CCP Physique 1 MP 2014

Thème de l'épreuve Satellites, système articulé de quatre solides, onde thermique, pompe à chaleur géothermique
Principaux outils utilisés forces centrales, mécanique du solide, diffusion thermique, thermodynamique
Mots clefs satellite, théorème du moment cinétique, onde thermique, machine thermique, pompe à chaleur, géothermie, épaisseur de peau, orbite de transfert

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2014 MPP1003

.:==_ CONCOURS COMMUNS
-=- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet comporte quatre exercices indépendants.
Les exercices 1 et II portent sur la mécanique (de la page 2 à la page 8).
Les exercices III et IV portent sur la thermodynamique (de la page 9 à la page 
13).

1/13

MECANIQUE

La partie Mécanique du sujet comporte deux exercices indépendants.

EXERCICE 1 : SATELLITES

On s'intéresse au mouvement d'un point matériel P, de masse m, placé dans le 
champ newtonien

engendré par une masse M >> m. Cette dernière masse se situe à l'origine d'un 
repère Oxyz ; elle

sera considérée comme immobile dans le référentiel galiléen associé au repère 
Oxyz. L'attraction

de la masse M sur le pomt P s'ecr1t --

OÎ" où G est la constante de la gravitation, telle que

r3

G = 6,67.10_11N.m2.kg_2, r = ||fi|| .

I.]

1.2

1.3

Montrer que le mouvement de P est plan.

On suppose alors que le mouvement de P se situe dans le plan xOy et on repère 
la position

de P par ses coordonnées polaires r =HOPH et 6' = angle situé entre Ox et OE'. 
On note

---- OP -- . . -- , . --* . 7z
e,, = -- et 69 deux vecteurs umta1res, 69 se dedu1sant de e,, par une rotat10n 
de +îrad
r

dans le plan xOy (voir figure 1.1). Montrer que la quantité C = r2 % est une 
constante du
t

mouvement.

V

Figure 1.1 : repères

On rappelle les formules de Binet pour la vitesse et l'accélération radiale de 
P :

---- ---- -- ---- ---- d
vp=--C--du er+CueÛ er.ap=--C2u2 --Ï+u oùu=L
d9 d6' 7"

2/13

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

P
{1 + 5.6. cos (H -- 90 )]

où p > 0, EUR > O et 90 sont trois constantes (EUR =il). Exprimer p en fonction 
de C,M et G.

Montrer que l'équation polaire de la trajectoire s'écrit sous la forme r =

Pour 6 <1, on parle de trajectoires liées ; il s'agit d'ellipses dont on 
exprimera le demi--grand
axe a en fonction de p et de e (e est l'excentricité de l'ellipse).

Donner l'expression de l'énergie potentielle E ,, du point P moyennant 
l'hypothèse que

celle-ci s'annule à l'infini.

EC désignant l'énergie cinétique du point P, on appelle E =Ec +Ep l'énergie 
totale (ou

mécanique) de P. Donner l'expression de E en fonction de m, M, G et a.
Donner l'expression de T, la durée d'une révolution en fonction de a, M et G.

Les résultats obtenus vont être appliqués au système solaire pour lequel on 
précise les masses
du Soleil, de la Terre et de Mars, respectivement M S = 2,0.1030kg , mT = 
6,0.1024 kg,

mM = 6,42.1023kg.
Les trajectoires de la Terre et de Mars sont supposées :
- circulaires,
- de centre le Soleil et de rayons respectifs VT = 1,00 UA, rM = 1,52 UA

(i UA=1,50.10"m)

- situées dans le même plan.
Calculer les vitesses orbitales VT et VM de la Terre et de Mars.

Une sonde de masse m = 103 kg est en orbite autour de la Terre à une distance 
du centre de
celle--ci, négligeable devant rT . A l'instant t = 0, on ajuste la vitesse de 
la sonde de telle façon

que la sonde va devenir un satellite du Soleil. Dans cette question et dans la 
suivante, on
négligera donc l'attraction de la Terre et de Mars sur la sonde (voir figure 
1.2, page 4). A

t= O, 1; est perpendiculaire à l'axe Soleil--Terre ; on veut que l'ellipse 
décrite par la suite

vienne tangenter la trajectoire de Mars au point A.
Quelle est la valeur du grand axe de l'ellipse décrite '? Connaissant l'énergie 
potentielle à

t = 0 ainsi que l'énergie totale sur la trajectoire elliptique, déterminer la 
valeur de Hi}? ".

