CCP Physique 2 MP 2000

Thème de l'épreuve Étude des champs électromagnetiques dans un conducteur et effet Hall; interféromètre de Michelson et cohérence temporelle
Principaux outils utilisés électromagnétisme, mécanique du point, optique ondulatoire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2000 ' MP009

A

CONCOURS (0MMUNS P0lYTECHNIOUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE MP

PHYSIQUE 2

DURÉE : 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous 
réserve des conditions
définies dans la circulaire n°99--018 du 01.02.99.

Conformément à l'usage typographique international, les vecteurs sont 
représentés en gras.

On donne les constantes physiques suivantes :

Charge élémentaire e = 1,6 >< 10"19 C

Masse de l'électron me : 0,91 >< 10"30 kg

Vitesse de la lumière dans le vide 0 = 2,997 792 458 >< 108 m.s"' = 3 >< 108 ms"
Perméabilité du vide 00 = 411 >< 10"7s1

Permittivité du vide 80 = 1/ (uoc2)

Constante de Planck h = 6,626 >< 10"34 J.s

A. CONDUCTIVITÉ DANS UN SEMI-CONDUCTEUR

On se propose d'étudier les effets d'un champ magnétique uniforme et 
stationnaire sur les
propriétés électroinagnétiques d'un matériau semi--conducteur. La première 
partie (effet de
magnétorésistance, effet Hall) est développée dans le cadre des régimes 
stationnaires. Dans la
deuxième partie, on examine, en régime variable, les conditions de propagation 
d'une onde
électromagnétique (onde hélicon).

Le milieu matériel, électriquement neutre, est décrit comme un ensemble 
d'électrons (charge --e)
évoluant au sein d'un réseau constitué de charges positives fixes. Les 
interactions de ces électrons
« de conduction » avec le milieu sont entièrement prises en compte en leur 
affectant une masse
effective m (différente de celle mEUR d'un électron dans le vide) et en 
introduisant une force de

« frottement » d'expression --0tv , où OL est un coefficient positif, 
caractéristique du milieu ; la
vitesse v_ décrit la dérive moyenne de l'ensemble des électrons par rapport au 
réseau sous l'action
d'un champ électromagnétique (E,B) .

Tournez la page S.V.P.

J . 0992

PREMIERE PARTIE

On considère un échantillon parallélépipédique dont le volume est délimité par 
les plans
x=0, x=L, y=0,y=Ë, z=--a/2 et z=a/2 (Figure 1).

Figure 1

L

1. a) Dans ce matériau, on applique un champ électrique E stationnaire. Ecrire 
l'équation du
mouvement d'un électron animé d'une vitesse v. A un instant pris comme origine, 
ce champ
est brusquement annulé. Déduire l'évolution ultérieure de la vitesse de 
l'électron et donner
une signification physique au coefficient t & m/oc .

b) En régime stationnaire, montrer qu'en présence d'un champ électrique E, le 
courant
volumique J vérifie bien la loi d'Ohm. En déduire la conductivité électronique 
7 en

fonction de e, 't, m et de la densité volumique n des électrons de conduction.

c) Dans un matériau semi-gonducteur, tel que l'arséniure de gallium GaAs dopé 
au silicium, la
conduction est assurée p'àr des électrons dont la masse effective m est 0,06 m& 
. Sachant qu'à

très basse température la valeur de la conductivité vaut 7 = 100 S.m_1

n = 1024 m--3 .

, calculer 't pour

d) Un courant de densité volumique stationnaire circule parallèlement à l'axe 
Osz = J ex.

L'épaisseur a étant faible devant les dimensions latérales L et Q, 
l'échantillon est assimilé à
une nappe de courant uniforme d'extension latérale infinie et d'épaisseur a. A 
l'aide des
symétries d'une telle distribution, préciser l'orientation du champ magnétique 
b qu'elle crée
en tout point de l'espace. Justifier le fait que ce champ est nul dans le plan 
2 = O. A partir de
la forme locale du théorème d'Ampère, calculer b. Trouver sa valeur maximale 
pour

a = lOum et J = 106A.m"2.

2. a) L'échantillon est désormais plongé dans un champ magnétique extérieur B, 
uniforme et
stationnaire, dirigé selon Oz, B = Beg. Ecrire l'équation différentielle 
vérifiée par la vitesse
v d'un électron du matériau soumis à la force de frottement et à ce champ 
magnétique.
Montrer que, lorsque 't tend vers l'infini, le vecteur v est un vecteur 
tournant dont on
précisera le vecteur rotation. Calculer la norme (DC de ce dernier, appelée 
pulsation

cyclotron, pour B = 1 T et m = 0,06 me.

b) On prend en compte les effets d'un champ électrique E, parallèle au plan 
Oxy, et du champ

