Centrale Physique MP 2000

Thème de l'épreuve Étude du rayonnement du filament d'une lampe à incandescence
Principaux outils utilisés thermodynamique, optique physique, séries de Fourier

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
     

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


PHYSIQUE Filière MP

PHYSIQUE

Lampe à incandescence et bilans thermiques

Partie I - Lampe à incandescence en régime permanent

I.A - Détermination de la température du filament

Le filament d'une ampoule à incandescence est constitué de tungstène très pur.
En première approximation, les variations de la résistivité p de ce métal, en
fonction de la température, sont modélisables dans l'intervalle BOOK, 3000K] par
une fonction du type

p : aT2+bT aveca = 2,5-10'149-m-K'2 et b : 2,3-10_109-m-K_1.
I.A.l) Rappeler l'expression locale de la loi d'Ohm.

I.A.2) On modélise le filament par un cylindre de rayon r = 0, 03mm et de lon-
gueur L. Exprimer la résistance électrique R du filament en fonction de la
résistivité p, de r et de L . Vérifier explicitement l'homogénéité de la 
relation
obtenue. Déterminer la valeur numérique de L , sachant que la résistance du
filament à la température ambiante T A : 300K vaut R A : 1£2. Dans toute la
suite du problème, on prendra la valeur L = 4 cm.

I.A.3) Lorsque la température du filament passe de T A à la température nor-
male de fonctionnement T() : 2600K , l'effet de la dilatation thermique 
s'ajoute a
priori à la variation de résistivité. Cette dilatation supposée isotrope est 
carac-
térisée par le coefficient de dilatation linéique

_ 1 dl _ _ --6 _1
(X --- Îfi -- 4, 5 10 K ,
supposé indépendant de T et s'appliquant à un paramètre géométrique 1 quel-

conque du filament.

a) Calculer la variation relative de longueur
âI_, _ L(TO)--L(TA)
L _ L(TA)

lorsque la température du filament varie de T A à To . Compte tenu de 
l'isotr0pie
de la dilatation, ce rapport est égal àla variation relative de rayon du 
filament.

AL Ar

L(TA) "(TA) .

Concours Centrale--Supélec 2000 1/1 1

PHYSIQUE Filière MP

Fil'ère MP

b) Calculer la variation relative de résistivité

AP
P(TA)

c) Comparer numériquement les variations relatives de longueur, de rayon et

de résistivité et en déduire une expression de la résistance R en fonction de a 
,
b, T, R A et T A.

I.A.4) Le tableau ci-dessous, regroupe des couples de mesures (U, I) corres-
pondant à différents points de la caractéristique [ = f (U ) de l'ampoule. 
Complé-
ter ce tableau, en calculant la température du filament pour chacun des points
de fonctionnement.

lorsque la température du filament varie de T A à To .

Tableau 1 :

intensité mesurée [(A) 0,237 0,386 0,460 0,539 0,603 0,685

température calculée 1416 2525 2960
T(K )

I.B - Bilan énergétique et caractéristique du filament

La caractéristique I = f (U ) d'une ampoule électrique à incandescence dépend
étroitement des phénomènes thermiques se produisant au niveau du filament.
Dans un premier temps, on suppose que les transferts thermiques par convec--
tion, à l'aide du gaz de remplissage, et par conduction, au niveau des supports
du filament, sont négligeables devant les échanges par rayonnement. Le fila-
ment est supposé rayonner comme un corps noir et, malgré sa structure en

hélice, on prend en compte lors des bilans énergétiques la totalité de sa 
surface
latérale.

I.B.1) Rappeler la loi de Stefan du corps noir en précisant la définition et
l'unité de chacun des termes utilisés.

I.B.2) Indiquer la nationalité de ce physicien, ainsi que la date approxima-
tive de ses travaux sur le rayonnement.

Concours Centrale-Supélec 2000 2/1 1

PHYSIQUE Filière MP

I.B.3) Sachant que la température de surface du soleil, assimilé à un corps
noir, vaut T s : 5900K et que son spectre d'émission en fonction de la longueur
d'onde présente un maximum pour Àm : O, 474um, calculer la longueur d'onde
correspondant au maximum d'émission du filament pour sa température nor-
male de fonctionnement TO : 2600K.

