CCP Physique 2 MP 2006

Thème de l'épreuve Spectrographes à prisme et à réseau. Dipôles.
Principaux outils utilisés optique géométrique et ondulatoire, électrostatique, magnétostatique, dipôle rayonnant

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2006 MPP2009

A

CONCOURS COMMUN!» POlYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

***

NB: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision 
et à la concision de la
rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à prendre.

***

Partie A-- OPTIQUE

Le problème d'optique compare les performances des spectrographes à prisme et à 
réseau dans la
résolution des doublets du sodium et du mercure.

I. Le prisme

Un prisme, constitué par un matériau transparent, homogène, isotrope, d'indice 
n(À,,) >1 pour la

radiation i,, = 589,3 nm (valeur moyenne du doublet jaune du sodium), se trouve 
plongé dans l'air
dont l'indice sera pris égal à 1.

1. Formules du prisme (cf. figure 1)

Les orientations des angles sont choisies pour que les valeurs des angles i, i 
', r, r' et D soient

positives.

a. Exprimer les lois de Snell-Descartes en fonction de i, i', r, r' et n, 
traduisant les réfractions à
l'entrée en I et à la sortie en I' du prisme, lors du passage d'un rayon 
lumineux
monochromatique dans le plan de section principale.

b. Déterminer les relations géométriques liant les angles A, r et 1" d'une part 
et l'angle de
déviation D aux angles A, i et i' d'autre part.

2. Conditions d'émergence
En désignant par A l'angle de réfraction limite, montrer que les rayons qui 
pénètrent dans le
prisme n'émergent qu'aux conditions suivantes :

a. Condition sur l'angle A du prisme: A S k1A, où k1 est un facteur numérique 
que l'on
déterminera.

b. Condition imposée à l'angle i du rayon incident :
io S i S 7t /2 avec io = arcsin [k2 sin (A -- A)] où kg est un facteur que l'on 
explicitera.

e. Représenter, dans ces conditions d'émergence, les trajectoires de deux 
rayons lumineux
entrant au même point 1 sous les incidences io et 7: /2. On représentera sur 
les schémas les
angles io et A.

. Minimum de déviation

Expérimentalement, en lumière monochromatique, on met en évidence l'existence 
d'un

minimum de déviation, noté D..., quand l'angle d'incidence i varie. Le tracé du 
rayon lumineux

est alors symétrique par rapport au plan bissecteur de l'angle A du prisme. 
Préciser dans le cas de

cette déviation minimale :

a. Les relations entre les angles i et 1" d'une part, puis r et r ' d'autre 
part.

b. Expliciter la relation donnant l'indice n en fonction de l'angle A du prisme 
et de la déviation
minimale D....

e. Lorsque les mesures des angles A et D... s'effectuent avec les incertitudes 
absolues AA et AB,...
déterminer l'expression de l'incertitude relative An/n sur l'indice n du prisme.

. Mesure de l'indice n
L'indice du prisme peut être calculé en mesurant l'angle A du prisme et l'angle 
de déviation

minimale D... (pour la radiation ÂD) à l'aide d'un goniomètre. Le prisme est 
disposé sur la plate-

forme du goniomètre, plate--forme qui comprend un collimateur (C) et une 
lunette de visée (LV)
(cf. figure 2). Le collimateur est constitué par une fente (F) placée au foyer 
objet d'une lentille
(L) et éclairée par la radiation monochromatique. La lunette (LV), munie d'un 
réticule, est réglée
sur l'infini et permet donc d'observer l'image de la fente. Le centre du 
réticule de la lunette doit
coïncider avec l'image de la fente pour effectuer la lecture sur le cercle, 
gradué au demi-degré
(de 0° à 359,5"), du goniomètre. Un vernier au 1/30 est utilisé dans le 
repérage des positions
angulaires de la lunette de visée, depuis une direction arbitraire de référence 
(@@).

a. Mesure de A
Le prisme, fixe sur la plate-forme, est éclairé par le collimateur (C). Les 
images de la fente (F)
formées par les rayons qui se réfléchissent sur les deux faces de l'angle A du 
prisme sont
repérées par la lunette (LV) (cf. figure 3). Les repérages des deux positions 
donnent :

