CCP Physique 2 MP 2013

Thème de l'épreuve Étude simplifiée de l'œil et électromagnétisme
Principaux outils utilisés optique géométrique et électromagnétisme
Mots clefs œil, optique, conducteur, supraconducteur, effet Meissner, Meissner

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2013 MPP2008

_:â=_ CONCOURS COMMUNS
- - POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené a repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené a prendre.

\ Les calculatrices sont autorisées

Le sujet comporte cinq parties indépendantes.
Les parties 1 et II portent sur l'optique (de la page 2 àla page 8).
Les parties III à V portent sur l'électromagnétisme (de la page 9 àla page 12).

1/ 12

OPTIQUE : L'OEIL ET SES DEFAUTS

Les parties 1 et II sont indépendantes. Aucune connaissance sur l'oeil et son 
fonctionnement n'est
exigée.

PARTIE I : ETUDE SIMPLIFIEE DE L'OEIL HUMAIN

L'oeil humain a sensiblement la forme d'une sphère limitée par une membrane (la 
sclérotique) qui
est transparente à l'avant de l'oeil et forme la cornée (figure 1). L'intérieur 
du globe oculaire est
divisé en deux parties séparées par le cristallin qui est une lentille 
convergente. Cette lentille est
élastique et ses rayons de courbure varient lorsque l'oeil accommode, 
c'est-à-dire quand il passe de
la vision de loin à la vision de près. La partie antérieure entre la cornée et 
le cristallin est remplie
d'un liquide appelé humeur aqueuse. L'iris permet à l'oeil de diaphragmer et 
définit la pupille. La
partie postérieure du cristallin est formée du corps vitré. La rétine qui sert 
de détecteur est tapissée
de cellules de deux types différents, les cônes et les bâtonnets qui 
transforment l'excitation
lumineuse en influx nerveux. La fovéa, partie de la rétine située sur l'axe 
optique de l'oeil, est la
partie la plus sensible de la rétine.

sclérotique

cristallin /

cornée

humeur aqueuse

nerf optique

Figure 1 : coupe de l'oeil humain

Les sous--parties I.A et LE peuvent être traitées indépendamment l'une de 
l'autre.

LA. Modèle simplifié de l'oeil pour la vision de loin

Pour simplifier l'étude de l'oeil, on peut assimiler celui-ci à une lentille 
(L) plan-convexe d'indice n
plongée dans l'air d'indice l. La lentille (L) possède une face d'entrée plane 
et une face de sortie
sphérique.

On se place dans le cas de la vision de loin quand l'oeil n'accommode pas. Un 
rayon parallèle à
l'axe optique, situé à la distance h de celui--ci, est issu d'un point objet AG 
à l'infini sur l'axe
optique (figure 2, page 3). Il pénètre par la face d'entrée plane de la 
lentille pour arriver au point I
de la face concave où il se réfracte en passant du milieu, d'indice n = 1,33 , 
à l'air, d'indice l. Le

rayon émergent intercepte l'axe optique au point image A,-- .

2/12

C est le centre de courbure de la face de sortie de la lentille et RC son rayon 
de courbure. On note i
l'angle d'incidence et r l'angle réfracté par rapport a la normale CI . Dans un 
premier temps, les
rayons ne seront pas considérés paraxiaux.

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

(L) _________________
Aoe%oo [ ...................................
. = ......................... l'"
h iA\ __________________________
(? HS ATV
n

V

Figure 2 : modèle simplifié de l'oeil pour la vision de loin

Exprimer la relation entre les angles i etr a l'aide de la loi de 
Snell-Descartes.

Soit H, le projeté de I sur l'axe optique. Exprimer les distances algébriques 
C_H et HA,-- en
fonction de i, r et RC.

En déduire l'expression de la distance algébrique C--Ai en fonction de i, r et 
RC.

L'oeil regarde un objet en plein soleil de sorte que sa pupille est fermée. 
Dans ce cas, h = HI
est très inférieur à RC et les rayons lumineux peuvent être considérés comme 
étant paraxiaux.