3/13

OÊ...8 @@ QËoe...OEA

O%...8 8Ë...Ëoe

fin:--d ....N ... cë. 008...3 % 5 mon...--@ 253 5 Ha...ä 9 Ë...Ë

--.Ë Om...o&OE ...m a:ä...oe >fi as Që.2 @@ 5 mo...--@@ % 5 1--93  ...Hou o: Ë...ëoä momo E:... @Omäos mam ©5598 8555 E&Ëm m5 5 mm:--d --.m.

ÛOEOEBËOE fi9EUR3$...o: @@ % ob 35305 @@ <>Ï wä 9 %... @:OE omËEOE ...oe 
 »--""Ca C'bl
y ; a eporteur
X /'x &; CDC
11
a
0

Figure II.] : dispositif d'ensemble représenté avec C3C4 vertical

6/13

Les roues reposent sur un câble porteur incliné d'un angle 05 par rapport à 
l'horizontale. Les solides
S1S2 S3 S 4 présentent tous le même plan moyen de symétrie; les schémas donnés 
seront tous

situés dans ce plan vertical.

S3 est soumis à l'action d'une force F, due à un câble tracteur, de ligne 
d'action parallèle au câble
porteur, d'intensité F, de point d'application H (voir figure II.], page 6). On 
note h = C3H la
distance séparant le point H de la ligne C1 C2. On appelle C le centre de masse 
de l'ensemble
S1 US2 US3 US4. Les points de contact des roues sur le câble sont notés 
respectivement 11 et 12.
Ce sont également les points d'application des réactions du câble sur les 
roues, réactions supposées
pouvant s'écrire comme suit : ÈÎ1 = Tle: + Nle_y et 972 = T2EURÎc + N2 6: . On 
note g l'accélération due

àla pesanteur ; pour les applications, on pourra prendre g = 10 m.s_2.

On donne : a=30°, m=20 kg, m'=60 kg, M=200 kg, EUR=C1C3=C3CZ=O,SO m,

r=0,2 m, h=0,3 m, j=0,5 kg.m2, J=250 kg.m2, C3C4 =1,5 m.
Dans la suite de l'exercice, les roues vont rouler sans glisser sur le câble 
porteur et on notera

VC1 = VC2 = VC3 = v.ex la vitesse instantanée des points C1 , C2 ou C3.

II.] Déterminer la position de C en calculant CC3 = d ; on pourra utiliser la 
notation mT pour

désigner la masse totale de l'ensemble S1 US2 US3 US4.

11.2 Les vitesses de rotation instantanée des roues s'écrivant co= æeZ . 
Etablir pour chacune la

relation de non glissement donnant a) en fonction de v et de r.

[1.3 Par application du théorème du moment cinétique appliqué à 51 (ou S2 ), 
trouver les

expressions de T1 et T 2 en fonction de j, v et r.

[1.4 Pour les questions 11.4 à 11.8, on suppose une vitesse v positive et 
constante. On suppose
également que 54 est au repos relativement à S3, les points C4, C, C3 se 
situant sur la

même verticale. Dans ces conditions, donner la valeur de T1 ou T 2.
En utilisant le théorème de la résultante cinétique, établir les expressions de 
F, Nl +N2 en

fonction de mT, g et a.
[15 Considérant l'ensemble 51 US2 US3, établir une seconde relation liant Nl et 
N2.
II.6 D'après les résultats obtenus, exprimer N1, N2 en fonction de h, K, &, mT 
et g.

II.7 Quelle est la condition portant sur la nécessaire pour assurer le contact 
des roues sur le câble '?
(application numérique demandée).

11.8 Si 54 effectue de petites oscillations autour de la verticale, exprimer 
puis calculer la pulsation
de celles--ci.

[1.9 On considère maintenant un mouvement uniformément retardé (soit \} = 
constante < 0).
Dans cette situation, S4 occupe une position repérée par l'angle ,5', angle 
compris entre la

7/13

verticale et C3 C4 (voir figure 11.2). S4 est soumis à son poids propre et à 
une réaction d'axe
appliquée en C3, ayant pour origine l'articulation S 4_S3 et notée 9? = T e: + 
N e: .

Déterminer T et N en fonction de M , g, a et \>.

ÛQ1

Câble p orteur

Figure [1.2 : mouvement uniformément retardé

11.10 Déterminer l'expression de tan(fl --a) en fonction de a et 1.
g

. . . , . fi
Faire l'application numer1que pour -- = -- 0,1.