R1 = 245°10' et R2 = 125°18'

a.1. En déduire la valeur de l'angle A du prisme. (On pourra faire intervenir 
les angles
d'incidence du faisceau issu du collimateur sur les deux faces du prisme et 
calculer leur
somme en fonction de l'angle A).

a.2. Donner la valeur de AA (en minute d'arc) sachant que chaque lecture de 
position est
définie à deux graduations près du vernier.

b. Mesure de D...
Pour mesurer la déviation minimale D..., on observe à la lunette l'image de la 
fente quand la
radiation a traversé le prisme en position 1 (of. figure 4). Cette position 
correspond au
minimum de déviation pour le rayonnement monochromatique. On recommence la même
expérience dans une position 2 du prisme. LesleCtures correspondant aux deux 
positions de la
lunette sont alors :

R3 = 233°58' et R4 = 136°14'
b.l. Comment peut-bn repérer la position 1 ou 2 du prisme au minimum de 
déviation pour la
radiation monochromatique '?
b.2. En déduire la valeur de la déviation minimale D....

c. Détermination de n
Calculer, à partir des valeurs de A et D..., l'indice n pour la radiation de 
longueur d'onde ÂD .

d. Incertitude relative sur n
d.]. Dans le cas où : AA = AD... = e , montrer que l'incertitude relative sur 
n, définie en (3.c),

. An A . , . , , .
dev1ent : ---- : kg. 8 cot-- ou k3 est un facteur numenque que l on determmera.

n 2

d.2. Calculer alors êfi.

n

e. Exprimer le résultat de la mesure de l'indice du prisme sous la forme : n i 
An

11. Le spectrographe à prisme

Un spectrographe à prisme est constitué (cf. figure 5):
- d'un collimateur composé d'une fente (F), éclairée par une source (S) et 
placée dans le plan
focal objet d'une lentille mince achromatique (L).
- d'un prisme en verre dont l'indice varie avec la longueur d'onde suivant la 
loi empirique de
Cauchy qui s'écrit dans le domaine du visible :

n=a+'--î-- avec & =1,5973 et fl= 0,010 6 um2
Â
- d'un objectif achromatique assimilé à une lentille mince (L'), qui donne sur 
une plaque
photographique, située dans le plan focal image de (L'), le spectre de la 
lumière émise par la

source (S).

Données numériques : Les distances focales images des lentilles (L) et (L') 
sont respectivement
f=ZOcmetf'=100cm

l. A quoi sert ce spectrographe à prisme et qu'est-ce qui le différencie d'un 
spectroscope et d'un
spectromètre '?

2. Tracé de rayons lumineux
La figure 5 représente la marche, à travers le prisme et l'objectif, d'un rayon 
lumineux incident
01 pour la longueur d'onde Â;. Reproduire cette figure et tracer la marche d'un 
rayon incident OI
de longueur d'onde Â2 légèrement supérieure à Â.1.

3. Variation de la déviation D...
Le prisme est réglé au minimum de déviation pour une longueur d'onde  donnée.
a. Montrer que la variation de D... avec l'indice n du prisme s'exprime par :

- fî
d D... = 2 sm 2
dn cosA+Dm
2
, . . . . . dD .
b. En dedurre le pouv01r d15persrf angulaire dÂm en fonct10n des angles A, D... 
et de la

. . dn
dispers1on du verre --

d,t'

4.

5.

Doublet jaune du sodium

La lumière émise par la source (S) est composée des deux seules radiations 
jaunes du sodium de

longueurs d'onde voisines M et Â2 = À1 + AÀ.

a. Le passage d'une radiation de longueur d'onde /l à À + (Il entraîne, au 
minimum de déviation,
une variation dDm de la déviation. Exprimer dDm en fonction de A, D..., Â, Â et 
di.

b. Déterminer, sur la plaque photographique, la distance dp séparant les images 
F{ et F,' de la

fente (F) éclairée par les deux radiations du sodium.
c. Calculer alp numériquement.

