines
montées en série

Figure | Ordinateur

ques intervenant lors de la mise en équation de cette expérience sont précisées

ci-dessous :
Accélération de la pesanteur
Charge de l'électron
Permittivité diélectrique du vide
Masse volumique de l'aluminium

Conductivité électrique de l'aluminium

Concours Centrale-Supé/ec 2007

g=9,81N-kg_l

qe = --e = --1,60- 10_19 c

80 = 8,85 - 10--12F-m_1

u = 2,72-103kg-nf3

y = 3,61 - 107Q_1-m_1

1/11

PHYSIQUE Filière MP

Filière IVIP

Epaisseur de la plaque carrée h 1, 00 mm

30, 0 cm

Longueur d'un côté de la plaque carrée d

Vitesse de déplacement constante imposée par 1

l'expérimentateur (parties II et III) "0 = 1' 00 m ' S

Longueur caractéristique de l'extension de la

zone de champ & = 3, 00 cm

Intensité du champ magnétique Bo : 40, 0 mT

Nous rappelons également quelques relations mathématiques utiles :

+°° 2
foeXP(--%)du = Æ

Laplacien en coordonnées cylindriques d'une fonction scalaire g(r, 6), z) :

2 2 2
Ag : ê..â+l ââ+lâ.â+ê£ _
ôr2 '"Ô'" r2882 622

Divergence et rotationnel en coordonnées cylindriques, d'un vecteur
+ + + +
A : Arur + Aeue + AZuZ .

d A 8A 8A
divÂ=% (r r)+l-----Ê

2

+ .
ôr r 89 62

IËÂ : (l ôAZ âAe)e <ôAr aA2)uî+% (ô(rAe)_ôAr)Î

r 68--82 ôr_ôr ôr ao 2'

Ï'

Partie I - Analyse d'une expérience

On se propose d'étudier les oscillations libres, puis amorties, d'une plaque 
homo--
gène carrée de côté d , de masse m et d'épaisseur h négligeable devant d ,
astreinte à se déplacer dans le plan Oxy . Le point 0 est l'intersection de 
l'axe
de révolution des bobines avale plan delæaplgque. Cette plaque est reliée aux
points fixes 01 et 02 (avec 002 - uy : -- OO1 - uy : d/2) par deux fils 
inextensi-
bles, sans masse et de longueur L fixés au niveau de la plaque en A1 et A2 .

Concours Centrale-Supé/ec 2007 2/11

PHYSIQUE Filière MP

Nous faisons l'hypothèse que, durant les 02 /
oscillations, les fils restent tous les deux ten-- /
dus et que les liaisons aux différents points de
fixation sont parfaites.

Nous notons

/\/\ %

+ + + + + 01A1
@ = (uanlAl) : (ux,02A2), ur : ?>
+ + + + +
ue=uzAuretg =gux.

Soieri G le centre de masse de la plaque,
y : OG-uî, et z? : vÎ : ya? la composante
horizontale de la vitesse de G dans le référen-
tiel du laboratoire. On pourra supposer que G

est en 0 lorsque la plaque est au repos.

Figure 2

LA - Étude des petites oscillations libres

À l'instant initial, la plaque est lâchée sans vitesse en 8 = 60 .
I.A.1)

a) Exprimer les vectàeurs vitesse des points A1 et A2 par rapport au référentiel
du laboratoire. Soit % : Quz le vecteur rotation de la plaque dans ce 
référentiel
Que peut--on dire de Q et du mouvement de la plaque dans ce même référentiel ?

b) Exprimer alors l'énergie cinétiqÛue de la plaque dans le référentiel du 
labora--
toire en fonction de m , L et è : (Eli--£ .
c) En traduisant la conserva-

. , . , . y(Cm)
t1on de l'energ1e mecanique du
système, établir l'expression de
62 en fonction de g , L, 60 et 6).
Montrer que pour les petites
oscillations, l'équation du mou-
vement de la plaque se met sous
la forme 6 + (008 = 0 . En déduire
l'équation différentielle vérifiée
par y(t) pour ces petites oscilla-
tions.

Ù1 J'> du vb + 0 --\ N ... J> u1

t(s)

0 05 1 15 2 2,5 3 35 4 45 5

Figure 3

d) La figure 8 fournit des cour-
bes expérimentales relatives à diverses conditions initiales. En quoi ces 
courbes
sont-elles en accord avec cette équation différentielle ?

