CCP Physique 2 MP 2008

Thème de l'épreuve Optique géométrique. Magnétisme.
Principaux outils utilisés focométrie, magnétostatique, induction

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 

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« ...ËOOEÈË

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......=o_z:uu-->dcm ":::--tou ...::euzcv

'

Les calculatrices sont autorisées.
***
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à prendre.

***

Partie A : OPTIQUE
Ce problème d'optique comprend deux parties indépendantes : focométrie et 
lunette astronomique
achromatique.
La première partie concerne la mesure, par différentes méthodes, des distances 
focales de lentilles
minces convergentes et divergentes. La seconde partie consiste à rechercher les 
conditions pour
limiter l'aberration chromatique, c'est-à-dire les défauts de formation des 
images dus à la dispersion
des verres des objectif et oculaire d'une lunette astronomique.
Les quatre figures de la partie « Optique » sont en page 6.
On considérera que les lentilles minces de ce problème sont utilisées dans le 
cadre de
l'approximation de Gauss.

1. FOCOMETRIE
L'axe (x·x) d'un banc d'optique est orienté dans le sens de parcours de la 
lumière. On notera O1 et
O2 les centres de deux lentilles (L1 ) convergente et ( L 2 ) divergente, A et 
A· les points sur l'axe
optique d'un objet lumineux transverse AB et de son image A·B· par l'instrument.
1.1. Lentille convergente : ( L1 ) de centre O1 et de distance focale f1'
On exprimera f1' et û f1' à 0,1 cm près.
1.1.1. Méthode d'autocollimation
1.1.1.1. Décrire la méthode expérimentale dite « d'autocollimation » qui permet 
de
mesurer la distance focale d'une lentille mince convergente.
1/11

1.1.1.2. Quand l'image A·B· de l'objet AB est obtenue par cette méthode, la 
distance
mesurée objet-lentille est de 20,2 cm. Les incertitudes absolues de lecture sur 
l'axe et de
mise au point de l'image étant au total évaluées à 0,5 cm, exprimer la distance 
focale
f1' de ( L1 ) et son incertitude absolue û f1' .
1.1.2. Formule de conjugaison de Descartes
L'objet réel AB placé à 35 cm de la lentille ( L1 ) donne une image nette A·B· 
de cet
objet sur un écran (E) situé à 46,5 cm de la lentille.
1.1.2.1. Déterminer la distance focale f1' de cette lentille.
1.1.2.2. Sachant que les incertitudes absolues sur les distances objet-lentille 
(incertitude
de lecture) et lentille-écran (incertitudes de lecture et de netteté de 
l'image) sont
respectivement évaluées à 0,4 cm et 0,8 cm, calculer l'incertitude absolue û 
f1' .
1.1.3. Méthode de Bessel
Un objet AB et un écran (E) sont fixes et distants de D. Entre l'objet et 
l'écran, on
déplace la lentille (L1) pour obtenir sur (E) une image nette A·B·.
1.1.3.1. On pose p = O1 A . Montrer que si D >Dmin, valeur minimale que l'on 
exprimera
en fonction de f1' , alors il existe deux positions distinctes p1 et p2 (avec p1

p2 ) de

( L1 ) pour lesquelles une image nette se forme sur l'écran. Donner les 
expressions de p1
et p2 en fonction de D et f1' .
1.1.3.2. Si d représente la distance entre les deux positions de la lentille ( 
L1 ) quand
D >Dmin, montrer que la distance focale f1' s'exprime en fonction de D et d.
1.1.3.3. Déterminer l'incertitude absolue û f1' de l'expression de f1' sachant 
que les
incertitudes absolues de D et d sont respectivement notées par û D et û d.
1.1.3.4. Calculer la distance focale f1' de ( L1 ) et son incertitude absolue û 
f1' sachant
que D = (90 ± 1) cm et d = (30 ± 1) cm.
1.1.4. Méthode de Silbermann
L'objet AB étant fixe, sa position sera prise comme origine sur l'axe optique. 
On
cherche les positions de la lentille ( L1 ) et de l'écran (E) telles que le 
grandissement
A'B'
1 . La distance objet-écran est alors D0 ± û D0.
AB
1.1.4.1. Utiliser la relation de conjugaison de Descartes et l'expression du
grandissement pour obtenir f1' en fonction de D0.
1.1.4.2. On mesure D0 = 80,4 cm avec une incertitude absolue de 0,5 cm 
comprenant la
lecture et la mise au point de l'image pour ce grandissement. En déduire la 
distance
focale f1' de ( L1 ) et son incertitude absolue û f1' .
1.1.4.3. La méthode de Silbermann peut-elle se déduire de la méthode de Bessel ?
Justifier votre réponse.
transversal J

1.1.5. Comparaison des méthodes
Parmi ces quatre méthodes quelle est celle qui vous semble la plus rapide à 
mettre en
oeuvre pour obtenir l'ordre de grandeur de f1' et celle qui vous permet la 
meilleure
précision ?

