CCP Physique 2 MP 2003

Thème de l'épreuve Circuit électrique dans un champ électromagnétique mobile. Interféromètre de Michelson.
Principaux outils utilisés changement de référentiel, induction, spectrométrie de Fourier
Mots clefs moteur, spectroscopie par transformée de Fourier, force de Laplace

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2003 | MPP209

CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la

rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa

copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à
prendre.

***

Conformément à l'usage international, les vecteurs sont représentés en gras.

-- PARTIE A --

Ce problème analyse du point de vue de l'électromagnétisme fondamental le 
fonctionnement d'un
moteur linéaire. Dans certains types de moteurs linéaires un" système statique 
(inducteur) crée,
dans le référentiel de repos, le champ glissant auquel est soumis la partie 
mobile. C'est le cas que
nous examinons ci--dessous. Le système considéré est décrit sur la figure 1 
dont on respectera les
conventions. Il se déplace sur des rails horizontaux, l'axe Oz est vertical 
ascendant et on néglige

tout frottement.

R y

0C=vct

Figure 1

Dans le référentiel galiléen R un cadre conducteur MNPQ, composé de N spires 
identiques en
série, se déplace avec la vitesse constante vc : veux dans un champ 
électromagnétique glissant
créé par des sources non représentées :

B(x,t) : Bm cos (00 (t -- x/v0 ))uz
E(x,t) : !?va cos (00 (t -- x/v0 ))uy

où vo est une vitesse donnée. On admettra que, dans les conditions de 
fonctionnement usuel, la
valeur de Bm est constante et que le cadre se comporte comme une résistance 
pure r. On suppose
vc et vo << c de sorte que s'appliquent les formules de changement de 
référentiel galiléen pour
les champs. On posera gc : 1 --- VC,/VO , MN : QP : a et QM : PN : b. A 
l'instant t = O le centre

du cadre passe à l'origine du système de coordonnées. Pour les applications 
numériques, on
prendra:

a=b : 0,3m, B... : 0,6T, N = 100, (0 : 200n rad.s"', r = 0,259 et vo = 60m.s"'.

1. Champ électromagnétique et changements de référentiels.

On rappelle les formules de transformation pour les champs E et B entre deux 
référentiels
galiléens R et R' en translation parallèlement à Ox.

E'(x',t') : E(x,t)+ v A B(x, t) B'(x', t') : B(x,t).

On a noté v : vux la vitesse relative de R' par rapport à R , x', t' et x, t 
les coordonnées d'un

A I I ' ,
meme evenement respect1vement dans R et R . On a : x' = x -- vt, t' = t.

1. Etant donné les expressions ci-dessus de B et E dans R préciser quelle est 
la période
spatiale (ou longueur d'onde) ). des champs.

2. Exprimer B'(x',t) et E'(x',t) dans R' en fonction de Bm,oe,vo,x' , t et g 
=1-- v/v0 .
3. Quelles sont la pulsation m' et la longueur d'onde X des champs dans R'?
4. Quelle est la vitesse de glissement des champs dans R' en fonction de g et 
VO '?

5. Donner les expressions des champs B0(x0,t) et E0(x0,t) dans le référentiel 
RO pour lequel

v : vo et commenter ces résultats.

6. Donner les expressions des champs Bc(xc,t) et Ec(xc,t) dans le référentiel 
RC dans lequel
le cadre est immobile.

2. Force électromotrice induite.

1. On se place dans le référentiel Q{O . Le cadre est alors mobile dans un 
champ stationnaire. La

force électromotrice induite dans un élément de circuit de longueur dl se 
déplaçant avec la
vitesse ch dans le champ BO est alors (ch ABO).dI : 61180.

(a) Quelles sont, dans % , les abscisses de M et de P en fonction du temps ?
(b) Calculer la force électromotrice instantanée 80(t) induite dans le cadre en 
introduisant

gc : l ---- vc/v0 dans son express1on.

(0) AN. : v = 58,2m.s"1 . Calculer g et la valeur maximum de 8 t .
c c 0

2. On se place dans le référentiel & dans lequel le cadre est immobile.

(a) Rappeler la loi de Faraday permettant dans ce cas de calculer la force 
électromotrice
instantanée ec(t).

(b) Quelles sont, dans & , les abscisses de M et de P ?

(c) Calculer en fonction du temps, le flux (Dc(t) du champ magnétique à travers 
le circuit

fermé MNPQ.
(d) Calculer la force électromotrice instantanée sc(t) induite dans le cadre.