Concours Centrale-Supé/ec 2007 3/11

PHYSIQUE Filière MP

e) Déterminer pour chacune des trois courbes les valeurs maximales de ÿ(t).
Représenter les trois trajectoires associées à ces courbes dans l'espace des 
pha-
ses (y, ÿ) . Quelle propriété géométrique relie ces courbes '?

I.A.2)

a) À partir des résultats expérimentaux fournis en figure 3 déterminer la
valeur numérique de la longueur L des fils de suspension.

b) Dans le cas d'une amplitude angulaire de 6max : 15° , déterminer et compa-
rer les valeurs numériques des amplitudes crête à crête, des déplacements du
centre de masse G selon Ox et Oy , notés respectivement AxG et AyG.

I.B - Détermination expérimentale du coefficient d'amortissement des
petites oscillations

Dans cette question les bobines sont parcourues par un courant continu d'inten-
sité i. La plaque de cuivre, en mouvement quasi horizontal selon Oy dans le
champ magnétiquq ainsi gréé, est alors soumise à un freinage électromagnéti--
que de résultante F : --ow .

I.B.l) Montrer que l'équation différentielle normalisée traduisant l'évolution
temporelle de y dans cette situation expérimentale de petites oscillations amor-
ties est :

2
C--l--ï+2kÊ'-Ï+oeäy : O.Relier )» à oc et m.
2 dt
dt
I.B.2) La figure 4 correspond à (m?)
un enregistrement effectué pour y 3 3
un courant d'intensité i0 : 2, 85 A, 2 52
pour lequel on précise les coordon-- 1
nées des trois premiers maxima °

locaux S1(t1,yl), SZ(t2,y2) et '1
S3(t3, y3) avec:

2 42 cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8
?

°l--
)--À
l

-- 0,610s y1

1, 35 cm Figure 4

&l--
l\.)
|

t3 : 2,97s y3 : 0,764 cm

a) Calculer numériquement et comparer 6 : ln(y1/y2) et 6' : âln(y1/Y3) . En
justifiant vos calculs par un raisonnement, déterminer alors la valeur numéri--
que expérimentale keXp du coefficient ?» pour ce courant continu d'intensité
io = 2, 85 A.

Concours Centrale-Supé/ec 2007 4/11

PHYSIQUE Filière MP

b) En déduire la valeur numérique expérimentale (lexp du coefficient oc .

I.B.8) Le tableau ci-dessous regroupe des valeurs expérimentales xexp obte-
nues pour différents courants continus d'intensité i . On se propose de 
vérifier si
ces résultats sont en accord avec une loi de variation du type )» = 7'0 + Bi2 .

i (A) 0 0, 24 0, 52 0, 77 1 1,15 1, 57 1, 84 2,1 2, 45

?» ( 8--1) 0, 0138 0, 0182 0, 0309 0, 0513 0, 0689 0, 0932 0,151 0, 203 0, 260 
0, 355

a) À quel phénomène physique correspond le terme 7'0 '?

b) Pourquoi cherche--t-on à priori une dépendance de ?» en i2 et non en i ?
c) Le modèle proposé est-il en accord avec les résultats expérimentaux ?
d) Dans l'affirmative, déterminer les valeurs numériques de 7'0 et [3 .

I.B.4) Algorithmique.

Lors de l'enregistrement des données expérimentales, il est créé un tableau D
de n valeurs réelles D , p variant de 1 à n, correspondant à un échantillon--
nage à intervalles de temps réguliers de la variable y(t). Nous avons donc
Di : y( p >< At) , où At désigne une durée choisie par l'expérimentateur.

a) Ecrire une procédure F (D, n) qui renvoie le nombre de maxima locaux détec-
tés lors de l'acquisition.

b) Ecrire une procédure G(D, n) qui retourne la moyenne des décréments loga--
rithmiques évalués à chaque fois à partir de deux maxima locaux successifs.

I.C - Structure du champ magnétique créé par les bobines

Le dispositif de production de champ
magnétique (voir figure 1) est constitué de
deux bobines cylindriques identiques d'axe
commun Oz et placés symétriquement par
rapport à l'origine du repère Oxyz . La figure
5 représente les lignes de champ magnéti-
que dans une partie du plan sz .

I.C.1) Le sens du courant dans les bobi- Figure 5
nes étant précisé sur la figure 1, indiquer
sur un schéma l'orientation des lignes de champ magnétique.

