CCP Physique 1 MP 2013

Thème de l'épreuve Étude mécanique d'une moto. Isolation thermique.
Principaux outils utilisés thermodynamique, mécanique du solide
Mots clefs moto, isolation

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


m@mm--OZ N--Zæ Ëww38

_,- OOZOOCIOE OOE=SCZOE
V0r 2 !
relat1vement a un axe (02,62), J2 = lOkg.m . Lorsque la moto se deplace, les 
deux roues en
contact avec la chaussée supposée horizontale, les points de contact des roues 
avant et arrière sont
notés ]1 et I,. Les réactions du sol sur les roues sont respectivement 931 
=Tlêx +Nlêy et

_»

ER, = T ,êx + N 2êy. Le coefficient de frottement des roues sur le sol est f = 
0,8 ; il ne sera pas fait

de distinction entre le coefficient de frottement statique et le coefficient de 
frottement dynamique. A
un instant donné quelconque, la vitesse instantanée de l'ensemble est 17 = v.ëx 
(on se limitera au cas

v > 0). De même, on note @@ et w,êz, les vitesses de rotation instantanées des 
roues avant et
arrière.

On supposera toujours que les roues roulent sans glisser sur le sol. De plus, 
pour les questions allant
de 1.1 à 1.14, on négligera l'action de l'air ambiant sur la moto et son 
conducteur (il peut s'agir, par
exemple, d'une phase de démarrage pour laquelle la vitesse n'est pas élevée).

A y
iË Roue arrière Roue avant
\
G
A
@ h

ey 0 , x_
-- 1 i 11 g '
ex ' 5 d, d, :

Figure 1 : vue dans le plan vertical x0y
2/13

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1.10

1.11

Ecrire les relations de non glissement des roues sur le sol ; en déduire les 
expressions de 501 et

(:)2 en fonct10n de v, '"1» 73.

On note 61 (01) et &, (O2 ), les moments cinétiques en 01 et 02 des roues avant 
et arrière (il
s'agit de moments pour un observateur du repère Oxyz ). Donner les expressions 
de 61 (01) et
62 (O,) en fonction de J], @, J2, a)2.

Montrer que le moment cinétique â(G) de l'ensemble moto + conducteur 
relativement au

point G, moment pour un observateur du repère Oxyz, se limite à la somme des 
moments
précédents (on pourra utiliser le théorème de Koenig faisant référence au repère
barycentrique).

En utilisant le théorème de la résultante dynamique, donner deux expressions @ 
et @ liant
N1, N2» T1, T2, M, g, v (accélération instantanée).

En utilisant le théorème du moment cinétique, donner une expression @ liant N1, 
N2» T1, T2
et h, dl, d2, Jl, ïi, J2, 7/2, '>-

En appliquant le théorème du moment cinétique à la roue avant, établir une 
relation @ entre
Tl, J1, '"1» v (il est à noter que l'articulation de cette roue sur le reste de 
la moto est supposée

parfaite et que cette roue n'est soumise à aucun couple).

A partir des relations obtenues, écrire N1, N2» T1, T2 en fonction de v.
. \> ,
Pour une accéléraüon telle que -- = 0,1, montrer que les roues ne decollent pas 
du sol.

De même, montrer qu'il n'y a pas glissement sur le sol, pour cette accélération.

Le moteur exerce un couple sur la roue arrière noté Î.ëZ (P < 0 puisqu'il 
s'agit du couple

moteur; il n'y a pas de couple exercé sur la roue arrière). Par application du 
moment
cinétique à la roue arrière, expliciter la relation liant le couple et 
l'accélération.

On suppose le couple constant, ce qui correspond à une accélération constante. 
Exprimer la
puissance instantanée G? transmise par le moteur àla roue arrière motrice.

Pour les questions 1.12 à 1.14, on suppose que le pilote parvient à soulever du 
sol la roue avant de
son véhicule et on notera 9 l'angle d'inclinaison de 0102 par rapport à 
l'horizontale (voir figures 2

et 3, page 4).

3/13

Roue avant

#

Roue arrière

Figure 2 : moto inclinée de 9
par rapport à l'horizontale

Figure 3 : détail du point de contact

1.12 En supposant négligeable la vitesse de rotation de la roue avant, exprimer 
le moment cinétique
en G de l'ensemble (il s'agit du moment cinétique pour un observateur du repère 
Oxyz ).