B appliqué précédent. On néglige le champ magnétique créé par le milieu. Les 
effets
d'amortissement sont toujours décrits par la force de frottement --0tv. 
Etablir, en régime

stationnaire, les relations liant les composantes ]X et ]y du courant volumique 
aux

composantes EX et E), du champ électrique. Montrer qu'elles peuvent s'écrire 
sous la

forme matricielle suivante :
{Ex)_ p.... pxy (A)
Ey p)'--\' p .vy JY

pxx : pyy

dans laquelle :

B

et pxy =--pyx=Æ

l'
Y
c) L'échantillon a la forme d'un ruban allongé selon Oy:a << L <> --0tv . 
Pourquor ] effet

du champ magnétique B' de l'onde est--il négligeable ? Expliciter les équations
différentielles vérifiées par les composantes ]X et ]y du courant volumique, en 
introduisant

les constantes 1:, y et (DC définies dans la première partie.

b) En régime établi, ces composantes évoluent de manière sinusoïdale, avec la 
pulsation (1). On
introduit la notation complexe habituelle :

. .2
]X : Re{lx} avec lx =10x exp(--zoet) et z = --1
Dans l'expression de JX, le représente l'amplitude complexe. Une notation 
similaire est
introduite pour Jy, EX et Ey. On introduit les quantités complexes :

l+=-J--0x+i10y et ] =J-Ox--i--J--Oy

E =50X+ig_oy et E =_E_OX--i_Eoy

__+ __

Montrer que les équations, établies en La, s'écrivent simplement :

A
J = E avec =--------------
"i YÎ--Î Yi 1--i(oeioec)t

A étant un coefficient que l'on exprimera en fonction de y .

2. 3) Ecrire, en notation complexe, les équations de Maxwell vérifiées par les 
amplitudes

complexes du champ électromagnétique (E,B') d'une onde plane monochromatique se
propageant, suivant Oz, dans le milieu. On désigne par k la norme du vecteur 
d'onde associé.
En déduire l'équation vérifiée par E+ et E _ en tenant compte de l'expression 
de _J_+ et
]

b) On considère une onde de basse fréquence (to << toc), se propageant dans un 
milieu de

conductivité élevée (oec't >> 1). Montrer que la condition de propagation se 
met sous la
forme : '

k ïK2

(02
C2

l+m -

où K est un coefficient que l'on exprimera en fonction de 0), n, B et des 
constantes
physiques.

c) En déduire qu'au--dessous d'une certaine pulsation critique (00, seul un 
type d'onde peut se

propager dans le milieu. Quelle est alors la polarisation d'une telle onde, 
appelée onde
hélicon '?

B. SPECTROMÉTRIE INTERFÉRENTIELLE DE MICHELSON

Nous proposons de reprendre l'étude spectrale de sources lumineuses, telle 
qu'elle a été
initialement menée par Michelson en 1891, en spectrométrie interférentielle.

On éclaire la lame semi--transparente Ls, supposée très mince, d'un 
interféromètre de Michelson

avec une source ponctuelle S. Celle--ci envoie un pinceau lumineux dans le 
voisinage du centre 1 de
L5 ; l'un des miroirs M 1 est fixe, alors que le second M2 est mobile selon une 
direction Ox

normale à son plan. Le centre 12 de M 2 , S et I sont alignés.

Un détecteur est placé en un point P, de telle sorte que sa faible surface de 
détection soit normale à
la direction 111 , laquelle est définie par I et le centre Il de M 1 . Il 
enregistre l'intensité de l'onde

résultant de l'interférence des faisceaux réfléchis par M1 et M2. Il n'y a pas 
de déphasage

supplémentaire égal à Tt que l'on introduit parfois en raison des réflexions 
sur la lame semi-
transparente.

1. On se place dans le cas où la source émet une onde monochromatique, dont la 
fréquence vo

correspond à la longueur d'onde ?... = 550 nm. On désigne par x le déplacement 
du miroir M 2,
compté à partir de la distance minimale de 112 égale à II 1.

3) Faire un schéma soigné du dispositif.
b) Calculer v0. Quelle est la couleur de cette radiation ?

Tournez la page S.V.P.

c) Montrer que l'intensité de l'onde détectée a pour expression :

[(I : ?[1 + cos(2nvot)]

où 1: est une durée que l'on exprimera en fonction de x et de la vitesse 0 de 
la lumière dans
le vide.

La source est une lampe à vapeur de cadmium qui émet un groupe d'ondes 
monochromatiques,
centré autour d'une fréquence moyenne v0 correspondant à la longueur d'onde 
)\.0 : 643,8 nm.

On désigne par I V(v) l'intensité spectrale de la source, c'est-à--dire la 
contribution relative de

chaque fréquence à l'intensité de l'onde émise par la source. En 1892, 
Michelson a déterminé la
largeur totale à mi--hauteur AVI/2 de cette radiation en adoptant un modèle 
rectangulaire pour

Iv(v) centré sur la fréquence vo :

_ AV1/2 AV1/2
2 2

a) Calculer V0. Quelle est la couleur de cette radiation ?