I.C.2) Peut-on réaliser une carte de champ dans le plan xOy ?

I.C.8) Quelles conséquences peut--on tirer de la géométrie cylindrique des
deux bobines ?

Concours Centrale-Supé/ec 2007 5/11

PHYSIQUE Filière MP

I.C.4) Dans le volume intérieur de ces bobines, les lignes de champ peuvent
être considérées comme parallèles. Montrer que ceci implique que le champ
magnétostatique est uniforme dans ce domaine.

I.C.5) On considère une ligne de champ ,.

magnétique située au voisinage de l'axe Oz (les / X
échelles en x et en 2 de la figure 6 ne sont donc
pas identiques). En un point A de cet axe /

(resp.C ) , la distance séparant la ligne de champ JA fc 2)
de l'axe vaut r A(resp.rC) . Exprimer BZ(A) , com- A C

posante selon Oz du champ magnétique en A

en fonction de BZ(C) , '"A et '"0- Figure 6

I.C.6) Établir que pour un point de cote z , situé sur l'axe Oz au voisinage du
point 0 , la composante BZ varie en

2 2
Bz(z) ÈBZ(0)[1 +z /l ].

Dans cette expression, [ désigne une longueur caractéristique que l'on ne cher--

chera pas à déterminer.

I.C.7) On cherche maintenant à caractériser la composante BZ dans le plan
xOy, tout en restant au voisinage du point 0. A partir d'une équation locale
vérifiée par le champ magnétostatique B , établir que

BZ(r, z = 0) % BZ(O)[1-- & r2] . Exprimer la constante & .

Partie II - Structure du champ électrostatique dans la
plaque métallique
Moyennant quelques hypothèses simplificatrices, il est possible d'établir une

expression théorique du coefficient oc . En repérant un point M de l'espace par
les coordonnées cartésiennes (x, y, z) , nous supposerons que :

° dans le plan Oxy, le champ magnétostatique créé par les bobines est de la
forme

2 2
+ +
B(x,y,0) : B0 exp(--x +2y )uz
2a

où a est une longueur caractéristique de l'extension de la zone de champ magné--
tostatique dans ce plan.

Concours Centrale-Supé/ec 2007 6/11

PHYSIQUE Filière MP

° Dans Æ5, le référentiel des bobines
créant le champ magnétostatique, la pla--
que métallique ie déplace selon Oy a une
vitesse v0 : v0uy, maintenue constante uÎ

par un opérateur. De plus, la plaque en

translation est à tout instant parallèle au

plan Oxy . Ux

En pratique, cette hypothèse n'est pas très restric- Z
tive pour l'étude des oscillations de la plaque dans Figure 7
la mesure où le temps de réorganisation des char--

ges statiques est extrêmement court devant la période de l'oseillateur.

° Comme l'épaisseur h de la plaque est très petite devant a , le champ magné-

tostatique dans le volume occupé par la plaque est correctement décrit par la
seule composante BZ dans le référentiel fig, :

2 2
à %
B(x,y,z) : Bo exp(--x +2y )uz.
Za

° Les dimensions de la plaque dans les directions Ox et Oy sont très grandes
devant a , ce qui permet de négliger les effets de bords.

° La vitesse du conducteur est suffisamment faible, pour que le champ magné-
tique créé par les courants induits soit négligeable devant le champ magné-
tostatique créé par les bobines.

Par ailleurs, on définit les coordonnées cartésiennes réduites utiles dans la 
suite
par les relations X : x/a , Y : y/a et Z : z/a .

II.A - Distribution volumique de charges statiques

Le conducteur en mouvement dans une zone de champ magnétique n'est plus en
équilibre électrostatique. La densité volumique de charge p n'est donc plus, a
priori, identiquement nulle dans le matériau conducteur. Comme la plaque est
en translation uniforme, cette distribution de charges est stationnaire dans
fig, . La zone ghargée est donc fixe par rapport aux bobines, mais se déplace à
la vitesse --v0uy par rapport au conducteur.

II.A.1) En prenant en compte dans %;, le champ magnétostatique Ë créé par
les bobines et le champ électrostatique Ê' généré par les charges fixes, montrer
que la densité volumique de courant Î dans ce référentiel %;, s'écrit
Î = Y(Ê + Z, A È) .

II.A.2) Écrire l'équation aux dérivées partielles vérifiée par ; .