I.B.4) Le verre de l'ampoule absorbe dans l'infrarouge pour X > 3 um . Justifier
l'échauffement du verre même en l'absence de gaz dans l'ampoule.

I.B.5) On suppose que le verre de l'ampoule se comporte lui aussi comme un
corps noir de température Tvz420K. Comparer le flux CI), émis par rayonne-
ment par le filament, et le flux ' qu'il reçoit de la part du verre. À 
partir de
quelle température du filament CI> est-il supérieur à 10q.
Préciser les valeurs des deux rationnels p et q et donner les expressions litté-
rales de oc et B en fonction de a , b , L , r et 51 . On remarque au passage 
que la

relation ci-dessus donne la caractéristique I = f (U) de façon implicite.

2

I.B.10) En introduisant Pe , puissance électrique consommée par l'ampoule,
établir l'expression de la caractéristique en puissance 1 : g(Pe). Tracer cette

caractéristique en puissance, en plaçant sur le graphe les points expérimentaux
du tableau 1.

Concours Centrale-Supélec 2000 3/1 1

PHYSIQUE Filière MP

I.C - Evolution de la température au voisinage des points de fixation

Comme il est indiqué sur le schéma ci--contre,
le filament est fixé à chacune de ces extrémi-
tés à une tige métallique de diamètre voisin de

x 0,5mm.

O I.O.1) Justifier qualitativement que la tempé-
rature de chaque tige-support, égale à la tem-
pérature mesurée au niveau de la douille de l'ampoule, est pratiquement
uniforme. Dans la suite, on note TV : 420K cette température, valeur conforme
à la spécification CEE 25 relative aux luminaires équipés de lampes à incandes-
cence. Dans la partie du filament située au voisinage du support, la température
passe progressivement de TV a T0 sur une distance ci que l'on cherche à éva--
luer. On repère un point du filament, supposé cylindrique par son abscisse x
comptée à partir du point de fixation. On a donc T(x : 0) : TV. On néglige les
échanges thermiques par convection mais on tient compte du phénomène de
conduction thermique le long du filament en plus des transferts par rayonne-
ment. Oette conduction thermique est supposée suivre la loi de Fourier. On se
place en régime permanent et on suppose, vue la faible valeur du diamètre du
filament que la température T(x) est uniforme dans une section droite. De plus,
on considère que, pour x suffisamment grand, la température du filament
atteint la température d'équilibre T0 .

tige métallique filament

I.C.2) En faisant un bilan énergétique pour une portion de filament comprise
entre x et x+dx, établir l'équation différentielle vérifiée par T(x). On fera
intervenir r, p, 61 , I et la conductivité thermique À du tungstène. Comme on
ne cherche qu'un ordre de grandeur pour la distance d , on peut supposer que X
et p sont indépendants de T .

I.C.3) En faisant apparaître la température d'équilibre To du filament, met-
tre l'équation différentielle sous la forme

2 T4_T4
d--Ï -- (---------0) = 0 où 6 est homogène à une distance.
2 2 3
dx 5 TO
Donner l'expression littérale de 8 en fonction de T0, r, A et 01 .
Application numérique : Calculer ô sachant que X : 92Wm_IK_1 .

I.C.4) Déterminer une expression approchée de la pente à l'origine

@ sous la forme d--T -- î0
dxx _Yô'

=0 dxx=0

Indiquer la valeur numérique de y et estimer la distance caractéristique d sur
laquelle le filament monte en température.

Concours Centrale-Supé/ec 2000 4/1 1

PHYSIQUE Filière MP

1.0.5) On note Pther la puissance thermique cédée par le filament à la tige-
support au niveau de la section droite x _= 0 et P, la puissance rayonnée par le
filament. Exprimer le rapport Pther/Pr en fonction de 6, L et y. Calculer pour
l'ampoule étudiée ci-dessus, la valeur numérique de ce rapport, dans les condi-
tions normales de fonctionnement. Commenter ce résultat.