1.13 Déterminer le moment en G des forces s'appliquant à l'ensemble moto + 
conducteur.

1.14 D'après les deux questions précédentes, donner une équation permettant le 
calcul de l'angle 19.

Donner la valeur numérique de cet angle, pour 1 = O, 2 en utilisant le graphe 
de la figure 4.

150

ï Moment / G pour 1 = 0,2 /
100 ÿ--<_ g /

exprimé en N.m

50 *

10 * 12 14 16 18 / 20 + 22 24
* /
/ ,
-- / 9 en degres
-50 * ///

-100

Figure 4 : moment / G des forces appliquées à l'ensemble
moto + conducteur en fonction de 9

4/13

1.15 A partir de cette question, on suppose que la moto roule de nouveau sur 
ses deux roues, le
moteur exerçant un couple constant sur la seule roue arrière, couple noté Î.ëZ 
(P < 0).

Comme on s'intéresse à une phase où la vitesse v peut être plus grande que 
celles des
questions précédentes, il est maintenant nécessaire d'introduire une force 
supplémentaire de

. \ . , . "' 2_,
fremage, due a l'env1ronnement de l'ensemble. Cette force s'ecr1ra F = --kv ex 
et l'on

supposera, pour simplifier, que sa ligne d'action horizontale passe par le 
point G.
Etablir l'équation différentielle pour v (reprendre les équations @ à @ et 
tenir compte de la

force Ë ), équation @.

1.16 Montrer qu'il existe, pour la vitesse v, une valeur limite "; dont on 
donnera l'expression en

fonction du couple et des autres paramètres.

, . , . . 2 2 , .
1.17 Montrer que l'equat10n @ peut s'ecr1re sous la forme v+a.v =a.v, . On 
prec1sera

l'expression de la constante a en fonction de k,M , J1, J2, rl, @.

1.18 En supposant que la vitesse est nulle à l'instant t= O, établir la 
solution de l'équation
"!

précédente. Pour cela, on pourra introduire le changement de fonction suivant : 
u = .
v -- v
1

PARTIE 2 -- Point matériel dans un fluide

Il s'agit de l'étude du mouvement d'un point matériel se déplaçant dans un 
fluide.
Soit 9% un premier référentiel galiléen auquel est associé un repère orthonormé 
direct d'axes OX,

OY, OZ. Les vecteurs unitaires associés à ces axes sont notés Ëx,Ëy ,ËZ . Ce 
repère lié à la Terre est
considéré comme fixe. L'axe OZ est vertical ascendant, l'accélération due à la 
pesanteur sera notée
â = --gEz-

Soit 9% ' un second référentiel auquel est associé un repère orthonormé direct 
d'axes Ox, Oy, 02.
Les vecteurs unitaires associés à ces axes sont notés êx,êy,êZ. Ce second 
repère mobile effectue un
mouvement de rotation uniforme relativement à ER. Les axes 02 et OZ coïncident 
et l'on posera

(ËX,ëx) = w.t où a), la vitesse de rotation, est supposée constante (voir 
figures Sa et b, page 6). Un

récipient lié à 9% ', figuré en pointillés, renferme un volume fluide supposé 
au repos relativement à
ER ', la masse volumique du fluide étant notée p.
Une particule pesante, de masse m et de masse volumique p, se déplace au sein 
du fluide sous

l'action de son poids, d'une force F (et par la suite d'une force 
supplémentaire). On suppose que la

__ __ --)
force F s'écrit sous la forme F = --k.Op +£.m.g.ê, , avec k = £.m.w2, une 
constante positive et

Ps PS
19 désignant la projection du point P sur le plan horizontal (cette force est 
la résultante des forces de

pression s'exerçant sur la particule). Par la suite, seul le cas & >l sera 
considéré. On repère la

Ps
position de P par ses coordonnées X, Y, Z (relativement à ER ) ou x, y, z 
(relativement à ER ').

5/13

2.1

2.2

2.2.1

2.2.2

2.3

__,___________
- \-
-,_, \-_

,
_

,,
_,--

_. P y
g . X
__________________ /y
' _ 0 Y
\ «| {EUR./'
X w.t x
Figure Sa : vue dans l'espace Figure 5b : vue dans le plan horizontal

Etablir les trois équations différentielles du mouvement de P pour un 
observateur de 9% , c'est-
à-dire pour les variables X, Y et Z, fonctions du temps (équations I, II et 
III). Donner la
solution générale des équations différentielles I et II et préciser la nature 
de la trajectoire du
point 19, trajectoire vue de ER.