1.4.a Montrer, dans ces conditions, que la position du point A,-- ne dépend pas 
de i et donc
de h.

1.4.b Dans ces conditions, H est confondu avec 5 (voir figure 2) et A,-- est le 
foyer image

E-- de la lentille. On appelle f,-- : S_F,-- sa distance focale image. 
Déterminer f,-- en
fonction de n et RC.

1.4.c La vergence de l'oeil normal, quand il n'accommode pas, est V = 60 5 .
Calculer f,-- et RC.

L'oeil regarde toujours un objet à l'infini, mais cette fois--ci, àla nuit 
tombante, de sorte que sa
pupille est grande ouverte. Les rayons lumineux ne peuvent plus être considérés 
paraxiaux.

1.5 .a Montrer que C--Ai s'exprime en fonction de i, RC et n par la relation :

CA- = "RC

, .
ncosi--Vl--n2 sin2i

3/12

I.5.b On cherche à exprimer la position du point A,-- en fonction de la hauteur 
il du rayon

. . h
par rapport à l'axe optique. On cons1dère pour cela que -- <<10_4 rad. Cette 
limite de résolution
augmente fortement en vision périphérique.

1.6. On note po =OE la mesure algébrique repérant la position d'un objet 
lumineux AOBO
perpendiculaire à l'axe optique et dont l'image se forme sur la rétine. La 
position de l'image
est repérée par la grandeur algébrique p,-- : SA,-- .

I.6.a Donner la relation entre po , p,-- et la vergence V de la lentille (L). 
Quel nom porte

cette relation ? Donner la dimension de la vergence V et son unité en fonction 
des
unités de base du Système International.

I.6.b Calculer la valeur VmaX de V quand l'oeil emmétrope regarde un objet 
situé a la
distance minimale de vision distincte dmin .

4/12

1.7.

1.8.

I.6.c

I.6.d

Calculer la valeur Vmin de V dans le cas où ce même oeil emmétrope regarde un 
objet
placé cette fois àla distance maximale de vision distincte dmaX .

La variation de la vergence de l'oeil A=VmaX --Vmin est appelée l'amplitude
d'accommodation. Calculer A dans le cas de l'oeil emmétrope.

Avec l'âge, l'amplitude d'accommodation se réduit. Cette diminution 
physiologique porte le
nom de presbytie. En pratique, un individu devient presbyte quand il doit 
éloigner son journal
de plus de 35 cm de son oeil pour lire. Dans ce cas, la distance minimale de 
vision distincte
augmente (dfnin = 35cm) et d{naX = dmaX reste inchangé.

1.7 .a

1.7 .b

1.7 .c

Déterminer l'amplitude d'accommodation de l'oeil emmétrope d'un individu devenu
presbyte.

Quelle est la taille AOBO minimale des caractères du journal placé à d{nin = 
35cm,
que peut lire cet individu devenu presbyte ?

Quelle serait la taille AOBO minimale des caractères si la presbytie de 
l'individu
augmentait de telle façon qu'il doive placer le journal a l m de son oeil ? 
Conclure.

Une personne voit nettement un point à l'infini sans accommoder mais ne peut 
voir un point
situé a moins de l m en accommodant au maximum. Pour pouvoir lire 
confortablement un
journal placé à 25 cm devant lui, il porte des lunettes dont chaque verre 
(assimilé à une
lentille mince convergente (LL) de vergence VL et de centre optique SL) est 
placé 2 cm devant
le centre optique de l'oeil (figure 3). Dans ces conditions, il n'accommode pas.

I.8.a
I.8.b

I.8.c

(LL) (L)

A A

V V

Figure 3 : lentille correctrice placée devant l'oeil pour la vision de près.

Calculer la vergence VL de chacun des verres des lunettes.