1.0.6) Montrer que les pertes thermiques par conduction diminuent en
valeur relative si on augmente la puissance à température et rayon du filament
fixés.

Partie II - Lampe à incandescence en régime sinusoïdal forcé basse
fréquence

II.A - Étude théorique de l'évolution périodique de la température

En dépit de l'inertie thermique du filament, lorsqu'on alimente une ampoule à
incandescence avec une tension périodique ua(t) de période 1 , la température
du filament devient une fonction périodique du temps notée T(t) .On note m la
masse du filament et cp la capacité thermique massique du tungstène. Afin de
proposer un modèle des phénomènes physiques observés, on retient les hypothè--
ses simplificatrices suivantes :

a) Le filament absorbe l'énergie électrique et rayonne comme un corps gris sui-

vant la loi de Stefan. (On rappelle qu'il suffit de remplacer o par 51 dans la 
loi
de Stefan.)

b) On néglige les phénomènes convecto-diffusifs et le rayonnement du verre de
l'ampoule.

c) La température T(t) , supposée uniforme dans tout le filament varie autour
d'une valeur moyenne T0 . On note 6(t) l'écart en température :T(t) : T0 + 6(t)
8.VEURC |9(t)l << TO .

(1) On néglige les variations de résistance du filament avec la température :
R(T)ER(TO) = R0.

e) La capacité thermique massique cp du tungstène est constante dans le
domaine de variation de température considéré.

f) La tension ua(t) varie suffisamment lentement pour que l'auto-inductance
du filament puisse être négligée.

II.A.l) Equation d'évolution de la température

a) On suppose que la pression à l'intérieur de l'ampoule reste constante. Expri-
mer la variation d'enthalpie dH du filament lorsque la température varie de T
à T + dT .

Concours Centrale-Supélec 2000 5/1 1

PHYSIQUE Filière MP

b) En effectuant un bilan énergétique simple, établir l'équation différentielle
reliant T(t) à Pe(t) , puissance électrique instantanée reçue par le filament. 
En
déduire celle reliant 6(t) à ua(t) . On fera apparaître dans cette dernière 
équa-
tion les grandeurs m , cp, TO, 61 , L, r et R0-

II.A.2) Que vaut, par définition de T0 , la valeur moyenne

1 15
< G(t) >=; £6(t)dt.

Déduire de l'équation différentielle établie àla question précédente, la valeur 
de
T0 en fonction des constantes du problème et de la valeur efficace de ua(t) 
notée
uaRMS et donnée par la relation

1:

2 1

2 2
uaRMS : < ua (t) > : EIua (t)dt

0
Comparer l'expression ainsi obtenue pour T0 à celle établie àla question I.B.6).

II.A.3) On étudie maintenant le cas où le filament est alimenté par une ten--
sion sinusoïdale ua(t) : Uaficos%t . On suppose alors, que la température
T(t) : To+ 9(t) varie sinusoïdalement autour de T0 avec 6(t) : emcos(oet+ (p) et

6 « T0-

m
a) Exprimer la puissance électrique Pe(t) fournie au filament en fonction de
Ua , Ro , 00 et t.

b) Justifier la fréquence proposée pour l'expression de 0(t) .

c) On pose 9(t) : Re(Qexp(ioet)). Montrer que la représentation complexe de
l'écart en température est donnée par la relation

@
e=°

@) où 60 s'exprime de façon simple en fonction de T0 .

1 + i--

"°c
(1) Quelle est la nature du filtre que constitue le filament, en considérant 
9(t)
comme grandeur de sortie et la compossante sinusoïdale de Pe(t) comme gran-
deur d'entrée ? Donner l'expression de (DC en faisant intervenir la masse volu-
mique u du tungstène.Vérifier que oeC est indépendante de la longueur du

filament. Dans quel domaine de fréquence a--t-on em < T0/ 10 ?

e) Application numérique: cp : O, 16kJ -- kg'1 - K_', u = 19 - 103kg - m_3. 
Calculer
la fréquence de coupure vc définie par oeC : 27W0-

Concours Centrale-Supélec 2000 6/1 1

PHYSIQUE Filière MP

II.B - Modulation de l'intensité lumineuse par largeur d'impulsion

On alimente la lampe avec une tensionrectangulaire ua(t) périodique, repré--
sentée ci-dessous et définie sur une période 1 par :

9c_*c
2

et ua(t) : 0 pour 9OE _ flo @ (t)dt.
Exprimer 6RMS en fonction des coefficients en , en déduire le taux d'ondulation

de la température du filament défini par _

6
6 : RMS.
0 TO
Quelle est la limite de 60 lorsque la période t de la tension d'alimentation
diminue ?

