CCP Physique 1 MP 2012

Thème de l'épreuve Étude d'une centrifugeuse. Roulement d'un disque solide sur un cylindre. Étude thermodynamique d'une centrale nucléaire.
Principaux outils utilisés mécanique du point et du solide, machines thermiques, diffusion thermique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2012

MPP1003

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP
____________________

PHYSIQUE 1
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

___________________________________________________________________________________

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet comporte quatre parties indépendantes.
Les parties 1 et 2 portent sur la mécanique (de la page 2 à la page 8).
Les parties 3 et 4 portent sur la thermodynamique (de la page 9 à la page 14).

1/14

Tournez la page S.V.P.

MÉCANIQUE
La première partie peut être vue comme l'étude du mouvement unidirectionnel 
d'un point matériel
relativement à un repère tournant. La seconde partie concerne le mouvement plan 
sur plan d'un
solide simple, ce mouvement s'effectuant par roulement sans glissement dans une 
première phase
puis avec glissement dans une seconde phase.

PARTIE 1
Une centrifugeuse est un appareil destiné à séparer la phase solide d'une 
suspension liquide-solide.
Cette séparation a pour origine la différence des masses volumiques du liquide 
et des particules
solides en suspension dans le fluide. La partie essentielle de cet appareil est 
constituée d'un rotor
lequel est entraîné en rotation à vitesse élevée, autour de son axe de 
symétrie, supposé ici vertical.
Ce rotor supporte une série de tubes à essais identiques dans lesquels se situe 
la suspension à traiter.
Soit  un repère lié au laboratoire et considéré comme galiléen.
Soit  ' un repère mobile (relativement à  ) d'axes Ox, Oy , Oz , les vecteurs 
unitaires associés
s'écrivant e x , e y , e z . Les axes verticaux des deux repères coïncident,  ' 
est animé, relativement à

 , d'un mouvement de rotation uniforme autour de la verticale. Le vecteur 
vitesse rotation de  '
relativement à  est noté  = .e z (voir schéma n° 1.a).
Soit (A) une droite, fixe relativement à  ', située dans le plan yOz . Cette 
droite est orientée par le
vecteur unitaire er , l'angle situé entre les directions de er et e y est noté  
(voir schéma n° 1.b).
On va considérer un point P se déplaçant sur la droite (A), la position de P 
étant repérée par

r = r (t ) tel que OP = r.er . On notera g = - g .e z le vecteur accélération 
due à la pesanteur.

z
z

ez

ey

ez

y

ey

O

y

ex
g

O

x

er

P

(A)

Schéma n° 1.a

Schéma n° 1.b
Schémas n° 1
2/14

Questions préliminaires
1.1. Déterminer les composantes suivant e x , e y , e z des vecteurs a r , a c 
, a e qui sont respectivement
les vecteurs accélération relative de P par rapport à  ', accélération de 
Coriolis de P
relativement à  et accélération d'entraînement de P relativement à  .
1.2. Établir l'expression du produit scalaire e r .a p où a p désigne le 
vecteur accélération de P
relativement à  . Cette expression sera fournie en fonction de r,

d 2r
,  et  .
dt 2

Modélisation du mouvement d'une particule
On considère maintenant une particule solide de masse volumique  s et de volume 
V, cette
particule se situe au sein d'un fluide de masse volumique  différente de  s . 
Le fluide est luimême contenu dans un tube cylindrique fixé sur le rotor de la 
centrifugeuse. Le repère  ' est
supposé lié au rotor et le centre de masse de particule sera le point P, défini 
précédemment (voir
schéma n° 2).

z

(A)
y

O

er

Tube

P
r0

·

Fluide

r1

·
Schéma n° 2

3/14

Tournez la page S.V.P.

Étant donné les dimensions du tube, on va considérer dans la suite que le 
mouvement de P ne
s'effectue que selon l'axe longitudinal du tube, axe coïncidant avec la droite 
(A) définie
précédemment. La particule est soumise aux trois forces qui sont respectivement 
: son poids propre,
la poussée d'Archimède F A et une force F r opposée au mouvement que l'on peut 
interpréter
comme étant due à la viscosité du fluide. La poussée d'Archimède s'écrit : F A 
= - V .grad ( p ) où p
désigne la pression en un point de coordonnées x, y, z du fluide. On a :
1
p = p ( x, y , z ) = . . 2 .( x 2 + y 2 ) -  .g .z + c ste .
2
Remarques : ce fluide est à l'équilibre relativement à  ', équilibre supposé 
non perturbé par le
mouvement de la particule, l'expression de p fait intervenir une constante qui 
ne nécessite pas d'être
précisée dans ce problème.
La force F r est exprimée sous la forme F r = - k .vr où vr désigne la vitesse 
de P relativement à
 ', k étant une constante physique supposée positive.

