CCP Physique 2 MP 2005

Thème de l'épreuve Électron élastiquement lié, plasma et étirement temporel d'une impulsion lumineuse
Principaux outils utilisés électrostatique, ondes électromagnétiques, diffraction de Fraunhofer, transformée de Fourier, réseau

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2005 MPP2009

A

CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - F ILIERE MP

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la

rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa

copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à
prendre.

***

Conformément à l'usage international, les vecteurs sont représentés en gras.

-- PARTIE A --

1. Modèle de Thomson de l'atome d'hydrogène

On donne: 1/4TC80 z9 10981, m=9,1 10"31kg, qe=1,6 10--19C.

1.1 Dans un modèle classique de l'atome d'hydrogène, dû à H. Thomson (1895), le 
noyau
positif de charge totale % est modélisé par une sphère uniformément chargée de 
rayon

ao = 5010--12m = 50pm.

1. Quelle est la densité volumique de charge correspondante (expression 
littérale et valeur
numérique) ?
2. Expliciter en tout point de l'espace le champ Eat électrostatique créé par 
cette

distribution de charge.

1.2 Un électron de masse m et de charge "%> supposé ponctuel, est placé au 
centre de cette

distribution.
1. Montrer que, si l'on écarte l'électron de cette position d'une quantité 
|r|Sao, il est

soumis à une force de rappel Fa,_e que l'on explicitera.

2. Quelle est l'intensité de cette force pour |r| : 25 pm '?

3. Quel sera le mouvement ultérieur de l'électron s'il est lâché, sans vitesse 
initiale, à partir
d'un point caractérisé, dans un repère cartésien centré sur le noyau, par ro 
=(x...0,0),

OSxO O.
Ci

On convient de définir la « largeur » d'une courbe comme la demi--largeur à 1/e 
du maximum de
cette courbe.

Z \
A -------------------------- ,
10 " 0

"""""""""""""""""""" L:}, 3

Réseau 1 ;
'I
000
Réseau 2

Figure 2

2.1. a. Donner la signification de 17.
b. Calculer la transformée de Fourier Ë(oe) de l'impulsion.

C.

En déduire sa « largeur >>.

2.2. a. Dans quelle direction, mesurée par rapport au rayon incident sur le 
réseau 1, est diffracté le

rayon lumineux associé à 000 après le deuxième réseau '?

b. Dessiner le trajet d'un rayon correspondant à une composante spectrale 0) 
quelconque

2.3. a.

proche de (00 .
Conclure sur les directions des rayons diffractés par le deuxième réseau.

Pour une composante spectrale ou, trouver la relation x(9) donnant le point 
d'impact du
rayon lumineux sur le plan d'observation (P) perpendiculaire au trajet du rayon 
associé à
000 . Onprendra l'origine x = O pour 00 = 000.

. A partir de la relation 9(oe), trouver la relation entre A9=9(oe)--90 et 
Aoe=oe--oe0

sachant que G) est proche de 90. .
En déduire la relation au(x) caractérisant l'étalement spatial du spectre de 
l'impulsion le
long du plan (P). On rappelle que 0) et 9 sont proches de 000 et 60 
respectivement, et

qu'un développement limité peut donc être effectué.
En ne tenant compte que de la dispersion spatiale déterminée précédemment, 
déterminer le

profil spatial de l'intensité lumineuse au niveau de ce plan (P).
Application numérique : Calculer 90 en degré puis la « largeur » de la courbe 
de l'intensité

diffractée dans le plan (P) pour 1? : lOOfs (lfs : 10--15s ), z : 2m, et a = 
2,07 um .

3. Etirement temporel d'impulsions lumineuses

La différence de phase totale Ad) accumulée jusqu'au plan (P) entre deux rayons 
associés à 0) et

000 s'exprime à partir d'un développement limité à l'ordre 2 comme Ad) : (b'0 
Aoe+ ii)--Q (Aoe)2 où

2

3.1. En comparant à l'unité le terme de second ordre, pour quelles durées 1: la 
correction d'ordre
deux est-elle nécessaire '? On prendra Aoe == 2/ 't .

3.2 Le coefficient qi{, peut être calculé en utilisant le fait que le déphasage 
quadratique au niveau

du plan (P) est le même que le déphasage dans le plan (PO) (figure 2) et est dû 
uniquement à
la diffraction par le réseau 1.

a.

b.

Calculer la phase accumulée par un rayon associé à 0) à partir du point 
d'impact A et
diffracté dans le plan (PO) en fonction de la distance AB et A9 : 9(oe) -- 90 .

En déduire le coefficient (bô en fonction de a, z, 000 et l'angle de 
diffraction 90-
Application numérique.

3.3 a. En tenant compte du déphasage Ad) , reconstituer le profil temporel du 
champ électrique de

l'impulsion lumineuse au niveau du plan (P).
b. En déduire le module du champ.

c. Quelle est la signification du coefficient 'Î)'O ?

(1. Donner la largeur temporelle r de l'impulsion au plan (P).

P
6. Application : On envoie une impulsion lumineuse dans ce dispositif telle que 
't = 100 1%.

Calculer la durée de l'impulsion 'L'p . ,

Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 2 MP 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Ahmed Youssef (ENS Cachan) ; il a été relu par Marc
Legendre (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm).