Données numériques : Na : À1 = 589,0 nm et Â2 = 589,6 nm

Pouvoir de résolution
Le prisme est éclairé, sous une incidence i fixée, dans les conditions du 
minimum de déviation
(pour une radiation de longueur d'onde ). donnée), de sa base de largeur !) 
jusqu'à son arête. Le

faisceau émergeant sous l'angle i ', a une largeur 1 dans le plan de section 
principale du prisme
(cf. figure 6).

a. Exprimer le pouvoir dispersif angulaire d£? obtenu en Il.3.b, ainsi que dp 
obtenu en II.4.b, en
. , dn
fonction de b, l,f, dï et AÀ.

b. Influence de la largeur de la fente source.

La fente (F), de largeur a, est assez large pour négliger tout phénomène de 
diffraction quand
elle est uniformément éclairée en lumière monochromatique. Son image 
géométrique, sur la
plaque photographique, a une largeur a'. Les Ai et Ai' mentionnés (cf. figure 
7) sont les
variations des angles d'incidence et d'émergence correspondant aux bords de a 
et de a '.

b.]. Déterminer a ' en fonction de a, f et f '.

b.2. Quelle est la condition sur dp et a' pour que les deux images de la fente 
source,

correspondantes aux longueurs d'onde /l et À + M soient séparées ?
b.3. En déduire la limite de résolution (M)] du spectrographe imposée par la 
largeur de la

. . dn
fente source et l'expr1mer en fonctron de a, b, [, fet --

dÀ '
b.4. Si l'on désire séparer, à l'aide de ce prisme, des raies très voisines en 
longueurs d'onde,
quels sont les réglages à apporter ? Préciser leurs limites.

b.5. Calculer les valeurs de (M)] et du pouvoir de résolution PRl : --i-- pour 
la longueur

(M)]

d'onde ÀD.
Données numériques : a = 40 nm; b = 3,5 cm.

c. Influence de la diffraction.

Dans l'hypothèse d'une largeur de fente infiniment fine et dans la condition où 
l'étendue des

faisceaux lumineux est limitée par le prisme, des phénomènes de diffraction 
apparaissent et

élargissent l'image de la fente. Nous admettons que la figure de diffraction 
obtenue lors de la

traversée du prisme est semblable à celle que produirait une fente infiniment 
longue, de

largeur !, parallèle à l'arête et perpendiculaire aux rayons émergents du 
prisme.

c.1. Déterminer la demi-largeur p àla base de l'image de diffraction en 
fonction de [, f' et À.

c.2. On admet que l'on discerne les deux taches centrales de diffraction, sur 
la plaque
photographique, quand le premier minimum de la raie /1 se situe au moins au 
niveau du
maximum de la raie À + AÀ. Quelle est alors la relation entre dp et p pour une 
observation
des deux taches centrales '?

c.3. En déduire la limite de résolution (AÂ)2 du spectrographe imposée par les 
phénomènes de

diffraction et l'exprimer en fonction de b, xl et --Ê% .
c.4. Quels sont les facteurs, et leurs limites, qui permettraient de réduire 
(AÂ)2 ?
c.5. Calculer les valeurs de (A/l)2 et du pouvoir de résolution PR2 = (Ai) pour 
la longueur
2

d'onde zip.

d. Doublets du sodium et du mercure.
Les raies du sodium sont--elles séparées par le prisme ? Justifier votre 
réponse.

Qu'en serait-il du doublet jaune du mercure de longueurs d'onde Â{ = 577,0 nm et
Â', = 579,1 nm '?

III. Le réseau par transmission

Considérons un réseau plan constitué de N fentes identiques, fines et 
parallèles. On pose p le « pas >>
de ce réseau utilisé par transmission.

1. Citer un autre type de réseau et les modifications qu'un réseau est 
susceptible d'apporter à une
onde incidente plane.

2. Relation fondamentale des réseaux
Le réseau est éclairé par un faisceau parallèle, monochromatique, de longueur 
d'onde À, sous une

incidence i. Le faisceau est diffracté à l'infini dans la direction (9. Les 
angles i et 6 mentionnés

(cf. figure 8) sont positifs.

a. Exprimer la différence de marche 5 entre deux rayons homologues séparés 
d'une distance p
dans le plan du réseau.

b. Déterminer les directions &, des maximums principaux d'ordre k.