Etude de quelques cas particuliers

Dans le cas des conditions initiales suivantes :
X(O) = XO, X(O) = 0, Y (0) = O, Y (O) = XO \/Ê , préciser la nature de la 
trajectoire du point 19
m

(trajectoire dans ER) ainsi que la vitesse angulaire de parcours sur cette 
courbe. Indiquer la
nature de cette même trajectoire vue de 9% ' ainsi que la vitesse angulaire de 
parcours.

Pour les conditions initiales suivantes :
X (0) = X 09 X(O) = U , Y (0) = O, Y (O) = 0 , établir les solutions de I et II 
; préciser la nature

de la trajectoire vue de ER.

A partir de maintenant, on va tenir compte d'une force supplémentaire E,, 
trouvant son

origine dans la viscosité du fluide. Cette force s'écrit FV = --,uÿ, où ,a 
désigne une constante
positive, 17, étant la vitesse de P par rapport à 9% '. On va maintenant 
déterminer les équations

différentielles du mouvement pour un observateur de 9% ', c'est-à-dire pour les 
variables x, y
et 2, fonctions du temps. Exprimer, suivant ë ê ê les vecteurs ZI}, Zic, âe , 
respectivement

x? y? z)

accélération relative, de Coriolis et d'entraînement du point P.

6/13

2.4

2.5

2.6

En utilisant les résultats de la question 2.3, établir les équations 
différentielles du mouvement
pour x et y (équations IV et V).

Des solutions approchées de ces équations IV et V peuvent être obtenues en 
supposant

l'accélération de Coriolis négligeable devant l'accélération d'entrainement. 
Etablir les
expressions de x et y en fonction du temps. Pour simplifier l'écriture, on 
pourra poser

k ' \ ° ! r ! ° ! ° \
Q = ,/-- -- 502 et 2£ = xl , cette dern1ere quant1te etant supposee 1nfer1eure 
a Q.
m m

Pour l --> +oo , quelle est la position dep ?

7/13

THERMODYNAMIQUE

Bilan thermique d'une maison climatisée

Ce problème se compose de deux parties. La première partie, indépendante de la 
seconde, porte sur
une étude du double vitrage. Dans cette première partie, beaucoup de questions 
ne dépendent pas
des précédentes. Nous analysons l'intérêt d'utiliser 2 vitres ainsi que les 
solutions technologiques
actuellement employées pour réduire les pertes thermiques. La seconde partie 
aborde le
fonctionnement du climatiseur d'un point de vue très général puis le bilan 
thermique d'une maison
climatisée en présence d'air sec.

Données du problème :
Constante de Stefan : a = 5,67 >< 10_8 W.m_2.K_4.

Constante des gaz parfaits : R = 8,315 J.mol_l.K_l.

PARTIE 3 -- Comparaison des fenêtres à double vitrage

On suppose qu'un corps noir au fond d'une cavité est éclairé par le soleil. 
L'ensemble du problème
sera unidimensionnel. Le corps noir ne rayonne que d'un côté. Une fenêtre est 
interposée entre le
soleil et le corps noir comme représenté sur la figure 6.

SOIGH Fenêtre
lsolant
thermique
., Corps sans rôle
noir
7 *

Figure 6 : corps noir recouvert d'une vitre éclairé par un rayonnement solaire

Dans cette partie, le corps noir sera supposé parfait, absorbant l'intégralité 
du rayonnement incident
et réémettant tout le rayonnement absorbé. Toutes les vitres sont en verre que 
l'on suppose
parfaitement transparent au rayonnement solaire et se comportant comme un corps 
noir dans
l'infrarouge lointain. Dans cette partie du problème, on supposera que le flux 
surfacique solaire

incident ç0S , normal au corps noir, est égal à 1000 W.m_2 .

3.1 Questions préliminaires

3.1.1 Donner la loi du déplacement de Wien reliant la température du corps noir 
TCN et la

longueur d'onde Âm du maximum d'émission du corps noir en um.

8/13

3.1.2

3.1.3

Indiquer dans quel domaine spectral émet un corps noir chauffé à 300K et à 5800K
(température du soleil).

Le verre est globalement transparent pour le rayonnement solaire (le soleil 
émet dans le
visible) et se comporte comme un corps noir dans l'infrarouge lointain (issu 
des corps à
température ambiante). Sachant que 95 % du rayonnement d'un corps noir est 
concentré
entre 0,5 Â... et 8 À..., déterminer la longueur d'onde approximative à 
laquelle le verre change
de comportement. Les constructeurs en fonction du type de verre donnent 3 - 4 
um.

