CCP Physique 2 MP 2001

Thème de l'épreuve Pièges électroniques 1D, 2D et 3D. Étude autour du faisceau gaussien.
Principaux outils utilisés mécanique du point, optique géométrique, diffraction, interférences

Corrigé

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SESSION 2001 MP008

A

CONCOURS COMMUNS POlYTECHNIOUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

PHYSIQUE 2

DURÉE : 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous 
réserve des conditions
définies dans la circulaire nO 99-186 du 16.11.99.

Conformément à l'usage international, les vecteurs sont représentés en gras.

On donne les constantes physiques suivantes :

Charge élémentaire : e z 1,60X10_19C

Masse de l'électron : me : 0,91X10_30kg

Vitesse de la lumière dans le vide c z 3><108 rn.s_l

A. PIÈGES ÉLECTRONIQUES 11), 20, 3D

Les pièges électroniques 1D, 2D, 3D sont des dispositifs qui permettent, à 
l'aide de champs
électriques et magnétiques, de confiner un électron (masse me et charge --e) 
dans une très petite

région de l'espace, selon une, deux ou trois dimensions, respectivement. Les 
mouvements de
l'électron seront rapportés à un référentiel R(Oxyz).

I. Piège 1D
On considère un champ électrostatique E dont le potentiel V associé a pour 
expression :

212_x2_y2

V(I') =VO 4d2

1. Montrer que ce potentiel, dit quadrupolaire, satisfait à l'équation de 
Laplace AV : 0, où A
est l'opérateur laplacien.

2. Représenter, pour Vo (x, y, z,t) a donc pour expression :

Z'"X

(x, y, z, t) : --[VS + U... cos(Qt)] 2
2Ï0

Figure 2

3) Ecrire les trois équations différentielles du mouvement de l'électron selon 
les trois axes
du référentiel % En déduire que les équations selon Ox et Oz peuvent se mettre 
sous la
forme :

' d2ÿi
d92

+ [ki _ 2% C05(29)l61i = 0 avec 9 : __

q,-- étant la variable spatiale considérée (x ou z), k,-- et u,-- des quantités 
que l'on exprimera
en fonction de VS ,Um et :

2 2
__ meQ '"0

OL
26

Quelle est la dimension physique de oc '?

Tournez la page S.V.P.

b) On montre que les équations précédentes admettent une solution stable, 
c'est--à--dire une
solution pour laquelle l'électron est confiné au voisinage de 0 dans le plan 
Oxz, si :

----0,5 Lil-2 $ À,- S l--lu,--I.

Représenter sur un graphe (u,-,M), la zone de stabilité. En déduire, sur un 
graphe

donnant vs =Vs /0t en fonction de u... =U... /0t , la zone de stabilité du 
piège 2D de
Paul.

c) On désigne par I le point situé, à la limite de la zone de stabilité, pour 
lequel la valeur de
la tension vs est maximale avec u positif. Trouver ses coordonnées u, et v,. On

IH

choisit le point de fonctionnement vs = v , / 2 et u... = u,. Quelle doit être 
la fréquence
associée à Q pour que U ... = 5V , sachant que r0 : 2 mm ? En déduire la valeur 
de V8.

111. Piège 3D

On soumet simultanément un électron aux forces exercées par un champ magnétique 
uniforme

(11.1) et par un champ électrique quadrupolaire (1.4). On réalise ainsi un 
piège 3D, appelé piège de
Penning.

1. Ecrire les trois équations différentielles du mouvement, dans la base de K 
en fonction de
(oc et (:)Z . A quelle équation différentielle satisfait la variable complexe 
C, = x + iy ?

2. En déduire les deux solutions de cette dernière équation en fonction de wc 
et (1), . Montrer

que le mouvement est la superposition de deux mouvements sinuso'r'daux, de 
fréquences fl
et f2 que l'on calculera.