3. Dénombrement des maximums principaux
On suppose que le spectre de raies des radiations du mercure est limité par les 
radiations violette

(ÀV = 400 nm) et rouge (Àr = 700 nm).

a. Déterminer les ordres observables, sous une incidence de 30°, pour ces deux 
radiations et
avec un réseau de << pas >> p = 2 mn.

b. A partir de quel ordre se produit le recouvrement des spectres ? Justifier 
votre réponse.

IV. Le spectrographe à réseau

On transforme le spectrographe à prisme en substituant au prisme un réseau de 
<< pas >> p = 2 mm.
Le faisceau sortant du collimateur éclaire complètement le réseau par 
transmission sous une
incidence i. Ce réseau peut tourner autour d'un axe parallèle aux fentes et le 
spectre obtenu est
projeté à l'aide de la lentille (L') sur une plaque photographique ou un écran 
situé dans le plan focal
image de (L').

1. Minimum de déviation
Pour une longueur d'onde À donnée et un ordre k fixé, on désigne par D = EUR}, 
-- i, la déviation
entre la direction du faisceau incident reçu par le réseau et la direction du 
faisceau diffracté.

b.

C.

. En faisant tourner le réseau autour d'un axe parallèle à ses traits, la 
déviation D passe par une

valeur minimale D... pour une valeur particulière i... de l'angle d'incidence 
i. Déterminer i... en
fonction de H....

Exprimer la relation fondamentale des réseaux (définie en III.2.b) en fonction 
de la déviation
minimale D....

En déduire la valeur de i..., à l'ordre 1, pour la radiation jaune de longueur 
d'onde moyenne

À = 578,05 nm du doublet du mercure.

. Dispersion angulaire, dispersion linéaire
Le réseau est maintenant orthogonal au faisceau incident issu du collimateur.

a.

Pour deux radiations de longueurs d'onde voisines  et À + dÀ qui tombent sur 
le réseau,
exprimer la dispersion angulaire % en fonction de k, p et &.

. En déduire la dispersion linéaire îî" sur la plaque photographique 
perpendiculaire à la
direction moyenne des rayons diffractés dans l'ordre k.

. Calculer la valeur de Cïï" , exprimée en mm.nm'l, à l'ordre 1, pour la 
longueur d'onde

moyenne /l = 578,05 nm.

. Résolution des doublets du sodium et du mercure dans les spectres d'ordre 1.
On admettra que la limite de résolution du spectrographe à réseau est surtout 
imposée par la
largeur de la fente source.

a.

b.

Calculer la largeur a' de l'image de la fente source sur la plaque 
photographique si celle-ci est
identique à celle donnée par le prisme. Formulation établie (Il.5.b.l) en 
fonction de a, fet f '.
Rappel : a=40 um ;f= 20 cm ;f'= 100 cm.

Déterminer, dans les spectres d'ordre 1, les distances AX... et AXHg, sur la 
plaque
photographique, entre chacune des images de la fente source données par le 
doublet du

sodium (/ll = 589,0 nm et & = 589,6 nm) et le doublet du mercure (J.; = 577,0 
nm et

À, = 579,1 nm). Le spectrographe à réseau permet-il de résoudre ces doublets '?

Figure 3 \

(L)

(F) | > î >

(C)

Figure 4

A
(L) 'A

(L')
(F)\ Prisme Objectif
. Plaque
Colhmateur Fig ure 5 photographique

Collimateur Plaque .
photo graph1que

Figure 7

Partie B --- ELECTROMAGNETISME

Le problème d'électromagnétisme comprend trois parties indépendantes : le 
dipôle électrostatique,
le dipôle magnétique et le dipôle oscillant.

Les grandeurs scalaires sont représentées par : a, 1), AB, CD
Les grandeurs vectorielles sont en caractères gras : a. b, AB, CD

Notation du produit scalaire (AB - CD) et vectoriel (AB >< CD) de deux vecteurs.

1.

Relations d'analyse vectorielle :

fet g (fonctions scalaires); G (fonction vectorielle)
grad (fg ) =fgl'ad 8 + 8 gradf
div(fG)=fdivG+(gradf)-G
rot(fG)=f rotG+(gradf)>< 10'19 C

debye : 1 D = %-- 10'29 Cm

c.3. En réalité, le moment dipolaire électrique expérimental de la molécule 
vaut 1,83 D. On
désigne par H et F les positions des noyaux d'hydrogène et de fluor 
respectivement, et

par G le barycentre des charges électroniques de la liaison H-F. En déduire la 
distance
FG.

