SESSION 2005 MPP2009
A
CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES
EPREUVE SPECIFIQUE - F ILIERE MP
PHYSIQUE 2
Durée : 4 heures
Les calculatrices sont autorisées.
***
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la
précision et à la concision de la
rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur
d'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des
initiatives qu'il a été amené à
prendre.
***
Conformément à l'usage international, les vecteurs sont représentés en gras.
-- PARTIE A --
1. Modèle de Thomson de l'atome d'hydrogène
On donne: 1/4TC80 z9 10981, m=9,1 10"31kg, qe=1,6 10--19C.
1.1 Dans un modèle classique de l'atome d'hydrogène, dû à H. Thomson (1895), le
noyau
positif de charge totale % est modélisé par une sphère uniformément chargée de
rayon
ao = 5010--12m = 50pm.
1. Quelle est la densité volumique de charge correspondante (expression
littérale et valeur
numérique) ?
2. Expliciter en tout point de l'espace le champ Eat électrostatique créé par
cette
distribution de charge.
1.2 Un électron de masse m et de charge "%> supposé ponctuel, est placé au
centre de cette
distribution.
1. Montrer que, si l'on écarte l'électron de cette position d'une quantité
|r|Sao, il est
soumis à une force de rappel Fa,_e que l'on explicitera.
2. Quelle est l'intensité de cette force pour |r| : 25 pm '?
3. Quel sera le mouvement ultérieur de l'électron s'il est lâché, sans vitesse
initiale, à partir
d'un point caractérisé, dans un repère cartésien centré sur le noyau, par ro
=(x...0,0),
OSxO O.
Ci
On convient de définir la « largeur » d'une courbe comme la demi--largeur à 1/e
du maximum de
cette courbe.
Z \
A -------------------------- ,
10 " 0
"""""""""""""""""""" L:}, 3
Réseau 1 ;
'I
000
Réseau 2
Figure 2
2.1. a. Donner la signification de 17.
b. Calculer la transformée de Fourier Ë(oe) de l'impulsion.
C.
En déduire sa « largeur >>.
2.2. a. Dans quelle direction, mesurée par rapport au rayon incident sur le
réseau 1, est diffracté le
rayon lumineux associé à 000 après le deuxième réseau '?
b. Dessiner le trajet d'un rayon correspondant à une composante spectrale 0)
quelconque
2.3. a.
proche de (00 .
Conclure sur les directions des rayons diffractés par le deuxième réseau.
Pour une composante spectrale ou, trouver la relation x(9) donnant le point
d'impact du
rayon lumineux sur le plan d'observation (P) perpendiculaire au trajet du rayon
associé à
000 . Onprendra l'origine x = O pour 00 = 000.
. A partir de la relation 9(oe), trouver la relation entre A9=9(oe)--90 et
Aoe=oe--oe0
sachant que G) est proche de 90. .
En déduire la relation au(x) caractérisant l'étalement spatial du spectre de
l'impulsion le
long du plan (P). On rappelle que 0) et 9 sont proches de 000 et 60
respectivement, et
qu'un développement limité peut donc être effectué.
En ne tenant compte que de la dispersion spatiale déterminée précédemment,
déterminer le
profil spatial de l'intensité lumineuse au niveau de ce plan (P).
Application numérique : Calculer 90 en degré puis la « largeur » de la courbe
de l'intensité
diffractée dans le plan (P) pour 1? : lOOfs (lfs : 10--15s ), z : 2m, et a =
2,07 um .
3. Etirement temporel d'impulsions lumineuses
La différence de phase totale Ad) accumulée jusqu'au plan (P) entre deux rayons
associés à 0) et
000 s'exprime à partir d'un développement limité à l'ordre 2 comme Ad) : (b'0
Aoe+ ii)--Q (Aoe)2 où
2
3.1. En comparant à l'unité le terme de second ordre, pour quelles durées 1: la
correction d'ordre
deux est-elle nécessaire '? On prendra Aoe == 2/ 't .
3.2 Le coefficient qi{, peut être calculé en utilisant le fait que le déphasage
quadratique au niveau
du plan (P) est le même que le déphasage dans le plan (PO) (figure 2) et est dû
uniquement à
la diffraction par le réseau 1.
a.
b.
Calculer la phase accumulée par un rayon associé à 0) à partir du point
d'impact A et
diffracté dans le plan (PO) en fonction de la distance AB et A9 : 9(oe) -- 90 .
En déduire le coefficient (bô en fonction de a, z, 000 et l'angle de
diffraction 90-
Application numérique.
3.3 a. En tenant compte du déphasage Ad) , reconstituer le profil temporel du
champ électrique de
l'impulsion lumineuse au niveau du plan (P).
b. En déduire le module du champ.
c. Quelle est la signification du coefficient 'Î)'O ?
(1. Donner la largeur temporelle r de l'impulsion au plan (P).
P
6. Application : On envoie une impulsion lumineuse dans ce dispositif telle que
't = 100 1%.
Calculer la durée de l'impulsion 'L'p . ,
Fin de l'énoncé