(e) La valeur de la force électromotrice dépend-t-elle du référentiel dans 
lequel on la
calcule ?

3. Courant et puissance dissipée dans le cadre.

1. Quelle est la valeur instantanée de l'intensité ic(t) du courant qui 
parcourt le cadre ?

2. Calculer la valeur moyenne PJ sur une période du courant de la puissance 
p(t) : sc(t)ic(t).
Que devient l'énergie correspondante ?

3. AN. : pour vc : 58,2 m.s_1 , calculer la valeur maximum de ic(t) et PJ.

4. Force de Laplace.

1. On rappelle que la force de Laplace est invariante par changement de 
référentiel galiléen.
Quelle est la valeur de la résultante fL(t) des forces de Laplace s'exerçant 
sur le cadre ?

Quelle est sa valeur moyenne FL ?

2. Calculer, dans R , la puissance instantanée pL(t) de f L , sa valeur moyenne 
PL et tracer la
courbe représentant les variations de PL en fonction de gc pour -- 0,1 $ gc .<. 
1,1.

3. AN. : Calculer les valeurs de "FL" et de PL pour vc : 58,2 m.s'l.

5. Bilan électromécanique.

]. Comparer, dans R... PLO et PJ.

2. En régime permanent dans R (cad. à vitesse constante) le bilan de l'énergie 
totale cédée
par le cadre s'écrit gm +PL +R, : 0 en appelant Rem la puissance 
électromagnétique

transférée par le cadre mobile au champ glissant. Exprimer PL et gm en fonction 
de R, et

gc-

3. Préciser les signes des puissances Rem et PL en fonction des valeurs de gc
(gc SO, 05 gc .<.l, 1s gc) et caractériser pour chacun de ces intervalles le 
mode de
fonctionnement (moteur, générateur ou frein électromagnétique).

4. Donner les valeurs numériques des puissances Hem , PL et PJ pour vc = 61,8 
ms".

6. Commande à vitesse variable

Le système créant le champ est un système d'électroaimants dont le pas polaire 
b (distance entre
deux pôles successifs) est une constante fixée à la construction. La période 
spatiale du champ est

alors égale à deux fois cette distance.

1. Calculer vo en fonction de b et de 0).

2. On suppose constante la force F, exercée par le système entraîné. Montrer 
qu'alors gcv0 est

constant.

3. En déduire qu'il est possible de régler la vitesse vc à partir de la 
fréquence d'alimentation.

4. AN. : La force résistante est "F,." : 4666N. Quelle est la fréquence avec 
laquelle on doit

alimenter le système pour que le moteur démarre ?

-- PARTIE B --

Introduction

Ce problème, concernant l'interféromètre de Michelson est constitué de trois 
parties : la première
partie concerne l'étude des anneaux à l'infini ramenés dans le plan focal d'une 
lentille. On étudie
ensuite dans la seconde partie, comment cet interféromètre peut être utilisé 
comme spectromètre
par transformée de Fourier dont on rappelle la définition au début de la partie 
II. La troisième

partie porte sur le pouvoir séparateur de l'appareil.

Description de l'interféromètre

On considère l'interféromètre de Michelson ci--dessous où les deux miroirs 
plans M1 de centre 01
et M 2 , de centre 02 sont perpendiculaires l'un à l'autre.

Face semi--réfléchissante

[M 1 gm... ----- «@ætæ...ww...w //
/
/
I
/
/
/
/
/
/
!
LC '

Sl L1 Ls
Source étendue S
C2 la
Fz
Plan d'observation 7:
Z

L'interféromètre comporte une lame LS , de centre [, semi-réfléchissante, non 
absorbante, appelée
séparatrice, dont le facteur de réflexion énergétique R vaut R = 0,5. Cette 
lame est inclinée à 45°
par rapport aux normales à M1 et M2.

LC désigne une lame compensatrice de même épaisseur que LS , parallèle à L5 et 
on fera les deux

hypothèses suivantes :
1°. on considère que cet ensemble est équivalent à une lame séparatrice 
infiniment mince,

ii. on néglige le déphasage, induit par le traitement réfléchissant de LS, 
entre l'onde 1 se

réfléchissant sur M1 et l'onde 2 se réfléchissant sur M 2.
L'interféromètre est placé dans l'air assimilé au vide.