2/11

1.2. Lentille divergente : ( L 2 ) de centre O2 et de distance focale f 2'
On exprimera f 2' à 0,1 cm près.
1.2.1. Théorème des vergences (formule des opticiens)
Pour déterminer la distance focale d'une lentille mince divergente ( L 2 ), on 
accole celleci à une lentille mince convergente ( L0 ) de vergence V0 = 8 m-1 
et on utilise ce système
mince [( L0 )+ ( L 2 )] pour obtenir d'un objet réel AB, une image réelle A·B·, 
renversée,
de même dimension que l'objet. La distance objet-image mesurée est égale à 1 m.
1.2.1.1. Déterminer la vergence V du système de lentilles accolées.
1.2.1.2. En déduire la vergence V2 et la distance focale f 2' de la lentille ( 
L 2 ) sachant
que pour l'association [( L0 )+ ( L 2 )] nous avons : V = V0 + V2 .
1.2.1.3. Les centres optiques des lentilles dites « accolées » sont en fait 
distants de
e = 0,5 cm. Evaluer à nouveau V2 et f 2' à partir de cette formule de 
Gullstrand qui
prend en compte la distance entre les centres optiques : V = V0 + V2 ­ e V0 V2 .
1.2.2. Viseur à frontale fixe
Un viseur à frontale fixe est utilisé pour déterminer la distance focale f 2' 
de la lentille
( L 2 ). On vise d'abord l'objet AB, on insère ( L 2 ) entre l'objet et le 
viseur à une distance
x de AB et enfin on doit reculer d'une distance D pour viser l'image A·B·.
1.2.2.1. À partir de la relation de conjugaison de Descartes, montrer que la 
distance
focale f 2' s'exprime en fonction des distances x et D.
1.2.2.2. Sachant que x = 30 cm et D = 16,5 cm, calculer f 2' .
1.2.3. Méthode de Badal
La méthode de Badal se déroule en deux étapes :
1ère étape : une lentille convergente ( L ) donne d'un objet ponctuel A situé 
au foyer
objet F de cette lentille, une image rejetée à l'infini. Une seconde lentille 
convergente
( L0 ) de distance focale connue f 0' est disposée à la suite de ( L ) à une 
distance
supérieure à f 0' . L'image finale ponctuelle A· se trouve sur un écran (E) 
situé au foyer
image F0' de ( L0 ).
2ème étape : la lentille divergente ( L 2 ), de distance focale f 2' inconnue, 
est positionnée
dans le plan focal objet de ( L0 ). Pour obtenir la nouvelle image nette A·, il 
faut éloigner
(E), de ( L0 ), d'une distance D.
1.2.3.1. En appliquant la relation de conjugaison de Newton à la lentille ( L0 
),
déterminer la relation donnant l'expression de la distance focale f 2' en 
fonction des
distances f 0' et D.
1.2.3.2. Pour les distances f 0' = 12,5 cm et D = 6,5 cm, calculer f 2' .

2. LUNETTE ASTRONOMIQUE ACHROMATIQUE
La vergence V d'une lentille mince est donnée par la relation algébrique 
suivante :
§ 1
1 ·
V (n 1) ¨
¸
© R1 R2 ¹
où n est l'indice de réfraction du verre constituant la lentille et R1 et R2, 
les rayons de courbure
algébriques ( Rx S x C x ) respectivement des faces avant et arrière de la 
lentille.
3/11

L'indice n varie avec la longueur d'onde suivant la loi empirique de Cauchy :
B
n A
, A et B étant deux constantes positives.
2

O

Pour un verre de type crown : A 1,515 et B 3,5 u103 nm 2 .
On définit la constringence

1
nD 1
, où
K nF nC
= 486 nm), D (jaune :

et le pouvoir dispersif K d'un verre par : Q

nF , nD et nC sont les indices du verre pour les radiations F (bleu :
D = 589 nm) et C (rouge : C = 656 nm).

