CCP Physique 2 MP 2007

Thème de l'épreuve Systèmes optiques centrés. Électromagnétisme des condensateurs.
Principaux outils utilisés optique, électrocinétique, électrostatique, électromagnétisme

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2007

).

EÜHEÜLIRE EÜH"IU"«IE FÜLTTEEHHIÛUEE--

EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIERE MP

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.
(Les données numériques sont choisies pour simplifier les calculs)

>l<>l<>l<

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à prendre.

>l<>l<>l<

Partie A : OPTIQUE

Ce problème d'optique comprend trois parties; un premier chapitre << 
Définitions >> introduit
l'approximation de Gauss qui sera utilisée dans les deux chapitres suivants : 
<< Etude de miroirs
sphériques >> et << Etude de lentilles minces >>.

Les dix figures du problème d'optique sont en page 6/12.

Les éléments (objets, images, rayons lumineux) seront tracés en traits pleins ( 
-- ) s'ils sont
réels et en tirets ( ----- ) s'ils sont virtuels.

I. DEFINITIONS

1. Systèmes optiques.
a. Qu'appelle-t-on système optique centré '?
b. Qu'est-ce qu'un système optique catoptrique '?

2. Stigmatisme.
a. Qu'appelle-t-on stigmatisme rigoureux pour un point A a travers un système 
optique '?
b. Citez un système optique rigoureusement stigmatique pour tous les points de 
l'espace.

3. Aplanétisme.

a. Soit (A, A') un couple de points conjugués, par un système optique centré 
(S). Le point A
est situé sur l'axe optique. On considère un point B, voisin de A, tel que AB 
soit
transverse, c'est-à-dire situé dans un plan de front. A quelle propriété doit 
satisfaire B',
image de B a travers (S), pour conduire à un aplanétisme rigoureux du couple 
(A, A') '?

b. Citez un système optique rigoureusement aplanétique pour tous les points de 
l'espace.

1/12

4. Approximation de Gauss.
a. Enoncer les conditions qui permettent de réaliser l'approximation de Gauss.
b. Quelle conséquence l'approximation de Gauss a-t-elle sur le stigmatisme '?

Il. ETUDE DE MIROIRS SPHERIQUES

Un miroir sphérique est une calotte sphérique réfléchissante sur l'une de ses 
faces. Le centre de la
sphère est noté C et le point d'intersection S de la calotte avec l'axe optique 
est appelé sommet du
miroir.

Les miroirs sphériques étudiés seront utilisés dans l'approximation de Gauss.

1. Caractère convergent ou divergent d'un miroir sphérique.
a. Un miroir convexe est-il un système optique convergent ou divergent '?
b. Parmi les miroirs sphériques (m1) et (1112) représentés (Figure 1), lequel 
est divergent '?
c. En plaçant notre oeil loin d'un miroir sphérique (1113), on constate que 
l'image de notre oeil est
droite et réduite Le miroir (m3) est-il convergent ou divergent '?

2. Relations de conjugaison et de grandissement.
On cherche à déterminer la position de l'image A' d'un point A situé sur l'axe 
optique.
a. Relation de conjugaison de Descartes.
On considère un rayon incident AI issu de A qui se réfléchit en I (Figure 2).
a.]. Déterminer les relations liant les angles &, oc' et ,8 aux grandeurs 
algébriques

S_A , Ü , Î et Ê , dans l'approximation de Gauss.
a.2. Exprimer la relation entre les angles &, oc' et ,B.
a.3. En déduire la relation de conjugaison au sommet du miroir :

1 1 k1 , , , .
+ = = = ou la est un facteur que l on determmera.
SA' SA SC

a.4. Donner les expressions des distances focales image f ' = Ê et objet f = 
S--F du miroir

sphérique en fonction de Ê .

b. Relation de conjugaison de Newton.
On représente le miroir sphérique de centre C et de sommet S en dilatant 
l'échelle dans les
directions transverses (Figure 3).
b.]. Reproduire la Figure 3 en indiquant les foyers principaux objet F et image 
F' et
construire l'image A'B' d'un objet AB transverse.
b.2. En considérant les propriétés des triangles semblables, montrer que nous 
obtenons la
relation de conjugaison de Newton :