I -- Etude des anneaux d'égale inclinaison

On considère que M1 est fixe et que M2 peut être translaté suivant l'axe x, 
parallèlement à l'axe

2. La source étendue S, monochromatique, de longueur d'onde X dans le vide, est 
placée au foyer
objet principal Fi d'une lentille L1 (voir figure), de distance focale image fl 
=100mm. Cette

source est assimilable à un cercle centré en P} de rayon ao dans un plan 
parallèle à yz.

Le plan d'observation n, parallèle au plan xy, se situe dans le plan focal 
d'une lentille la de
foyer principal image F}_, de distance focale image f2=lm. On note e=[01--102 
où [01
représente la distance de I à 01 et 102 , la distance de I à 02 .

1. On considère un point SI , situé à la distance a] de F] et repéré par 
l'angle i considéré petit
(voir figure).
(a) Quelle est la direction du faisceau issu de S1 , après avoir traversé la 
lentille L1 ?
(b) Représenter la marche des 2 rayons, issus du rayon SIC] , jusque dans le 
plan 1t .
Remarque : on notera « rayonl », le rayon se refléchissant sur M1 et « rayon2 
», le

rayon se réfléchissant sur M 2.

(0) Montrer que tout se passe comme si le rayon 2 à la sortie de la séparatrice 
avait été
réfléchi par un miroir virtuel M & dont on indiquera la position sur un schéma.

2. Montrer alors que les rayons 1 et 2 interférent en un point M du plan focal 
de la. Donner la
distance F2M . Que peut--on dire des autres rayons qui constituent le faisceau 
issu du point
S1 ? Montrer que la figure d'interférences est constituée d'anneaux de centre 
F2 .

3. Montrer que la différence de chemin Optique A des rayons 1 et 2 est donnée 
par la relation :
A = 2 ecos(i ).

4. (a) Donner l'expression de l'ordre d'interférence p au point M. En déduire 
l'ordre
d'interférence Po en F2 , défini par: P0 : k1 +8 où k1 est l'ordre 
d'interférence relatif

au premier anneau brillant. Comment varie l'ordre d'interférence lorsque i 
augmente ?
(b) L'angle i étant faible, déterminer le rayon du n-ième anneau brillant 
appelé r,, en

fonction de po , n et e.

(0) AN. : e : l,lmm. Déterminer po puis l'ordre d'interférence et le rayon du 
premier et
du cinquième anneau brillants pour k : 546nm (raie de mercure). Quel doit être 
le
rayon ao de la source si l'on veut pouvoir observer les cinq premiers anneaux ?

5. (a) On diminue la valeur de e. Montrer que les anneaux semblent «rentrer». 
Calculer la
valeur de e pour laquelle le premier anneau disparaît. En déduire le rayon r1' 
du premier

nouvel anneau et le comparer au rayon de l'anneau qui a disparu.
(b) Décrire le phénomène observé pour e = 0 .

Il -- Spectroscopie par transformée de Fourier

On rappelle la notion de transformée de F0urier :

La transformée de Fourier de f (v) est définie par la fonction Î(t) :
TF(f(V))=Î(T)= Çf(v)cos(zm)dv
f (v) peut être définie par la transformée de Fourier inverse de f(x) et 
s'exprime par la relation :

f (v) : TF "1( f (r)): r Î(r)cos(2m)dr . On dit alors que v et 1 sont des 
variables conjuguées.

1. (a) Calculer les amplitudes A1 et A2 des ondes associées aux rayons 1 et 2 
en fonction du

coefficient de réflexion R de la séparatrice et de A0 , amplitude de l'onde 
incidente sur

la séparatrice.
(b) Donner l'expression de l'éclairement E(M ) au point M du plan 7: en 
fonction de e, i et

de l'éclairement EO(M ) lorsque le miroir M2 est occulté.

2. La puissance totale P émise par une source étendue polychromatique se 
répartit suivant les
différentes radiations de fréquence v , et on définit la densité Spectrale de 
puissance P(v) par

la relation: dR,(v)= P(v)dv où dR,(v) s'exprime en Watt (W) et représente la 
puissance

rayonnée par toute la source dans l'intervalle de fréquence [v,v+dv]. P(v) 
caractérise la

répartition spectrale ou le spectre de la source, que l'on cherche à déterminer 
par la suite.
Lorsqu'une voie de l'interféromètre est occultée (pas d'interférences), 
l'éclairement dE,,(M )

(en W.m_2) reçu au point M du plan Tt, dans la bande de fréquences [v,v+dv], 
s'écrit:

dEv(M ) : K.dR,(v) : E(v).dv où K est une constante de proportionnalité, 
indépendante de
v, dépendant de la géométrie et de la transmission de l'interféromètre.