3.2 Comparaison du simple et du double vitrage

3.2.1

3.2.2

La fenêtre est composée d'une simple vitre (température 111 ). A partir d'un 
bilan radiatif et

sans tenir compte de la présence d'air, déterminer la température du corps noir 
TCNa en

régime stationnaire. Effectuer l'application numérique pour T CNC, (gas = 1000 
W.m_2 ).

La fenêtre est maintenant composée d'un double vitrage. La vitre extérieure est 
à la
température TV1 et la vitre face au corps noir à la température TV2. A partir 
d'un bilan

radiatif et sans tenir compte de la présence d'air, déterminer la température 
du corps noir
T CN,, en regime stat10nna1re.

Effectuer l'application numérique pour T CN,, (gps = 1000 W.m_2 ).

On cherche maintenant une durée caractéristique de la décroissance de la 
température pour les
différentes fenêtres. On ne tient toujours pas compte de l'air. On suppose que 
le corps noir est à la
température de T = 333K à t = Os , qu'il rayonne et se refroidit. Il ne reçoit 
plus de rayonnement

solaire. Sachant que le corps noir a une capacité thermique C = 104 HC1 , une 
surface A de lm2 et

que la capacité thermique des vitres est négligeable :

3.2.3

3.2.4

Déterminer la durée Ta pour que le corps noir soit à une température de T1 = 
300K pour le

simple vitrage. Effectuer l'application numérique et donner cette durée en 
minutes et
secondes.

Déterminer la durée Tb pour que le corps noir soit à une température de T1 = 
300K pour le

double vitrage. Exprimer Tb en fonction de Ta. L'application numérique n'est 
pas demandée.

3.3 Amélioration par métallisation externe

3.3.1

Sur la face la plus externe du double vitrage à la température TV1 , est 
déposée une fine

couche métallique ou un revêtement à faible émission thermique. On suppose que 
cette
couche transmet intégralement le flux solaire et réduit de moitié l'émission de 
cette face. En

! ! ° - , - . 1 4
consequence, on devra ecr1re que le flux surfac1que émis par la v1tre vaut ça = 
îO'T pour

la face métallisée et ça = 0'T4 pour la face non métallisée. A partir d'un 
bilan radiatif et sans

tenir compte de la présence d'air, déterminer la température T CNC du corps 
noir. La

9/13

température de la vitre face au corps noir est notée Tv2. Effectuer 
l'application numérique

pour T CNC (gps = 1000 W.m_2 ).

3.3.2 Déterminer la durée caractéristique TC de la décroissance de la 
température pour passer de
T2 = 333K à T1 = 300K pour cette fenêtre. Comme précédemment, on suppose que le
corps noir ne reçoit plus de rayonnement solaire, qu'il a une capacité thermique
C = 104 J .K_1 , une surface A de lm2 et que la capacité thermique des vitres 
est négligeable.
Exprimer TC en fonction de Ta. L'application numérique n'est pas demandée.

3.4 Prise en compte des échanges diffusifs dans le double vitrage

On prend en compte, dans un premier temps, les échanges de type diffusif dus à 
un gaz uniquement
entre les deux vitres. Dans le cadre d'un modèle microscopique, on considère 
que les molécules se

déplacent à la vitesse quadratique moyenne identique v* suivant trois 
directions et pour chaque
direction suivant deux sens (isotropie de la distribution des vitesses).

3.4.1 Trouver, dans le cadre de ce modèle simplifié du gaz parfait en équilibre 
thermodynamique
interne, la relation entre la pression [9 et la vitesse v*.

3.4.2 A partir de l'équation d'état du gaz parfait, retrouver l'expression 
suivante de la vitesse v*

en fonction de la température T :
.. /3RT
V = _
M

où R est la constante des gaz parfaits et M la masse molaire du gaz considéré.

On suppose maintenant, qu'à une échelle d'espace plus grande, les molécules 
subissent des chocs
caractérisés par une section efficace, a, que l'on suppose constante en 
fonction de la pression et de
la température. La conductivité thermique peut s'écrire :

_ 1 c V.,.

3\/î a
où 6 est la capacité thermique constante d'une molécule et v* la vitesse 
quadratique moyenne
obtenue à la question précédente.