Ü.F'A'=f.f'

c. Relation de conjugaison : origine au centre.
c.]. En prenant le centre C comme origine, montrer que FA et F 'A' peuvent 
s'exprimer en

fonction de @ , CA' et &.
c.2. Déduire de la relation de Newton, la formule de conjugaison avec origine 
au centre :

1 1 k2 , , , .
= + = = ou [@ est un facteur que l on determmera.
CA CA' CS

2/12

d. Grandissement.
Si AB a pour image A'B' , nous représenterons le grandissement transversal par 
le rapport

! !

algébrique : )) = @ . Exprimer ce grandissement )) :

d.]. - en fonction de S71 et SA' .
d.2. - en fonction defi , fi et F_S .
d.3. - en fonction de @ et C--A'.

3. Correspondance objet-image pour des miroirs concave et convexe.
a. Construction géométrique de l'image A'B' d'un objet AB transverse.
Construire l'image A'B' à l'aide de deux rayons issus du point B pour les 
miroirs suivants :
a.]. (M1), de centre C1 et de sommet 81 (Figure 4).
a.2. (M2), de centre C2 et de sommet 82 (Figure 5).

b. Position de l'image A'B' et grandissement transversal.
On définira le rayon de courbure d'un miroir (MX) par : RX = SX CX

b.]. Le miroir (M3) est concave, de rayon de courbure R3 tel que lR3l = 20 cm. 
L'objet AB
est situé au milieu de F383 (F3 : Foyer objet ; 83 : Sommet). Calculer S3A' et 
en déduire

le grandissement transversal de l'objet.
b.2. Le miroir (M4) est convexe, de rayon de courbure R4 tel que lR4l = 40 cm. 
L'objet AB

est situé après 84 tel que S 4A = 50 cm. Calculer C4A' et en déduire le 
grandissement
transversal de l'objet.

4. Système réflecteur : le télescope de Cassegrain
Données numériques : Diamètre de la Lune : DL = 3 456 km
Distance Terre -- Lune : DTL = 384 000 km

a. L'axe optique d'un miroir sphérique concave (Wi), de sommet S, de centre C 
et de rayon
R = Ê est dirigé vers le centre de la Lune.
a.]. Déterminer la position de l'image A'B' de la Lune après réflexion sur (Wi).
a.2. Calculer le diamètre apparente du disque lunaire.
a.3. En déduire la dimension de l'image A'B' pour lRl = 60 cm.

b. On réalise l'objectif d'un télescope de type Cassegrain en associant deux 
miroirs sphériques
(Figure 6) :
- un miroir sphérique concave (W! 1), appelé miroir primaire, de sommet 81, de 
centre C1,

de foyer F1 et de rayon R1 = S1C1 .

- un miroir sphérique convexe (W! 2), appelé miroir secondaire, de sommet S2, 
de centre C2,

de foyer F2 et de rayon R2 = S,C2 .
Le miroir (W! 1) comprend une petite ouverture centrée en 81 pour permettre le 
passage de la
lumière après réflexion sur (W! 1) puis sur (W! 2).
Le miroir (W! 2) est de petite dimension, afin de ne pas obstruer le passage de 
la lumière
tombant sur le miroir primaire.
b.]. Où doit se situer l'image A'B' de la Lune après réflexion sur (W! 1), afin 
que le miroir
sphérique convexe (W! 2), caractérisé par 82, C2 et F2, en donne une image 
réelle A"B" ?

3/12

b.2. Déterminer la position du foyer image F', de l'association des miroirs (W! 
1) et (W! 2), en

exprimant S,F' en fonction de R1, R2 et d = 3,31 .
b.3. Exprimer le grandissement transversal )) de l'objet A'B' à travers le 
miroir (W! 2) en
fonction de R1, R2 et d = S,S1.

b.4. Calculer S,F', )) et la dimension finale de l'image A"B" pour : lej = 60 
cm;
jR,' =40 cm et jdl = 18 cm.

b.5. Quelle serait la distance focale image fL d'une unique lentille mince qui 
donnerait de la
Lune la même image A"B" ? Commenter.