(a) Donner la relation entre, K, P(v) et E(v). En déduire que E(v) caractérise 
également le

spectre de la source.
(b) Lorsque les deux voies de l'interféromètre fonctionnent et en faisant 
l'hypothèse que

chaque bande spectrale [v,v+ dv] donne son propre système de franges 
d'interférences,
montrer que l'éclairement E(M ) s'écrit : E(M ) : 25E(v)(1 + cos(2nw))dv avec
t = A / c où c est la vitesse de la lumière dans le vide.

(0) En posant El : JÎE(v)dv, montrer que E(M ) peut se mettre sous la forme:

E(M ): 2E1+2Ê(r) où Ê(T) est appelé l'interférogramme de la source. Donner
l'expression de Ê(t) et préciser son unité. Que représentent E1 et Ê(T) ? 
Exprimer

alors E(v) en fonction de Ê(r) à l'aide d'une intégrale de Fourier.

3. Un dispositif informatique permet de commander le déplacement du miroir M 2 
et donc de
faire varier A et "C. En Fz , foyer principal de [Q est disposé un détecteur, 
supposé ponctuel
dans un premier temps qui permet de mesurer l'éclairement en ce point E(F}_) , 
pour chaque

. A . . .
valeur de A au pomt Fz (que l'on notera A0) et donc de 10 = --0. On obt1ent 
am51 une
c

suite de valeurs expérimentales échantillonnées de la variable 10 et de E(Fz). 
L'intégrale
E(v) est alors calculée numériquement sur ordinateur.
Comment obtenir les valeurs échantillonnées de Ê(TO) à partir des valeurs 
échantillonnées

de E(P}_) et de El '? Montrer que l'on a réalisé un spectromètre.

III -- Pouvoir de résolution

1. Question préliminaire
(a) On considère une fonction dite « rectangle » centrée en v = 0 , intervenant 
par la suite,
définie pour -- 00 < v < oo par :

v . a v
f (v) : rect -- =1 51 [v] 5 -- et rect-- : 0 pour les autres valeurs de v.

a 2 a
Représenter la fonction rectangle en fonction de v et calculer la transformée 
de Fourier

Î(t) de la fonction f(v).
Représenter Î(t). Pour quelles valeurs de r , Î(t) s'annule-t-elle la première 
fois ?

(b) Calculer la transformée de Fourier Â(t) pour la fonction « rectangle » 
centrée en

V : V0 :
v--v . a v--v
fl(v) : rect 0 =1 51 |v --v0| _<_ 5 et rect 0 = 0 pour les autres valeurs de v.
a
Pour quelle valeur de T, l'enveloppe de la fonction Â(t) s'amule-t--elle la 
première
fois '?

2. Influence du déplacement fini de M 2.
(a) Pour une source monochromatique de fréquence vo , le spectre théorique est 
défini par

E...(v) : EO. Représenter le spectre Eth(v) en fonction de v.
(b) En fait, pour connaître exactement le spectre, il faut disposer de 
l'interférogramme

Ê(ro) complet, pour lequel 10 devrait varier de (--oo) à (+ oo). Or, le 
déplacement du
miroir M2 est limité et A0 varie alors de ---Am à A.... Quel spectre calculé 
Eca(v)

obtient-on dans le cas d'une source monochromati ue de fré uence v , sachant ue
0

Ê(r0)= EO.cos(2nvoro) ? Représenter la fonction Eca(v) pour v> 0. Préciser 
l'écart

Av0 qui sépare le maximum principal de cette fonction de sa première valeur 
nulle.

(c) En déduire l'allure de Eca(v) lorsque la source comporte deux fréquences vl 
et v2
Vo
Ava
plus petit écart qui peut être décelé (deux fréquences sont considérées 
séparées sur le
spectre si l'écart en fréquence entre les maxima des figures relatives à chaque

fréquence est plus grand que l'écart en fréquence entre le maximum relatif à une
fréquence et la première valeur nulle relative à cette même fréquence).

voisines de vo. Calculer alors le pouvoir séparateur défini par : Ra : où Ava 
est le

A.N.: pour la raie du mercure caractérisée par la longueur d'onde dans le vide
À=546nm, calculer Am et la valeur de e correspondante si l'on veut pouvoir

distinguer la largeur de la raie : Al : 5.10_2nm .