11,11 Exprimer F en fonction de mT, g, a, \>, j et r.

. . . , . v
Fa1re l'app11cat10n numer1que pour -- = -- 0,1.

11.12 Déterminer les expressions de NI et N2-

8/13

THERMODYNAMIQUE - GEOTHERMIE

La raréfaction des ressources d'énergie majoritairement utilisées de nos jours 
(énergies fossiles)
pose la question de la recherche de nouvelles sources d'énergie, parmi 
lesquelles figure la
géothermie. La géothermie est la science qui étudie les transferts thermiques 
au sein du globe
terrestre et, par extension, désigne les procédés mis en oeuvre pour les 
exploiter.

Ce sujet illustre l'apport de la géothermie sur le fonctionnement d'une pompe à 
chaleur domestique.

Dans un premier exercice, nous étudierons le champ de température dans la 
couche superficielle du
sol terrestre. Le deuxième exercice aborde l'étude d'une pompe à chaleur 
géothermique. Les deux
exercices sont très largement indépendants.

EXERCICE III : ONDE THERMIQUE

L'objet de cette partie est d'étudier l'amortissement dans le sol des 
variations quotidiennes et
annuelles de température, en vue de l'enfouissement d'une canalisation d'une 
installation
géothermique.

On se place en repère cartésien. La surface du sol, supposée plane et 
d'extension infinie, coïncide
avec le plan (Oxy) (voir figure III.1). La température au niveau de cette 
surface, notée T (O,t) ,

varie sinusoïdalement en fonction du temps t avec la pulsation 50 autour d'une 
moyenne TO :
T (O,t)=îb +acos(w t), où a est une constante. Soit un point M dans le sol 
repéré par ses
coordonnées (x, y,z), avec 2 Z 0. On cherche à déterminer le champ de 
température en M, noté

T(M,t).

Surface du sol (2 = O)

OA / T(O,t)=îî, +acos(wt)x

\'J >

Sol

Figure III.] : repérage adopté pour l'étude de l'onde thermique
III.] Justifier que T (M ,t) ne dépend ni de x ni de y. On notera dans la suite 
: T (M ,t) =T (z,t).

III.2 Donner l'expression de la loi de Fourier relative à la conduction 
thermique, en rappelant les
grandeurs intervenant dans cette loi. On notera xi la conductivité thermique du 
sol, supposée
constante. Citer une loi physique analogue à la loi de Fourier.

9/13

On travaille avec l'écart de température par rapport à T0 en posant: Û(z,t) 
=T(z,t)--TO. Tout

autre phénomène que la conduction thermique est négligé On donne, dans le cadre 
de notre modèle,

, _ ÔH(2,t) 829(z,t) _ , _ _
l'equat10n de la chaleur : poê-- = ÂÔ--2 , ou p et c des1gnent respectivement 
la masse
Z Z

volumique et la capacité thermique massique du sol. Ces deux paramètres sont 
supposés constants.

On cherche la solution de l'équation de la chaleur en régime sinusoïdal 
permanent. A cet effet, on
introduit la variable complexe : Q(z,t)= f(z)ejwt , avec J'2 =--l et f (2) une 
fonction de z.

L'inconnue H(z,t) est alors donnée par : Û(z,t) = Re(Q(z,t)), où Re désigne la 
partie réelle

III.3 Déterminer l'équation différentielle vérifiée par f (2). On fera 
intervenir la diffusivité

thermique du sol donnée par : D = & .
pc

III.4 Exprimer la solution générale de cette équation, en faisant intervenir 
deux constantes
d'intégration notées A et B. Par un argument physique à préciser, montrer que 
l'une de ces
constantes est nulle.

__ ][ t--)
1115 Montrer que Q(z,t) se met sous la forme: Q(z,t)=a @ 5><10_6 m2.s_1. Calculer 
numériquement L... dans

les deux cas suivants :

0 Cas n° 1 : variation quotidienne de température ;
0 Cas n° 2 : variation annuelle de température.

A quelle profondeur préconiseriez-vous d'enfouir la canalisation de 
l'installation
géothermique '?

III.9 Calculer littéralement puis numériquement le décalage temporel At entre T 
(2 =L...,t) et

T (OJ) dans les deux cas de la question 111.8.

111.10 Le modèle développé vous paraît-il pertinent '? Quels phénomènes non 
pris en compte dans
le modéle peuvent intervenir '? Répondre succinctement.