III. ETUDE DE LENTILLES MINCES

Les lentilles minces étudiées seront utilisées dans l'approximation de Gauss.

1. Caractère convergent ou divergent d'une lentille mince.
a. Formes des lentilles sphériques minces.
Parmi les lentilles (ll) à (lg) représentées sur la Figure 7, indiquer dans cet 
ordre : la lentille
biconcave, la lentille ménisque convergent et la lentille plan concave.

b. Observation d'un objet éloigné.
On vise un objet placé à grande distance en plaçant l'oeil loin d'une lentille 
(17). Nous voyons
une image inversée de l'objet. La lentille (17) est-elle convergente ou 
divergente ? Justifier
votre réponse.

c. Déplacement transversal.
On place un objet réel de telle sorte que son image, vue à travers une lentille 
(lg), soit droite.
En déplaçant (lg) transversalement à son axe optique, on constate que l'image 
de l'objet se
déplace dans le même sens que la lentille. La lentille (lg) est-elle 
convergente ou divergente ?
Justifier votre réponse.

2. Relations de conjugaison et de grandissement.
a. Relation de conjugaison de Newton.
Reproduire et compléter le tracé des rayons BI et BF] de la Figure 8 pour 
l'obtention de
l'image A'B' de AB. (Foyer objet : F)

! !

Exprimer le grandissement transversal F = @ respectivement en fonction de @ et 
O--F

puis de @ et O--F'. (Foyer image : F')
En déduire la relation de conjugaison de Newton.

b. Relation de conjugaison de Descartes.
En prenant le centre 0 comme origine, montrer que la relation de conjugaison de 
Newton

conduit, après transformation (relation de Chasles) de @ et F 'A' , à une 
relation entre les
grandeurs algébriques OA , OA' et OF ' dite relation de conjugaison de 
Descartes.

Exprimer le grandissement F en fonction défi et OA' .

3. Correspondance objet-image pour des lentilles minces convergente et 
divergente.
a. Construction géométrique de l'image A'B' d'un objet AB transverse.
Reproduire et construire l'image A'B' de AB à l'aide de deux rayons issus du 
point B pour les
lentilles minces suivantes :

4/12

a.].
a.2.

Lentille (L1), de centre optique 01 et de foyers objet F1 et image F1' (Figure 
9).
Lentille (L2), de centre optique 02 et de foyers objet F2 et image F,' (Figure 
10).

. Position de l'image A'B' et grandissement transversal.
Donner la nature et la position de l'image A'B' d'un objet AB ainsi que le 
grandissement
transversal F pour les lentilles (L3) et (L4) suivantes :

b.].

b.2.

La lentille (L3) est convergente, de distance focale image +30 cm. Le 
positionnement de
AB est tel que O3A = 15 cm. La position de A' sera donnée par la valeur de 
F3'A' .
La lentille (L4) est divergente, de distance focale image --30 cm. Le 
positionnement de

AB est tel que AF4' = 20 cm. La position de A' sera donnée par la valeur de 
O4A' .

4. Système réfracteur : la lunette de Galilée.
Une lunette de Galilée comprend :
un objectif assimilable à une lentille mince ($), de centre 01 et de vergence 
V1 = 5 dioptries,
un oculaire assimilable à une lentille mince (%), de centre 02 et de vergence
V2 = --20 dioptries.
. Déterminer la nature et les valeurs des distances focales images f1' et f2' 
des lentilles.

U"

. La lunette est du type << afocal >> :

b.].

b.2.

b.3.

Préciser la position relative des deux lentilles, la valeur de la distance d 
=0102 et

l'intérêt d'une lunette afocale.

Dessiner, dans les conditions de Gauss, la marche d'un rayon lumineux incident, 
issu
d'un point objet à l'infini, faisant un angle 9 avec l'axe optique et émergeant 
sous
l'angle 9'.

En déduire le grossissement (ou grandissement angulaire) de cette lunette en 
fonction
des angles 9 et 9', puis des distances focales f1' et f2'. Valeur du 
grossissement ?