3. Un autre facteur intervenant dans le pouvoir séparateur, est la taille du 
détecteur. En effet,
celui--ci n'est pas ponctuel, mais circulaire dans un plan parallèle à xy, 
centré en F2 de rayon

bo, vu sous l'angle 2i0 depuis le centre de la lentille L2. Il est de plus 
sensible à la

puissance reçue sur toute sa surface, notée Pre et l'expression de 
l'éclairement du II.2.b est
A

remplacée par : Pre(To) : 2"K .P(v)[l +cos 27t --):} dv dS' où dS' est 
l'élément de surface du

détecteur situé à la distance r du foyer FZ vu sous l'angle i depuis le centre 
C2 de la et où

l'intégration s'étend sur toutes les fréquences et sur la surface du détecteur. 
P(v) caractérise
toujours le spectre de la source.

(a) Exprimer l'aire élémentaire dS' de l'élément de surface compris entre les 
circonférences
de rayons (r) et (r + dr) en fonction de i et f2 (i étant un angle petit).

(b) En déduire que Pre s'écrit lorsque les deux voies de l'interférom'etre 
fonctionnent:

P,...e(ro) : EK'P(v)Æ(v)dv avec Il(v) : ":O (1 + cos(2movcos (i)))idi .

Donner l'expression de K', puis montrer que l'intégrale Il (l'angle i étant 
faible, on

-2
écrira cos(i ) z 1 --- L2-- avant d'intégrer) s'écrit :
.2
. 10
_2 Sl"{TÉVT0 "2--] _2
10 1()
Il(v) oe -- l + ----------î----cos(2nvro{ -- --J]
2 lb 4
TEVTO """"
2

(o) En négligeant iâ devant ], montrer que P,e(ro) est de la forme

.2
B.e(ro) : Pre0 + K'%-F(To) où B--e0 ne dépend pas de to et F (ro) représente la 
TF d'une

fonction donnant le spectre calculé de la source Fca(v) que l'on précisera.

((I) Dans le cas où la source est monochromatique de fréquence vo : P(v)= H, et 
Pre peut

s'écrire :
-2
. 10
_2 SI TCV010 '--
r 10 2
Be(To) : KPO ? 1 + --------T--COS (27ÏV010)
l
7'CVOT0 --9--
2

Donner l'expression de Ê(to ).

En considérant la transformée de Fourier inverse de Ê(ro) et par analogie avec 
la

transformée de Fourier inverse de f1(T) (question préliminaire), montrer que le 
spectre
calculé Fca(v) est une fonction « rectangle » dont on précisera le centre et la 
largeur.

(e) En déduire le plus petit écart AV,, décelable et le pouvoir de résolution 
Rb qui en
résulte.

4. On peut montrer que le plus petit écart en fréquence décelable est : Av : 
ÿAvä + AvË et que
le meilleur compromis est atteint pour Ava : AV,, .

(a) Calculer alors io et le rayon du détecteur permettant de distinguer le 
profil de la raie

À : 546nm et de largeur AÀ : 5.10"2nm .
(b) Calculer le pouvoir de résolution R.

Fin de l'énoncé.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 2 MP 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Karol Kozlowski (ENS Lyon) ; il a été relu par
Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm).

Ce sujet se compose de deux problèmes indépendants.
· Le premier est une application des lois de l'électromagnétisme au 
fonctionnement d'un moteur linéaire. Il fait appel à des connaissances du cours 
d'induction
ainsi qu'aux propriétés des champs lors d'un changement de référentiel.
· Le second traite de l'optique ondulatoire de Fourier. Il commence par une 
étude
des propriétés de l'interféromètre de Michelson puis aborde la fabrication d'un
spectromètre par transformée de Fourier. Enfin, la troisième partie est 
consacrée
à l'étude de différents problèmes de résolution rencontrés lors de l'observation
de franges d'interférences.
Les premières questions de chaque partie restent relativement proches du cours.
La fin du sujet fait appel à la transformée de Fourier, ce qui peut permettre 
de se
familiariser avec cet outil mathématique très puissant. Cette épreuve permet une
bonne révision du cours d'induction et d'optique ondulatoire.

Indications
Partie A
1.2 Effectuer un changement de coordonnées.
1.4 Mettre les champs sous la forme proposée dans le préambule.