Concours Centrale-Supé/ec 2007 7/11

PHYSIQUE Filière MP

II.A.8) En déduire que, en coordonnées cartésiennes réduites, p se met sous
la forme
X 2 + YZ)

p(X,Y,Z) = rx exp(-- 2

Expliciter la constante F en fonction de 80 , vo, Bo et a .

II.A.4) La densité volumique de charges p est maximale en M 3 et minimale
en M {, . Déterminer les coordonnées réduites de ces points et préciser la 
valeur
maximale pmax de p.

II.A.5) Expliciter les éléments de symétrie de la distribution de charges p et
tracer l'allure des courbes d'isodensité de charges dans le plan OXY .

II.A.6) On cherche à estimer le défaut d'électrons dans le demi--espace X > 0 .
On note Q la charge électrique contenue dans cette partie de la plaque. Montrer
que Q : Æ sovoBoha . Combien d'électrons excédentaires cela représente--t-il
dans la partie X < 0 ? Commenter le résultat obtenu.

II.B - Résolution de l'équation de Poisson dans le référentiel %;,

Les charges statiques, dont la répartition vient d'être étudiée, créent en tout
point de l'espace un potentiel électrostatique V(x, y, 2) que l'on prendra nul 
au
centre O du dispositif expérimental V(O, O, O) = O.

II.B.1) Si h «a , on peut montrer que la composante EZ est ratiquement
négligeable devant les autres composantes du champ électrique E dans la pla-
que métallique. En déduire que dans le matériau conducteur, en un point M , le
potentiel électrostatique ne /d@end que des variables de position

--9.----+
r = ./x2+y2 et 9 = (ux,ÛM),reliant V(M) et p(M).

II.B.2) Écrire l'équation de Poisson en coordonnées cartésiennes réduites

(X, Y) puis en coordonnées polaires réduites (R : A/X2 + YZ, 6) .

À grande distante de O , donc pour R » 1 ,le potentiel électrostatique doit 
s'appa-

renter à celui d'une distribution dipolaire invariante par translation suivant

OZ du type VOY-Y-SË . Nous chercherons donc une solution de l'équation de Pois--
son de la forme

cosH

V(R, @) = V0Îf (R)

la fonction adimensionnée ;" (R) vérifiant les conditions f(0) : 0 et
Rlim ;" (R) = 1.

Concours Centrale-Supé/ec 2007 8/11

PHYSIQUE Filière MP

II.B.3) Donner l'expression de V0 en fonction de v() , BO et a. Vérifier son
homogénéité et montrer que f (R) vérifie l'équation différentielle
d2f df _ 3 R2
Æ'2ËË -- --R "Pt--2")-
La solution de cette équation compatible avec les conditions aux limites s'écrit
2

;" (R) = l--exp<-- %).

II.B.4) Le potentiel est maximal en M Î et minimal en M "1. Rechercher les
coordonnées réduites de ces points et placer sur un schéma les points M Î , M 
"1 ,
M3, Mg, (cf. II.A.4).

II.B.5) Établir l'expression littérale de AV
male entre deux points de la plaque conductrice. Déterminer la valeur numéri--

max, différence de potentiel maxi-

que de AVmax .

II.C - Structure du champ électrique

II.C.1) Montrer que, en coordonnées réduites, le champ électrique se met sous
la forme

-- R'/2

+ V _ --R2/2 _ 2 % V _ %
E=--9--l---Ë--2--------e R/2 cosGuR+---91 62 sin6u6.
a R a R
II.C.2) La figure 8, ci-contre, représente les lignes .. Y
3--,

de champ électrique dans le domaine (0 5 X 5 3 ;
0 5 Y s 3 ). Reproduire cette figure en précisant
l'orientation de ces lignes et en la complétant pour 2 "
(--35X53 ;--3sYs3).

II.C.3) Déterminer, au centre O de la zone de
cham_p magnétique, l'expression du champ électri-
que ë(O) et ècalculer sa valeur numérique. Compa-
rer E(O) à v0 A B(O).

II.C.4) Pour vérifier la cohérence du calcul précé-
dent, on enlève la plaque conductrice et on place deux fils infinis parallèles à
OZ , passant par les points M Î et M "1 . Les fils portent des densités 
linéiques de
charges opposées :>» , telles que ?» = Q/ h (+ Q étant définie àla question 
II.A.6).
La densité est positive pour le fil qui passe par M Î et négative pour l'autre.