. Un astronome amateur utilise cette lunette, normalement adaptée à la vision 
d'objets

terrestres, pour observer deux cratères lunaires : Copernic (diamètre : 96 km) 
et Clavius
(diamètre : 240 km). Rappel : Distance Terre -- Lune : DTL = 384 000 km.

c.].

c.2.

L'astronome voit-il ces deux cratères lunaires :

- à l'oeil nu ? (Acuité visuelle : 3><10'4 rad)

- à l'aide de cette lunette ? Justifier vos réponses.
La planète Vénus, de 12 150 km de diamètre, occultera Jupiter (de diamètre
145 800 km) le 22 novembre 2065.
Notre astronome amateur (qui sera certainement confirmé), pourra-t-il observer 
à l'oeil
nu ou à l'aide de sa lunette le disque jovien occulté par Vénus ? Dans cette
configuration, la distance Terre-Vénus sera DTV = 45><106 km.

5/12

(rm) (1112)
Figure 1

B \:
T ! _
X' A C S :
,:
Figure 3
B L
T _ :
x, A 82 : C2
;
(M2)
Figure 5

(11) (12) (la) (14) (15) (16)

Figure7
? (Îl)

x' F1 A 01 %; x>
Figure9

Figure2
'-- B
: +
! _ : >
C1 81 : A x
,:
Figure4 (M1)
(M1)
, \--
("2äzflà
S2
- = . >
X C1 C2 ÿÊF' X
> )_
Figure6
B AI

A F
\ J
V
Figure 8
(L2)
Y
B
+
- : - >
X' F2' 02 A F2 X
A
Figure 10

6/12

Partie B : ELECTROMAGNETISME

Le problème d'électromagnétisme comprend quatre parties indépendantes : des 
généralités sur les
conducteurs, condensateurs et capacités et trois applications des condensateurs 
(système Terre-
ionosphère et circuit RC) et conducteurs (câble coaxial).

Les six figures du problème d'électromagnétisme sont en page 11/12.
Des valeurs numériques des fonctions lgx et tana sont en page 12/12.

Les grandeurs scalaires sont représentées par : a, b, AB, CD
Les grandeurs vectorielles sont en caractères gras : a, b, AB, CD

Notation des produits scalaire (AB - CD) et vectoriel (AB >< CD) de deux 
vecteurs.
eo : désigne la permittivité du vide.
lg x : désigne le logarithme décimal de x.

I. CONDUCTEURS -- CONDENSATEURS -- CAPACITES

1. Conducteurs -- Propriétés.
a. Quelle distinction fait-on entre un conducteur métallique et un isolant ?
Parmi les types de matériaux suivants : plastique, métal, corps humain, verre, 
eau pure et eau
du robinet, quels sont ceux que l'on classe parmi les conducteurs électriques ?

b. Qu'appelle-t-on conducteur en équilibre électrostatique ?
Définir à l'intérieur de ce conducteur les propriétés de : Ei (champ 
électrostatique), pi (densité
volumique de charges) et Vi (potentiel électrostatique).
Si l'on apporte des charges excédentaires à ce conducteur en équilibre 
électrostatique, où
vont--elles se répartir ?

c. On considère un conducteur métallique creux, de surface (S...), en équilibre 
électrostatique
dans lequel une cavité, de surface (SC), ne contient pas de charges 
excédentaires (Figure 1).
Définir à l'intérieur de la cavité les propriétés de: Ec (champ 
électrostatique), pC (densité
volumique de charges), 00 (densité surfacique de charges sur (SG)) et V0 
(potentiel
électrostatique).

Où vont se placer les charges excédentaires que l'on dépose sur ce conducteur 
métallique
creux en équilibre électrostatique ?

d. Théorème de Coulomb : énoncé et formulation.

2. Conducteurs -- Capacités.
Soit V le potentiel d'un conducteur en équilibre, Q la charge portée par sa 
surface et a la densité
surfacique de charge.
a. Exprimer la capacité C du conducteur en fonction de Vet de Q.

b. Calculer les capacités des conducteurs (en équilibre électrostatique) 
suivants :
b.]. Conducteur plan : on considère un disque conducteur de centre 01, de rayon 
R1, portant
une charge surfacique al, répartie uniformément sur une face.
Calculer, en fonction de 01, R1 et 80, la charge Q et le potentiel V1 de ce 
conducteur et
en déduire C1.
b.2. Conducteur cylindrique : on considère un cylindre conducteur de rayon R2, 
de longueur
], portant une charge surfacique 02, répartie uniformément sur la surface 
latérale.