3.4.3 Est-ce que la conductivité thermique /1 varie avec la pression ? Et avec 
la température ?

Tvl Tv2
Température Température
extérieure intérieure
303 K 293 K
L

Figure 7 : vitres composant le double vitrage
10/ 13

Dans les doubles vitrages, le constructeur vante le remplacement de la lame 
d'air emprisonnée entre
les deux vitres par de l'argon. A pression atmosphérique et à 273 K, la 
conductivité thermique de

l'argon vaut 0, 0177 W.m_l.K_1 alors que pour l'air, elle s'élève à 0, 0240 
W.m_l.K_l. La résistance
thermique est définie par :

où AT = 71,1 --Tv2 est la différence de températures entre les deux thermostats 
entre lesquelles
s'échange un flux énergétique CD (en W). La température intérieure est de 293 K 
et la température
extérieure de 303 K comme indiqué sur la figure 7.

3.4.4 Exprimer R:}; en fonction de la surface A de chaque vitre, de la distance 
entre les deux

thermostats L et de la conductivité thermique xl.

3.4.5 Donner l'analogie entre les grandeurs thermiques (RÎh,AT,CD) et les 
grandeurs électriques

dans un tableau en spécifiant, pour chaque grandeur, l'unité.

3.4.6 Les vitres séparées par l'air sont distantes de d = lcm. Quelle distance 
L permet d'avoir la
même résistance thermique avec de l'argon ? La différence vous parait-elle 
importante ?

On suppose une faible différence de température (linéarisation du problème) et 
l'on prend en
considération (1) la conductivité thermique et (2) le rayonnement entre les 
deux vitres.

3.4.7 Ecrire le flux énergétique entre la vitre l et la vitre 2 en fonction des 
données du problème
(surface A, distance L entre les vitres, températures des vitres Tv1 et Tv2 , 
conductivité xl et

constante de Stephan 0 ). Linéariser cette expression sachant que :
4
rfi --T.îä =[T.. +(T.. --T..)] --T.fä z(n1--22)x4nä .

3.4.8 Que vaut la résistance thermique pour la lame d'air (L vaut alors d = 
lcm) sans le

rayonnement (R

lhs) et avec le rayonnement (RW) ? Effectuer l'application numérique. On

prendra une surface A = lm2. Est-ce que la contribution du rayonnement est 
importante ?

Remarque : il est courant que la métallisation ou une couche à faible émission 
thermique soit
située sur une des faces internes.

3.4.9 Entre une lame d'air et une lame d'argon, la différence est un peu plus 
grande que celle que
l'on a calculée. De plus, si l'espacement entre les vitres est supérieur à 1,2 
cm, la résistance
thermique ne varie plus. Quel phénomène de transport thermique permet 
d'expliquer ces
observations ?

11/13

3.4.10 Le coefficient de transfert thermique U d'une fenêtre, exprimé en 
W.m_2.K_l, est défini

comme l'inverse du produit de la résistance thermique de l'objet et de sa 
surface A. Il vaut
pour les différents types de fenêtres :

Système Fenêtre U (W.m_2.K_l)
I Simple vitrage 5,8
Il Double vitrage ordinaire 2,8
III Double vitrage avec métallisation 1,9
IV Double vitrage avec métallisation et argon 1,1
V Triple vitrage avec métallisation et argon 0,8

Pour référence, les murs ont typiquement un coefficient de transfert thermique 
de
0,5W.m_2.K_1.

Analyser l'importance du nombre de vitres à partir du tableau ci-dessus et des 
questions
précédentes. Justifier que l'on installe majoritairement des fenêtres en double 
vitrage.

PARTIE 4 -- Bilan thermique d'une maison climatisée en été

On considère une maison et sa climatisation. La température extérieure est de 
Tc = 303K. La

température intérieure est de T F = 293K. L'ensemble mur--fenétre reçoit un 
flux net (radiatif--

convectif-diffusif) de +1000W. La maison est équipée d'une climatisation 
idéale. Sur chaque

cycle, le fluide circulant dans l'installation reçoit un transfert thermique Qc 
à la source chaude, un

transfert thermique QF àla source froide et un travail W. Dans toute cette 
partie, on admettra que la

conversion électromécanique du compresseur (moteur servant lors de la 
compression) a un
rendement unité.

4.1 Maison sans circulation d'air

4.1.1

4.1.2

4.1.3

4.1.4

A partir du premier principe, exprimer le travail W en fonction du transfert 
thermique avec
la source chaude Qc et froide QF .

A partir du second principe en supposant une machine de Carnot, donner 
l'expression de
QF en fonction de QC,TC et TF.