F

On notera f F' , f D' et f C' les distances focales images et FF' , FD' et FC' 
les foyers images de la
lentille pour les radiations F, D et C respectivement.
2.1. Constringence, pouvoir dispersif et distance focale d'une lentille d'un 
verre crown
Une lentille mince (L), en verre crown, est biconvexe avec les rayons de 
courbure R1 et R2 tels
que R1 90 cm et R2 150 cm. Le diamètre de (L) est : D = 8 cm.
2.1.1. Calculer, avec le nombre de chiffres significatifs correct, les indices 
nF , nD et nC . En
déduire la constringence et le pouvoir dispersif K pour ce verre crown.
2.1.2. Déterminer la distance focale moyenne f D' de (L).
2.2. Aberrations chromatiques principales des lentilles minces
Deux lentilles minces (L1) convergente (Figure 1) et (L2) divergente (Figure 2) 
sont éclairées,
parallèlement à l'axe optique, par un faisceau de lumière blanche.
2.2.1. Reproduire les figures 1 et 2 et tracer le cheminement des rayons 
lumineux bleu et
rouge de longueurs d'onde respectives ( F) et ( C) émergeant des lentilles (L1) 
et (L2),
en indiquant pour chacune de ces deux lentilles la position relative des foyers
FF' et FC' sur l'axe optique.
2.2.2. Aberrations chromatiques longitudinale et transversale
2.2.2.1. L'aberration chromatique longitudinale d'une lentille est définie par 
la distance
algébrique AL FF'FC' qui sépare les foyers bleu FF' et rouge FC' .
Exprimer AL pour la lentille convergente (L), en fonction de la constringence 
et de la
distance focale moyenne f D' , en supposant que f F'f C' | f D' 2 . Commentaire.
Calculer numériquement AL.
2.2.2.2. On définit l'aberration chromatique transversale AT d'une lentille 
comme le
rayon de la plus petite tache lumineuse produite par les faisceaux bleu et 
rouge,
interceptée par un écran disposé normalement à l'axe optique.
Exprimer AT pour (L), en fonction de la constringence et de D, en supposant de 
plus
que f D' est quasiment la moyenne arithmétique de f F' et fC' . Commentaire.
Calculer la valeur de AT.
2.3. Objectif achromatique
On réalise un objectif achromatique mince, en accolant la lentille (L) 
précédente biconvexe,
de rayons de courbures R1 et R2 en verre crown avec une lentille (L·), 
plan-concave en verre
de type flint, de sorte que les faces en contact aient le même rayon de 
courbure R2.
4/11

Les indices de réfraction des deux verres sont donnés par la loi de Cauchy :
B1
avec A1 1,515 et B1 3,5 u 103 nm 2
- lentille (L), en verre crown : n1 A1
2

O

- lentille (L·), en verre flint : n2

A2

B2

O2

où A2 et B2 sont à déterminer.

2.3.1. Exprimer les vergences V1, V2 respectivement des lentilles (L), (L·) en 
fonction des
constantes A1 , A2 , B1 , B2 , des rayons R1 , R2 et de . En déduire la 
vergence V = V1 + V2
des deux lentilles accolées.

wV
. Que doit valoir cette expression pour supprimer
wO
l'aberration chromatique ? En déduire une relation entre B1, B2, R1 et R2 puis 
exprimer la
vergence V en fonction de A1, A2, R1 et R2.

2.3.2. Déterminer l'expression de

2.3.3. Calculer les constantes A2 et B2 pour une vergence V de l'objectif égale 
à 0,5 m-1.
2.4. Oculaire achromatique
Soient deux lentilles biconvexes (L1) et (L2), de focales images respectives 
f1' et f 2' , taillées
dans le même verre flint d'indice n2, de même axe optique, dont les deux 
dioptres, pour
chacune d'elles, ont en valeur absolue le même rayon, R'1 pour (L1) et R2' pour 
(L2). Les deux
lentilles placées à une distance d· l'une de l'autre doivent permettre de 
réaliser un oculaire
achromatique (Figure 3).
2.4.1. Déterminer, en fonction de R'1 , R2' , A2 , B2 , d' et O , les vergences 
V'1 de (L1), V2' de (L2)

et V' de cet oculaire en appliquant la formule de Gullstrand :
V' V'1 V2' d'V'V
1 2' .

wV'
et en déduire les facteurs numériques k1 et k2 de l'expression :
wO
k1 (n2 1) B2
( f1' f 2' k 2 d' ) .
3
R'R
1 2' O

2.4.2. Calculer

wV'
wO

2.4.3. Quelles doivent être les relations, d'une part entre f1' et f 2' si R'1 
= 3R2' et d'autre part
entre d' et f 2' si on veut éliminer l'aberration chromatique ?
2.4.4. Calculer, dans les conditions de la question précédente, la valeur de d' 
pour avoir un
oculaire de vergence V' 75 m-1.
2.4.5. On définit respectivement par ( F1 ; F'1 ) et ( F2 ; F2' ) les foyers 
principaux objet et image
pour les lentilles (L1) et (L2).
2.4.5.1. Déterminer le foyer objet F (conjugué de F2 dans (L1)) et le foyer 
image

F' (conjugué de F'1 dans (L2)) pour ce doublet en exprimant F1 F et F2' F' en 
fonction
de d' .
2.4.5.2. En prenant comme référence la distance d' entre les deux lentilles, 
reproduire
la Figure 3 en positionnant les six foyers objet et image pour ce doublet.

