CCP Physique MP 2015

Thème de l'épreuve Une autre voie vers la fusion thermonucléaire. Mesure de l'épaisseur et de l'indice d'une lame.
Principaux outils utilisés optique, électromagnétisme, électrocinétique
Mots clefs fusion, câble coaxial, induction, circuit RL, indice optique, lame de verre, spectre cannelé, viseur à frontale fixe, lunette afocale, miroir

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2015 MPPH008

_:â=_ CONCOURS COMMUNS
- - POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'énonce', il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

Les applications numériques seront réalisées de manière approchée, avec un 
nombre de chiffres
significatifs appropriés.

PROBLEME I

Données

1 _
Fm1

Permittivité diélectrique du vide : 80 =--9 .
367: 10

Perméabilité magnétique du vide : po =47z 10*7 H.m_1

Pour les calculs numériques, on donne les valeurs approchées :
ln1,130,13 ln351,1 ln7,12 2,0 ln4033,7.

Ce problème se divise en quatre parties : la première partie définit 
l'inductance dans une
configuration coaxiale ; la deuxième partie est une étude de documents 
présentés en annexes sur les
puissances pulsées ; la troisième partie s'intéresse au flux magnétique ; la 
quatrième partie concerne
l'optimisation du dispositif de compression de flux. Les trois premières sont 
totalement
indépendantes. La résolution de la quatrième partie nécessite les résultats de 
la première partie.

Une autre voie vers la fusion thermonucléaire : les Z machines

Première partie - Inductance dans une configuration coaxiale

_»

Dans un repère cartésien (O,êx,e ,êz), un câble coaxial, considéré comme 
infiniment long et

Y
placé dans un milieu de perméabilité magnétique ,UO, est formé de deux 
armatures cylindriques de

1/15 @

même axe z'z (figure 1). L'armature intérieure (l'âme) est un cylindre creux de 
rayon et ; l'armature
extérieure (la gaine) est un cylindre creux de rayon b. Le courant continu 
d'intensité ] qui circule

dans l'âme dans le sens de êZ revient avec la même intensité dans la gaine 
selon --ê

z ; ce câble

constitue ainsi un circuit fermé.

A un point M de l'espace, on associera les coordonnées cylindriques ( p,$,z) et 
la base

orthonormée directe cylindrique OEcyl = (5 p , ê@ , ëz) .

I.1.a)

I.1 .b)

I.1.c)

1.2.a)

1.2.b)

1.2.0)

1.2.d)

Exploiter les symétries et les invariances de la distribution de courant pour 
déterminer
l'orientation du champ magnétostatique Ë(M) créé par ce câble ainsi que les 
variables dont
il peut dépendre en un point M quelconque de l'espace.

Donner la valeur de Ë(M) pour un point M intérieur à l'âme ( p< a) ou extérieur 
à la gaine
(19 < p) . Justifier.
Dans la base OEcyl , exprimer le champ magnétostatique Ë(M) créé par ce câble 
en tout point

M situé àla distance ,0 (a< p>, Ecole Polytechnique, décembre 2003.

Introduction (de la thèse)

Les premières expériences en électromagnétisme ont montré qu'un courant 
électrique
circulant dans un milieu conducteur était capable d'engendrer des forces 
importantes sur
celui--ci. Le courant induit un champ magnétique qui se couple avec lui pour 
créer des forces
dites de Lorentz. Une application bien connue de ce phénomène est le moteur 
électrique,
dont plus personne ne s'étonne du fonctionnement.

Si maintenant le milieu conducteur a une structure cylindrique, les forces de 
Lorentz sont
dirigées vers l'axe du cylindre et tendent à l'écraser sur lui--même : on parle 
alors de striction
magnétique. Si de plus le courant est une impulsion très intense (des millions 
de fois le
courant circulant dans un moteur) et très courte (cent mille fois plus rapide 
que pour un
moteur), il est alors capable de faire passer la matière conductrice du 
cylindre dans un état
qui n'existe normalement qu'au coeur des étoiles, le plasma. Les forces de 
Lorentz implosent
ce plasma sur lui--même et lui communiquent une importante énergie cinétique. 
Quand la
matière arrive sur l'axe de révolution du cylindre, elle ne peut plus continuer 
sa course :
l'énergie cinétique est violemment transformée en énergie interne et la matière 
n'a plus
d'autres voies pour se débarrasser de cette grande quantité d'énergie que de la 
rayonner. Les
plasmas de striction magnétique sont ainsi d'excellentes sources de rayonnement 
X,
convertissant l'énergie électrique rayonnée avec de bons rendements (10 %).