2. Potentiel scalaire électrostatique V(M)
Les charges ponctuelles (--q) et (+q) d'un doublet sont placées respectivement 
aux points

s. (0, o, -- %) et s2 (0, o, +%) du repère (Oxyz) (cf. figure 1).

On désigne par p =" p , le moment dipolaire du doublet, par M, un point courant 
de coordonnées
sphériques (r, 9, (p).
e,, 89, EUR,, sont les vecteurs de base du système de coordonnées sphériques. 
On pose r1 ="SlM

r2=|ls,M , r =HOMH et r=OM

,

a. Exprimer le potentiel électrostatique V(M) créé par le doublet, au point M, 
en fonction de q, n
et I"2.
b. Etablir son expression Vd(M), pour un point M éloigné du doublet (r >> a), 
en fonction de r, r

etp.

3. Champ électrostatique E (M)
a. Montrer que gradM (l/r3 ) et gradM ( p -r ) s'expriment en fonction de r, r 
ou p.

h. Déduire du potentiel Vd(M) du dipôle, le champ électrostatique E(M) sous la 
forme :

' 2
E(M) = 4 1 li...} où k1 est un facteur numérique que l'on calculera.
7t£0 r
c. Déterminer les composantes (E., Eg, E.,) du champ E(M) en coordonnées 
sphériques.
d. La direction du champ en M est repérée par l'angle ,B = (e,, E(M)). Quelle 
est alors la relation
entre les angles ,B et 9 '?

e. Calculer, dans le plan (yOz) limité au domaine9 EUR {0,3}, l'angle 6 = 91 
correspondant à un

. 2
champ E(M) parallèle à l'axe Oy.

4. Equipotentielles et lignes de champ
a. Qu'appelle-t--on surfaces équipotentielles ? Donner leur équation en 
coordonnées polaires
pour ce dipôle.
b. Qu'appelle-t-on lignes de champ '? Donner leur équation en coordonnées 
polaires.

c. Tracer, dans le plan (yOz) limité au domaineâe[0Æ{l, l'allure de deux lignes

2
équipotentielles (V;>O et %> V1) et de deux lignes de champ.

5. Action d'un champ électrique extérieur uniforme E.,.
On applique dans l'espace un champ extérieur E.,.
a. Exprimer en fonction de p et de E.,, la force résultante Rf et le moment du 
couple F s'exerçant
sur le dipôle.
b. L'énergie d'interaction U entre le dipôle et le champ extérieur Èe étant 
définie par :

U = -- p -- EEUR , étudier les orientations d'équilibre du dipôle et préciser 
leur stabilité.

II.

1.

Le dipôle magnétique

Spire circulaire de courant - Moment magnétique m de la spire

On considère une spire plane circulaire, d'axe Oz, de rayon R parcourue par un 
courant

stationnaire d'intensité [. On posera : z = OMa (cf. figure 2).

a. Donner l'expression du moment magnétique m de cette spire en fonction de R, 
I et ez.

b. Déterminer, à l'aide de la loi de Biot et Savart, l'expression du champ 
magnétique B(Ma),
créé par cette spire, en un point Ma(z) de son axe de révolution.

c. Retrouver ce résultat à partir de la relation :

,uOI
B(Ma )-- -- ------gradM ...QM où QM, est l'angle solide sous lequel on voit la 
spire du point M.

47t
d. En déduire le champ magnétique B(O) au centre O de la spire et B(z) en un 
point Ma(z) de
l'axe Oz tel que 2» R.

. Potentiel vecteur magnétique A(M).

a. Donner l'expression du potentiel vecteur A(M), créé par la spire de courant, 
de moment
magnétique m, en un point M(r, @, ça) éloigné à la distance r = OM >>R de la 
spire. (On
l'explicitera en fonction de OM, OM et m).

b. En déduire les composantes (A... Ag, A,) du potentiel vecteur en coordonnées 
sphériques.