B. FAISCEAU GAUSSIEN

On se propose d'étudier l'onde lumineuse monochromatique, de pulsation to, 
issue d'un laser;
l'une quelconque des composantes du champ électromagnétique (E, B) assoc1é 
s'écrit :

ï(x, y,z, t) = w(x, » z)exp<-- ioer)

w(x,y,z) étant l'amplitude complexe de la composante considérée et exp(--ioet) 
la fonction

caractérisant la dépendance temporelle du champ, en notation complexe (i2 = -- )

Le faisceau lumineux est dit gaussien car l'amplitude complexe w(x, y,z) varie, 
dans un plan fixé

par une valeur de z, selon une loi de Gauss, en fonction de la coordonnée 
transversale
1/2
p=(x2 +y2) :

\£,(x y,Z)= A(p, z)exp(ikz) avec A(p,z)=C(z)exp{-- D J où k=_ü_)_=_2£

w2(z) C 7\.

k et c étant respectivement la longueur d'onde (dans le vide) et la vitesse de 
la lumière dans le
vide. La distance w(z) est appelée le rayon de la section droite du faisceau 
gaussien, au point de

coordonnée z sur l'axe optique ; l'amplitude réelle sur l'axe C(z) ne dépend 
que de z.

Nous étudierons d'abord la structure du faisceau gaussien émergeant d' un 
laser, au fur et à mesure

de sa propagation, puis nous analyserons la façon dont le faisceau est transmis 
par une lentille
mince convergente.

1. Répartition de l'intensité de l'onde lumineuse dans un plan de front

Le plan de front, perpendiculaire à la direction moyenne de propagation, dans 
lequel le rayon
de la section droite du faisceau gaussien est minimal, est pris comme origine 
des z. Cette valeur

minimale WO du rayon de section est appelée le waist (taille en anglais) du 
faisceau gaussien.

a) Quelle est la répartition de l'éclairement ou intensité de l'onde lumineuse 
[ = \11 \;f' dans le

plan de front z ? Représenter avec soin le graphe correspondant I(p) de cette 
répartition.
Calculer, en fonction de w, sa largeur totale à mi--hauteur Aol/2 .

b) L'intensité précédente représente l'éclairement, c'est-à-dire le flux 
lumineux que reçoit, par
unité de surface, un écran plan placé perpendiculairement à la direction 
moyenne de

propagation. Calculer le flux lumineux total CD, reçu par l'écran, en fonction 
de w(z) et de
C(z).

c) Quelle est la fraction de la puissance lumineuse totale que reçoit un 
détecteur dont la surface
coïncide avec le disque de rayon w ? En déduire l'éclairement du disque dans le 
cas où
CD -- --lOmW et W: 1mm.

2. Transfert ondulatoire d'un faisceau gaussien dans l'approximation de 
Fraunhofer

Un faisceau gaussien cylindrique, issu d'un laser He-Ne, de longueur d'onde 7\. 
: 632,8 nm, a

un waist wo qui vaut 0,5 mm. Du fait de la propagation, ce faisceau subit un 
phénomène de

diffraction à partir du plan de front Oxy placé en z = 0. Tout se passe comme 
si le faisceau était
diffracté à l'infini par une pupille, située dans le plan Oxy et centrée en 0, 
dont la transm1ttance

t(x, y) a la forme d'une gaussienne :

Tournez la page S.V.P.

2

2
f=exp(----X--%y--l

WO

a) Expliquer sommairement (moins de 10 lignes) pourquoi l'amplitude complexe de 
l'onde
diffractée, dans le plan de front éloigné, d'abscisse z, est donnée par 
l'expression suivante

(? se lit tchapeau) :

Î(u,v) : jfæt(x, y)exp[-- i2n(ux + vy)] dx dy

où u et v sont deux quantités que l'on reliera aux composantes oc et B sur Ox 
et Oy, du
vecteur unitaire porté par OP, P étant le point de coordonnées X et Y dans le 
plan
d'observation (figure 1). Calculer l'intégrale précédente, sachant que :

J_: exp(-- 7tE,2 )exp(-- i2naâ) dE_, : exp(--- Tta2)

x X

Figure 1

b) Etablir l'expression de l'intensité I(u,v) de l'onde lumineuse. En déduire 
la largeur
angulaire totale à mi--hauteur A91/2 de la distribution d'intensité, en 
fonction de k et WO.
Calculer AG] /2 en minute d'arc.