Le rayonnement X obtenu peut être conditionné dans une petite cavité pour lui 
conférer des
propriétés d'équilibre (isotropie et spectre planckien) : cette transformation 
s'appelle la
densification d'énergie radiative. Cette densification n'a été réalisée 
expérimentalement
qu'avec des générateurs dont le temps de montée du courant est de cent 
milliardième de
seconde. La détermination des dimensions de la cavité et du plasma à utiliser 
pour la
chauffer demande la compréhension d'un certain nombre de phénomènes physiques 
et des
techniques de calcul associées, présentés dans ce mémoire. D'où le titre de la 
thèse :
conception de cavités radiatives chauffées par plasmas de striction magnétique 
en
régime 100 ns.

6/15

Figure la) Figure l.b)
(©Sandia National Labs)

Figures 1
a) : phase d'implosion (les flèches représentent le mouvement du fluide en 
écoulement centripète)
b) : phase de stagnation (les flèches représentent le rayonnement final).

Plasma de striction magnétique et Z-pinch

Il est important de bien différencier les phases d'implosion, avec mouvement 
vers le coeur,
et de stagnation sur l'axe, avec formation d'une colonne de plasma. Dans la 
phase
d'implosion, le plasma est essentiellement un fluide en écoulement centripète. 
Dans la phase
de stagnation, le plasma est turbulent et la description fluide ne suffit plus. 
Ce travail de
thèse a porté essentiellement sur la phase d'implosion et les moyens de 
contrôler son
écoulement pour améliorer le rayonnement final. La dénomination "plasma de 
striction
magnétique" ne désignera dans tout ce qui suit que la phase d'implosion ; c'est 
la traduction
de l'anglais "liner", correspondant à une coquille mince se déplaçant sur une 
grande distance
par rapport à son épaisseur.

Le terme de pinch, expression anglaise consacrée, issue des études sur la 
fusion par
confinement magnétique, devrait être exclusivement utilisé pour désigner le 
plasma dans la
phase de stagnation, lorsqu'il est confiné sur l'axe par le champ magnétique. 
C'est cependant
un abus de langage répandu dans la communauté scientifique de désigner par le 
terme de
pinch le plasma à tous les stades de l'expérience. On parle également de 
Z--pinch pour
signifier que le courant circule selon l'axe de la colonne de plasma, par 
opposition au
(S'-pinch pour lequel il circule azimutalement (49 et z sont des dénominations 
habituelles de
deux des coordonnées cylindriques).

7/15

Annexe 2

Extrait de la thèse de Mathias BAVAY << Compression de flux magnétique dans le 
régime
sub-microseconde pour l'obtention de hautes pressions et de rayonnement X 
intense >>, Université
Paris XI, Orsay, juillet 2002.

Présentation et historique

On appelle hautes puissances pulsées l'ensemble des technologies consistant à 
compresser
temporellement et spatialement l'énergie électrique provenant d'une source 
lente (quelques
fractions de secondes à quelques secondes) en des impulsions très denses et 
très brèves,
donc de très forte puissance.
Le but de ces technologies est de fournir une très forte puissance électrique à 
une charge1
sous forme impulsionnelle (afin que l'énergie associée à cette puissance reste 
suffisamment
faible). Ainsi, si l'on dispose par exemple d'une énergie de 1 ] , on peut 
délivrer les
puissances suivantes (dans le cas idéal pour lequel il n'y a pas de pertes lors 
de la
compression temporelle) :

. 1 W si l'énergie est délivrée en 1 s ;

. 1 GW si l'énergie est délivrée en 1 ns ;