5/11

2.5. Lunette achromatique
L'objectif achromatique {(L)+(L·)}, assimilé à une lentille mince unique, est 
associé à cet
oculaire {(L1)+( L2)} pour réaliser une lunette astronomique (Figure 4).
2.5.1. Calculer le grossissement angulaire de cette lunette. (On assimilera 
l'oculaire à une
lentille unique de vergence V' 75 m-1).
2.5.2. Reproduire la Figure 4 et tracer le chemin suivi par le rayon incident 
(sous l'angle .) à
travers et à la sortie de l'oculaire. On précisera les foyers et rayons 
secondaires utiles à
la construction.

(L1)

(L2)
( F), ( C)

( F), ( C)
( F), ( C)

O1

O2

( F),( C)

Figure 1

Figure 2

(L1)

(L2)
d'

x'

O1'

x

O 2'

Figure 3

(L) (L' )
(L1 )

x'

O

.

(L2 )

O1'

O 2'

x

oculaire
objectif

Figure 4

6/11

Partie B : ÉLECTROMAGNÉTISME
Le problème d'électromagnétisme comprend deux parties indépendantes : une partie
« magnétostatique » avec détermination du champ magnétique B et du potentiel 
vecteur A créés
par des courants, suivie d'une partie « phénomènes d'induction » étudiée dans 
l'approximation
du régime quasi stationnaire.
Représentation des grandeurs scalaires : a, b, AB, CD et vectorielles : a, b, 
AB, CD
En notation complexe ces grandeurs sont soulignées : a, b, AB, CD, a, b, AB, CD
Notation du produit scalaire ( F ~ G ) et vectoriel ( F u G ) des deux vecteurs 
F et G.
Les neuf figures de la partie « Electromagnétisme » sont en page 11.
Relations d'analyse vectorielle :
f (fonction scalaire); F, G et H (fonctions vectorielles)
F u G u H G (F ~ H ) H (F ~ G )
div ( f G ) = f div G + ( grad f ) ~ G
div( F u G ) G ~ rot F F ~ rot G
rot ( f G ) = f rot G + ( grad f ) u G
rot ( F u G ) F div G G div F (G ~ grad) F ( F ~ grad)G
Coordonnées cylindriques: grad f ; div G ; rot G
Fonction scalaire f ( U , T , z )
Fonction vectorielle G ( U , T , z ) GU ( U ,T , z )eU
grad f
div G
rot G

wf
1 wf
wf
eU
e
ez
U wT
wU
wz
1 w ( U GU ) 1 w GT wGz
U wU
U wT
wz
§ wGU
§ 1 w Gz wGT ·
¨
¸ eU ¨
wz ¹
© U wT
© wz

w Gz
wU

·
¸e
¹

GT ( U ,T , z )eT

1 § w ( U GT )
¨
U © wU

G z ( U , T , z )e z

wGU ·
¸ ez
wT ¹

z
!

ez
e

z
e!

O

x

y

Coordonnées cylindriques : !, , z

7/11

1. DÉFINITIONS
1.1. Loi de Biot-Savart
On considère une distribution filiforme de courant dans le vide représentée sur 
la Figure 1',
où nous avons porté le vecteur unitaire u sur PM.
1.1.1. Exprimer le champ magnétique dB(M), créé en M par l'élément dl du courant
d'intensité I pris autour de P.
1.1.2. En déduire le champ magnétique B(M) créé en M par le circuit filiforme 
(C).
1.1.3. Quels sont les domaines de validité pour appliquer la loi de Biot-Savart 
?
1.2. Théorème d'Ampère
1.2.1. Énoncé et formulation du théorème d'Ampère sous sa forme intégrale. 
Application au
cas des courants représentés sur la Figure 2'.
1.2.2. Donner le nom et la relation de la forme locale du théorème d'Ampère.
2. CHAMP MAGNÉTIQUE B ET POTENTIEL VECTEUR A
Les coordonnées cylindriques (!, , z) seront utilisées dans ce paragraphe 2.
1
B u r , div A
2
2.1.1. Montrer que, dans le cas d'un champ magnétique uniforme B, en tout point 
M de
1
l'espace tel que OM = r , le champ de vecteur défini par A
B u r est un potentiel
2
vecteur pour B.