ÏV(V) = A pour V0 5 v S vo + et Iv(v) : 0 autrement.

b) Montrer que l'intensité détectée peut se mettre sous la forme :

[(r) : $[1 + y, (17) cos(2nvot)]

y,(r) étant une fonction que l'on déterminera.

c) En déduire le facteurä-de visibilité des franges d'interférence, 
c'est-à--dire la quantité
V = (I M -- 1... )/(1M + I...), IM étant l'intensité maximale et [... 
l'intensité minimale. Tracer

l'allure des graphes ly,(t)i et I('t).

d) En augmentant x à partir d'une valeur nulle, on obtient une première 
annulation de V pour

x =15,9cm. Quelle valeur Av./2 Michelson a-t--il obtenu '? Calculer L, =cAvÜ'2 
appelée

longueur de cohérence temporelle. En déduire, en picomètre, l'écart en longueur 
d'onde
A7...2 correspondant.

La source précédente est remplacée par une lampe à vapeur de mercure qui émet 
deux
radiations, de fréquences respectives vl=v0--Avl,2/2 et v2 =v0+Avl,2/2, et dont 
les

contributions en intensité dans le plan d'observation sont égales à 1... =qu2. 
La longueur
d'onde correspondant à vo est À0 : 578 nm.

a) Calculer VO. Quelle est la couleur de cette radiation ?

b) Montrer que l'intensité détectée est donnée par la même expression que 
précédemment, mais
y,(t) est une fonction différente que l'on déterminera.

c) En déduire le facteur de visibilité ainsi que les graphes ly,('c)l et [(T).

d) Entre les deux premières valeurs de 1' qui annulent V, on compte 277 pics 
d'intensité. En
déduire AVI/2,L, et AÀ1,2.

e) Une analyse attentive du graphe V('c), obtenu expérimentalement, montre que 
V décroît
lorsque 1 augmente. Proposer une interprétation physique en la justifiant.

. On considère une source qui émet aussi deux radiations, de fréquences 
respectives

vl : vo --Av1,2/2 et v2 : vo + AVI/2 /2, mais de contributions différentes : IN 
et
Iv,2. : u [... , H étant un facteur positif.

a) Montrer que l'intensité détectée peut se mettre sous la forme :

l... : --I--(20--)[1 + Re{yf (T)CXP(52WV0T)}]

X; : C1 CXP('" iTCAV1/2Î)'i' C2 eXp(iTCAVl/ZÎ)

vo étant la fréquence moyenne (V1 +v2 )/2, AV1/2 la différence des fréquences 
v2 --v1 et

(C1 , C2) deux facteurs à déterminer en fonction de tt .

b) Calculer la partie réelle, la partie imaginaire, le module et l'argument oc, 
de L'

c) Quelle relation existe--t--il entre le facteur de visibilité V des franges 
d'interférence et X: ?

Donner l'expression de Ven fonction de u et de cos(nAvl/ZT).

(1) Trouver, en fonction de u , les valeurs minimale V... et maximale VM de 
Vlorsque "C varie.
Donner l'allure du graphe V('C).

e) Que deviennent V et oc, dans les cas extrêmes où u = 0 et u = 1 ? Commenter.

L'analyse fine de la raie H()( de la série de Balmer de l'atome d'hydrogène 
révèle que cette
radiation est constituée d'un doublet non symétrique, car le facteur de 
visibilité V varie avec "C

comme le montre le graphe précédent, mais V... n'est pas nul. La longueur 
d'onde, associée à la

moyenne des fréquences, est ?... =656,3nm. Michelson a constaté que la première 
valeur
minimale du facteur de visibilité était atteinte pour x = 8,5 mm et valait 0,15 
.

3) Calculer la fréquence vo de la radiation de longueur d'onde 7t0. Quelle est 
la couleur de
cette radiation ?

b) Trouver AVI/2 et A7...2 en précisant leurs unités.

c) En déduire u et et,.

Fin de l'énoncé.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 2 MP 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Franck Stauffer (ENS Lyon) ; il a été relu par Péter
Horvai (ENS Ulm) et Jean-Yves Tinevez (ENS Lyon).

L'épreuve comporte deux problèmes indépendants.
Le premier problème traite du champ électromagnétique à l'intérieur d'un 
conducteur. Il se décompose en deux parties. La première traite des champs 
statiques et met
notamment en évidence l'effet de magnétorésistance et l'effet Hall. La seconde 
partie,
quant à elle, s'intéresse à la condition de propagation des ondes dans le 
conducteur.
Ce problème, de difficulté raisonnable, est intéressant.
Le second problème traite de l'interférométrie de Michelson. Il ne présente pas
de grandes difficultés, mais dégage des résultats essentiels sur la notion de 
cohérence
temporelle d'une source et de son influence sur les phénomènes d'interférence. 
Comme
souvent, il est nécessaire de faire preuve de rigueur et de sens physique ; 
quelques
connaissances expérimentales peuvent être utiles.