. 1 PW si l'énergie est délivrée en 1 fs ;
le record de la puissance rayonne'e sous forme X - c'est à dire dégagée par la 
charge - atteint
avec l'aide des HPP est à ce jour de 300 TW.
L'histoire de cette discipline remonte au premier générateur d'impulsions 
développé par
ERWIN MARX en Allemagne en 1923. Par la suite, divers schémas sont explorés, 
tels que
par exemple le stockage inductif dès les années 50, et l'utilisation des hautes 
puissances
pulsées pour l'accélération plasma dans le but de générer de hautes 
températures, ceci étant
perçu comme un moyen d'accéder aux conditions de la fusion thermonucléaire 
contrôlée
(années 50 toujours). Il faut signaler les nombreux développements réalisés par
] . C. MARTIN à cette époque, à l'Atomic Weapons Research Establishment en 
Angleterre.
Des travaux sur les générateurs magnéto-explosifs débutent dès le début des 
années 60.
Ces générateurs sont ensuite largement utilisés pour des études de matériaux 
(génération de
fortes pressions) et pour la génération de rayonnement, tout en voyant leur 
énergie
augmenter.
Afin de mieux adapter (électriquement parlant) la charge radiative au 
générateur, des essais
de cages de fils en lieu et place du fil unique précédemment utilisé sont 
réalisés sur le
générateur OWL Il en 1976. Au lieu d'un transfert d'énergie générateur/plasma 
voisin de
30 % précédemment observé, c'est un transfert voisin de 100 % qui est constaté. 
Des études
au cours des années 80--90 montrent qu'il faut un espace entre fils 
suffisamment réduit pour
atteindre un optimum, avant de déboucher en 1997 sur le concept de double cage 
de fils : les
deux cages sont imbriquées l'une dans l'autre.
Aujourd'hui, nous arrivons au bout des performances de la génération des 
machines
actuelles (classe quelques M] d'énergie stockée). De nouveaux développements 
voient donc
le jour afin de concevoir un-à--un les éléments de la génération suivante de 
générateurs
(classe 100 M] d'énergie stockée).

quelle que soit cette charge, a condition simplement que son impédance soit 
compatible avec
le système de hautes puissances pulsées utilisé.

8/15

Annexe 3

Extrait de la thèse de Dominique HUET << Mise en oeuvre, modélisation et 
comparaison de trois
systèmes d'amplification de puissance sous vide utilisant des plasmas de 
striction magnétique >>,
Ecole Polytechnique, juillet 2004.

Principes et application des hautes puissances pulsées

Le principe de fonctionnement d'une machine de hautes puissances pulsées (HPP) 
est de
stocker de l'énergie électrique en régime quasi statique dans des condensateurs 
ou des
machines tournantes. Cette énergie est ensuite restituée dans un temps très 
bref à une
charge, directement ou par le biais de systèmes intermédiaires dont la fonction 
est de
compresser, dans le temps, le transfert de l'énergie afin d'augmenter la 
puissance : ce ou ces
systèmes intermédiaires forment l'amplification de puissance. Le nombre de ces 
systèmes
intermédiaires sera d'autant moins élevé que le générateur sera rapide. Ceci 
est important
car l'énergie perdue est proportionnelle au nombre de systèmes intermédiaires.

On parlera de machine à stockage capacitif lorsque l'énergie est transmise, 
majoritairement,
sous forme de tension, et de machine à stockage inductif lorsque l'énergie est 
transmise,
majoritairement, sous forme de courant (hybride lorsque les deux modes 
coexistent). Le
choix d'un type de machine est très dépendant du type de charge et donc de 
l'application que
l'on souhaite mettre en oeuvre. Pour fixer les idées, le tableau suivant 
récapitule les plages
de variation des grandeurs physiques rencontrées dans cette discipline :

Energie . . Densité de Durée
, Puissance Tens1on Courant , . .
stockee courant d 1mpuls1on

10à107J 106à1014w 103à107V 103à107A 106à1011A/m2 10'10à10'5s

9/15

PROBLEME Il

Remarques préliminaires importantes

Il est rappelé aux candidat(e)s que :

- les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au 
même titre que les
développements analytiques et les applications numériques ; les résultats 
exprimés sans unité ne
seront pas pris en compte ;

- tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, 
même s'il n'a pas été
démontré par le(la) candidat(e).

