Centrale Physique MP 2002

Thme de l'preuve Quelques aspects de l'astronautique
Principaux outils utiliss mcanique, lectromagntisme
Mots clefs forces de raction, jets ioniques, pression de radiation

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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nonc obtenu par reconnaissance optique des caractres


MA Sujets 2002:80n  tirerzPhysique MP 18.9.97--3 N0uv version du I') mars 2002 
15:07

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



Centrale Physique MP 2002 -- Corrig
Ce corrig est propos par ric Armengaud (ENS Ulm) ; il a t relu par
Stphane Plat (Centrale Paris) et Stphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce problme traite des mthodes astronautiques classiques, actuellement 
utilises
ou envisages. Il ne comporte pas de difficult majeure, except sa longueur. 
Il faut
faire attention, car les parties ne sont pas tout  fait indpendantes les unes 
des
autres. La mcanique newtonienne et la gravitation sont bien sr largement 
utilises
(il ne faut pas ngliger cette partie du cours de Sup pendant les rvisions).
 La premire partie traite d'un modle instructif sur la propulsion par 
raction.
 La deuxime partie traite du lancement des fuses.
 Les troisime et quatrime parties traitent d'autres moyens de propulsion : 
moteur ionique et voile solaire. Elles font appel  l'lectromagntisme et 
peuvent
donc servir de parachute  ceux qui bloqueraient dans les problmes de 
mcanique.
 Les cinquime et sixime parties traitent de navigation dans l'espace. En 
particulier, il est important de remarquer ds l'indispensable premire lecture 
de
l'nonc que le plus gros de la cinquime partie est constitu de questions de
cours.
 La dernire partie, enfin, traite de la rentre atmosphrique.
tant donn le grand nombre de questions trs proches du cours et de questions
qualitatives ouvertes, trs  la mode actuellement, la rdaction est un lment 
important pour ce genre de problme. Nanmoins, la longueur du sujet fait qu'il 
faut surtout
tre efficace et rapide, pour en faire un maximum dans le temps impos. 
Signalons
enfin que ce problme est excellent pour qui veut rviser ses bases de 
mcanique et
de gravitation de premire anne.

Indications
Partie I
I.A Le systme  dfinir doit tre ferm.
I.C Raisonner par rcurrence en s'inspirant des rsultats obtenus dans les 
questions I.A et I.B.
.
I.F Exprimer la masse m du systme aprs le k e jet, et calculer m -
a
k

k

k

Partie II
II.A Prendre comme systme ferm la fuse avec les gaz qu'elle contient 
exactement  l'instant t. Faire ensuite le calcul au premier ordre en dt.
II.C Utiliser la conservation de la masse et la question prcdente pour 
calculer
me /mf .
II.F Faire attention au signe du rsultat.
II.I.2 liminer le temps du systme prcdent.
Partie III
III.A Utiliser la formule donnant T obtenue  la question II.A.
III.B La puissance Pe min est obtenue en utilisant la formule Pe min = Ut i pour
la puissance fournie par une tension Ut qui cre un courant i. Il faut donc
d'abord calculer l'intensit du courant cr par les ions jects.
III.C.1 Attention aux signes de la tension acclratrice et de la vitesse.
III.C.8 Faire bien attention aux donnes fournies et  celles qui ne le sont 
pas.
Partie IV
IV.E Prendre garde  la notation e , diffrente de la question IV.C.

-

IV.F Pour passer de -
p  T , il faut  nouveau calculer le flux  de photons
traversant la surface S.  est maintenant fonction de .
Partie V
V.C Utiliser la version gravitationnelle du thorme de Gauss.
V.I Donner ne signifie pas dmontrer : ne perdez pas de temps btement !
V.J Utiliser les quantits conserves pendant le mouvement pour obtenir des
quations sur les paramtres de l'ellipse.
Partie VI
VI.B.2 Montrer d'abord que le point initial (juste aprs la dclration) est 
un point
particulier de l'ellipse que l'on cherche  dcrire.
Partie VII
VII.E Chercher l'extremum du terme  l'intrieur de l'exponentielle dans la 
formule
donne.

I.

Principe de la  propulsion par raction 

I.A On considre le systme ferm (de masse constante) :
S1 = {chariot + oprateur + les n sacs}
Les seules forces extrieures s'exerant sur S1 sont le poids du systme et la
raction des roues. Comme on nglige les actions dissipatives, donc le 
frottement
des roues sur le sol, la raction des roues est verticale, comme le poids. On 
en dduit
d'aprs le thorme du centre d'inertie projet sur l'axe Ox, en raisonnant 
uniquement
au moment du lancer :
-
-

Px (S1 ) = Cte
soit

-

-

-

Px (S1 )avant = Px (sac ject)aprs + Px (chariot et sacs restants)aprs

Juste avant le lancer, la quantit de mouvement de S1 est nulle. Juste aprs le 
lancer,
-
le sac a une quantit de mouvement dont la composante selon l'axe Ox vaut -m u 
ex .
On a donc :
-
 -

-
-m u 
e + (n - 1) m V = 0
x

d'o

-

V1 =

1

u -

ex
n-1

I.B On considre un nouveau systme :
S2 = S1 - {sac ject}
De mme qu' la question prcdente, la quantit de mouvement de S2 se conserve
suivant Ox :
-

-

Px (S2 )avant = Px (S2 )aprs
La loi de composition des vitesses donne
-

-
 
Vx (sac ject) = V1 + -
u
donc
et

-

-

-
 
(n - 1) m V1 = (n - 2) m V2 + m (V1 + -
u)
-

-
 
(n - 2) V2 = (n - 2) V1 - -
u

En utilisant le rsultat de la question I.A, on obtient donc

-

1
1

-
V2 = -
+
u
n-1 n-2
I.C La formule propose  la question prcdente se gnralise facilement par r
-
currence. Supposons que la vitesse Vk-1 s'crit sous la forme :

-
1
1

-
Vk-1 = -
+ +
u
n-1
n - (k - 1)

On considre le systme
Sk = {chariot + oprateur + les (n - k + 1) sacs restants}
et on crit la conservation de son impulsion :

-
-

-

(n - k + 1) m Vk-1 = (n - k) m Vk + m ( Vk-1 + -
u)
-

-

-
(n - k) Vk = (n - k) Vk-1 - u

-
-
 -

u
Vk = Vk-1 -
n-k

-
En remplaant Vk-1 par son expression, on obtient donc la forme voulue et on a
finalement montr par rcurrence que

-

1
1

-
Vk = -
+ +
u
n-1
n-k
I.D Sur une dure T incluant le k e jet, l'acclration moyenne du chariot 
s'crit
-
 -

Vk - Vk-1
-

ak =
T
Par consquent,

-
=
a
k

--
u
(n - k) T

I.E Sur une dure moyenne T, il y a un sac de sable qui est propuls hors du
chariot par l'oprateur. On a donc m = Dm T et l'on en tire immdiatement, 
d'aprs
la question prcdente :
-

-
 = -Dm u
a
k
m (n - k)
I.F La masse du systme Sk+1 aprs le k e jet s'crit mk = m (n - k) et, 
d'aprs la

=-
question prcdente, on peut donc crire m -
a
 , avec :
k

k

-

 = -Dm -
u

-
La pousse  reprsente la force moyenne apparente qui s'exerce sur le chariot et
son contenu pendant une dure T incluant le k e jet. Elle est bien oriente 
suivant les
x croissants, ce qui permet de vrifier le signe dans la formule.