Le sujet comporte deux parties indépendantes et de difficultés inégales.
· La première partie commence par la présentation d'un modèle très classique
de l'atome dû à J.-J. Thomson, à qui l'on attribue également la découverte
de l'électron. On cherche à caractériser notamment la réponse de cet atome à
une excitation électrique externe. Ensuite, on étend ce modèle à l'étude de la
propagation du rayonnement dans un plasma après avoir étudié ses oscillations
libres. Cette partie est relativement facile, les idées et les calculs mis en 
oeuvre
se rencontrent régulièrement aux concours et il est bon de savoir les faire.
· La deuxième partie est plus difficile. Elle porte sur un système optique qui 
permet d'élargir temporellement une impulsion lumineuse ultra-brève. Après avoir
amené le candidat à retrouver quelques résultats sur la diffraction par un 
réseau,
l'énoncé aborde l'étude spectrale d'un signal lumineux à l'aide de la 
transformée
de Fourier, outil qui intervient très souvent en physique et dont il est 
nécessaire
de comprendre la signification et les mécanismes de base.
Ce sujet constitue une bonne révision du cours sur la propagation d'ondes 
électromagnétiques dans les plasmas. Il permet également une exploration 
pointue du
domaine des transformées de Fourier, en passant par une révision rapide de la 
diffraction dans une configuration probablement nouvelle pour le lecteur.

Indications
Partie A
A.1.2.3 Si l'électron est lâché dans le noyau, il y reste.
A.2.1.1 Utiliser l'hypothèse selon laquelle le milieu est neutre avant la 
perturbation.

Partie B
B.1.1.b Utiliser le principe d'Huygens-Fresnel pour calculer l'amplitude 
diffractée,
exactement comme pour un réseau en transmission.
B.2.2.c La combinaison des deux réseaux permet de séparer spatialement les 
différentes fréquences du signal incident.
B.2.3.b Faire un développement limité par rapport à  et .
B.2.3.d Utiliser la relation  = 2/ .
B.3.3 L'onde ne peut se propager dans le milieu que si son vecteur d'onde est 
réel.
B.3.3.a Remarquer que le terme d'ordre 2 n'est pas négligeable, il faut donc en 
tenir
compte dans les calculs. Raisonner ensuite sur les composantes spectrales
avant de reconstruire le profil temporel en prenant la transformée de Fourier
inverse. D'autre part il est nécessaire d'utiliser la formule de l'énoncé avec
c1 complexe.

Partie A
A.1

Modèle de Thomson de l'atome d'hydrogène

A.1.1.1 La densité volumique de charge dans le noyau vaut
=

3 qe
= 3, 1.1011 C.m-3
4a0 3

-
A.1.1.2 On utilise le théorème de Gauss pour calculer Eat . La symétrie 
sphérique
de la distribution impose
-

Eat = Eat (r) -
er
L'application du théorème de Gauss conduit à
ZZ
- -

Qi
Eat · d S = 4r2 Eat (r) =
0
où Qi est la charge intérieure à la sphère de Gauss ; d'où
-
Qi -

Eat (r) =
er
40 r2
Distinguons deux cas :
· si r 6 a0 alors

Qi =

4 3
q e r3
r  =
3
a0 3

-
Eat (r) =
· si r > a0 alors

qe

-
r
40 a0 3

Qi = q e
-
Eat (r) =

qe -

er
40 r2

En dehors de l'atome, le champ électrique est analogue à celui créé par une
charge ponctuelle à l'origine des coordonnées.

-
A.1.2.1 On note -
r la position de l'électron. Si k
r k 6 a0 alors l'électron est à
l'intérieur de la sphère et ressent une force
-

-
F at-e = -q e Eat = -

qe2 -

r
40 a0 3

-

-

F at-e est de la forme F at-e = -k -
r ; c'est donc une force de rappel élastique.
Ceci explique la dénomination « modèle de l'électron élastiquement lié » donnée 
généralement au modèle de Thomson.

A.1.2.2 Numériquement

-
k F at-e k = 4, 6.10-8 N

A.1.2.3 Appliquons le principe fondamental de la dynamique à l'électron dans le
référentiel lié au noyau, supposé galiléen, et on a l'équation du mouvement

d2 -
r
k -
+ -
r = 0
dt2
m
p
On reconnaît l'équation d'un oscillateur harmonique de pulsation propre 0 = k/m
qui s'intègre immédiatement en
-

r (t) = x0 cos(0 t) -
ex
-

A.1.3.1 Après application d'un champ extérieur Ea , la somme des forces 
appliquées
sur l'électron vaut

-

-
-

F
= F
+ F = q E (r)-
e -q E -
e
totale

at-e

a

e

at

x

e

a x

Le champ électrique atomique est maximal pour r = a0 . Par conséquent, on ne 
peut
avoir un état lié que si
Ea 6 Eat (a0 ) =

qe
40 a0 2

Si cette condition est remplie, deux positions d'équilibre sont possibles : 
l'une à l'intérieur du noyau, l'autre à l'extérieur. Or le potentiel étant 
décroissant à grande
distance, la position d'équilibre externe est instable. Il ne reste que la 
position interne que l'on trouve en égalisant la force de rappel élastique et 
la force électrique
extérieure :

q e Ea -
-

r0 = -
ex
k

A.1.3.2 Numériquement

E a,max = 5, 8.1011 V.m-1

A.1.3.3 Le barycentre de la charge positive se trouve au centre du noyau

-

p = -q e -
r0

donc

-

-

p = 40 a0 3 Ea

résultat indépendant de l'origine des coordonnées.
A.1.3.4 La polarisabilité électronique  est homogène à un volume, qu'on doit
comparer au seul volume typique du problème, à savoir le volume V de l'atome.
Pour l'atome de Thomson, V = 4/3a03 et on a
 = 4a0 3 = 3 V = 1, 6.10-30 m3
A.1.4.1 L'équation du mouvement devient

d2 -
r
qe -

= -0 2 -
r - Ea
2
dt
m