7/12

Calculer, en fonction de 02, R2, l et 80, la charge Q2 et le potentiel V2 de ce 
conducteur et
en déduire C2.

b.3. Conducteur sphérique : on considère une sphère conductrice de centre 03, 
de rayon R3,
portant une charge surfacique 03, répartie uniformément sur la sphère.
Calculer, en fonction de 03, R3 et 80, la charge Q3 et le potentiel V3 de ce 
conducteur et
en déduire C3.

3. Condensateurs -- Propriétés.
a. Qu'appelle-t-on condensateur électrique ?

b. Parmi les condensateurs (plans, cylindriques et sphériques), citer trois 
types de condensateurs
usuels.

c. Enoncer le théorème de Gauss, puis exprimer sa formulation mathématique 
précise.

4. Condensateurs -- Capacités.
Soit un conducteur creux (B) entourant totalement un conducteur (A) (Figure 2).
Le conducteur interne (A), au potentiel VA, porte sur sa surface extérieure la 
charge QA. Le
conducteur externe (B), au potentiel VB< VA, porte sur sa surface intérieure la 
charge QBi et sur sa
surface extérieure la charge QBe.
a. A l'équilibre électrostatique de ces deux conducteurs, quelle est la 
relation entre les charges
QA et QBi ? Justifier votre réponse.

b. En considérant ce système de deux conducteurs comme un condensateur, définir 
la charge Q
de ce condensateur. En déduire la capacité C en fonction de Q et des potentiels 
VA et VB.

c. Détermination des capacités des condensateurs suivants :

c.]. Condensateur plan : donner, sans démonstration, l'expression de la 
capacité C1 d'un
condensateur plan, supposé idéal, en fonction de e (écartement des deux 
armatures
parallèles), S (aire des armatures) et 80.

Application numérique : le condensateur plan est doté de plaques circulaires de 
rayon
6 cm qui se trouvent à 2,5 mm l'une de l'autre. Calculer sa capacité et la 
charge qui
apparaîtra sur les plaques si on leur applique une différence de potentiel de 
150 V.

c.2. Condensateur cylindrique : soit un condensateur constitué de deux armatures
cylindriques concentriques de rayons R1 et R2>R1 et de hauteur h. L'armature de 
rayon
R1 et de hauteur li porte la charge Q1.

- Déterminer, à l'aide du théorème de Gauss, le champ électrostatique entre les
armatures E.

- Exprimer la différence de potentiel AV = V (R1) -- V (R2) et en déduire la 
capacité
C2 du condensateur cylindrique en fonction de R1, R2, li et 80.

- Examiner le cas où R2 = R1 + e avec 6 << R1.

c.3. Condensateur sphérique : un condensateur comprend deux armatures sphériques
concentriques de rayons R1 et R2>R1. L'armature interne de rayon R1 possède une
charge Q1.

- Déterminer, en utilisant l'équation de Laplace, le potentiel électrostatique 
V(r) entre
les armatures et en déduire le champ électrostatique E(r) en fonction de R1, R2,
V(R1), V(R2) et r.

Le laplacien d'une fonction scalaire en coordonnées sphériques a pour 
expression :
2
Af(r,9,ça) = %î(r2 ï)+%£(sinâï)+ , _12 a]:
r ôr ôr r sm9 89 89 r sm 9 @@
- En déduire la capacité C3 du condensateur sphérique en fonction de R1, R2 et 
80.
- Examiner le cas où R2 = R1 + e avec 6 << R1.

8/12

Il. CONDENSATEUR SPHERIQUE : Système Terre-ionosphère

On représente l'ensemble Terre-ionosphère comme un volumineux condensateur 
sphérique qui peut
être modélisé par le schéma de la Figure 3. La Terre, de rayon R, se comporte 
comme un
conducteur parfait de potentiel nul et porte une charge négative --Q (Q>0) 
uniformément répartie
sur sa surface, tandis que l'ionosphère représentée par une surface 
équipotentielle sphérique de
rayon R+zo, de potentiel V posséde une charge totale +Q. On suppose que 
l'atmosphère a la
permittivité du vide.