Déterminer le coefficient de performance (COP) du climatiseur idéal modélisé 
comme une
machine de Carnot fonctionnant en récepteur. Effectuer l'application numérique.

Quelle puissance électrique est nécessaire pour maintenir la température 
interne de la
maison à 293 K avec cette machine de Carnot ?

Rappel : le moteur est idéal, sans perte, convertissant l'intégralité de la 
puissance électrique
reçue en puissance mécanique.

12/13

4.1.5

La machine réelle utilisée pour la climatisation de la maison a un COP de 3. En 
déduire la
puissance électrique nécessaire pour maintenir la température interne de la 
maison à 293 K.

4.2 Prise en compte de la circulation d'air sec

Dans une maison de 100 m2 , le débit volumique d'air entrant mesuré à 
l'extérieur vaut 100 m3 .h_1.

L'air chaud entrant est directement en contact avec la climatisation. La 
température à l'intérieur de
la maison est homogène. L'air entrant est à la même pression que l'air sortant. 
On prendra :

p = 1,00 >< 105 Pa, Mair = 0,0289kg.moÎ1 et c

= 1005 J.kg"'.K"'.

p,air

, . . , . . . dx _
L au sera traite comme un gaz parfait. Dans la suite, on adoptera la notation : 
-- = x.

4.2.1

4.2.2

4.2.3

4.2.4

4.2.5

dt
Ecrire le bilan des débits massiques (on notera n'a V,ai,,e le débit massique 
d'air entrant et

n'aV al.,, S le débit massique d'air sortant). Déterminer la valeur numérique 
du débit massique

1

entrant en g.s_ . La température de référence sera la température extérieure 
Tai, = 303 K.

Ecrire le premier principe et en déduire l'expression du transfert thermique 
reçu par l'air
entrant 5Qaim en fonction des paramètres du problème dont font partie le débit 
massique
mV,air,e et la différence de température Tc --TF. Dans le cas d'un système 
ouvert, on
rappelle que la variation d'enthalpie dH = C pdT est reliée au transfert 
thermique 5Q et au
travail utile 5Wu = Vdp par:

dH=5W,+5Q.

En déduire la puissance thermique QF reçue par le fluide de la climatisation 
nécessaire pour
refroidir cet air. Effectuer l'application numérique.

Quelle puissance électrique est maintenant nécessaire pour maintenir la 
température interne
de la maison ensoleillée à 293K avec la climatisation réelle (COP = 3) ?

En présence d'air humide saturé (air + vapeur d'eau dont la pression partielle 
est égale à la
pression de vapeur saturante), la puissance thermique QF trouvée à la question 
4.2.3 passe à

1290 W. A quel phénomène physique est associée cette augmentation sachant que la
pression de vapeur saturante de l'eau vaut 4246 Pa à 303K et 2339 Pa à 293K ?

Fin de l'énoncé.

13/13

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 MP 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Victor Bertrand (ENS Lyon) ; il a été relu par 
Guillaume
Maimbourg (ENS Cachan) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