Indications

Problème A
Première partie
1.d Bien appliquer le théorème d'Ampère sous sa forme locale et globale.
2.a Adapter le résultat de la question 1.a.
2.b Utiliser l'hypothèse du régime stationnaire pour trouver la relation liant 
les composantes du champ électrique à la densité de courant.
2.c Partir du système matriciel.
2.d Utiliser la même méthode qu'à la question 2.c.

Deuxième partie
1.a Utiliser les résultats de la première partie.
2.a Partir des équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère en notation 
complexe.
2.b Utiliser la question 1.b.

Problème B
2.b. Découper la raie en portions élémentaires et sommer les intensités.
3.b. Sommer les diverses contributions à l'intensité.
3.e. Discuter de la validité du modèle à la lumière de la question 2.b.

Problème A.

Conductivité dans un semi-conducteur

Première partie
1.a Commençons par faire le bilan des forces qui s'exercent sur l'électron. 
L'électron
est soumis à :

­ la force de « frottement » --
v ;

-
­ la force électrostatique -e E .
Bien entendu, il faut négliger la force de pesanteur s'exerçant sur l'électron.
Compte tenu de la masse extrêmement faible de l'électron, le poids est 
complètement négligeable devant les autres forces, comme un simple calcul suffit
à le montrer. Nous aurions aussi dû prendre en compte l'interaction entre
l'électron et le milieu qui l'entoure ; cependant l'énoncé nous indique de les
inclure en donnant à l'électron une masse effective différente de sa masse dans
le vide.
Il suffit alors d'appliquer le principe fondamental de la dynamique pour obtenir
l'équation du mouvement de l'électron. Il faut cependant se souvenir qu'on 
travaille
avec la masse effective de l'électron.
m

-
d-
v

= --
v - eE
dt

Si on annule alors brusquement le champ électrique, l'équation d'évolution de la
vitesse s'obtient en annulant E dans l'équation précédente.

d-
v

Donc
m
= --
v
dt
-

Si l'on note V0 la vitesse de l'électron à l'instant où l'on coupe le champ, la 
solution
de cette équation différentielle est
-
 t
-

v = V0 e- 
m

Le coefficient  représente donc le temps caractéristique de la décroissance 
exponentielle de la vitesse de l'électron.
avec

=

-
1.b Rappelons tout d'abord l'expression locale de la loi d'Ohm. Si on note J le

-
vecteur densité de courant volumique, alors la loi d'Ohm locale nous dit que J 
est
proportionnel au champ électrique, c'est-à-dire

-

-
J =E
où  est la conductivité électronique. Elle s'exprime en Siemens par mètre.

En régime stationnaire, toutes les grandeurs sont indépendantes du temps. 
L'équation du mouvement établie à la question précédente nous donne alors

-

0 = --
v - eE
soit

e-
-

v =- E

or

-

J = -ne-
v

donc finalement

-

ne2 -
E
J =

On en déduit que la loi d'Ohm est bien vérifiée. Par ailleurs cette équation 
nous
permet d'exprimer la conductivité électronique
ne2

=
or

=

Finalement

=

m

ne2 
m

1.c L'expression de  nous permet d'exprimer le temps caractéristique  comme
étant :
m
= 2
ne
Application numérique : avec les valeurs de l'énoncé, on trouve
=

0,06 × 0, 91.10-30 × 100
1024 × (1,6.10-19)

2

= 2,13.10-16 s

Ce temps est inférieur à la femtoseconde. On constate donc que lorsque
l'échantillon n'est plus soumis à aucun champ, les charges cessent 
immédiatement leur mouvement. Le fait que  soit proportionnel à  s'explique
facilement : plus la conductivité augmente, plus les électrons de conduction
sont mobiles à l'intérieur du réseau cristallin et, de ce fait, lorsque l'on 
coupe
le champ électrique, ils mettent plus de temps à cesser leur mouvement.
1.d Supposons que le système puisse être assimilé à une nappe de courant infinie
d'épaisseur a. L'objectif étant de déterminer le champ magnétique produit par 
une
telle distribution de courant, il est naturel de préciser les symétries de la 
distribution
afin de pouvoir déterminer la direction du champ magnétique.
Supposer que l'extension latérale est infinie revient en fait à négliger les
« effets de bords » et à considérer que le système est invariant par 
translation.
En effet, comme dans beaucoup de domaines de la physique, la présence de
bords rend plus difficile le calcul du champ.