2.1. Relations : A

2.1.2. Calculer rot B, puis rot r et en déduire la valeur de div A.
2.2. Courant rectiligne
Un conducteur rectiligne cylindrique illimité, de rayon R, d'axe de révolution 
z'z, est parcouru
par un courant volumique j uniforme et dirigé de z' vers z. Un point M de 
l'espace est repéré
par ses coordonnées cylindriques (Figure 3').
2.2.1. Examiner les éléments de symétrie et d'invariance de ce conducteur 
cylindrique qui ont
une conséquence sur les modules et directions du champ magnétique B(M) et du
potentiel vecteur A(M).
2.2.2. Déterminer, en appliquant le théorème d'Ampère, le champ magnétique B en 
tout point
M intérieur et extérieur au conducteur. Nous poserons B = Bint pour ! < R et B 
= Bext
pour ! > R. Tracer l'allure de la courbe de B(!), où B B .
2.2.3. En déduire le potentiel vecteur A en tout point M intérieur (Aint) et 
extérieur (Aext) au
conducteur, à partir de la relation locale champ-potentiel sachant que A(R) = 0,
condition posée arbitrairement. Tracer l'allure de la courbe de A(!).
2.2.4. Le potentiel A(M) pouvait-il se calculer à partir de la relation 
précédente A

1
Bur ?
2

Justifier votre réponse.
8/11

2.3. Courant circulaire
2.3.1. Une spire plane circulaire de centre O, d'axe z'Oz, de rayon a est 
parcourue par un
courant stationnaire d'intensité I. En un point M0 de son axe, la spire est vue 
sous un
angle de 2(OE ­ .) (Figure 4').
2.3.1.1. D'après les éléments de symétrie et d'invariance de la spire de 
courant, définir
les variables dont dépendent le champ magnétique B(M0) et le potentiel vecteur 
A(M0)
ainsi que leurs directions.
2.3.1.2. Calculer, à l'aide de la loi de Biot-Savart, le champ magnétique au 
point M0 et
le mettre sous la forme : B (M 0 ) B (O) f (D ) où B(O) représente le champ 
magnétique
au centre de la spire et f (.) une fonction trigonométrique de l'angle ..
2.3.1.3. Exprimer le potentiel vecteur dA(M0) pour tout point M0 de l'axe z'Oz, 
dû à un
élément dl de la spire, parcouru par un courant d'intensité I. En déduire 
A(M0). Ce
résultat est-il compatible avec l'étude menée en (2.3.1.1) pour A(M0) ?
2.3.2. Un solénoïde de longueur finie L, d'axe z'z est constitué de spires 
coaxiales jointives, de
rayon R et parcourues dans le même sens par un courant stationnaire d'intensité 
I.
L'origine des coordonnées cylindriques est prise au milieu du solénoïde, et 
l'on désigne
par n le nombre de spires par unité de longueur (Figure 5').
2.3.2.1. Exprimer le champ magnétique dB(M) créé par l'élément de solénoïde
d'épaisseur dz.
2.3.2.2. En déduire le champ magnétique B(M) pour tout point M de l'axe du
solénoïde, sachant que les spires des extrémités du solénoïde sont vues du 
point M sous
les angles 2.1 et 2( OE ­ .2).
2.3.3. Un solénoïde dont la longueur L est très grande devant le rayon R des 
spires est qualifié
de « solénoïde infini ».
2.3.3.1. Utiliser le résultat précédent pour exprimer le champ magnétique en 
tout point
M de l'axe du « solénoïde infini ».
2.3.3.2. Soit T un point quelconque à l'intérieur du solénoïde et situé à la 
distance ! de
l'axe (! < R) (Figure 6'). Par application du théorème d'Ampère au contour
rectangulaire OTT'O'O de longueur OO' = l sur l'axe, évaluer le champ magnétique
Bint pour tout point T intérieur.
2.3.3.3. Soit U un point quelconque à l'extérieur du solénoïde, à la distance ! 
de l'axe
(! > R) (Figure 6'). Par un raisonnement analogue au précédent, appliqué au 
contour
rectangulaire OUU'O'O, en déduire le champ magnétique Bext pour tout point U
extérieur.
2.3.3.4. En écrivant la relation locale champ-potentiel et à l'aide de la 
formule de
Stokes, calculer les potentiels vecteurs Aint pour tout point T intérieur (! < 
R) et Aext
pour tout point U extérieur (! > R).
2.3.3.5. Les potentiels Aint et Aext pouvaient-ils se calculer à partir de la 
relation
1
B u r ? Justifier votre réponse.
précédente A
2
2.3.3.6. Tracer les graphes de B(!) et A(!) des normes du champ magnétique et du
potentiel vecteur respectivement.
3. INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
3.1. Loi de Lenz, loi de Faraday
Une spire plane circulaire de centre O, de rayon a (a < R), est placée 
perpendiculairement au
champ magnétique à l'intérieur du « solénoïde infini ». Les spires jointives de 
rayon R du
solénoïde sont parcourues par le courant variable I(t) = I0 sin &t. (Figure 7').
3.1.1. Déterminer la f.é.m induite dans la spire en utilisant :
3.1.1.1. la loi de Faraday.
9/11