. Champ magnétique B(M)

1 OM
a. Montrer ue rad k où k est un facteur numéri ue ue l'on déterminera.
q g M(OM)= 2 0M3 2 q q

m

b. Expliciter: divM(---- m ], rotM(--m--) en fonction de OM, OM, m et AM(_ OM

OM OM
1
A _ O.
Mi0M)

c. Etablir l'expression du champ magnétique au point M sous la forme :

B(M)=-- Î--9--gradM ("252")

d. En déduire les composantes (Br, Bg, B,) du champ en coordonnées sphériques.

ï sachant que

. Action d'un champ magnétique extérieur BEUR

Un dipôle magnétique, de moment magnétique %, est placé dans le champ 
magnétique BEUR
produit par la spire de courant précédente.
a. Formuler, en fonction de M et B.,, l'énergie potentielle d'interaction Ep et 
la force
F = ---- grad Ep subie par le dipôle Sous l'action du champ Be.
b. Le dipôle de moment magnétique % = -- 914 ez est placé au point Ma sur l'axe 
Oz de la spire à
une distance OMa = z. Exprimer la force F (2) subie par le dipôle en Ma en 
fonction de yo, %, I,

R et z.
e. Quel est le travail Wo, que doit fournir un opérateur extérieur, pour amener 
ce dipôle de la
position 2 = zo jusqu'au centre O de la spire ?
flow ]

R

(1. Montrer que, si zo = 2\/î R, le travail s'exprime par la relation Wo = k3 
où k3 est un

facteur numérique que l'on déterminera.

III. Le dipôle électrique oscillant

On se propose d'étudier, dans l'approximation dipolaire, le rayonnement 
électromagnétique émis
par un dipôle électrique constitué des charges -- q(t) et q(t), placées dans le 
vide, lorsque celles-ci
varient sinusoïdalement avec le temps àla pulsation a).

l. Le dipôle oscillant. Moment dipolaire Q(t).
Les deux charges sont situées sur l'axe Oz, d'un repère Oxyz (de vecteurs de 
base : ex, ey, ez), aux
points Sl(--q) et S;(+q) de côtes respectives -- a/2 et +a/2 (cf. figure 3). _
On associe à la charge q(t) = q0 cos cut la notation complexe g(t) = (10 e Ja". 
On modélise les
charges du dipôle par deux petites sphères de capacités négligeables, reliées 
par un fil conducteur
de résistance nulle. Les variations de q engendrent un courant variable i(t) 
entre 81 et 82.
a. Donner l'expression de l'amplitude po du moment dipolaire électrique p(t) - 
ez.
b. Exprimer l'amplitude complexe io de l'intensité j(t), du courant parcourant 
le fil conducteur

8182, en fonction de a, a) et po

2. Potentiels retardés (A(M,t) ; _I{(M,t)).
L'expression du potentiel vecteur créé au point M, à l'instant t, par le 
courant dans le fil 8182, est

donnépar:4(M,z)=-Ë9-- JÂ(,_L)Ë_
47: c r

(S],Sz)
a. Dans l'approximation r>> a, montrer que le potentiel vecteur A_ au point 
M(r, @, (p) est de la

. '(0 1--5)
forme : f_1(M,t)=--ÉÏLpr0 e... " e,.
47r r "

b. En déduire les composantes de 4 en coordonnées sphériques : A_, , 49 , AW.
c. Le potentiel scalaire _Ï{(M,t) est obtenu à partir de la condition de jauge 
de Lorentz :

divA + LË/--= O.

c2 6!

. . , . 9 . car jw(t--ï) '
Montrer que ce potentiel scalaire s'ecr1t : K(M,t) : ÆL2(1 + j--)EUR " , ou 
g(9) est
47:80r c '
une fonction de 9 que l'on explicitera.
Que devient cette expression quand a) tend vers 0 '?

3. Champ électromagnétique (E(M,t) ; Q(M,t))
a. Quelle relation lie le champ magnétique ÿ_ au potentiel vecteur 4_?
En déduire les composantes ë... fig et E,, du champ magnétique. Que devient le 
champ 13
quand a) tend vers 0 '?
b. Exprimer la relation entre le champ électrique E et les potentiels _Ï_/et 4 .
En déduire les composantes E,, _E9 et l_î,,, du champ électrique. Que 
deviennent ces
composantes quand @ tend vers 0 ?