3. Transfert ondulatoire d'un faisceau sphérique

a) Rappeler l'expression complexe tu , en un point P, d'une onde monochromatique

sphérique, dont la source est placée au point 0, origine des coordonnées. On 
désigne par

1/2 . _ _ , , \ , _ _
r = (x2 + y2 + z2) la d1stance du po1nt courant P cons1dere a l origine.

b) Développer l'amplitude complexe u; (r) de cette onde dans le voisinage de 
l'axe optique
--S

Oz (x2 + y2 << zz.) Montrer que, si on néglige les termes d'ordres supérieurs à 
2, Y_S(r)

s'écrit, à une constante multiplicative près :

F(Z) . P2
\U (p,z)= exp "[À--Z

F (z) étant un terme de phase, fonction de z, que l'on déterminera.

c) Un système optique (ES) transforme une onde sphérique divergente à l'entrée 
(E) en une
onde sphérique divergente à la sortie (S) (figure 2). Montrer qu'une lentille 
mince
convergente peut réaliser une telle transformation, pourvu que l'origine de 
l'onde incidente
soit située sur l'axe optique et convenablement placée par rapport au centre 
optique de la
lentille et à son foyer principal objet. Faire une construction géométrique 
soignée. Dans quel
cas la lentille transforme--t--elle une onde sphérique divergente en une onde 
plane ?

Figure 2

(1) De façon générale, la relation entre le rayon de courbure algébrique --Ëe 
d'une onde

sphérique, à l'entrée du système optique, et le rayon de courbure algébrique R 
S de l'onde
sphérique, à sa sortie, est la relation homographique suivante, appelée « règle 
abcd » :
aÎéEUR +b

@: _
CRe+d

On se place dans le cas d'une lentille mince, de distance focale image f, 
transformant une
onde sphérique incidente qui diverge en une onde sphérique émergente qui 
diverge aussi ;
les rayons de courbure des ondes divergentes sont alors comptés positifs. 
Sachant que a = l ,
calculer les coefficients b, c et d.

4. Transfert ondulatoire d'un faisceau gaussien

Une onde monochromatique gaussienne peut être considérée comme une onde 
sphérique dont
le rayon de courbure est un nombre complexe q défini par :

_q_ R C
avec:
1/2
2
-- zâ rcwâ }, 7th z
R=z l+----2-- ZR=---- 5=---- et w=w0 l+_2--

La règle (1de est la même que pour une onde sphérique mais le rayon de courbure 
algébrique
R est remplacé par q .

a) Tracer avec soin, le graphe w/ Wo en fonction de z / ZR-

b) Montrer que q = z -- iK , K étant une quantité que l'on exprimera en 
fonction de ZR.

Tournez la page S.V.P.

c) On utilise une lentille mince convergente, de distance focale image f =lOcm, 
pour
transformer la géométrie d'un faisceau laser dont le waist vaut WO : 0,5 mm et 
la longueur

d'onde 7\. = 632,8 nm. Calculer la longueur de Rayleigh zRe correspondante. En 
appliquant

la règle abcd, trouver la relation donnant la valeur zS de z pour le waist à la 
sortie en
fonction de celle ze relative au waist à l'entrée.

(1) Quelle est l'expression du rapport W0,s /w..., des waists ? A quelle 
distance de la surface de

la lentille se trouve le waist émergent, lorsque le waist incident est placé à 
0,1 m en avant de
la face d'entrée de la lentille ? Comparer les waists à l'entrée et à la sortie.

EUR) En déduire les valeurs de là et @. Situer sur l'axe optique de la 
lentille, par rapport au
centre de cette dernière, les positions W,, et WS des waists incident et 
émergent, ainsi que les

centres de courbure C e et C5 des faisceaux incident et émergent. Les couples 
(We,WS) et

(CEUR,Cs) sont--ils conjugués au sens de l'optique géométrique '? Commenter.

Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 2 MP 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Florent Tournus (ENS Lyon) ; il a été relu par 
Grégoire
Deback (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (ENS Lyon).

Ce sujet est composé de deux problèmes totalement indépendants. Le premier
problème porte sur les pièges électroniques et fait appel au cours de mécanique 
du
point, dans un champ électrique et/ou magnétique. Il est sans grande difficulté 
et
reste relativement classique. Le second problème porte sur les faisceaux 
gaussiens et
fait donc appel au cours d'optique. Il est plus délicat que le premier : il 
s'agit de bien
savoir ce que l'on fait et de bien comprendre ce qui est demandé ; or, l'énoncé 
n'est
pas toujours très limpide.
· Dans le premier problème on commence par étudier un piège 1D, c'est-à-dire
un électron soumis à un champ électrique quadrupolaire. On considère ensuite
deux pièges 2D différents : l'un avec un simple champ magnétique uniforme et
stationnaire, l'autre avec un sytème électrique quadrupolaire. Enfin, on étudie 
le piège 3D obtenu en combinant un piège 2D (champ magnétique) et le
piège 1D. À chaque fois, il s'agit d'établir les équations différentielles du 
mouvement, d'éventuellement les résoudre et d'étudier les conditions de 
confinement
de l'électron.
· Dans le second problème, on commence par déterminer la répartition de 
l'intensité lumineuse dans un plan de front du faisceau gaussien. On étudie 
ensuite
l'évolution de l'onde en se plaçant dans les conditions de diffraction de 
Fraunhofer. Enfin, après avoir étudié rapidement la façon dont une onde 
sphérique est
transmise à travers une lentille, on s'intéresse au transfert d'un faisceau 
gaussien à travers une lentille mince. Pour cela, on s'appuie sur ce que l'on 
connaît
à propos des ondes sphériques et on compare les resultats d'optique gaussienne
avec ceux de l'optique géométrique. L'énoncé est plutôt avare en explications
dans cette partie et il n'est pas toujours évident de comprendre la logique de
l'enchaînement des questions.

Indications

Problème A
A.I.3 Exprimer la différence de potentiel entre les électrodes en utilisant 
l'expression de V donnée dans l'énoncé.
A.II.1.b Écrire les équations différentielles du mouvement dans le repère 
cartésien
(Oxyz). Intégrer celle sur y et injecter le résultat dans celle portant sur x
(ou le contraire). On peut également établir l'équation différentielle vérifiée
par la variable complexe x + i y.
A.II.1.c Montrer que le mouvement selon x et y est un cercle ; calculer son 
rayon.
A.II.2.b La zone de stabilité est la région du plan (um , vs ) où les 
conditions sont
remplies simultanément pour x et z .
A.III.1 Ajouter l'équation portant sur x à celle portant sur y, après l'avoir 
multipliée
par i.
Problème B
B.1.b Pour calculer le flux lumineux total, il faut sommer l'intensité lumineuse
reçue par chaque couronne du plan de front comprise entre  et  + d.
B.1.c Faire le même calcul qu'à la question précédente, mais en faisant varier  
de
0 à w(z). La fraction de la puissance lumineuse totale reçue ne dépend en
fait pas de w(z).
B.2.a Appliquer le principe de Huygens-Fresnel dans le plan de front à z = 0 :
chaque élément de surface centré en M émet une onde sphérique. Exprimer
ensuite l'onde en P comme la somme de ces ondes sphériques ; en développer la 
phase pour faire apparaître un produit scalaire, en considérant que
OM/OP est très petit devant 1.
-
B.2.b Après avoir calculé I(u, v), relier l'angle  que fait OP avec l'axe Oz à 
u et v,
pour obtenir I() et calculer la largeur angulaire à mi-hauteur 1/2 .
B.3.b Remplacer le terme 1/r par 1/z et développer le r dans l'exponentielle 
jusqu'à l'ordre 2 en /z.
B.3.c Une onde divergente à la sortie de la lentille correspond à une image 
virtuelle
de la source de l'onde incidente.
B.3.d Appliquer la formule de conjugaison de Descartes.
B.4.b Relier R à  et remplacer R dans l'expression définissant q.
B.4.d z s est relatif à la position du waist émergent. Lorsque le waist 
incident est
situé à 0, 1 m en avant de la lentille, on a z e = f .
B.4.e On est toujours dans le cas où z e = f . Relier We O et Ws O 
respectivement
à z e et z s . Pour montrer que (Ce , Cs ) est un couple conjugué, revenir à
la relation de Descartes appliquée à q e et q s , en prenant l'expression de
définition de q. Identifier alors les parties imaginaires et réelles de 
l'égalité
obtenue.