3.1.1.2. la circulation du champ local induit Ei

wA
.
wt

3.1.2. En déduire l'intensité i(t) du courant induit circulant dans la spire de 
résistance r.
Préciser le sens du courant dans la spire.

La spire, placée à l'intérieur du « solénoïde infini », tourne maintenant 
autour d'un axe fixe de
son plan à une vitesse angulaire constante &.
3.1.3. Un courant stationnaire d'intensité I circule dans les spires jointives 
de rayon R du
solénoïde et crée un champ magnétique Bint (Figure 8').
Calculer l'intensité i(t) du courant dans la spire, de résistance r, lors de sa 
rotation.
3.1.4. Déterminer le champ magnétique variable Bint(t) qui annule, à chaque 
instant, le courant
dans la spire dans les cas suivants :
3.1.4.1. Bint(t) a la direction constante de l'axe z'Oz et un module variable.
3.1.4.2. Bint(t) a un module constant et une direction variable.
On négligera l'inductance propre du circuit.
3.2. La roue de Barlow
Le circuit représenté en Figure 9' comprend, dans un montage en série : une 
roue de Barlow,
un résistor de résistance R, un condensateur de capacité C et un interrupteur K.
Cette roue de Barlow, disque conducteur homogène de centre O, de rayon a, de 
moment
d'inertie J par rapport à son axe de rotation, est soumise à un champ 
magnétique uniforme B
parallèle à l'axe de la roue. Un point P de sa périphérie est en contact avec 
un bain de mercure
pour assurer le passage du courant tout en minimisant les actions mécaniques de 
frottement
que l'on négligera. On suppose la roue parfaitement conductrice.

La roue est lancée avec une vitesse angulaire initiale &0. A l'instant de 
fermeture de K, t = 0,
le condensateur porte la charge initiale q0 sur la plaque reliée au résistor.
3.2.1. Parmi la répartition quelconque des lignes de courant entre O et P, nous 
représentons
sur la Figure 9', celle qui passe par un point M en transportant un courant 
d'intensité di.
3.2.1.1. Exprimer la force de Laplace d2f sur un élément dl de cette ligne de 
courant.
3.2.1.2. Déterminer le moment +, en O, des forces électromagnétiques agissant 
sur la
roue en fonction de a, i et B. Commenter le résultat obtenu.
3.2.1.3. Exprimer la f.é.m. induite en fonction de a, & et B.
(On utilisera, judicieusement, la circulation de ( ve u B )).
3.2.2. Établir les équations mécanique du mouvement de la roue et électrique du 
circuit. En
déduire les lois d'évolution dans le temps de :
3.2.2.1. l'intensité i(t) que l'on mettra sous la forme : i (t ) i0 exp( t / W 
) . Déterminer i0

et 2 en fonction de a, J, R, C, q0, B

B et Z0 ~ B .

3.2.2.2. la charge q(t) du condensateur sachant que q(0) = q0.
3.2.2.3. la vitesse angulaire &(t) de la roue avec &(0) = &0.
3.2.3. Quand t devient très grand, q(t) et &(t) tendent respectivement vers q' 
et &'. Expliciter
q' et &' en fonction de a, J, q0, C, B et &0.
3.2.4. On fixe la vitesse angulaire initiale à la valeur &0 de façon que Z0 ~ B 
0 .
3.2.4.1. Montrer que la roue se comporte initialement comme un générateur pour 
toute
valeur de q0 > 0.
3.2.4.2. A partir de quel instant tr, celle-ci deviendra-t-elle un récepteur ?
10/11

I2
I3
I1

I4

n

I

I5

xxx
xxx
xxx
xxx
dl
· u
P

(C)

·

·
M

· ··

·
(+)

+

Figure 1'

Figure 2'

z

R

P·

j

!

a

M
·

.
·
M0

'
O ez

z'

z

I

Figure 4'

z'

Figure 3'

U

x

U'

P
·
R
z'

I

.2

.