Rappel des relations de conjugaison pour une lentille mince [, de centre O, de 
foyer objet F, de
foyer image F 'et de distance focale image f ' donnant d'un objet AB une image 
A'B'.

L
A //_\ A' Représentation de A' image de A par L
1 1 1 .
, -- = = --, (l) Relation de Descartes
OA OA f

Ï_--A'B'_ÎA'_F--O_O--A'
Æ F--'O fi O_A

(2) Relations de grandissement

Figure 5 - Lamelles d'épaisseur 6.

L'objectif est de déterminer les caractéristiques d'une lamelle d'épaisseur e 
et d'indice n par deux
méthodes. Ce problème comporte cinq parties. La première partie aborde l'étude 
de la lame de
verre. Les deuxième, troisième et quatrième parties cherchent à déterminer n et 
e par une méthode
d'optique géométrique. La cinquième partie traite d'une méthode 
interférentielle.

10/15

Première partie - Lame de verre

Une lame transparente est caractérisée par son épaisseur 6 et l'indice n du 
milieu qui la compose.
On cherche à caractériser ce dioptre dans le cadre de l'optique géométrique.

11.1 Donner un ordre de grandeur de l'indice du verre.

11.2 Rappeler les relations de Snell-Descartes àla réfraction.

11.3 Effectuer un rapide tracé de rayon sur la figure Al (document réponse) 
afin de trouver
graphiquement la position de A' image de A par la lame.

11.4 Effectuer, de même, un rapide tracé de rayon sur la figure A2 (document 
réponse) avec un
point objet A virtuel.

11.5 Montrer, par des considérations géométriques, que la relation de 
conjugaison qui relie A et
A' est donnée dans les conditions de Gauss par :

Æ=e(1_l)
Ïl

On étudie un viseur a frontale fixe (figure 6) constitué par :

Deuxième partie - Viseur

- un objectif L2 de centre 02 , de distance focale f2' = 50 mm ;

- un réticule gradué ROC ;
- un oculaire modélisé par une lentille convergente L1 de centre 01 et de 
distance

focale ff = 50 mm .

. . . . . A'B'
On règle la lunette afin d'av01r, pour l'objectif, un grand1ssement transversal 
7019 = £--] = -- 2 .
ob

Æ

£2
.Il.

&

.".

R... |/
02 /I 01
"Il"
_ _ acufar're

wr ÛbjECÜf

Figure 6 - Schéma d'un viseur a frontale fixe.

11.6 Comment règle-t-on l'oculaire par rapport au réticule ?
11.7 Préciser la position F2A de l'objet visé par rapport à l'objectif en 
fonction de 7019 et f2' . On
utilisera l'une des relations de grandissement (2). Faire l'application 
numérique.

11.8 Déterminer l'encombrement 0201 de la lunette en fonction de ff, 7019 et 
f2' . Effectuer
l'application numérique.

11.9 Valider vos résultats par un tracé de rayons justifiés sur la figure B 
(document réponse).
Compléter la figure avec la présence du réticule ROC et de la lentille L1 .

11.10 Citer une application de ce type de viseur.

11/15

Troisième partie - Description du dispositif expérimental

On complète le dispositif de lunette à frontale fixe précédent par :

- un miroir plan ÿVl0 centré sur M0 et orthogonal à l'axe optique ;

- une lame semi-réfléchissante LS centrée sur LS et inclinée à 45 ° : 0st : 50 
mm ;

- un miroir plan ÿVli centré sur M,-- et incliné à 45 ° : M ,LS : 100 mm ;
- une lentille L3 convergente de distance focale f3' : f3' = 150 mm ;
- un objet constitué d'un réticule mobile R dont la position est mesurable.

L'ensemble (L2 , L3 ) forme un système afocal (figure 7).

Le
Il L
5 L1
? #
.r" 't
: "1-- R / @
DC
0 L :
; Mg .? 5 't 01
: '.,
: "*..
!" .
_ _ acufarre
1r ÜbjEC'ÜÎ

L
'Mi 311

& R
31---
M..' \ O3 @.