10/13

EXERCICE IV : POMPE A CHALEUR GEOTHERMIQUE

Cette partie traite du fonctionnement d'une pompe à chaleur (PAC) géothermique. 
Après quelques
rappels et généralités, nous aborderons l'étude détaillée d'une PAC 
géothermique.

Le fluide caloporteur utilisé dans la PAC est le 1,1,1,2-tétrafluoroéthane, de 
nom commercial
R--134a. Il sera désigné plus simplement "fluide" dans la suite. Lorsqu'il est 
à l'état gazeux, le

fluide est supposé suivre la loi des gaz parfaits On donne la valeur numérique 
de la constante des

gaz parfaits: R=8,31 J.mol_1.K_l. Lorsqu'il est à l'état liquide, le fluide est 
supposé être
indilatable et incompressible.

On note :

M = 102, 0 g.mol_1 la masse molaire du fluide ;
CV la capacité thermique massique à volume constant du fluide à l'état gazeux ;

CP la capacité thermique massique à pression constante du fluide à l'état 
gazeux ;

cP . , . . . . .

7/ = -- = 1,18 le rapport des capacités thermiques mass1ques a press1on et a 
volume constant ;
CV

lV (T) l'enthalpie massique de vaporisation du fluide à la température T ;

hV (T) l'enthalpie massique de la vapeur saturante à la température T ;

hL (T) l'enthalpie massique du liquide saturant à la température T ;

La température du point critique du fluide vaut : T = 373 K.

crit

Les données numériques utiles sont rassemblées dans le tableau ci-dessous :

T (K) p....(bar) hV(T)(kJ.kg_l) hL(T)(kJ.kg_l)

323 13, 2 421, 9 270, 5
288 4,88 405,6 220,1

Tableau 1 - Données thermodynamiques relatives au fluide étudié.
P... est la pression de vapeur saturante du fluide à la température donnée.

Rappels et généralités

IV.]

IV.2

Dessiner l'allure du diagramme de Clapeyron d'un fluide. On rappelle que le 
diagramme de
Clapeyron porte en abscisse le volume massique v et en ordonnée la pression p 
pour les
différents états de la matière d'un corps. On se restreindra ici aux états 
liquide et gaz. Placer
les domaines : liquide, gaz, mélange liquide -- gaz. Définir et placer sur ce 
diagramme : la
courbe de rosée, la courbe d'ébullition, le point critique Dessiner l'allure de 
trois isothermes

de températures T a, Ten--t, 1}, avec : T a  (2) : à partir d'un état de vapeur saturante (l) à la température 
T f = 288 K et
la pression p f, le fluide subit une compression adiabatique supposée 
réversible qui l'amène

à un état (2) , vapeur sèche à la pression pc et à la température T 2.

Etape (2) --> (3) : le fluide est mis en contact avec un premier thermostat à 
la température
TC = 323 K, ce qui a pour effet de le refroidir de façon isobare à l'état de 
vapeur saturante à

la température T C puis de le liquéfier entiérement. On note (3) l'état final 
de cette

transformation, où le fluide est à l'état de liquide saturant.

Etape (3) --> (4) : le fluide passe dans un robinet à laminage, ce qui lui fait 
subir une détente
de Joule-Kelvin. A l'état final, noté (4), le fluide diphasé est à la pression 
p f et possède

un titre massique en vapeur noté x.

Etape (4) --> (1) : le fluide dans l'état (4) est mis en contact avec le second 
thermostat à la

tem érature T , ce ui a our effet de le ramener à l'état 1 .
P f q P

Pour une PAC traditionnelle, dite air-air, le rôle du thermostat à la 
température T f est joué par l'air

extérieur à la maison.

Dans une PAC géothermique, ce même thermostat est constitué par un fluide 
frigorigène, en général
de l'eau glycolée, c'est-à-dire un mélange d'eau et d'éthane-l,2-diol. L'eau 
glycolée est en contact
thermique via un échangeur thermique avec l'eau d'une nappe souterraine : on 
parle de PAC sur
aquifère.

12/13

IV.4 Allure du cycle.

IV.5

IV.6

IV.7

a.

Dessiner le cycle thermodynamique décrit par le fluide de la PAC dans le 
diagramme de
Clapeyron. On fera figurer les isothermes T C et T f, ainsi que les points 
représentatifs des

états (l), (2), (3) et (4).

. Préciser lors de quelle(s) étape(s) le transfert thermique qc est réalisé 
Même question

pour qf.

. Préciser, lors de l'étape (2) --> (3), ce qui concrètement joue le rôle du 
thermostat.