1.

Exprimer le champ électrostatique E(z) à l'altitude z (0R1. L'espace
entre les deux conducteurs est vide.

Le câble est traversé par un courant alternatif d'expression en notation 
complexe
[(z,t) = [m(z) exp(jwt) dans le sens de Oz pour le conducteur interne et dans 
le sens opposé pour le
conducteur externe (Figure 6). On suppose que les champs électrique l_î et 
magnétique E en tout
point M dans l'espace R1 < p < R2 sont de la forme :

E= Eo(,0,Z) eXp(jwt) et ë= Bo(,0, Z) eXp(jwf)
et que le champ électrique l_î est radial : l_î = E() (p, 2) exp(jwt)ep

Donnée : Au point M (p, 9, z) de coordonnées cylindriques, la fonction 
vectorielle
G (M) = Gp ep + G9 69 + GZ eZ admet pour rotationnel :

ÔG ÔG
rotG= lÆ--ÔË e + p--Æ e9+l Ô(pG9)_ p eZ
p 69 62 p 62 6,0 p 6,0 69

1. Par application de l'équation de Maxwell--Faraday sous forme locale au point 
M entre les deux
conducteurs, montrer que le champ Q est orthoradial. (On négligera toute 
composante continue
de ce champ).

2. En appliquant l'équation de Maxwell-Ampère sous forme intégrale (théorème 
d'Ampère
généralisé) à un cercle d'axe Oz, de rayon p (cercle passant par M), déterminer 
en fonction de p
et du courant [m(z) exp(jwt), le champ magnétique ë .

. . 88 E

3. Etabhr une relat10n entre --9 et p

2

mais sous forme locale au point M, à la distance p de l'axe 02. En déduire 
l'expression du champ
électrique l_î en fonction de p et du courant [m(z) exp(jwt). (On n'introduira 
pas de champ
électrique constant).

en appliquant de nouveau l'équation de Maxwell-Ampère

4. En déduire que la fonction [m(z) satisfait à une équation différentielle 
dont une solution est
[m(z) = 10 exp(--jkz) et donner l'expression de k. Montrer que cette solution 
correspond à une
<< onde de courant >> qui se propage parallèlement à l'axe Oz, avec un sens et 
une vitesse de phase
que l'on précisera.

5. Déterminer, à partir de l'expression de [m(z), les champs l_î et E en 
notation réelle (E,B), et
préciser les caractéristiques de cette onde électromagnétique existant entre 
les conducteurs.

6. Définir, en notation réelle, le vecteur de Poynting S et sa valeur moyenne 
temporelle < S>. En
déduire le flux de < S> à travers la couronne circulaire comprise entre les 
circonférences de
rayons R1 et R2.

10/12

Figure 5

!

Figure 6 z

l_fe'

Figure 2
[= 0
R _>
l_]e C _-- l_]s
Figure 4

[= 0

-->

A

C _-- (_jS'

11/12

Valeurs numériques de lg x et de tan oc

lg x : logarithme décimal de x

x 1,5 2 2,5 3
lg x % 0,176 % 0,301 % 0,398 % 0,477
x 11 101 1001 10 001
lg x % 1,041 % 2,004 % 3,000 4 % 4,000 04
tan oc : tangente de l'angle oc
& (rad) TC TC TC TC TC
2,01 2,02 2,03 2,04 2,05
tan oc ,... 128 % 64,3 % 43,1 % 32,5 % 26,1
& (rad) TC TC TC TC TC
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5
tanoc : 13,3 :7,0 Z4,8 s3,7 S3,1
oc (rad) 3 1 L " L
10 30 100 300 1000
tan oc % 0,3 % 0,1 % 0,03 % 0,01 % 0,003

Fin de l'énoncé

12/12

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 2 MP 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Stanislas Antczak (Professeur agrégé) ; il a été 
relu par
Arnaud Riegert (ENS Ulm) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE).

