Centrale Physique MP 2001

Thme de l'preuve tude de miroirs pouvoir rflecteur lev
Principaux outils utiliss lectromagntisme, rsonance, oscillateurs harmoniques, thermodynamique

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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nonc obtenu par reconnaissance optique des caractres


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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



Centrale Physique MP 2001 -- Corrig
Ce corrig est propos par Grgoire Deback (ENS Lyon) ; il a t relu par Pierre
Flauder (ENS Lyon) et Stphane Ravier (ENS Lyon).

Ce sujet traite des miroirs hautement rflchissants ; il fait intervenir des 
notions
d'optique et, surtout, d'lectromagntisme.
La partie I permet d'introduire simplement le principe de mesure du coefficient 
de
rflexion des miroirs d'une cavit rsonante. Elle ne demande pas de lourds 
calculs.
Les parties II et III sont en grande partie axes sur l'lectromagntisme et la
rsonance, et comportent une analogie simple avec l'lectronique. Il s'agit 
d'effectuer
les calculs permettant de comprendre l'utilisation des miroirs  pouvoir 
rflecteur
lev dans les cavits rsonantes.
La partie IV permet de comprendre comment un atome dans une cavit rsonante
peut arrter un faisceau laser, ceci permettant la ralisation d'expriences 
d'lectrodynamique. Elle fait appel  une analogie mcanique avec le couplage 
d'oscillateurs
harmoniques.
Enfin, la dernire partie ouvre sur la problmatique de la ralisation de bons
miroirs.

Indications

Partie I
I.D Penser  faire apparatre une exponentielle et non un terme en puissance
de R.
I.E Faire un dveloppement limit de  d1 . Regarder la puissance parvenant au
dtecteur.
I.G Pour retrouver le rsultat autrement, on peut remarquer que l'nergie 
prsente dans la cavit ne peut tre dissipe qu'en sortant soit en direction du
dtecteur, soit en direction du laser.

Partie II
II.C.4 On peut utiliser, pour chaque onde plane progressive monochromatique, la
relation
-

k -
B=
E

-
en faisant attention au sens du vecteur d'onde k .

Partie III
III.A.2 Ne pas oublier que l'aller-retour dans la cavit fait apparatre un 
terme
supplmentaire de dphasage.
III.A.5 Mme indication que pour la question II.C.4.
III.C.2.b La courbe obtenue tant une gaussienne, il faut penser  la largeur  
mihauteur.

III.C.3.c Faire un dveloppement au deuxime ordre en
.
0
III.C.4.b Oprer de la mme manire qu' la question III.C.2.a., en faisant un 
dveloppement limit.
III.D.1 Penser au temps ncessaire pour exciter la cavit.
III.E.1 Comme la pression est faible, on peut assimiler les gaz  des gaz 
parfaits.
III.E.3 On peut remarquer que R est utilis uniquement pour trouver l'nergie
dissipe lors d'un aller-retour dans la cavit.

I.

Mesure impulsionnelle dans une cavit non rsonante

I.A Comme R + T = 1, on en dduit que toute l'intensit lumineuse reue par le
miroir est soit transmise, soit rflchie (pas d'absorption). Cette relation 
traduit la
conservation de l'nergie.
Les impulsions tant nettement spares, leur dure  est trs petite devant le
temps d'un aller-retour entre les deux miroirs. Cet aller-retour correspond  
une
distance 2 L et  une dure 2 L/c. Par consquent,

2L
c

I.B Le dtecteur reoit les impulsions aprs chaque intervalle de temps 2 L/c. 
Ainsi,
tn =

2L
n
c

avec n  N

I.C  chaque transmission, la puissance transmise est multiplie par T. Donc, 
aprs
la traverse des deux miroirs, l'onde incidente a une puissance multiplie par 
T2 :
W0 = Winc T2
Chacune des impulsions suivantes a subi deux rflexions supplmentaires, d'o
Wn = W0 R2n
ou encore

Wn = Winc T2 R2n

I.D Si l'on reprend le rsultat de la question I.B, on obtient :
n=

c tn
2L

D'o, en remplaant n dans l'expression de Winc trouve  la question I.C :
ctn

Wn = Winc T2 R2 2L
soit

d'o

2

Wn = Winc T exp

Wn = W0 e-tn / d1

avec

c tn
ln R
L

 d1 = -

L
c ln R

 d1 est le temps caractristique de la dcroissance de l'nergie lumineuse. Il 
est bien
positif, puisque R < 1.

I.E R tant voisin de l'unit, il est lgitime de donner une formule approche 
pour
 d1 :
 d1 

Alors

A.N.

L
c (1 - R)

R=1-

R=1-

donc

L
c  d1

0, 39
3.108  2, 13.10-6

R = 0, 9994

Le miroir utilis est donc extrmement rflchissant. Cependant, cela pose un
problme majeur. En effet, on a
W0 = Winc (1 - R)2
W0
= 4.10-7  1
Winc

donc, dans ce cas,

Il faut, par consquent, utiliser des lasers trs puissants pour obtenir en 
sortie du
dispositif des impulsions dtectables.
I.F D'aprs la question I.E

R=1-

L
c  d1

L'incertitude relative sur R s'obtient en sommant les drives logarithmiques :
L  d1
R
=
+
R
L
 d1
On effectue l'application numrique en prenant L = 39 cm, L = 0, 2 m et
 d1 / d1 = 0, 01 :
R
= 0, 015
R
Par consquent, le coefficient de rflexion a une valeur comprise entre 0, 992 
et 1.
R ne peut avoir plus de deux chiffres significatifs et on ne peut conserver que 
la
valeur R = 0, 99.
I.G Soit Wtot l'nergie totale reue par le dtecteur au cours d'une exprience.
Alors, compte tenu de R < 1,

P
P 2n
1
Wtot =
Wn = W0
R
= W0
1 - R2
n=0
n=0
Or

1 - R2 = (1 + R)(1 - R) = (1 + R) T

et

W0 = Winc T2

donc, finalement,

Wtot = Winc

T
1+R