En reprenant le schéma de la figure 3, représenter deux rayons issus de BO qui
atteignent la rétine. Les échelles peuvent ne pas être respectées mais vous 
justifierez
votre construction géométrique.

En conservant ses lunettes, l'individu presbyte peut-il voir des objets situés 
à moins
de 25 cm de ses yeux ? Si oui, jusqu'à quelle distance de ses yeux ?

5/12

I.8.d L'individu presbyte peut-il regarder de loin avec ses lunettes ? En 
conclusion, quel
type de lunettes doit-il porter pour pouvoir facilement passer de la vision de 
près à la
vision de loin ?

PARTIE II : MESURE DU RAYON DE COURBURE D'UNE LENTILLE

Pour caractériser une lentille mince correctrice, un opticien lunetier utilise 
le dispositif de la
figure 4 dit des << anneaux de Newton ».

x
Ecran (E)
OE
Lentille de projection (Lp) : >
OP
Collimateur (C)
A
Lame semi-
réfléchissante (LS ) S
Y , O OC ))
' C
v

RC

Lentille plan convexe (LL) ÿ\ /

Lame réfléchissante (LR) S L

Figure 4 : dispositif des anneaux de Newton (la figure n'est pas à l'échelle)

Un collimateur fournit, à l'aide d'une source ponctuelle S située au foyer 
principal objet d'une
lentille convergente de centre OC, un faisceau de lumière parallèle, 
monochromatique de longueur
d'onde dans le vide ÂO qui tombe sur une lame semi-réflechissante (LS) 
d'épaisseur négligeable,
centrée en O et inclinée à 45° sur l'axe du collimateur (yy' ). Une partie du 
faisceau se réfléchit
parallèlement à l'axe (xx' ), axe du système centré formé de la lentille plan 
convexe étudiée (LL) et
de la face plane de la lame réfléchissante (LR) qui sont en contact ponctuel au 
point SL. L'intervalle
situé entre la face sphérique de rayon RC de centre C de (LL) et la face plane 
réfléchissante de (LR)
forme une lame d'air d'épaisseur @ qui varie en fonction de la distance r à 
l'axe du système
(figure 5, page 7).

6/12

x; A
«» C
v (O)
A (2)
(1)
\ ] (LL)
' SL ] (LR)
X

Figure 5 : marche d'un rayon lumineux (0) réfléchi soit par la face sphérique 
de (LL)

(rayon (1)) soit par la surface plane de (LR) (rayon (2)).

II.]. L'onde plane tombant sur la lentille (LL) (rayon (O)) se divise en deux 
ondes de même
amplitude à l'interface verre-air au point P. La première onde est réfléchie à 
l'interface verre-
air (rayon (1)) tandis que la seconde est totalement réfléchie en ] sur (LR) 
(rayon (2)). Les
deux ondes interférent au point P. La figure d'interférences localisée au 
voisinage de la
lentille est visualisée sur l'écran à l'aide de la lentille convergente de 
projection (Lp) de centre

OP qui forme l'image de la lentille sur l'écran (E) placé perpendiculairement à 
l'axe (xx') au

point OE (figure 4, page 6).

II.1.a

II.] .b

II.1.c

II.] .d

Donner l'expression de l'épaisseur @ de la lame d'air en fonction de r et RC.

On se place dans le cas où le rayon de courbure de la lentille est très grand 
devant

son diamètre d'ouverture. Montrer que dans ce cas, l'épaisseur peut se mettre 
sous la
r2
forme : e ; aR-- où 05 est une constante numérique dont on précisera la valeur.
C

L'épaisseur @ étant très faible par rapport à r, donner au point P l'expression 
de la
différence de chemin optique géométrique AL : Lz -- L1 entre les rayons (2) et 
(1) en
fonction de r et RC.

En tenant compte des déphasages introduits lors des différentes réflexions, 
donner

l'expression de la différence de phase ACD entre les deux ondes qui interférent 
au
point P.

7/12

11.2.

11.3.