II.C - Vérification expérimentale

Afin de confronter l'expérience avec le modèle développé plus haut, on utilise 
un
capteur optique, constitué d'une photodiode et d'un système électronique,
délivrant une tension de sortie qui est l'image de la puissance lumineuse absor-
bée par la photodiode. On place la photodiode de surface S à une distance D du
filament. La taille de la photodiode est telle que S « D2 et la distance D est
grande devant la longueur L du filament. Ce capteur optique est rapide, mais il
présente néanmoins le défaut de n'être sensible que dans un domaine relative-
ment restreint de longueur d'onde (0,45 umSÀS 1, 1 um). Les données techni-
ques fournies parle constructeur de la photodiode permettent d'établir que dans
le domaine d'utilisation décrit ci-dessus, la tension de sortie u S du capteur 
est
reliée à la température T du filament par la relation

u s = K T7' 5 , expression dans laquelle K est une constante.

II.C.1) Réponse en fréquence du filament

a) À température du filament donnée et à D fixé, comment faut-il placer la pho-
todiode pour avoir une réponse u S maximale ?

b) En faisant abstraction du verre, exprimer la puissance lumineuse incidente
sur la photodiode en fonction de la puissance électrique Pe absorbée par
l'ampoule, de D et de S .

c) Justifier brièvement pourquoi la réponse du capteur n'est pas u s = K T4 .

(1) Pour étudier les oscillations de température du filament, on alimente une
ampoule (6V ; O, 55A) par un générateur de tension sinusoi'dale de fréquence f
et de valeur efficace U a . La photodiode est disposée près de l'ampoule dans 
une
position fixe. La réponse de l'association photodiode-système électronique est
visualisée sur un oscilloscope en même temps que la tension du générateur pour
une fréquence de 20 Hz. Les deux voies de l'oscilloscope sont en mode DC. La
valeur moyenne de la tension u S(t) vaut 7, 1 V , tandis que la valeur efficace 
de

Concours Centrale--Supélec 2000 8/11

PHYSIQUE

Filière MP

sa composante alternative est égale à O, 84 V . À l'aide des valeurs 
expérimenta-

les dëterminer l'amplitude 9m
température moyenne vaut T0 :

des oscillations de température, sachant que la
2600K. Comparer cette valeur de Om à celle

prévue par les résultats de la question II.A.3). Commenter cette comparaison.

II.C.2) Le gra-
phe ci-dessous
représente, pour

deux valeurs de la
tension d'alimen-
tation (Ua : 4V et
Ua : 6V ), le loga-
rithme népérien du
nombre donnant la
valeur efficace en
Volts de la compo-

sante alternative
de us» en fonction
du logarithme

!
;

\ !
-!

!
!
!
!
!
!
â

-! _. !
a\ / ;
!

......L..................j

népérien du nombre donnant la fréquence f en Hertz. Montrer que les pentes de
ces courbes sont en accord avec l'expression de @ établie en II.A.3-c).

II.C.3)

Pourquoi observe--t-on un décalage de l'ordonnée à l'origine ? Relier ce

décalage aux deux températures moyennes du filament.

ans

1,0

0,0

-1,0

-2,0

-3,0

--4,0

--5,0

Concours Centrale-Supélec 2000

9/11

PHYSIQUE Filière MP

Partie III - Détermination expérimentale du rapport %3
B

Association photodiode-filtre interférentiel

On associe au capteur optique précédent un filtre interférentiel, qui ne 
transmet
qu'une bande spectrale très étroite du rayonnement incident, au voisinage de la
longueur d'onde 510 mn. La largeur en longueur d'onde de cette bande est
AÀ : 10 nm. On utilise ensuite l'association filtre-photodiode afin de tester la
validité de l'hypothèse selon laquelle le filament rayonne suivant la loi de

Planck modifiée.