A.

Pièges électroniques 1D, 2D, 3D

I.

Piège 1D

A.I.1 D'après l'expression du potentiel, on a
V
V0
=- 2x
x
2d

soit

 2V
V0
=- 2
2
x
2d

2V
V0
=- 2
y 2
2d

et de même
Par ailleurs, on a

V
V0
2V
V0
= - 2 z soit
= 2
2
z
d
z
d
2V 2V 2V
On vérifie alors qu'on a bien
+ 2 + 2 = 0. Le potentiel V vérifie donc bien
x2
y
z
l'équation de Laplace
V = 0
A.I.2 Sur l'axe Oz on a x = y = 0, ce qui donne V(z) =

V

V0 2
z
2d2

d

z

V
__0
2

Dans le plan Oxy, on a z = 0, d'où

V0
x2 + y 2
2
4d
Les équipotentielles sont donc les courbes telles que x2 + y 2 = Cte , 
c'est-à-dire les
cercles de centre O. Pour V0 < 0, le potentiel augmente avec le rayon r du 
cercle.
p
Avec
r = x2 + y 2
V(x, y) = -

V0

V(-
r ) = V(r, z) = 2 2z 2 - r2
4d
Le potentiel est donc à symétrie cylindrique, il ne dépend pas de l'angle de 
rotation
autour de l'axe Oz. Ainsi, il suffit de représenter les équipotentielles pour 
un plan
quelconque passant par Oz. Les équipotentielles sont les courbes
on a

2z 2 - r2 = Cte
· Si C

te

> 0, alors, en posant C

te

= 2z0 , on a z = ±
2

r

r2
+ z0 2 .
2

· Si Cte < 0, alors, en posant Cte = -r0 2 , on a r = ± 2z 2 + r0 2 .
r
· Si Cte = 0, alors z = ±  (r > 0).
2
D'après l'équation d'une équipotentielle, on obtient par différentiation
dz
r
dr
2z
=
et
=
. Ainsi, sauf si z et r sont
4zdz - 2rdr = 0, ce qui donne
dr
2z
dz
r
dz
nuls en même temps (cas où Cte = 0), en r = 0, on a
= 0 et en z = 0, on
dr
dr
= 0.
a
dz

Par ailleurs, les droites z = ±r/ 2 sont des asymptotes des équipotentielles.
On peut représenter les équipotentielles dans un plan contenant l'axe 0z.

z
V<0

V>0

r

A.I.3 Calculons la différence de potentiel entre une électrode en coupelle et 
l'électrode annulaire. Comme le potentiel est constant sur chaque électrode, on 
prend
V(z0 , 0) pour la coupelle et V(0, r0 ) pour l'électrode annulaire.
On a alors

V0 = V(z0 , 0) - V(0, r0 )

soit

V0 =

V0 2
V0
z0 + 2 r0 2
2d2
4d

qui donne, en multipliant par 4d2 /V0
4d2 = 2z0 2 + r0 2
A.I.4.a L'électron, de masse me et de charge -e, est soumis à :

--

-

-

-
· la force électrique F = -e E avec E = - grad V ;

-
· son poids P que nous allons bien évidemment négliger pour toute la suite du
problème.