11.1.e En déduire l'expression de l'intensité lumineuse au point P, en fonction 
de r, RC, ÂO
et de l'intensité 10 de l'onde incidente. Justifier l'aspect de la figure 
d'interférence
observée sur l'écran (E) (figure 6, page 8).

11.1.f Pour quelles valeurs de r, observe-t-on des franges sombres '?

La figure d'interférence localisée au voisinage de la lentille est projetée sur 
l'écran (E) par
l'intermédiaire de la lentille (Lp) de distance focale image fPi = +10 cm. On 
donne

OPSL = 15 cm. La photographie de la figure d'interférence observée sur l'écran 
est donnée

figure 6 alors que l'on opère avec une lumière monochromatique de longueur 
d'onde
ÂO = 546,074 nm.

10 mm

10 mm
Figure 6 : photographie de la figure d'interférence

11.2.a Calculer la distance OPOE a laquelle on doit positionner l'écran par 
rapport a la
lentille de projection.

11.2.b Calculer le grandissement transversal GIP du système de projection.

11.2.c Calculer a partir des informations fournies par la photographie de la 
figure 6 le rayon
RC de la lentille (L).

On éclaire maintenant le dispositif des anneaux de Newton par la lumière jaune 
du sodium qui
est formée de deux radiations de longueur d'onde À1 = 588,995 nm et Â2 = 
589,593 nm.
Comment le phénomène observé est-il modifié '? Calculer la plus petite valeur 
non nulle de
l'ordre d'interférence pour laquelle les franges sombres des deux systèmes 
seraient
superposées.

8/ 12

ELECTROMAGNETISME : PROPAGATION EN ELECTROMAGNETISME

Les parties III, IV et V sont indépendantes. Conformément aux usages 
internationaux, les vecteurs
sont notés en gras tandis que les grandeurs complexes sont soulignées d'une 
barre.

PARTIE III : REFLEXION D'UNE ONDE ELECTROMAGNETIQUE

Dans l'espace, défini par le repère (0, x, y, 2), une onde plane 
électromagnétique, progressive,
sinusoïdale, monochromatique de pulsation a) et polarisée rectilignement 
suivant Ox arrive,
conformément à la figure 7, avec l'incidence i sur l'interface en Z = 0 
séparant le vide (2 < 0)

d'un milieu conducteur métallique parfait non chargé (z > O) de permittivité et 
perméabilité

assimilables respectivement à 80 =8,85.10_12 Fm--1

champs complexes caractérisant les ondes.

et flo =47z.10_7H.m_1. On s'intéresse aux

Vide (2 < 0) Métal (2 > O)

' C)

(\ ©
v
!

Figure 7 : onde plane électromagnétique incidente

III.]. Onde incidente
III.].a Rappeler ce qu'est une onde progressive.
III.].b Déterminer les composantes du vecteur de propagation k de l'onde 
incidente.

III.].c Ecrire en notations complexes, en un point M du vide repéré par ses 
coordonnées
cartésiennes x, y et Z < 0 et à un instant [ donné, l'expression du champ 
électrique

Ei. On notera EO son amplitude et on prendra la convention exp £--j(wt -- ça)] 
avec

j2 =--1.

III.].d Déduire, des équations de Maxwell, l'équation de structure de l'onde.

9/12

III.1 .e

III.] .f

Ecrire en notations complexes en fonction de E0 , en M et a l'instant t, 
l'expression
du champ magnétique Qi associé à Ei. Quelle est la direction de polarisation de
B ?

--i

Déterminer l'expression du vecteur de Poynting réel R de l'onde incidente. 
Quelle
est sa valeur moyenne temporelle < R > ? Quelle est la direction de R ? 
Justifier.

III.2. Onde réfléchie

III .2 .a

III .2 .b

III .2 .c

III .2 .d

III .2 .e

Après avoir énoncé les lois de Descartes pour la réflexion, déterminer 
l'expression
du vecteur de propagation k, de l'onde réfléchie. On suppose que la 
polarisation de

l'onde réfléchie est du même type et de même direction que celle de l'onde 
incidente.