Un filtre interférentiel est une lame à faces parallèles d'épaisseur e , 
taillée dans
un matériau transparent d'indice de réfraction n , dont les faces sont traitées 
de
telle sorte qu'elles soient très réfléchissantes. À une onde incidente de 
longueur
d'onde À est associée, par le jeu des réflexions au sein de la lame une série
d'ondes émergentes d'amplitude décroissante.

HLA - L'0nde incidente arrive sur la lame en incidence normale. Exprimer, en
fonction de n , e et À , le déphasage w entre une onde transmise à travers le 
fil-
tre et l'onde transmise ayant subie deux réflexions supplémentaires à 
l'intérieur
de la lame.

III.B - À quelle condition, faisant intervenir un entier m positif, obtient-on 
des
interférences constructives entre deux ondes successives ? On admet par la
suite, que les seules radiations transmises par le filtre sont celles qui 
réalisent
cette condition.

III.C - On désire que la longueur d'onde À : 510 nm traverse le filtre et que, 
sur
l'ensemble des longueurs d'ondes susceptibles de traverser le filtre, cette 
radia-
tion soit la seule à être détectée par la photodiode. Déterminer la valeur de
l'épaisseur e permettant de réaliser cette condition lorsque n = 1, 564 .

III.B - On rappelle la loi de Planck donnant d(pe , flux surfacique émis dans
l'intervalle spectral [À, À + dk] par un corps noir en équilibre
thermodynamique :

dcp, dcp. 27tth 1
d(Pe -- 'Æ'dÀ. aVec ï}: -- À5 ' eXp(--hc--)_--1-- .
kaT

Le tableau ci--dessous regroupe des valeurs de la tension de sortie u S du 
capteur
optique, placé derrière le filtre interférentiel, pour différentes températures 
du

Concours Centrale-Supélec 2000 10/11

PHYSIQUE Filière MP

filament. On signale que, dans cette situation expérimentale différente du II.C,
la tension de sortie du capteur est donnée par la relation

dk AÀ où K' désigne une constante.

Tableau 2 :

T(K) : 2510 2450 2348 2303 2210

Vérifier si ces résultats expérimentaux sont en accord avec l'hypothèse selon
laquelle le filament, en tant que corps gris, rayonne de manière proportionnelle

à un corps noir. Déterminer, en particulier, la valeur expérimentale du rapport

ZÏÊ (la valeur théorique est de 1, 438 - 10"2 m - K ) et commenter ce résultat.

kB

00. FIN 000

Concours Centrale-Supélec 2000 11/11

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique MP 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Matthieu Lefrançois (ENS Lyon) ; il a été relu par
Yannick Alméras (ENS Ulm) et Sandrine Martins (École Supérieure de Physique et
de Chimie de Paris).

Le problème porte sur l'étude d'une lampe à incandescence.
La partie I décrit le fonctionnement de la lampe en régime stationnaire 
(indépendant du temps). Dans un premier temps, on étudie la variation de la 
résistance du
filament en fonction de la température, puis on s'intéresse au rayonnement émis.
La partie II s'intéresse au fonctionnement du filament en régime alternatif, 
d'abord
en régime sinusoïdal puis dans le cas d'un signal rectangulaire de rapport 
cyclique
. La partie II.C porte sur l'étude de la réponse d'une photodiode en fonction du
rayonnement du filament.
La partie III fait intervenir l'association photodiode-filtre interférentiel. 
On vérifie
hc
la loi de Stefan et on calcule le rapport
.
kB

Indications

Partie I
I.A.2 Exprimer R en fonction de la résistivité .
I.A.3.a Calculer L(T) en fonction de .
I.B.3 Utiliser la loi du déplacement de Wien.
I.B.4 Étudier les longueurs d'onde d'émission et d'absorption.
I.B.6 Utiliser le fait que r  L pour simplifier l'expression de T.
U
et que Pr = UI.
I.B.9 Se souvenir que R =
I
I.C.1 Raisonner sur les dimensions respectives du support et du filament.
I.C.3 Écrire la condition aux limites pour x grand (T = T0 ).
dT
I.C.4 Multiplier l'équation par
et intégrer en utilisant les conditions aux lidx
mites.