·
M

·

T

x

.1
z

I
x

z'
I

·
O

e!
dz

z
L

x
eO

ez

T'

!

z
l

I

O'

Figure 6'

Figure 5'

z'

O

I

'

&

n

z

Figure 7'
n

z'
I

...

z

O

'

B
O
·
M r
di
P
Mercure

I

I

Figure 8'

i

R
K

+q
C

Figure 9'
Fin de l'énoncé

11/11

-q

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 2 MP 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par Georges
Rolland (Professeur agrégé) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE).

Ce sujet est constitué de deux problèmes indépendants ; le premier porte sur
l'optique géométrique, le second sur l'électromagnétisme.
· Le problème A est composé de deux parties largement indépendantes. La 
première présente différentes méthodes utilisées en travaux pratiques de 
focométrie : on y aborde l'autocollimation, les méthodes de Descartes, Bessel, 
Silbermann et Badal. Dans chaque cas, il s'agit d'établir la formule permettant 
de
calculer la distance focale de la lentille à partir de mesures expérimentales et
d'évaluer l'incertitude sur cette mesure.
Dans la seconde partie, on établit des conditions pour qu'un assemblage de deux
lentilles puisse être achromatique. On commence par utiliser notamment la 
formule de Cauchy pour établir des propriétés des lentilles à différentes 
longueurs
d'onde. On cherche ensuite des relations entre les coefficients de la formule de
Cauchy pour concevoir un objectif et un oculaire achromatiques.
· Le problème B est composé de trois parties indépendantes. Dans la première,
on établit quelques résultats de cours sur la loi de Biot et Savart et le 
théorème
d'Ampère.
Dans la deuxième, on démontre, tout d'abord, une relation simple entre un
potentiel vecteur et le champ magnétique dans un cas particulier ; puis, 
indépendamment du résultat précédent, on cherche à relier champ magnétique et
potentiel vecteur dans deux situations différentes : un fil et un solénoïde 
infinis. Pour chaque situation, on examine la concordance des deux expressions 
du
potentiel vecteur.
La troisième partie porte sur l'induction. Après quelques rappels sur les lois 
de
Faraday et de Lenz, on étudie le fonctionnement d'une roue de Barlow montée
dans un circuit RC.
Ce sujet, assez long, comporte beaucoup d'applications numériques peu aisées.
De plus, selon le rapport du jury, « la formulation des résultats n'était pas 
toujours
cohérente avec le nombre de chiffres significatifs attendu ». Peu classiques, 
les calculs
de potentiel vecteur ont souvent été erronés. Dans la partie traitant de la 
roue de
Barlow, qui contient une erreur d'énoncé, on se perd facilement dans les 
orientations.
Néanmoins, ce sujet se prête bien à des révisions globales pour les écrits.
La partie focométrie constitue également un excellent support de révision pour 
les TP.
Par ailleurs, la partie sur l'induction peut tout aussi bien être utilisée en 
cours d'année
durant la phase d'apprentissage.

Indications
Partie A
1.1.2.2 Utiliser la dérivée logarithmique, séparer dO1 A et dO1 A puis passer à 
la
valeur absolue pour chaque terme.
1.1.3.1 Utiliser la formule de Descartes pour relier f1 à D et p. Faire 
apparaître un
polynôme du second degré en p et chercher à quelle condition il admet deux
racines réelles distinctes.
1.1.3.2 Calculer p1 - p2 .
1.1.3.3 Procéder comme en 1.1.2.2.
1.1.4.2 Procéder comme en 1.1.2.2.
1.1.4.3 Que donne la méthode de Bessel s'il n'existe qu'une seule position pour 
(L) ?
1.2.1.1 Remarquer que l'on est dans le cas de la méthode de Silbermann.
1.2.2.1 Exprimer O2 A et O2 A en fonction de D et x.
1.2.3.1 Exprimer O2 A et O2 A en fonction de D, f0 et f2 . Faire un dessin 
précis et
y reporter toutes les valeurs.
2.2.2.1 Exprimer  en fonction des focales.
2.2.2.2 Montrer que la tache de taille minimale est autour de FD et utiliser le 
théorème de Thalès pour calculer AT .
2.4.4 Exprimer V en fonction de V2 et d .
2.5.1 Introduire une image intermédiaire.
Partie B
1.1.2 Donner l'expression générale sous forme intégrale.
 