"'

Figure 7 - Schéma du dispositif expérimental.

Analyse du système additionnel
II.ll.a) Tracer symboliquement sur la figure C (document réponse) le trajet de 
la lumière issue de

R et émergeant de l'oculaire.

II.ll.b) L'association de la lentille L2 avec la lame semi réfléchissante LS, 
le miroir M, et la

II.ll.c)

lentille L3 forme un système afocal.

Définir la notion de système afocal.

Quelle doit être la distance M 1.03 en fonction de f3', f2' , ÎLS et @ afin de 
réaliser
cette condition ? Faire l'application numérique.

On note R' l'image de R par l'ensemble du système additionnel constitué par L3 
, ÿVl, , LS

et L2.

L3 %, LS L2
R/"NNN/"NR '

Figure 8 - Image R' de R par le système optique.

On sera attentif à l'algébrisation de l'axe optique et au sens effectif de 
propagation de la
lumière.

Etablir, en fonction de f2' et f3', la relation liant la position @ de l'objet 
R par rapport

au foyer image de L3 à celle de son image R' donnée par F2R' .

12/15

II.ll.d) On place l'objet R tel que @: 150 mm, comme sur la figure 7. Où se 
trouve son image
02R' par le système optique (L3 , ÿVli , LS , L2) ?
II.ll.e) Quel est son grandissement transversal ?

On utilise une méthode d'autocollimation a l'aide du miroir plan ÿVl0 , placé 
devant l'objectif à la
distance 02M0 = 02F2 = -- 50 mm.
Attention : la lunette est réglée en frontale fixe comme dans la deuxième 
partie.

On éclaire le réticule R par rapport a la question précédente. Il donne une 
nouvelle image R' par le
système optique (L3 , ÿVli , LS , L2 ). R' sert alors d'objet au système 
(miroir MO , lunette de visée).

. ° " 9 / ° \
On obtient une image R que l on des1re superposer a ROC .

On observe a travers l'oculaire l'image nette de 2 réticules (ROC et R" ).

11.12.a) Déterminer la position particulière do du réticule R telle que do = @.
Exprimer ce résultat en fonction de @, f2' et f3' .

11.12.b) On éloigne le miroir Mo de l'objectif d'une distance 6. Sa position 
M... est telle que
02M01 = 02F2 --e .

Afin de préserver une image nette à travers l'oculaire, on doit déplacer d'une 
valeur 81 le

réticule R. La nouvelle position du réticule R est 511 telle que dl = F3'R1 = 
do + 81 .
Déterminer le déplacement 81 en fonction de @, f2' et f3' .

11.12.c) Quel est l'intérêt du système étudié ?
11.12.d) Que dire du rapport entre les échelles sur les deux réticules ?

Quatrième partie - Application à la caractérisation d'une lame d'épaisseur e et
d'indice n
11.13 Le miroir MO et le réticule R sont placés initialement de telle sorte que 
:
02M0 =02F2 =_50 mm, do :$.
De par le retour inverse de la lumière, on obtient le schéma de la figure 9.

L2 M0 L2 L WL L3

;, A] ?. A2 A3 &. A4 ' & A5 à.

Figure 9 - Schéma du système optique.

On intercale la lame d'indice n d'épaisseur @ entre le miroir Mo et l'objectif 
L2 .

11.13.a) Analyser la composition du système optique à l'aide d'un schéma 
synoptique.
11.13.b) La position de la lame a-t-elle une influence ?
11.13.c) Montrer que le déplacement du réticule R vers une position d2, telle 
que

512 = F3'R" = do + 82 , permet de retrouver une image nette.
11.13.d) Exprimer 82 fonction de e, n, f2' et f3'.

11.13.e) On donne 6 = 0,1 mm et on mesure 82 = 0,6 mm. Quel est l'indice n de 
la lame ?

11.14 Proposer une méthode utilisant ce système afin de trouver une autre 
équation reliant n ete.
13/15

Cinquième partie - Approche interférentielle

On désire retrouver ces résultats par une méthode interférentielle.