4. Rayonnement du dipôle à grandes distances
Pour le champ à grandes distances, la variable À (longueur d'onde) sera 
préférée àla variable a).
a. Montrer que le champ électromagnétique (_E_', _B_) rayonné à grandes 
distances (r >>Â >> a) se
réduit à une seule composante du champ électrique E et une seule composante du 
champ
magnétique ë . Décrire la structure de l'onde obtenue. Quelle relation 
existe--t--il entre E et Q '?
b. Déterminer le vecteur de Poynting S et sa valeur moyenne temporelle .
. Calculer la puissance moyenne P..., rayonnée par ce dipôle, à travers une 
sphère de centre O et
de rayon r.

(5

d. On désigne par Rla résistance de rayonnement telle que P... = R iâ .

l
2

2
a ' , - , r '
Montrer que R= k4 (î) ou k4 est un facteur numenque que 1 on determmera.

A Z 4 z
M(r, 6, (p) M(r, 6, (p)
: r :
l 9 :
E (C) E
; > "P,--Ü \ ; à
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Figure 1 Figure 2
A 2
M(h @, w)
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Figure 3

Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 2 MP 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon) ; il a été relu par
Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) et Stéphane Ravier 
(Professeur
en CPGE).

Cette épreuve est constituée de deux parties indépendantes, quasiment d'égale
longueur.
· L'objectif de la première est de comparer le pouvoir de résolution du 
spectrographe à prisme avec celui du spectrographe à réseau. Après avoir étudié 
la
mesure de l'indice d'un prisme, on montre comment l'utilisation de cet objet,
intégré à un dispositif de mesure que l'on caractérise, permet de séparer deux
raies d'un doublet. On reprend ensuite la même étude dans le cas du réseau
par transmission. Cette partie s'appuie sur les cours d'optique géométrique et
ondulatoire ; les questions étant très directives, elle ne présente pas de 
difficulté
majeure.
· Dans la seconde partie, on étudie successivement les dipôles électrostatique,
magnétique, et électrique oscillant. Sa résolution demande une bonne maîtrise
de l'analyse vectorielle. Si beaucoup de questions sont directement issues du
cours, certaines sont assez calculatoires.
La principale difficulté de cette épreuve réside en fait dans sa longueur : pas 
moins
de 90 questions ! Il n'est pas humainement possible de le traiter dans son 
intégralité
en quatre heures. De nombreuses questions étant fondées sur le cours, ce 
problème
peut donc être utilisé pour en vérifier la bonne assimilation.

Indications
Problème A
A.I.1.b La déviation totale est la somme des déviations en I et en I'. Choisir 
un
seul sens d'orientation pour les différents angles.
A.I.2.a Peut-il y avoir réflexion totale sur le premier dioptre ? Exprimer la 
condition de réflexion totale qui a lieu sur le second dioptre en fonction des
angles associés au premier dioptre.
A.I.3.c Prendre la différentielle logarithmique de l'expression obtenue à la 
question
précédente.
A.I.4.a.1 Tracer le rayon incident frappant le prisme en son sommet, ainsi que 
les
deux rayons réfléchis qui en résultent.
A.II.3.a Différentier l'expression obtenue à la question A.I.3.b en fonction de 
Dm .
A.II.4.b La lentille est utilisée dans les conditions de Gauss.
A.II.5.a Calculer A/2 et (A + Dm )/2 en fonction de la taille du faisceau et des
longueurs du prisme. Que vaut leur rapport ?
A.II.5.b.5 Utiliser les questions A.II.4 et A.II.5.a.
A.II.5.c.1 La position angulaire du premier minimum de l'intensité diffractée 
par le
réseau se situe en sin  = /a.
A.III.3.a Les ordres observables vérifient -/2 6  6 /2.
dD
A.IV.1.a La déviation s'écrit D =  - i. Au minimum de déviation,
= 0.
di
Problème B
B.I.c.3 Le barycentre G est associé aux deux électrons de la liaison. Calculer 
le
moment dipolaire en l'un des points F, H, ou G.
B.I.3.a Effectuer les calculs en utilisant les coordonnées sphériques avant d'en
déduire un résultat vectoriel.