Donner l'expression générale, en M et a l'instant t, du champ électrique Er de

l'onde réfléchie, d'amplitude E....
En déduire l'expression générale du champ magnétique Er de l'onde réfléchie.

Enoncer les équations de passage sur le champ électrique et sur le champ
magnétique, à la traversée d'une surface séparant deux milieux, notés 1 et 2, 
puis
rappeler les propriétés d'un conducteur parfait. En déduire l'expression de EOr 
, en

fonction de E0 .

Déterminer l'expression du vecteur de Poynting réel Rr de l'onde réfléchie. 
Quelle
est sa valeur moyenne temporelle < Rr > ? Comparer < HRÏH > avec < HRH >. Quelle

est la direction de Rr ? Justifier.

III.3. Onde résultante

III .3 .a

III .3 .b

Déterminer les expressions des champs réels résultants électrique Et et 
magnétique

Bt dans le vide.

Déterminer l'expression du vecteur de Poynting résultant Rt ainsi que sa valeur

moyenne temporelle < Rt >. Commenter.

PARTIE IV : COURANT DANS UN CONDUCTEUR EN REGIME VARIABLE

Le conducteur métallique ci-dessus n'est plus supposé parfait mais posséde une 
conductivité 7/, ce

dernier paramètre intervenant dans la loi d'Ohm locale. Ce conducteur est le 
siège d'un courant
volumique J sinusoïdal de pulsation élevée a). On admet que la loi d'Ohm locale 
liant le courant
volumique et le champ électrique est vérifiée dans le domaine de fréquences 
considérées.

IV.] Ecrire les équations locales de Maxwell pour ce milieu non chargé.

10/12

IV.2

IV.3

IV.4

IV.5

Définir le courant de déplacement J D et montrer, qu'à très haute fréquence, 
son amplitude est
négligeable devant celle du courant de conduction JC. Pour cela, on prendra 
l'exemple du

cuivre de conductivité 7/= 5,7.107 8.1. à la fréquence v = 100 MHZ. On 
négligera par la suite
le courant de déplacement dans le conducteur.

. . . , . , . , . BJ .
Montrer que J sat1sfa1t a une equat10n aux der1vees part1elles de la forme AJ 
--0{ 8_ = O , ou

t
05 est une constante à déterminer en fonction de flo et de 7/. On rappelle, que 
pour le champ

de vecteurs F , V /\ (V /\ F ) = V (V.F ) -- V2F , dans laquelle V représente 
l'opérateur nabla.

Le courant volumique J est parallèle à l'axe Oy et ne dépend que du temps t et 
de la
coordonnée z.

IV.4.a Ecrire l'équation aux dérivées partielles satisfaite par J (2, t).

IV.4.b Vérifier qu'en notation complexe l'expression de J(z, t) peut être du 
type

J(z, t)=JO exp(--z/5)exp{j((z/5)--æt)] où 5 et (Osont des constantes.

IV.4.c Expliciter 5 en fonction de a), flo et 7/.

IV.4.d Calculer 5 en utilisant les données numériques fournies au IV.2. 
Préciser son unité
et conclure sur la pénétration du courant dans un conducteur à très haute 
fréquence.

Donner l'expression réelle de J dans le conducteur et en déduire l'expression 
du champ
électrique réel E (M , t) en tout point M du conducteur. Déterminer 
l'expression de la
puissance volumique moyenne << PJ >> dissipée par effet Joule sur une période 
d'oscillation
du champ et dans la totalité du conducteur, en fonction du module de J 0 , des 
paramètres 5 et
7/ et de la surface S du conducteur.

PARTIE V : SUPRACONDUCTIVITE / EFFET MEISSNER

Certains conducteurs métalliques, comme le plomb, deviennent supraconducteurs à 
température
suffisamment basse. On se replace dans les configurations géométriques 
précédentes avec le vide

(2 < 0) et le milieu conducteur(z > 0).