Dans un système interférentiel a deux ondes, on provoque un déphasage entre les 
ondes parcourant
les deux voies de l'interféromètre. Ce déphasage est fonction de la différence 
de marche 5 et de la
longueur d'onde  .

Lorsque  varie, on parle de cannelures et lorsque 5 varie on parle de franges.
Un faisceau de lumière éclaire la lame précédente sous une incidence i 
quasi--constante et proche de
45 ° (figure 10).

Ecra n

.. } Lentille

Seurce

'1F

Monechro mateur

Lame

Figure 10 - Schéma du sytème optique.

Théorie

II.15.a) Mettre en évidence sur les figures Dl (lame d'air) et D2 (lame de 
verre) du document
réponse, la différence de marche géométrique entre les deux rayons issus d'un 
même rayon
d'incidence i et qui interférent sur l'écran.

11.15 .b) Déterminer la différence de marche géométrique âge/O pour la lame 
d'air en fonction de n,

e et l'angle d'incidence i.
II.15.c) Dans le cas d'une lame de verre, on obtient en considérant les 
différentes réflexions, une
différence de marche totale :

5=26\/n2--sinzi+%. (3)

, Â
Analyser ce resultat pour n = l et commenter le facteur 5 .

II.15.d) Donner l'expression de l'éclairement (formule de Fresnel) pour des 
interférences a deux
ondes cohérentes de même amplitude, en justifiant le cadre de son application.
A quelles conditions les interférences sont--elles constructives ?

14/15

Expérience n° 1

On se place à longueur d'onde constante  : 532 nm et on observe dans le plan 
focal image de la
lentille de distance focale image f ' =l m .

11.16.a) Quelle est l'allure de la figure d'interférence '? Justifier votre 
réponse.

II.16.b) L'angle d'incidence étant proche de 45 °, on pose i = % + 05 avec a + 
O . En différenciant

l'équation (3) pour  : cst , déterminer l'expression de la variation 
élémentaire d5 de la

différence de marche, en fonction de e, n et de la variation élémentaire da de 
05 .
II.16.e) Rappeler la définition littérale de l'interfrange.

Ze Ax

II.16.d) Montrer que l'interfrange moyen Ax vérifie la relation __, 2 : Â'
f n --O,5
II.16.e) En exploitant au mieux la figure E (document réponse) exprimer une 
première relation

entre 6 et n.

Expérience n° 2
On se place maintenant a incidence constante i0 : 45 ° et on fait varier  a 
l'aide du
monochromateur. On relève alors un spectre cannelé. Les longueurs d'onde 
éteintes sont notées Â19.
fil/1
p -- Â1
11.17 .b) En exploitant au mieux la figure F (document réponse), trouver une 
seconde relation entre
n et @.

11.17 .a) Etablir la relation : 26\/n2 --O,5 =

11.18 Comment peut-on en déduire @ et n ? Aucun calcul n'est demandé.

Fin de l'énoncé

15/15

Questions 11.3 et 11.4.

e
A
n > 1
Figure Al
Question 11.9

taille objet

Figure B

2/4

n>1

Figure A2

"

Question II.ll.a)

.EË

" .::.
; _5 £l
; '.
;" " H | ' {+"-.
!. P-'FÜ O2 Ls '.. /l Ü1
;
;
; .

. . ncufarre
1r übjECÜf

Ü""Ïi

Question 11.15 .a)

rayunincident - EUR

Lame d'air en réflexion

Figure D1

Figure C

rayun incident - EUR

Lame de verre en réflexion

Figure D2

3/4

Question II.16.e)

4

'

Îllll|llllllllllïl|Illlllllll
1 6 x(cm)

2 3 4 5
FigureE
Question 11.17 .b)
tensiun
|| de capteur
|||Irfl|llIl ""Il '-
||' || || | | | | |
| | | | | | | | | | | .
|| | | | | | | | ' |
|
| |
. |
_Ul l I I I ' ldl : I 5. I l I I l I l I I i | I_--
630 635 6:10 B£l5 650
FigureF

4/4

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique MP 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Louis Salkin (Professeur en CPGE) et Cyril Jean (ENS Ulm).