-
2.1.b Se rappeler que le cadre est constitué de N spires en série. Évaluer B à
l'abscisse où l'on a mené l'intégration.
3.2 Penser à l'effet Joule.
4.2 v0 est fixée une fois l'expérience lancée ; en revanche, v c dépend de g c .
5.3 Le fonctionnement moteur fournit de l'énergie mécanique au cadre, alors
qu'en régime de freinage électromagnétique, le cadre perd de l'énergie 
mécanique. En fonctionnement générateur, le cadre produit du courant.

Partie B
I.5.a  est positif et c'est une fonction croissante de l'écart e entre les deux
miroirs.
II.1.b Ne pas oublier que E0 (M) est l'éclairement dû à un seul bras du 
Michelson.
II.2.b Comme les sources sont incohérentes, on peut additionner les 
éclairements.
II.2.c E() est nul dans le domaine des fréquences négatives.
II.3 Un spectromètre est un appareil qui permet de mesurer la densité spectrale
d'une source lumineuse.

Formules utiles de trigonométrie

a+b
a-b
cos (a) - cos (b) = -2 sin
sin
2
2
sin (a) + sin (b) = 2 sin

a+b
2

cos

a-b
2

(1)

(2)

Partie A
1.

Champ électromagnétique et changements de référentiels

-

-
1.1 Les champs E et B étant proportionnels en norme, une unique longueur
d'onde  leur est associée. Elle est définie comme la plus petite période 
spatiale du
signal : à un instant t fixé, les signaux en x et x +  ont la même phase. En 
prenant
par exemple le couple (x, t) = (0, 0), B(, 0) = B(0, 0) implique
cos

d'où

=1
v0

=

2 v0

On peut retrouver cela en exprimant B sous la forme d'une onde plane
B(x, t) = Bm cos(t - kx)
d'où l'on tire  en identifiant k = 2/ = /v0 .
1.2 La formule de changement de référentiel donne, puisque x = x + vt,
-

-

 B (x , t) = B (x + vt, t)

-

-
-

E (x , t) = E (x + vt, t) + -
v  B (x + vt, t)

soit

-
x + v t

-

B
(x
,
t)
=
B
cos

t
-
u

m
z

v0

-
 
x + v t
x + v t

-

- v cos  t -
u
 E (x , t) = Bm v0 cos  t -
y
v0
v0
ce qui conduit à

-
x

-

u
 B (x , t) = Bm cos  g t -
z

v0

x
-
-

u
 E (x , t) = Bm g v0 cos  g t -
y
v0

-
1.3 On exprime B sous la forme d'une onde plane :
 
-

B (x , t) = Bm cos(  t - k  x ) -
u
z
On en déduit

 = g 

et

k = k

d'où

 = g 

et

 = 

-
1.4 Si l'on exprime B sous la forme proposée par l'énoncé,

-
x
-

B (x , t) = Bm cos  t - 
u
z
v
alors v  est la vitesse de glissement des champs dans R , d'où
v  = g v0
 -
-

1.5 On substitue v0 à v et x0 à x dans les expressions des champs B et E 
établies
à la question 1.2. Dans le cas considéré, on a g = 0, de sorte que
-

-
 E0 (x0 , t) = 0

-

 x0 -

 B0 (x0 , t) = Bm cos
u
z
v0
Les champs sont statiques dans le référentiel R0 qui se déplace par rapport à R 
à
la vitesse de glissement des champs dans R : R0 « suit » les champs. Ceci 
illustre

-

-
l'équivalence entre les champs E et B puisque l'on peut annuler l'un des deux 
par
un changement de référentiel. Les champs électrique et magnétique sont en fait 
des
éléments indissociables qui constituent le champ électromagnétique.
1.6 On substitue cette fois v c à v et xc à x pour aboutir à

-

xc

-

Bm cos  g c t -
u
 Bc (xc , t) =
z

v0
vc
avec g c = 1 -

v0

xc
-
-

u
 Ec (xc , t) = g c v0 Bm cos  g c t -
y
v0
2.

Force électromotrice induite

2.1.a L'énoncé impose les conditions initiales xP = -b/2 et xM = b/2. Si l'on 
prend

en compte la loi de composition des vitesses, alors la vitesse -
v c 0 du cadre dans R0
s'écrit

-

vc 0 = -
vc + -
vR/R0

-

où v
est la vitesse relative de R par rapport à R et -
v est la vitesse du cadre
0

R/R0

dans R0 . On établit alors que

d'où

c

xP (t) = (v c - v0 ) t -

b
2

et

xM (t) = (v c - v0 ) t +

xP (t) = -v0 g c t -

b
2

et

xM (t) = -v0 g c t +

b
2

b
2