V.].

On admettra qu'un tel supraconducteur est un conducteur parfait pour lequel la 
densité
2

volumique de courant Jc est rehee au potentiel vecteur A par JC = ----A, A 
etant ch01s1 de
me

façon à ce que sa divergence soit nulle, n, e et me représentant respectivement 
le nombre

d'électrons de conduction par unité de volume, la charge élémentaire et la 
masse de l'électron.

V.1.a Rappeler la contrainte imposée sur le champ électrique intérieur au 
matériau.

11/12

V.2

V.3

V.4

V.5

V.1.b Calculer une quantité 5 de même nature physique que dans la partie 
précédente
1/2

me

"62/10

plomb en considérant n = 1028 m_3, @ = 1, 602.10_19 C et m, = 9,1.10--31 kg.

(partie IV) et qui peut se mettre ici sous la forme 5 = dans le cas du

Ecrire les équations de Maxwell à l'intérieur du supraconducteur pour les 
champs électrique

et magnétique. Montrer que ce dernier vérifie une équation de la forme AB --ÂZB 
= 0 , où Â
est une constante que l'on exprimera en fonction de 5.

On suppose qu'à l'extérieur du matériau supraconducteur règne un champ 
magnétique
statique et uniforme Bext (BO, O, O).

V.3.a Le champ magnétique étant pris continu à l'interface Z = 0 , comment 
varie le champ
B à l'intérieur du supraconducteur en fonction de z ?

V.3.b Des assertions suivantes "l'effet Meissner consiste en l'expulsion du 
champ
magnétique du volume du supraconducteur" ou "le champ magnétique est nul à
l'intérieur d'un supraconducteur", quelle est celle qui vous semble la plus 
correcte ?

Justifier votre réponse. Pour la fin de l'épreuve, on conservera cette dernière.

Déduire des conditions de passage à la traversée de la surface, l'expression du 
vecteur de
densité surfacique de courant ]S qui apparait sur la surface du supraconducteur.

Montrer qu'il existe une force électromagnétique par unité de surface du 
supraconducteur.
Quelle est sa direction ? Quelle pression exerce-t-elle ?

Fin de l'énoncé.

12/12

IMPRIMERIE NATIONALE -- 131159 -- D'aprèsdocumentsf0urnis

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 2 MP 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Raphaël-David Lasseri (ENS Cachan) ; il a été relu
par Étienne Thibierge (Doctorant-ENS Lyon) et par Julien Dumont (Professeur en
CPGE).

Ce sujet porte sur l'oeil humain puis sur la propagation d'ondes 
électromagnétiques. Ses cinq parties sont indépendantes.
· Dans une première partie proche du cours d'optique géométrique de sup, on
modélise l'oeil humain par une lentille. Celle-ci est choisie plan-convexe pour
modéliser la vue de loin et on s'intéresse alors au rôle de la pupille (rayons 
paraxiaux ou non). Pour modéliser la vue de près, on choisit une lentille 
biconvexe
et on s'intéresse à la presbytie.
· La deuxième partie poursuit sur le thème de la vision avec une méthode de
mesure du rayon de courbure d'une lentille utilisable par un opticien. L'étude
repose sur le dispositif des anneaux de Newton pour obtenir une figure 
d'interférences.
· La troisième partie, proche du cours mais nécessitant quelques calculs, 
concerne
la réflexion d'une onde électromagnétique sur un conducteur parfait.
· La quatrième partie s'intéresse à la propagation du courant dans un conducteur
non parfait.
· La cinquième partie aborde la supraconductivité et l'effet Meissner, un thème
récurrent aux concours.
Ce problème permet de faire le point sur l'optique géométrique (sup) et sur 
l'électromagnétisme (spé).