Intérêt d'une PAC sur aquifère.

a.

b.

Par quoi est représenté le travail w sur le diagramme de Clapeyron '?

Montrer qu'en augmentant T f, T C étant fixée par ailleurs, on augmente 
l'efficacité de la

PAC. On demande de raisonner de façon qualitative sur l'efficacité de la PAC, 
donc sur les
échanges d'énergie et non sur l'efficacité de Carnot de la PAC.

Justifier l'avantage d'une PAC sur aquifère par rapport à une PAC air-air.

Détermination de qc.

a.

Déterminer la température au point (2), T2, en fonction de Tf, y, p f et pc. 
Calculer

numériquement T 2.

. Déterminer qc en fonction de R, 7/, M, de la différence de température TC 
--T2 et de

[V (TC ). Calculer numériquement qc.

. Comparer numériquement les deux termes intervenant dans l'expression de qc.

Commenter.

Détermination du titre en vapeur à l'état (4).

a.

b.

Lors de l'étape (3) -->(4), le fluide subit une détente de Joule-Kelvin. Citer 
la fonction

d'état conservée lors d'une telle détente (aucune démonstration n'est demandée).

A l'aide des données du tableau 1 (page 11), déterminer littéralement puis 
numériquement
le titre en vapeur à l'état (4), noté x.

IV.8 Déterminer qf en fonction de x et IV (T f ). Calculer numériquement qf.

IV.9 Exprimer littéralement puis calculer numériquement w.

IV.10 Efficacité de la PAC.

a.

b.

Exprimer littéralement puis calculer numériquement l'efficacité @ de la PAC.

Exprimer littéralement puis calculer numériquement l'efficacité de Carnot, eC. 
A-t--on
e=eC '? Expliquer lors de quelle(s) étape(s) il y a irréversibilité, ainsi que 
l'origine
physique précise de celle--ci.

Fin de l'énoncé.

13/13

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 MP 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Nicolas Bruot (ENS Cachan) ; il a été relu par Tom
Morel (Professeur en CPGE) et Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à 
l'université).

Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants couvrant différents 
aspects
du programme.
· L'exercice I étudie la mise en orbite d'un satellite autour de Mars. Il fait 
appel
à la mécanique du point matériel dans un champ gravitationnel.
· L'exercice II propose l'étude du mouvement d'un chariot le long d'un câble
incliné. Il donne l'occasion de manipuler les théorèmes de la résultante 
cinétique
et du moment cinétique pour des solides dans différents référentiels.
· L'exercice III aborde les variations de la température du sol dues aux 
variations
quotidiennes et saisonnières de la température de l'atmosphère. L'équation de
la diffusion y est résolue en plusieurs étapes.
· L'exercice IV a pour objet l'étude du cycle thermodynamique d'une pompe à
chaleur. Il débute avec de nombreuses questions de cours sur le gaz parfait et 
le
diagramme de Clapeyron, pour lesquelles aucune démonstration n'est demandée
mais dont la méconnaissance empêcherait de terminer le problème.
Ce sujet long et varié comporte un nombre très important de questions de cours,
ce qui le rend très adapté pour tester si vous avez compris et assimilé ce 
dernier.
Dans les problèmes III et IV, les interprétations des résultats obtenus sont 
d'un
niveau assez avancé. Les exercices I, III et IV sont entièrement compatibles 
avec le
programme de prépa en vigueur depuis la rentrée 2014.

Indications
Exercice I

I.3 On pourra projeter le principe fondamental de la dynamique sur -
er et utiliser
la deuxième formule de Binet.
I.4 Prendre  = +1. En quoi ce choix influence-t-il la solution traitée ?
I.6 Calculer l'énergie mécanique en  = 0 .
I.9 Exprimer l'énergie mécanique à t = 0 puis se servir du résultat de la 
question I.6.
I.10 La durée du trajet entre P et A est égale à la moitié de la période de 
révolution T.
I.12 Appliquer le principe fondamental de la dynamique au module P1 .
Exercice II
II.1 Pour simplifier le calcul, considérer le système S1  S2  S3 dans le calcul 
du
centre de masse de S1  S2  S3  S4 .
II.2 Utiliser la relation

--
-

v (I1  roue) = -
v (C1 ) + -
  C 1 I1
et la condition de roulement sans glissement.
II.5 Appliquer le théorème du moment cinétique sur le système S1  S2  S3 .
II.7 La condition se résume à N1 > 0.