Ce sujet comporte deux problèmes : un d'optique géométrique et un 
d'électromagnétisme. Ils sont bien équilibrés, en longueur comme en difficulté.
· Le problème d'optique géométrique comporte trois parties largement 
indépendantes. La première passe en revue quelques questions de cours. La 
deuxième
étudie les miroirs sphériques et leur utilisation dans le télescope de 
Cassegrain.
Enfin, la troisième aborde les lentilles minces et la lunette de Galilée. Les 
questions de ce problème sont proches du cours et bien guidées. Il importe 
toutefois
de bien lire l'énoncé pour ne pas faire d'erreurs de signe.
· Le second problème comporte quatre parties, elles aussi largement 
indépendantes. Tout d'abord, on examine les propriétés et la capacité d'un 
conducteur, puis d'un condensateur. Les trois parties suivantes sont des 
applications à
des condensateurs sphérique, plan et cylindrique, dans des domaines différents.
Le condensateur sphérique est étudié d'un point de vue électrostatique, avec
application au système Terre-ionosphère ; puis le condensateur plan est étudié 
en tant que composant électronique dans deux circuits, un passe-bas et un
passe-bande ; enfin, on étudie la propagation d'ondes électromagnétiques dans
un câble coaxial.
Ce sujet comporte peu de difficultés majeures. Les parties étant en outre 
indépendantes les unes des autres, il est possible de sauter des questions sans 
conséquence.
Attention : l'usage de la calculatrice n'était pas autorisé lors de l'épreuve. 
Il fallait bien connaître son cours et savoir le restituer proprement. Le sujet 
y fait souvent
appel en demandant des définitions et il s'en écarte finalement peu. Ce sujet 
permet
de vérifier que l'on a parfaitement assimilé les parties du cours abordées et 
les raisonnements classiques associés. Par ailleurs, le rapport du jury formule 
le regret que
les applications numériques aient été peu et mal traitées, de même que les 
questions
nécessitant de rédiger une réponse argumentée à l'aide de vocabulaire précis.

Indications
Partie A.

Optique

II.1.b Faire un schéma.
II.2.a.1 Écrire les tangentes des angles ,  et  et les égaler aux angles.
II.2.a.2 La somme des angles d'un triangle vaut  : appliquer cela à AIC et A IC.
II.2.c.1 Introduire le point C dans FA et F A .
II.2.d Utiliser les triangles semblables.
II.3.b.1 Attention au signe de R3 .
II.4.b.1 Pour que A B soit une image réelle, il faut que SA soit positive.
II.4.b.5 Faire un schéma faisant apparaître .
III.1.c Faire des schémas où l'axe optique est translaté, l'objet restant fixe.
III.3.b.1 Utiliser la formule de conjugaison de Newton.
III.4.b.3 Introduire l'image intermédiaire A1 B1 .
Partie B.

Électromagnétisme

I.2.b.1 Calculer le potentiel au centre du disque.
I.2.b.2 Calculer le potentiel au centre du cylindre. On pourra utiliser la 
primitive
Z
du

= Argsh u
1 + u2
I.4.c.2 Appliquer le théorème de Gauss à un cylindre fermé. Pour obtenir le 
potentiel,
--

-
utiliser E = - grad V. Pour R2 = R1 +e avec e  R1 , faire un développement
limité en e/R1 et comparer l'expression de C2 avec celle de C1 .
I.4.c.3 L'équation de Laplace dans le vide s'écrit ici V(r) = 0.
II.1 Appliquer le théorème de Gauss à une sphère.
II.2 Ne pas oublier que V(z = 0) = 0 V.
II.3 Se souvenir que 1/4 0 = 9 . 109 m.F-1 et que Wel = C V2 /2. Attention au
signe de E(z = 0).
III.1.a En hautes fréquences, un condensateur est équivalent à un fil ; en 
basses fréquences il est équivalent à un interrupteur ouvert.
III.1.c Examiner le comportement de H(j) pour    c et pour    c . En déduire
le comportement de GdB et . Calculer les valeurs numériques de GdB et 
pour x = 10-2 , 10-1 , 1, 10 et 102 .
III.2.b Appliquer le théorème de Millman deux fois.