Figure 8

a) Établir rapidement l'expression du champ électrostatique d'un fil portant la
densité linéique 7».

b) En déduire l'expression Ê '(O) du champ électrique produit en 0 par les deux
fils infinis passant par les points M Î et M "1 .

Concours Centrale-Supé/ec 2007 9/11

PHYSIQUE Filière MP

à +
c) Comparer E'(O) et E(O).

Partie III - Répartition des courant de Foucault et
estimation de la résultante des force de Laplace

III.A - Expression théorique du coefficient d'amortissement

Nous revenons maintenant à l'étude de la plaque et nous allons chercher à
déterminer la répartition des courants de Foucault au sein du volume conduc--
teur.

III.A.l) Déduire des parties précédentes les exprgssions des composantes
polaires réduites de la densité volumique de courant j .

III.A.2) Indiquer, le cas échéant, les
plans de symétrie ou d'antisymétrie de
la distribution de courants.

III.A.3) Comparer Î(O) et yÊ(O).
III.A.4) Rechercher les coordonnées
réduitgs deg points N1 et N 2 pour les-
quels j = 0 .

III.A.5) La figure ci-contre indique les
lignes de courants dans le plan OXY.
Reproduire l'allure de cette figure en
précisant l'orientation des lignes de cou--
rant (on rappelle que "0 > 0 ). Placer les
points N1 , N2 , et MÎ et Mi .

III.A.6) Comment choisir la surface
d'intégration 2 pour que le flux de j à
travers 2 soit l'intensité totale I ...
associée aux courants induits. Une esti--
mation rapide donne l'ordre de gran- Figure 9

deur I ... z thoBoa . A titre indicatif, I ...

est de l'ordre de plusieurs dizaines d'ampères dans les conditions expérimenta--
les de la Partie I.

III.B - Expression théorique du coefficient d'amortissement

III.B.1) Rappeler l'expression de la densité volumique fî des forces de
Laplace.

III.B.2) Montrer à l'aide d'arguments de symétrie clairement dégagés que la
résultante F L des forces de Laplace est colinéaire à u y .

Concours Centrale-Supé/ec 2007 10/11

PHYSIQUE Filière MP

III.B.3) Mettre FÎ sous la forme Fî : --atheozÎ en explicitant atheo en fonction
de y,h,Bo eta.

III.B.4) Application numérique : comparer atheo et anp .

Une des raisons du désaccord, certes limité mais réel, entre ce modèle 
théorique et les
résultats expérimentaux est liée à l'existence de charges électriques réparties 
en surface sur
les bords latéraux de la plaque pour maintenir les lignes de courant au sein du 
conduc-
teur. Si la plaque n'est pas assez grande, ces effets de bords doivent être 
pris en compte.

III.C - Effet Joule et résistance équivalente de la plaque conductrice

III.C.1) Exprimer la puissance dissipée par effet Joule dans le conducteur en
fonction de atheo et de vo.

III.C.2) Montrer que la résistance électrique totale Rtot qu'oppose la plaque
aux courants induits ne dépend en première approximation que de son épais--
seur et de la conductivité du matériau.

III.C.3) Estimer Rtot pour la plaque étudiée dans l'expérience de la Partie I.

ooo FIN ooo

Concours Centrale-Supé/ec 2007 11/11

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique MP 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sébastien Dusuel (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Stanislas Antczak (Professeur agrégé) et Stéphane Ravier (Professeur en 
CPGE).