Ce sujet se compose de deux grandes parties, l'une consacrée à la mécanique,
l'autre à une étude thermodynamique.
La partie mécanique s'articule en deux temps. On commence par l'étude du 
mouvement d'une moto, en prenant en compte les différents éléments solides qui 
composent le système {conducteur+motocyclette}. Cette partie est longue et 
répétitive.
Les calculs ne sont pas exagérément compliqués, mais il faut être concentré pour
ne pas s'y perdre. En particulier, il faut bien se souvenir du fait que le 
théorème
du moment cinétique peut s'appliquer en n'importe quel point fixe du référentiel
barycentrique même si celui-ci n'est pas galiléen. Il est dommage qu'après tous 
ces
calculs, aucune question intéressante ne soit posée sur les interprétations 
physiques,
notamment comment on peut conserver l'équilibre sur une « roue avant » en moto
ou à quelle condition (d'accélération ou de freinage) la moto se cabre (en 
arrière ou
en avant). À noter que pour les applications numériques, le sujet fournit des 
roues
de 50 cm de rayon, ce qui fait un mètre de diamètre. Sauf à parler de la moto de
Batman dans The Dark Knight Rises, il est à parier que le concepteur ait 
confondu
rayon et diamètre dans ses recherches de valeurs numériques...
La seconde étude concerne une particule qui évolue dans un fluide en rotation.
Il s'agit de mécanique des fluides qui ne dit pas son nom (et pour cause : ce 
n'est
pas au programme de MP !) et dont on a du mal à cerner l'intérêt pratique, si ce
n'est faire écrire quelques équations du mouvement non usuelles. Les calculs ne 
sont
pas compliqués en soi, mais justement, toute cette partie se cantonne à cela : 
du pur
calcul sans interprétation physique sous-jacente.
La partie thermodynamique se consacre à l'étude de l'isolation d'une maison.
En premier lieu, on étudie les flux radiatifs et diffusifs au niveau des 
fenêtres. Là
encore, il fallait avoir bien compris le cours sur la radiation du corps noir 
car il s'agit
de refaire la même chose 3 fois de suite en compliquant légèrement à chaque 
passage
sans intérêt physique particulier (du moins pas exploité par le sujet) ; on 
finit par
quelques considérations sur les résistances thermiques.
En second lieu, on s'intéresse au fonctionnement d'un climatiseur en vue de 
maintenir l'habitation fraîche en été. Cette partie est de loin la plus facile 
(car très proche
du cours) et aura profité à ceux qui lisent l'énoncé en entier avant de se 
lancer dans
le sujet. Elle contient néanmoins sur la fin une formulation du premier 
principe en
écoulement stationnaire (à la limite du programme de MP) quelque peu discutable
que l'on aura intérêt à oublier pour se cantonner à une démonstration plus 
classique
du type détente de Joule-Thomson.
On l'aura compris, ce problème est long, très long et sans grand intérêt une 
fois que
l'on a cerné les deux-trois compétences qu'il faut appliquer à répétition dans 
chaque
partie. Il est plutôt bon de s'y entraîner dans l'optique d'une « analyse 
d'énoncé »,
c'est-à-dire déterminer à la simple lecture les parties qu'il faut traiter en 
priorité (car
faciles ou proches du cours) ainsi que celles sur lesquelles il faut éviter de 
passer trop
de temps (du fait d'une erreur de calcul qui, par cascade, pourrait invalider 
les pages
de calculs suivantes).

Indications
Partie 1
1.1 Bien définir les référentiels considérés (sol, bâti de la moto, roues). 
Utiliser la
composition des vitesses afin d'exprimer la vitesse de glissement des roues par
rapport au sol.
1.2 Exprimer le moment cinétique d'une roue par rapport à son centre dans le
référentiel du système {moto+conducteur}. Utiliser le théorème de Koenig
pour l'exprimer dans le référentiel fixe (Oxyz). Supposer que O1 (resp. O2 )
est le barycentre de la roue avant (resp. arrière).
1.3 Raisonner comme au 1.2, mais sur le système complet. Remarquer que seules
les roues sont animées d'une vitesse dans le référentiel du système {moto
+conducteur}.
1.5 Appliquer le théorème du moment cinétique dans le référentiel barycentrique.
1.8 Les roues ne décollent pas tant qu'il y a contact, donc tant que les 
réactions
du sol sont strictement positives.
1.9 La condition de non-glissement s'exprime à partir des composantes de la 
réaction : f |Ni | > |Ti | pour i  {1, 2}, avec f coefficient de frottement.
1.10 On suppose que O2 est le barycentre de la roue arrière.  est à prendre en
compte dans la somme des moments appliqués en O2 .
1.11 La puissance fournie par un moteur exerçant un couple  sur un axe tournant
à la vitesse angulaire  s'écrit P = .
1.12 Appliquer le même raisonnement qu'en 1.3.

-
1.13 Le nouveau point de contact, donc d'application de R 2 est C2 . Prendre 
garde
--

à la projection du vecteur GC2 dans (-
ex , -
ey ).
1.14 Appliquer le théorème du moment cinétique au point G. On ne demande pas
l'expression littérale de .
1.15 Justifier que seule l'équation  est modifiée. Utiliser le résultat du 
théorème
du moment cinétique appliqué dans la question 1.10 pour trouver T2 .
1.18 Utiliser le changement de variable proposé pour trouver une équation 
différentielle sur u. Penser à vérifier sur le résultat que v(t) --- v .
t

Partie 2
2.1 Appliquer le principe fondamental de la dynamique au point P.
-

2.2.1 Introduire  = (-
ex , Op). La vitesse angulaire de parcours dans le référentiel
mobile est alors .
2.3 Le point coïncident à P, immobile dans R , décrit un mouvement circulaire
uniforme à la vitesse  autour de l'axe (Oz) dans R.
2.4 Appliquer le principe fondamental de la dynamique pour un référentiel non
galiléen. Il n'est pas demandé de calculer z(t).