1.3

Donner les expressions des projections suivant er des trois forces indiquées 
précédemment.

1.4

D'après les résultats obtenus aux questions 1.2 et 1.3, établir l'équation 
différentielle générale
dr
et
du mouvement de la particule, équation faisant intervenir  s ,  ,  ,  , g , 
k/V, r ,
dt
d 2r
.
dt 2

1.5

L'équation différentielle obtenue possède une solution notée re correspondant à 
une position
d'équilibre de la particule. Établir l'expression de re en fonction de g,  et  .

1.6

Pour  = 45 °, g = 10 m.s-2 et  = 5 000 tour.min-1, calculer la valeur de re .

1.7

Dans un premier temps, on cherche une solution simplifiée du mouvement et pour 
cela on va
négliger l'influence de la force F r . La masse volumique de la particule en 
suspension  s
étant supposée supérieure à la masse volumique du fluide, on pourra utilement 
poser

=

1-

..cos  . Donner la solution générale de l'équation différentielle du
s

mouvement, en supposant qu'à l'instant t = 0 s , la particule se situe en r = 
r0 sans vitesse
relative. Cette solution sera écrite en fonction de r0 , re ,  et t .

1.8

Le temps mis par la particule pour passer de la position r = r0 (haut du tube) 
sans vitesse
relative initiale à la position r1 (fond du tube) étant noté T, exprimer T en 
fonction de  , r0 ,

r1 , re .
Application numérique pour r0 = 10 cm et r1 = 20 cm
Constater que re est négligeable devant r0 ou r1 . Donner la valeur de T 
correspondant aux

1
.
valeurs numériques de la question 1.6 et pour
=
 s 1,01
4/14

1.9

Dans certaines situations, la force F r peut jouer un rôle non négligeable ; on 
va rechercher
maintenant une solution exacte de l'équation différentielle du mouvement. On 
pourra poser :

=

k
2  s .V

et   =  2 +  2 .

Rechercher les expressions des deux racines de l'équation caractéristique en 
fonction de  et
. Quels sont les signes de ces deux racines ?

1.10 Dans des conditions initiales identiques à celles de la question 1.7, 
déterminer l'expression de
r (t ) en fonction de r0 , re ,  ,  et t .
1.11 Établir l'expression du rapport

r1 - re
en fonction de  ,  et T , où T est le temps mis pour
r0 - re

passer de r0 à r1 .

r1 - re
en fonction de T, donner
r0 - re
la valeur de T (ce graphe est tracé pour  = 25 s-1 et les valeurs numériques 
précédemment
données).

1.12 À partir du graphe n° 1 représentant les variations du rapport

3

2,5
2.5

(r1-re)/(r0-re)

(r1 - re)/(r0 - re)

2

1,5
1.5

1

0,5
0.5

0
0

0,5
0.5

1

1,5
1.5

2

2,5
2.5

3

3,5
3.5

4

4,5
4.5

5

Ten s

T en s
Graphe n° 1

5/14

Tournez la page S.V.P.

PARTIE 2
Soit  un repère fixe lié au laboratoire d'axes Ox, Oy , Oz , les vecteurs 
unitaires associés étant

notés e x , e y , e z ( e z vertical ascendant). On notera g = - g .ez le 
vecteur accélération due à la
pesanteur.
Un disque D homogène de masse m, de rayon r, de centre G, peut rouler dans le 
plan yOz , sur une

( )

surface cylindrique de rayon R, d'axe O, e x (voir schéma n° 3). Soient deux 
vecteurs unitaires tels
que er =

( )

OG

, e se déduisant de er par une rotation de + rad autour de l'axe O, e x . On
2
(R + r)

appelle  l'angle situé entre les vecteurs e z et er ; de même, on appelle  
l'angle situé entre e z et

GA , A désignant un point du disque situé à la périphérie de celui-ci (dans ces 
conditions, le vecteur
d
vitesse de rotation instantanée du disque dans  s'écrit
. ex ). On rappelle que le moment
dt
1
d'inertie du disque relativement à un axe G, e x s'écrit J = mr 2 .
2
Les interactions du disque avec l'air ambiant seront toujours négligées. Pour 
les questions allant de
2.1 à 2.9, on supposera que le disque roule sans glisser sur la surface 
cylindrique.

( )

Disque D

A
G

er

z

ez
O

e

Schéma n° 3

6/14

ey

y

d
d
et
encore appelée relation de roulement sans glissement.
dt
dt

2.1

Établir la relation liant

2.2

Exprimer l'énergie cinétique du disque dans  , en fonction de m, r, R et

2.3

Déterminer l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur du disque en 
fonction de m, g, r,
R, et  .