Ce sujet aborde l'étude des courants de Foucault au sein d'un conducteur massif
en mouvement dans un champ magnétique. L'une des applications de ce phénomène
d'induction est le freinage des véhicules utilitaires. Le calcul des courants 
de Foucault est réputé difficile et rarement étudié en classes préparatoires. 
Cette épreuve
permet de se familiariser avec ce phénomène physique intéressant en considérant 
le
cas relativement simple d'une plaque carrée oscillant entre deux bobines. 
Quelques
approximations permettent de mener à bien les calculs.
· La partie I traite de mécanique. Les sous-parties I.A et I.B sont simples
(régime pseudo-périodique d'un pendule) avec toutefois deux questions tout
à fait inattendues d'algorithmique ! La sous-partie I.C de magnétostatique est
plus compliquée ; en outre, la formule donnée par l'énoncé pour le rotationnel
contient une erreur.
· La partie II, qui porte sur l'électrostatique, est totalement indépendante de
la précédente et commence assez simplement (II.A). La suite (II.B) n'est pas
toujours très bien formulée et demande une certaine autonomie. Il en va de
même pour la fin de la sous-partie II.C.
· La partie III constitue le coeur de l'épreuve : étude des courants de Foucault
dans la sous-partie III.A, calcul du coefficient de frottement fluide induit 
dans
la sous-partie III.B. Il ne faut pas se laisser impressionner par la première
question ! Celle-ci semble indiquer que ce qui précède doit avoir été traité : 
ce
n'est pas le cas, tous les résultats nécessaires sont donnés dans l'énoncé. 
Enfin,
l'épreuve s'achève par la sous-partie III.C, qui étudie l'effet Joule dans la 
plaque.
Ce sujet constitue un bon problème de révision de tout ce qui a trait à la 
mécanique et à l'électromagnétisme. Il permet de vérifier la maîtrise du 
concept fondamental de symétrie par quelques questions originales. Les 
applications numériques
ne doivent pas être négligées, l'une d'entre elles demandant d'ailleurs de 
savoir résoudre numériquement une équation sans solution analytique. L'épreuve 
est longue
et de difficulté très variable d'une question à l'autre ; néanmoins, les 
parties sont indépendantes et donnent suffisamment de résultats intermédiaires 
pour ne pas rester
bloqué. Signalons enfin que l'énoncé a été un peu négligé (titres identiques 
pour les
parties III.A et III.B, erreur dans le formulaire) et qu'il n'est pas facile, à 
la lecture
des questions, d'évaluer leur difficulté : voilà de quoi déstabiliser les 
candidats.

Indications
Partie I
I.A.1.a Les fils restent tendus donc la plaque ne peut pas tourner.
I.A.1.b Qu'implique la non-rotation de la plaque ?
I.A.1.e Penser à relier ymax à y max .
I.A.2.b Lire l'introduction de la partie I.B.
I.B.2.a Montrer que le décrément logarithmique  et la pseudo-période T sont liés
par la relation  = T.
I.B.3.b Utiliser le principe de modération de Lenz.
I.B.3.d Faire une régression linéaire.

-
I.C.2 Comment le champ B (M) est-il orienté pour M appartenant au plan (xOy) ?
I.C.4 Trouver la direction du champ, puis utiliser les équations de Maxwell.
I.C.5 Se servir de la version intégrale de l'équation de Maxwell-Thomson, 
c'est-à
-
dire div B = 0, appliquée à un tube de champ bien choisi.
I.C.7 Écrire l'équation de Maxwell-Ampère afin d'obtenir une première forme
de Bz , puis celle de Maxwell-Thomson pour approximer Br près de l'axe
Oz et s'en servir pour réexprimer Bz et trouver  = 1/(22 ).
Partie II
II.A.2 Écrire l'équation de conservation de la charge.
II.A.3 Utiliser l'équation de Maxwell-Gauss.
II.A.4 Remarquer que (X, Y) = f (X)g(Y).
II.A.5 La formule donnant  permet de trouver les symétries.
II.A.6 Comparer l'excédent d'électrons au nombre d'Avogadro.
--

-
II.B.1 Penser à écrire E = - grad V.
II.B.3 Insérer la forme proposée du potentiel V dans l'équation de Poisson, puis
identifier V0 afin que f satisfasse l'équation différentielle fournie par 
l'énoncé.
II.B.4 Une solution analytique n'existe pas, il faut utiliser une méthode de 
résolution numérique.

-
II.C.2 Utiliser les symétries et le lien entre V et E .
Partie III

III.A.2 Les symétries découlent de la formule de -
.

-
III.A.6 Comment est le champ de vecteur  dans le plan XOY ?
III.B.2 Que peut-on dire du plan XOZ ?
III.B.3 Intégrer selon , puis simplifier l'expression obtenue et terminer par 
le calcul
de l'intégrale selon R.
III.C.1 Que donne la conservation de l'énergie ?
III.C.2 Utiliser l'expression de Itot donnée dans l'énoncé.

I. Analyse d'une expérience
I.A

Étude des petites oscillations libres
z

I.A.1.a Représentons, pour débuter, le système
étudié avec une vue de face.

x

Faire un dessin est une bonne façon d'aborder un problème. On se rend ainsi 
compte
que la plaque ne peut pas tourner, vu que
les fils restent tendus. Dans le soucis de
nous conformer à l'énoncé, nous n'avons pas
mis les points d'attache A1 et A2 aux coins
de la plaque. Notons que leur position n'a
en fait aucune importance pour la suite.