- -
2.1.1 Utiliser les coordonnées cartésiennes et calculer rot ( B  -
r ).
- -

2.1.2 Utiliser les coordonnées cartésiennes pour calculer rot r puis s'aider du 
for
-
mulaire pour calculer div A .
 - -
-

2.2.3 Écrire B = rot A dans la base des coordonnées cylindriques en s'aidant du
formulaire.
 
-

2.2.4 Décomposer -
r sur la base des coordonnées cylindriques. Montrer que B  -
r

contient une composante selon -
e .

-

2.3.1.3 Utiliser la formule donnant A en magnétostatique, analogue de celle 
donnant V pour une distribution linéique de charges en électrostatique.
 - -
-

2.3.3.4 Écrire B = rot A et intégrer sur la section droite du solénoïde. 
Remplacer

- -
l'intégrale contenant rot A par une intégrale de contour.
 
-
2.3.3.5 Que donne B  -
r à l'extérieur du solénoïde ?
3.1.2 Chercher le lien entre le signe de i et la variation de I.
3.1.4.1 Établir l'équation différentielle dont I est solution.

-
3.1.4.2 Comment B doit-il tourner pour que la spire « voie » un flux constant ?

3.2.2.1 Dériver l'équation électrique, éliminer la dérivée de -
 à l'aide de l'équation
mécanique.

-
 -
 sont tels que -
 > 0.
3.2.4.1 L'énoncé comporte une erreur : B et -

B ·
0

3.2.4.2 Chercher l'instant où la puissance change de signe.

0

Partie A. Optique
1.

Focométrie

1.1.1.1 Pour cette méthode, on a besoin de la lentille dont on souhaite 
déterminer
la distance focale, d'un miroir, d'un objet (et éventuellement d'un écran que 
l'on
place à côté de l'objet).
On place l'objet et la lentille sur le banc
(L)
d'optique et on accole le miroir derrière
A
la lentille. On translate l'ensemble lentilleF
miroir et on observe l'image (éventuellement

x
x
à l'aide de l'écran) réfléchie vers l'objet par

A
ce système. Lorsque l'image est nette et de
la même taille que l'objet, la distance objetlentille est égale à la distance 
focale.
f
D'après le rapport, moins de la moitié des candidats a traité cette question.
Comme il s'agit de détailler un protocole expérimental, le jury précise que la
rédaction doit être soignée : des phrases trop imprécises telles que « on bouge
le miroir pour voir l'objet » ou bien « on suit l'image pour qu'elle soit 
claire »
ne sont pas satisfaisantes.
1.1.1.2 De ce qui précède, on déduit
f1 = 20,2 cm
Exprimons l'incertitude ; comme f1 = O1 A
f1 = O1 A = 0,5 cm
1.1.2.1 Utilisons la formule de Descartes pour les lentilles
1
1
1
-
= 
f1
O1 A
O1 A
d'où

f1 =

O1 A O1 A
= 20,0 cm
O1 A - O1 A

1.1.2.2 Pour obtenir les incertitudes, calculons le logarithme de cette 
expression

ln f1 = ln O1 A + ln O1 A - ln O1 A - O1 A
que l'on différentie
df1
dO1 A
dO1 A dO1 A - dO1 A
+
-
=

f1
O1 A
O1 A
O1 A - O1 A
O1 A dO1 A
O1 A dO1 A
-

=

O1 A O1 A - O1 A
O1 A O1 A - O1 A
f1
O1 A
O1 A
d'où
=
O1 A +
O1 A

f1
O1 A O1 A - O1 A
O1 A O1 A - O1 A
On obtient finalement

f1 = 0,3 cm

1.1.3.1 Remarquons que
O1 A = O1 A + AA = p + D
et utilisons de nouveau la formule de Descartes
1
1
1
- = 
D+p p
f1
p
A
O1
x

x
A

D
En multipliant les deux membres par (D + p) p, on obtient :
-D =
d'où

(D + p) p
f1

p2 + D p + D f1 = 0

qui est un polynôme du second degré en p de discriminant  = D2 - 4 D f1 .
Cette équation admet deux solutions réelles distinctes si et seulement si  > 0,
c'est-à-dire pour
D > 4 f1 = Dmin
et dans ce cas, les racines sont
p
D - D2 - 4 D f1
p1 = -
2

et

p2 = -

p
D2 - 4 D f1
2

D+

(L)
A

F

x

F

O

A

x

(L)
A
x

F
F

x

O
A
d
D