Ce sujet est constitué de deux problèmes indépendants. Le premier porte sur
l'électromagnétisme et l'électrocinétique ; il se propose d'étudier une 
technique envisagée pour réaliser des expériences de fusion nucléaire. Le 
second porte sur l'optique ;
l'objectif est de présenter deux méthodes de détermination de l'indice optique 
et de
l'épaisseur d'une lame de verre.
· Le premier problème débute par l'établissement de l'expression de l'inductance
linéique d'un câble coaxial. S'ensuit une analyse documentaire dont l'objectif 
est
d'introduire la technique de fusion qui fait l'objet de la suite du problème. 
Celleci utilise un dispositif dont la géométrie est semblable à celle du câble 
coaxial.
On cherche à comprendre en quoi l'induction magnétique conduit à un effet
de compression de la matière, qui est nécessaire à la fusion. On conclut cette
étude en s'interrogeant sur les valeurs des paramètres à choisir pour optimiser
la compression et l'énergie libérée via cette technique de fusion.
· C'est par des rappels sur les lois de Snell-Descartes que s'ouvre le second 
problème. On établit d'abord la relation de conjugaison d'une lame d'indice 
optique n, dans les conditions de Gauss. L'étude d'un viseur à frontale fixe est
ensuite proposée. Sur ce viseur, on ajoute un dispositif, utilisé dans les 
goniomètres, pour effectuer le réglage de la lunette. On montre alors qu'en 
assemblant
ces deux dispositifs, on est capable de mesurer avec une précision accrue le 
déplacement d'un objet réfléchissant placé devant la lunette. En positionnant 
une
lame de verre devant la lunette, on accède ainsi à son indice optique. Enfin, la
dernière partie propose d'effectuer cette mesure en combinant l'observation de
franges d'interférence sur un écran et l'analyse d'un spectre cannelé.
Le premier problème est assez facile, contrairement au second où l'assemblage 
des
différents éléments optiques (lentilles, miroirs, lame) et la convention 
d'orientation
des axes optiques compliquent grandement la résolution. Même lorsque l'énoncé 
ne le
demande pas, il est indispensable de prendre le temps de tracer des schémas 
optiques
propres pour faciliter les calculs.

Indications
Partie I
I.1.a L'angle  désigne l'azimut (noté d'ordinaire , en coordonnées 
cylindriques).
I.3.a Montrer que la force de Laplace subie par le conducteur est radiale.
I.5.d On néglige les pertes, donc il n'y a plus de dissipation.
I.5.e Puisque i est constant, que dire de  ?
I.6.a Utiliser le circuit électrique équivalent au circuit en l'absence de 
résistance.
I.9.c Le coût énergétique E s'écrit
E = Ef - E0 =

Ef
-1
E0

E0

I.10.c Le transfert d'énergie est optimum lorsque E = Edisp .
Partie II
II.5 Établir la relation de conjugaison pour chaque dioptre plan en utilisant 
des
relations de trigonométrie.
II.8 Décomposer O2 O1 en O2 O1 = f2 + F2 A + f1 .
II.11.b Contrairement à ce qui figure dans l'énoncé, Mi Ls = -100 mm.
II.11.c Introduire , l'image de R par L3 . Relier F3 , F3 R, f3 , et F2 R , F2 
, f2 .
II.11.d Il apparaît que O3 R = f3 , donc l'image de R par L3 est à l'infini.
II.11.e Utiliser le caractère afocal du système et appliquer le théorème de 
Thalès.
II.12.a L'énoncé comporte une erreur. Il faut lire « R sert d'objet au système 
{miroir M0 +lentille L2 } ». Dans les conditions d'étude, F2 R = -F2 A.
II.12.b Cette fois, F2 R = -F2 A - 2e.
II.13.c On peut accoler le miroir M0 et la lame, puis tracer la marche d'un 
rayon
lumineux.
II.13.d En utilisant la question II.5, montrer que

1
F2 R = -F2 A - 2e 1 -
n
II.16.d L'énoncé comporte une erreur, la formule demandée est :
-

e
x
p
=
f  n2 - 1/2

II.17.a Introduire un entier k et raisonner sur la (k -p)-ième longueur d'onde 
éteinte,
notée p .