-

u

y

O1 -
 O2
u
r

L

L
A1

-

g

A2
G

d

O
y

d

Le point d'attache O1 étant fixe dans le référentiel du laboratoire, la vitesse 
de A1 ,
dans ce référentiel, peut s'exprimer
---
dO1 A1

-
v A1 =
dt
---
-

Sachant de plus que O A = L u , on obtient
1

1

r

-

v A1 = L -
u

d-
u
d d-
u
r
r

=
=  -
u

dt
dt d

Rappelons que

La vitesse du point A2 se calcule de même, en dérivant par rapport au temps le
--- ---
 (O est fixe lui aussi), ce qui donne
vecteur position O2 A2 = O1 A1 = L -
u
r
2

-

-

v = v = L -
u
A2

A1

Les fils restant tendus, la plaque ne peut avoir qu'un mouvement de translation
(non rectiligne) et par conséquent son vecteur rotation est nul
 -
-

 = 0

C'est pour cette raison que -
v A2 = -
v A1 , comme on peut le voir sur la formule

-
-
-
-

-

-
de Varignon v = v +   A A . Plus généralement, tous les points de
A2

A1

1

2

la plaque ont le même vecteur vitesse.
I.A.1.b Le théorème de König relie l'énergie cinétique de la plaque, notée Ec , 
dans
le référentiel du laboratoire, à celle Ec , dans le référentiel barycentrique 
associé, et à
 -
-

la vitesse -
v G du barycentre de la plaque : Ec = Ec + mvG 2 /2. La condition  = 0

. On aboutit ainsi à
implique que E = 0 et que -
v =-
v = L -
u
c

G

A1

1
Ec = m(L)2
2

I.A.1.c L'énergie mécanique de la plaque se conserve, car :
· les liaisons sont parfaites et ne dissipent par conséquent pas d'énergie ;
-

-

· les forces de tension des fils T1 et T2 ne travaillent pas, puisqu'elles sont 
pa-

rallèles à ur , alors que le mouvement de A1 et A2 se fait dans la direction
;
perpendiculaire -
u

· seul le poids travaille et l'énergie potentielle associée s'écrit, à une 
constante
additive près, Epp = -mgxG .
De plus, comme xG = xA1 + d/2 et xA1 = L cos , on a, toujours à une constante 
près
Epp = -mgL cos  + Cte
Ainsi, la conservation de l'énergie mécanique Em = Ec + Epp s'écrit
1
m(L)2 - mgL cos  = C
2
Les conditions initiales (0) = 0 et (0) = 0 fournissent C = -mgL cos 0 puis
2 =

2g
(cos  - cos 0 )
L

L'équation du mouvement s'obtient en dérivant cette équation par rapport au
temps et en simplifiant par rapport à  (qui est non identiquement nul)
g
 + sin  = 0
L
Il ne reste alors qu'à linéariser le sinus en sin   , approximation valable 
pour les
petits angles, ce qui donne bien
r
g
2
 + 0  = 0
avec
0 =
L
On aurait aussi pu d'abord développer l'énergie mécanique à l'ordre deux
en  grâce à cos   1 - 2 /2, puis dériver l'expression obtenue par rapport
au temps, pour trouver l'équation du mouvement aux petits angles.
Notons de plus que les déviations aux petits angles apparaissent lorsque
le terme d'ordre 3 dans le développement du sinus n'est plus négligeable, soit
(en prenant un facteur arbitraire 100) 3 /6  /100, ce qui fournit  & 14 .
--
Pour aboutir à l'équation que vérifie y(t), écrivons ce que vaut le vecteur OG.
Étant donné que le barycentre G se déplace comme le point A1 , on a
--

OG = L (cos  - 1) -
ux + L sin -
u
y
Il découle de ce calcul que

y = L sin   L

Ainsi aux petits angles, y est proportionnel à  et vérifie la même équation 
différentielle que , à savoir
y + 0 2 y = 0
I.A.1.d Les courbes de la figure 3 montrent que les oscillations sont 
isochrones,
c'est-à-dire que quelle que soit l'amplitude des oscillations, la période est 
inchangée.
Elle vaut ici T0 = 1,0 s. C'est une propriété importante des oscillateurs 
harmoniques.
Ce résultat expérimental prouve donc que l'approximation des petits angles est 
justifiée et que les oscillations sont sinusoïdales.