II.10 Exprimer le rapport N/T sous la forme de la tangente d'un angle.
II.12 S'inspirer des questions II.4 à II.6.
Exercice III
 2
III.4 On rappelle que (1 + j)/ 2 = j.

III.9 Remarquer que le champ de température a une composante correspondant à
une onde propagative.
Exercice IV

IV.3.b e est majoré pour un cycle réversible.
IV.6.a La loi de Laplace relie certaines grandeurs thermodynamiques pour une 
transformation adiabatique et réversible d'un gaz parfait.
IV.6.b Considérer séparément la partie de la transformation correspondant à un
refroidissement du gaz et la partie correspondant à un changement d'état.
IV.7.b Remplacer (en le justifiant) l'étape conduisant au transfert thermique q 
c par
la succession de deux transformations plus simples.
IV.9 Relier w à q c et q f .

I. Satellites
-
I.1 Notons LO le moment cinétique du point P, par rapport à O, dans le 
référentiel
galiléen. D'après le théorème du moment cinétique,
-
- -

-
dLO
m M G -
= OP  F
avec
F =-
OP
dt
r3
- -

Comme OP et F sont dans la même direction, le produit vectoriel est nul et
- -
LO = Cte
D'après la définition du moment cinétique,
-
- 
LO = m OP  -
vP
-

où v P est la vitesse du point P. Cette vitesse est donc perpendiculaire à tout 
instant
-
au vecteur constant LO . Il en résulte que le point P reste dans le plan 
perpendiculaire
-
à LO et passant par O, et donc que le mouvement est plan.
-
I.2 Réécrivons LO en utilisant les coordonnées polaires :

-
d  -

LO = mr -
er 
r
er
dt

dr -
d -

-

= mr er 
er + r
e
dt
dt
-
d -

LO = mr2
ez
dt
-
D'après la question précédente, LO est un vecteur constant, donc
C = r2

d
est une constante du mouvement.
dt

I.3 Le principe fondamental de la dynamique appliqué au point P dans le 
référentiel
galiléen centré en O s'écrit
m-
a
P = -

m M G-

er
r2

-
Projetons cette égalité sur 
er et utilisons la deuxième formule de Binet pour l'accélération :

 2
mMG
d u
-m C2 u2
+
u
=-
2
d
r2
d2 u
MG
+u= 2
2
d
C
C'est une équation différentielle du deuxième ordre à coefficients constants 
dont les
solutions sont de la forme u() = u0 + u1 , avec u0 = MG/C2 une solution 
particulière
et u1 la solution générale de l'équation homogène associée, qui s'écrit
soit, puisque u = 1/r,

u1 () = A cos( - )
où A et  sont deux constantes. Comme u = 1/r,

1
MG
AC2
= u0 () + u1 () = 2 1 +
cos( - )
r()
C
MG
d'où

r() =

puis

r() =

C2 /(MG)
1+

[AC2 /(MG)] cos(

p
1 + e cos( - 0 )

- )
avec

p=

C2
MG

et avec 0 =  et e = AC2 /(MG) deux constantes dépendant des conditions 
initiales.
D'autres méthodes permettent d'obtenir la trajectoire du corps. Ainsi, les
méthodes du vecteur excentricité et du vecteur de Runge-Lenz apparaissant
parfois aux concours, il est utile de les connaître.
I.4 La trajectoire est une ellipse dont l'un des foyers est le point O. Prenons 
par
exemple le cas  = +1 (dans l'autre cas, il suffit d'intervertir rmin et rmax ). 
Le schéma
ci-dessous représente la trajectoire dans le cas 0 = 0.
P
-

ey

rmax

rmin
O

-

ex

2a
Le demi-grand axe vérifie

donc
d'où

2a = rmin + rmax
= r (0 ) + r (0 + )
p
p
=
+
1+e 1-e
p (1 - e) + p (1 + e)
2a =
1 - e2
p
a=
1 - e2

Bien que les ellipses ne soient plus au programme, les méthodes de calcul de
la question I.3 et des énergies potentielle, cinétique et mécanique développées
dans les deux questions suivantes le sont. Il faut savoir établir l'équation du
mouvement d'une planète, et savoir effectuer les calculs des énergies pour une
trajectoire d'équation donnée, qui sera normalement désormais donnée dans
l'énoncé.

-
I.5 La force de gravitation F est conservative et dérive d'une énergie 
potentielle
--

-

Ep telle que F = - grad Ep . On a donc, en projetant cette relation sur -
er ,