Problème I
Les notations de la base cylindrique, introduites par l'énoncé, sont celles 
utilisées outre-Atlantique. L'angle  représente alors l'azimut (que l'on désigne
usuellement par la lettre  en Europe). Il ne faut pas se laisser dérouter par
ce changement de notation.
I.1.a Notons M un point quelconque de l'espace. Le plan contenant M et l'axe z  
z

-
est plan de symétrie pour la distribution de courant. Comme B est un vecteur 
axial,

-
B (M) est normal à ce plan donc
-

-
B (M) est porté par 
e .
La distribution de courant est invariante par translation selon l'axe z  z donc 
la
norme du champ magnétique est indépendante de z. Il y a également invariance par

-
rotation autour de cet axe donc la norme de B est également indépendante de la
coordonnée . Il s'ensuit que
-

B (M) = B() -
e
Une erreur répandue consiste à écrire que l'invariance par rotation autour de

-
l'axe z  z implique l'indépendance du vecteur B à la coordonnée . Cela est

-
faux : seule la norme de B ne dépend pas de . On peut s'en convaincre en

-
remarquant que lorsque  varie, le vecteur B tourne. Comme sa direction
change, le vecteur, lui, n'est pas invariant par rotation autour de z  z.
I.1.b Soit H le projeté orthogonal de M sur l'axe z  z. Considérons le cercle C 
de
rayon HM, de centre H, contenu dans le plan perpendiculaire à z  z et contenant 
H.
Ce contour constitue un lacet fermé sur lequel on applique le théorème d'Ampère 
:
I

 -
-
B · d  = µ0 Ienlacé
C

où Ienlacé est le courant enlacé par C . On a

 < a, Ienlacé = 0

 > b, Ienlacé = I - I = 0
I

 -
-
Dans les deux cas,
B · d = 0

z
H
C

C

-
-
Le long de C , d  est porté par 
e donc
I
B() d = 0
C

Comme l'intégration sur ce contour s'effectue à  = HM constant,
I
B()
d = B() 2  = 0
C

ce qui impose

-

-
B (M) = 0 lorsque  < a ou  > b.

z

M

I.1.c Ici Ienlacé = I,

I

-
- 

B · d  = B() 2  = µ0 I
C

-

µ0 I -

B (M) =
e
2 

Il s'ensuit que

(pour a <  < b)

-
I.2.a Notons  le flux de B à travers la surface considérée. Par définition,
ZZ
Z zP Z b
 -
-

=
B · dS =
dz
B()d
zS

PQRS

a

Injectons l'expression obtenue à la question précédente :
Z
µ0 I b d
=
2 a 
Ainsi,

=

µ0 I  b 
ln
2
a

I.2.b L'inductance propre L est le coefficient de proportionnalité entre le 
flux propre

-
 et l'intensité I qui génère le champ magnétique B propre. Formellement,
 = LI
De la question précédente, on déduit que
L=

µ0   b 
ln
2
a

I.2.c Évaluons l'expression précédente :
L = 2 ln 3 × 10-7 = 2,2.10-7 H
Cette valeur est bien celle de l'inductance d'un câble coaxial de longueur 1 m, 
utilisé
en travaux pratiques.
I.2.d Cette fois,

L = 1,32 ln 40 × 10-8 = 4,9.10-8 H

I.3.a D'après la question I.1.a, le champ ma
-
gnétique B (M) en point M du cylindre est se

lon -
e . Notons -
 = j-
ez le vecteur densité de
courant électrique dans le cylindre. L'élément
de volume d du cylindre, situé en M, est alors

-
soumis à la force d F Laplace :

-

-

d F Laplace = d -
  B (M) = -jd B(M) -
e

-

B

-j -
ez

j-
ez

-

B

-

d FLapla e

La force de Laplace est radiale et centripète. C'est elle qui est responsable 
de l'effet
de compression décrit dans l'annexe 1. Les
forces de Laplace conduisent à une compression du conducteur central.

-

B

-

B

L'annexe 1 contient une inexactitude regrettable : l'auteur indique que c'est la
force de Lorentz qui est responsable de la mise en mouvement de conducteurs