Partie 3
3.2.1 Détailler les différents flux émis et absorbés. Le flux solaire n'est 
absorbé que
par le corps noir, car la vitre lui est transparente.
3.2.3 Procéder à un bilan énergétique sur le corps noir. S'il reçoit un flux  
pendant dt, il gagne une énergie dt. Si sa température évolue de dT, son énergie
évolue de CdT. Le bilan radiatif sur la vitre est inchangé.
3.4.1 Dénombrer les particules impactant une paroi pendant un intervalle de
temps dt en utilisant l'isotropie de la distribution des vitesses. Calculer leur
variation de quantité de mouvement pour en déduire la force de pression exercée 
par la paroi.
3.4.4 Supposer que  varie peu avec la température sur l'évolution considérée. 
Partir
d'un modèle unidimensionnel, en régime permanent, pour démontrer l'expression 
de la résistance thermique.
3.4.7 Le flux total est la somme algébrique des flux diffusifs et des flux 
radiatifs
émis par les vitres.

Partie 4

4.1.1 L'énergie interne est une fonction d'état : sa variation est nulle sur un 
cycle.
4.1.2 Une machine de Carnot est une machine dont tous les processus sont 
réversibles. L'entropie créée est donc nulle.
énergie utile à l'usager
.
4.1.3 Le C.O.P. est défini par :  =
énergie dépensée par l'usager
4.1.4 Utiliser la première loi de Joule pour associer température constante et 
énergie
du gaz constante. Le gaz reçoit l'énergie provenant du flux total sur les murs,
et en donne au fluide du climatiseur en tant que source froide par transfert
thermique.
4.2.1 La masse d'air de la maison doit être constante. La pression ne change pas
pour l'air entrant, et celui-ci est toujours pris à la même température Tair .
4.2.2 L'énoncé n'est pas clair. Il vaut mieux considérer le système composé du 
fluide
dans le climatiseur à l'instant t auquel on ajoute un élément d'air entrant, et
étudier comment varie l'enthalpie de ce système entre t et t + dt. Qair,e est
le transfert de chaleur infinitésimal reçu par l'air pendant cet intervalle de
temps, il dépend donc aussi de dt.
4.2.5 La pression partielle de la vapeur d'eau pvap,eau est le produit de la 
pression
totale p et du titre en vapeur d'eau xvap,eau . À la pression de vapeur 
saturante,
il y a équilibre entre eau liquide et vapeur d'eau.

1. Une moto et son conducteur

1.1 Pour simplifier l'écriture, notons R0 le référentiel fixe (O, -
ex , -
ey , -
ez ), RG le

-

-

-
-
- -

référentiel de la moto (G, ex , ey , ez ), R1 le référentiel de la roue avant 
(O1 , e
r1 , e  1 , e z )
-

-

-
et R2 le référentiel de la roue arrière (O2 , er2 , e2 , ez ), où les vecteurs 
introduits sont
définis sur le schéma ci-dessous.

-
ey
y

-
ez

G

-
ex

e-
2

e-
1
-
e
r1

-
e
r2

-

ey

O1

O2

-

ez

x
-

ex

I1

I2

Écrivons maintenant les relations de non-glissement des roues avant et arrière.
Exprimons la vitesse de glissement en utilisant la composition des vitesses :

-

v =-
v (I  R ) = -
v (I  R ) + -
v (I  R )
g

1

1

1 R0

1 RG

1

G R0

· Le premier terme représente la vitesse du point I1 dans le référentiel de la 
roue
R1 par rapport au bâti de la moto (référentiel RG ). I1 est en rotation uniforme
à la vitesse instantanée de rotation 1 autour de O1 , avec O1 I1 = r1 . Donc
-

v (I1  R1 )RG = r1 1 -
e
1

-
Au point I1 , -
e
1 = ex , soit
-

v (I1  R1 )RG = r1 1 -
ex
· Le deuxième terme représente la vitesse du point coïncident à I1 dans RG
par rapport à R0 . RG étant en translation par rapport à R0 à la vitesse instan
tanée v -
ex ,
-

v (I1  RG )R0 = v -
ex

-
-

vg = 0

En l'absence de glissement,
d'où

r1 1 + v = 0

Pour la roue arrière, on obtient de même
r2 2 + v = 0
On en déduit

1 = -

v
r1

et

2 = -

v
r2