Partie II
II.A.1.a Écrire la relation entre cp et l'enthalpie H.
II.A.1.b Faire attention à la définition de chaque terme afin de ne pas se 
tromper de
signe.
II.A.3.b Transformer l'expression obtenue à la question II.A.3.a en utilisant 
des relations de trigonométrie.
II.B.1 Analyser l'intensité émise pour certaines valeurs particulières de  ou 
raisonner sur la densité spectrale.
II.B.3 Écrire l'expression de Pe (t) en fonction de ua (t) et comparer 
l'expression
des coefficients de Fourier.
II.C.1.a Raisonner sur la position et l'orientation dans l'espace.
II.C.1.b Introduire l'angle solide adéquat.
II.C.1.d Effectuer un développement limité de us étant donné que   T0 .
II.C.3 Examiner les variations de l'ordonnée à l'origine en fonction de T0 .

Partie III
III.D Faire une approximation numérique afin de simplifier le dénominateur de
de
.
d

Partie I

Lampe à incandescence en régime permanent

I.A.1 La loi d'Ohm s'écrit :

-

1-
j = E

Traditionnellement, la première question d'une sous-partie est souvent une
question de cours relativement simple (ici, la loi d'Ohm locale).
I.A.2 On considère le filament de longueur L et de rayon r.
On a la relation

R=

d'où

R=

L
S

L
r2

(1)

La démonstration de ce résultat hyper-classique peut être demandée, alors
autant la connaître. Le principe est de calculer R en déterminant le rapport

-
entre la tension (circulation de E le long d'une ligne de champ) et l'intensité

-
(flux de j à travers la surface engendrée par les lignes de champ).

!
E

!
dl

!

dS

!
j
On a donc

Z

R = Z ZC
S

- -

E . dl
 -

1-
E . dS

=

E.L
1
E.S

car E est constant le long de la ligne de champ.
Finalement :

De (1), on tire :
A.N :

R=

L=

L
 r2

Rr2

L = 3,97 cm
La valeur trouvée pour L justifie la valeur prise par l'énoncé.

I.A.3.a On calcule l'expression de L en fonction de T :
=
Par intégration,

ln

1 dL
d ln(L)
=
L dT
dT

L(T0 )
= (T0 - TA )
L(TA )
L(T0 )
= e (T0 - TA )
L(TA )

L
= e (T0 - TA ) - 1
L

Donc

I.A.3.b On se sert de l'expression de  pour calculer

.

(T0 ) - (TA )
=
(TA )
(TA )
a(T20 - T2A ) + b(T0 - TA )

=
(TA )
aT2A + bTA
I.A.3.c Les applications numériques donnent :
r
L
=
= 1, 04.10-2
L(TA )
r(TA )

= 9,8
(TA )

et

On se rend compte que la variation de la résistivité prédomine devant la 
dilatation
thermique. Par conséquent, dans l'expression de R, seule la dépendance de  par
rapport à T est à considérer. On a donc :
R = (aT2 + bT)

soit

R = RA

L(TA )
2

 r(TA )

aT2 + bT
aT2A + bTA

I.A.4 Pour remplir le tableau, il faut calculer R =
de l'équation (2).
U(V)
I(A)
R()
T(K)

1, 25
0, 237
5, 27
1416

3, 07
0, 386
7, 95
2019

4, 20
0, 460
9, 13
2268

5, 60
0, 539
10, 39
2525

(2)
U
puis déterminer T à partir
I
6, 86
0, 603
11, 38
2720

8, 65
0, 685
12, 63
2960

I.B.1 L'émittance d'un corps est la puissance rayonnée par unité de surface :
d = M dS
L'émittance d'un corps noir ne dépend que de sa température et obéit à la loi de
Stefan :