-
B.I.3.e À un champ E aligné suivant Oy correspond 1 + 1 = /2.
B.II.1.c L'angle solide élémentaire duquel on voit la spire s'écrit
dMa = sin  d d
B.II.2.a Procéder comme à la question B.I.2.b. Projeter ensuite les différents 
vecteurs sur la base des coordonnées cartésiennes, avant de revenir à une
notation vectorielle.
B.II.3.b Que valent la divergence et le rotationnel d'un vecteur constant ?
B.II.3.c Utiliser la question B.II.3.b et le formulaire.
B.II.4.a Le dipôle, qui peut être vu comme une petite spire de courant, subit la
force de Laplace.
B.III.2.a Dans l'approximation dipolaire, l'expression du potentiel vecteur se 
simplifie, la distance et la phase variant peu. L'énoncé omet de préciser qu'il
faut faire l'approximation a  .
B.III.3.b Utiliser l'équation de Maxwell-Faraday et le potentiel vecteur.

A. Optique
I.

Le prisme

A.I.1.a Appliquons la seconde loi de Descartes pour la réfraction à l'entrée en 
I et
à la sortie en I' du prisme, en utilisant les notations de la figure 1 de 
l'énoncé :
sin i = n sin r
n

D

n > n

i
i

r

et

n sin r = sin i

Rappelons l'énoncé des lois de Descartes pour la
réflexion et la réfraction d'un rayon lumineux au
passage du dioptre D.

Réflexion :
· Première loi : le rayon réfléchi est dans le plan d'incidence, défini par le
rayon incident et la normale locale au dioptre.
· Seconde loi : i = i .
Réfraction :
· Première loi : le rayon réfracté est dans le plan d'incidence.
· Seconde loi : n sin i = n sin r .
On peut dès lors limiter les tracés des rayons au plan d'incidence.
A.I.1.b On choisit comme orientation positive le sens horaire.
En choisissant ce sens d'orientation, les angles i et r ne correspondent pas
à ceux de la figure 1 de l'énoncé. Cependant, la loi de Descartes exprimée à
la question précédente n'est pas modifiée, et il est plus sage de ne prendre
qu'une orientation pour évaluer des angles ! Dans toute la suite du problème
on précisera la convention d'orientation choisie sur les figures.
Dans le triangle OII',
A +  +  = 

Or,  + r =
2
On en conclut

O

et  + r =
2

+

A

A = r + r
La déviation D s'écrit
D =  + 

I
i

 =i-r
avec
  = i - r 
On en déduit, en utilisant la relation A = r + r

B 

r r

n

D = i + i - A

D
I'

i

A.I.2.a Le passage du premier dioptre se fait d'un milieu moins réfringent à un
milieu plus réfringent (n > 1). Dans ce cas, il n'y a jamais réflexion totale. 
C'est en
revanche possible lors du passage du deuxième dioptre : dans ce cas la limite de
réfraction est fixée par i = /2, c'est-à-dire pour r lim =  tel que
1
n

sin  =

Les rayons qui pénètrent dans le prisme n'émergent que si
r 6 
soit, d'après la question A.I.1.b,

r >A-

La fonction sin x étant croissante sur [ 0 ; /2 ], prenons le sinus de la 
relation précédente et utilisons le résultat de la question A.I.1.a
sin i > n sin (A - )
1
> sin (A - )
n
sin  > sin (A - )

On en déduit

avec

A 6 k1 

k1 = 2

A.I.2.b D'après la question précédente,
sin i > n sin (A - )
L'angle incident vérifie de plus i 6 /2. On en conclut
i0 6 i 6

2

avec

i0 = Arcsin [n sin (A - )]

A.I.2.c Le rayon d'incidence i0 émerge sous l'angle /2
et réciproquement (d'après le principe du retour inverse
de la lumière). Le tracé des rayons associés est représenté
sur la figure suivante, tracé qualitatif puisqu'on ne connaît
pas l'indice du prisme.
A.I.3.a À la déviation minimale, le tracé du rayon
lumineux est symétrique par rapport au plan bissecteur de l'angle A du prisme,
r = r

et

i = i

+

i0

A

I

i0

n

A
+

i

I
n

r

i = i
r = r

A.I.3.b D'après la question A.I.1.a, n = sin i/ sin r. En utilisant la question 
précédente ainsi que la question A.I.1.b, au minimum de déviation,
r=

A
2

et

i=

A + Dm
2