III.2.d Rechercher les valeurs de x pour lesquelles |H(x)| = Hmax / 2.
IV.3  B est indépendant de .

IV.4 Utiliser les relations obtenues aux trois questions précédentes pour 
éliminer
les champs et ne garder que Im .

A. Optique
I.

Définitions

I.1.a Un système optique centré est un ensemble de dioptres ou de miroirs à 
symétrie de révolution et d'axes confondus.
I.1.b Un système catoptrique est un système optique ne comportant que des 
miroirs.
I.2.a Un système optique est dit rigoureusement stigmatique pour un point A 
donné
si tout faisceau de rayons issus de ce point converge en un point A après 
passage
dans le système optique.
Plutôt que de parler de « stigmatisme rigoureux pour un point A », il faudrait
parler de « stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un couple de
points (A ; A ) ».
I.2.b Le miroir plan est rigoureusement stigmatique pour tous les points de 
l'espace.
Aucune démonstration n'étant demandée, il est inutile de chercher à en donner 
une. Cette remarque est aussi valable pour la question I.3.b.
I.3.a Le système optique est dit aplanétique si le point B est situé dans le 
plan
transverse contenant A .
I.3.b Le miroir plan est rigoureusement aplanétique pour tous les points de 
l'espace.
I.4.a Dans l'approximation de Gauss, on ne considère que des rayons voisins de
l'axe optique et peu inclinés par rapport à celui-ci, appelés rayons paraxiaux.
I.4.b Dans le cadre de l'approximation de Gauss, on réalise le stigmatisme 
approché
pour tous les points de l'espace pour les systèmes optiques centrés.
II.

Étude de miroirs sphériques

II.1.a Un miroir convexe est un système optique divergent car un faisceau 
incident
parallèle émerge en divergeant.
II.1.b Le miroir (m2 ) est un miroir divergent puisqu'un faisceau incident 
parallèle
en émerge en divergeant.

C1
x

F

(m1 )

x

F
x

(m2 )

C1
x

II.1.c Le miroir (m3 ) est un miroir divergent comme le montrent les deux 
schémas
ci-dessous : avec le miroir convergent, l'image de l'oeil est renversée et 
réelle ; avec le
miroir divergent elle est droite et virtuelle.
oeil 

x

q
q C1

F

image

q
oeil  q

x

x

miroir convergent

F

image

C1
x

miroir divergent

Dans son rapport, le jury regrette que les rayons et images virtuels n'aient
pratiquement jamais été tracés en pointillés. Lorsqu'il y a des miroirs, tous
les traits situés derrière les miroirs doivent être en pointillés. D'une manière
générale, on trace en pointillés les prolongements de rayons réels et les images
formées par l'intersection de ces rayons virtuels.
II.2.a.1 Dans le cadre de l'approximation de Gauss, on assimile les tangentes 
des
angles à leurs valeurs en radians et on confond les points H et S. Dans le 
triangle AHI
rectangle en H, on peut écrire
tan  =
d'où

HI
HI
HI
=
=-
AH
AS
SA
=-

De même, on obtient

 = -

HI
SA

HI
SA

et

=-

HI
SC

Ici et dans toute la suite, on travaille avec des angles orientés et il faut 
prendre
garde aux signes.
II.2.a.2 Dans le triangle AIC, la somme des angles vaut , ce qui permet, en
d du rayon issu de A en I, d'écrire la relation
introduisant i, angle d'incidence AIC
 + i + ( - ) = , ce qui donne i =  - .
 IC étant également i d'après la deuxième loi de
[
Dans le triangle A IC, l'angle A
Descartes sur la réflexion, on obtient de même  + i + ( -  ) = , soit i =  - .
En identifiant ces deux expressions de i, on obtient la relation
 +  = 2 
II.2.a.3 En remplaçant, dans la relation précédente, les angles par leurs 
expressions
déterminées à la question II.2.a.1, on obtient
HI
HI
HI
+
=2

SA
SA
SC
ce qui donne

1
1
2
+
=

SA
SA
SC

qui est bien conforme à l'expression proposée, avec
k1 = 2