Indications
Partie I
I.5.a Développer cos(a - b) et sin(a - b) grâce aux identités trigonométriques.
Partie II
II.1.a Utiliser le théorème de Pythagore.
II.2.c Ne pas oublier le grandissement dans le calcul.
Partie III
III.1.b Penser à l'équation de d'Alembert.
III.1.d Pour simplifier le calcul, passer en représentation complexe.

-
III.1.c Attention au signe devant k .
III.1.f Le vecteur de Poynting a pour expression
 -
-

-

EB
R =
µ0
Utiliser le fait que cos2 (t) = 1/2 et hcos(t) sin(t)i = 0.
Partie IV
-
IV.4.a Projeter l'expression sur 
ey .
 
-
-
IV.5 Utiliser l'expression de la puissance volumique J · E , puis intégrer sur 
la
totalité du conducteur.
Partie V
V.1.b Il s'agit d'une simple application numérique ; l'énoncé ne demande pas de
démontrer l'unité, qu'il faudra toutefois préciser.
V.5 Utiliser l'expression de la force de Laplace surfacique.

I. Étude simplifiée de l'oeil humain
I.A

Modèle simplifié de l'oeil pour la vision de loin

I.1 La relation de Snell-Descartes à l'interface entre l'air d'indice nair =1 
et un
milieu d'indice n est
sin r = n sin i
I.2 Reprenons le schéma de l'énoncé pour préciser des angles :
(L)
A

r

I
i

h

i
r-i

i

r-i

H S

C

Ai

Vu l'orientation de l'axe (CS) donnée par l'énoncé, le triangle CHI fournit, 
puisque
CI = RC ,
CH = RC cos i
et

IH = RC sin i

Avec le triangle IHAi ,
HAi tan(r - i) = IH
donc

HAi = RC

sin i
tan(r - i)

I.3 D'après les égalités précédentes et la relation de Chasles,

CAi = CH + HAi = RC cos i +

sin i
tan(r - i)

I.4.a Pour des rayons paraxiaux, les angles i, r et r - i sont petits, si bien 
que
sin i  i, sin r  r et tan(r - i)  r - i à l'ordre 1. Le résultat de la question 
I.2 se
simplifie en
HAi = RC
HAi =

i
i
= RC
r-i
ni - i

RC
n-1

La position du point Ai ne dépend donc ni de i, ni de h.

(Snell-Descartes)

Ce résultat ne doit pas surprendre : tous les rayons arrivant sur une lentille 
convergente parallèlement à son axe de symétrie sont réorientés par la
lentille vers son foyer principal image, qui ne dépend que de sa géométrie et
de l'indice du matériau qui la compose.
On pouvait également montrer que CAi = n RC /(n - 1), ce qui autorise
la même conclusion et établit directement le lien entre CAi et HAi .
I.4.b Avec les simplifications proposées,
fi = SFi = |{z}
SH +HFi = HAi
0

RC
fi =
n-1

(d'après la question précédente)

I.4.c La vergence étant par définition l'inverse de la distance focale,
fi =

1
= 1,7 cm
V

et en utilisant la question précédente,
RC =

n-1
= 5,5 mm
V

La vergence étant donnée avec deux chiffres significatifs seulement par
l'énoncé, on ne peut pas donner plus de chiffres après la virgule. En revanche,
on pouvait tout à fait exprimer ces résultats en mètres avec la notation 
scientifique : 1,7 · 10-2 m.
I.5.a D'après la question I.3,
CAi = RC

cos(r - i)
cos i + sin i
sin(r - i)

cos r cos i + sin r sin i
= RC cos i + sin i
sin r cos i - sin i cos r
sin r cos2 i - sin i cos i cos r + sin i cos i cos r + sin r sin2 i
sin r cos i - sin i cos r
sin r
= RC
(cos2 i + sin2 i = 1)
sin r cos i - sin i cos r
n sin i
p
= RC
(Snell-Descartes)
n sin i cos i - sin i 1 - n2 sin2 i
= RC

CAi =

n RC
p
n cos i - 1 - n2 sin2 i

(en simplifiant par sin i)