2.4

Donner l'expression de l'énergie totale (ou énergie mécanique) du disque. Après 
avoir justifié
que cette quantité est constante au cours du mouvement, en déduire une relation 
donnant
d
dt

2

en fonction de  ,  0 , g, r, R, sachant que les conditions initiales du 
mouvement sont

les suivantes :  (0) =  0 > 0 ,

2.5

2.6

d
.
dt

d
( 0) = 0 .
dt

d 2
À partir des résultats qui précèdent, établir l'équation différentielle du 
mouvement liant
,
dt 2
 , g, r, R.
Le disque est soumis à son poids m . g ainsi qu'à la réaction de la surface 
cylindrique,
réaction notée  = N er + T e . D'après le théorème de la résultante dynamique, 
établir les
expressions donnant  et N en fonction de m, g, r, R,  ,

d d 2
,
.
dt dt 2

2.7

D'après 2.4 et 2.5, établir les expressions de  et N en fonction de m, g,  0 et 
 .

2.8

Le coefficient de frottement disque/surface cylindrique a pour valeur µ = 0, 2 
; pour quelle
valeur de  observe-t-on la fin du mouvement de roulement sans glissement ? (le 
graphe n° 2
représente les variations du rapport T / N tracé pour  0 = 1°).
0.5
0,5
0,45
0.45
0,4
0.4
0,35
0.35

- T/N
-T/N

0,3
0.3
0,25
0.25
0,2
0.2

0.15
0,15
0.1
0,1
0.05
0,05
0
0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

 en
en degrés
degrés
Graphe n° 2
7/14

Tournez la page S.V.P.

2.9

Vérifier que, pour cette valeur, le disque ne s'est pas encore séparé de la 
surface cylindrique.

2.10 On donne r = 0,1 m et R = 0,9 m. Afin de simplifier les calculs, on pourra 
prendre
g = 10 m.s -2 .
Déterminer les valeurs numériques de  ,  ,  et  à l'instant précédant 
immédiatement la fin
du roulement sans glissement.
2.11 Suite à cette phase de roulement sans glissement, on suppose que le disque 
va rouler et glisser
sur le cylindre. Au cours de cette seconde phase, on admettra que T est 
négatif. Donner
l'expression de T en fonction de µ et de N (supposé positif).
2.12 En utilisant le théorème du moment appliqué en G, donner une équation 
liant  , µ , N , r et J .
2.13 En utilisant le théorème de la résultante dynamique appliqué au disque, 
donner deux
équations liant  ,  , µ , N , m, g , r , R et  .
Noter que l'une des équations obtenues est identique à celle établie à la 
question 2.6.
2.14 Par élimination entre ces deux dernières équations, établir l'équation 
différentielle pour la
variable  (cette équation va faire apparaître  ,  ,  , µ , g , r , R ).
2.15 En supposant, lors de la transition du roulement sans glissement au 
roulement avec
glissement, qu'il y a continuité de  et  , calculer la valeur de  à l'instant 
suivant
immédiatement le début de la phase de roulement avec glissement.

8/14

THERMODYNAMIQUE
Les centrales nucléaires de la génération 6 prévues vers les années 2030 
devront être sûres et
présenter un rendement important. Une option étudiée parmi 6 grands choix est 
le réacteur à très
haute température refroidi à l'hélium. Ce type de réacteur offrirait l'avantage 
d'améliorer
l'efficacité de la conversion énergétique, compte tenu de la température élevée 
de la source chaude
et de permettre en sus la production d'hydrogène. Dans ces installations de 
forte puissance, on
utilise le cycle de Brayton (ou cycle de Joule) pour extraire le travail et, en 
fin de compte, produire
de l'électricité.
Ce problème comporte deux parties indépendantes. La première partie concerne le 
cycle moteur de
Brayton ainsi qu'une amélioration possible pour augmenter l'efficacité. La 
deuxième partie est
relative aux transferts thermiques dans le coeur de la centrale.
Le gaz utilisé dans la centrale est l'hélium, dont les caractéristiques sont :
CVm = 3R/2, Cpm = 5R/2 avec R = 8,314 J.K-1.mol-1
MHe = 4,00 × 10-3 kg.mol-1
Dans l'ensemble du problème, le gaz est supposé parfait.

PARTIE 3.
3.1

Cycle de Brayton

Figure n° 1 : Cycle de Brayton
Un gaz parfait circule dans une installation. Il échange du travail avec 
l'extérieur dans le
compresseur et la turbine. Le travail fourni par le passage du gaz dans la 
turbine sert d'une part à
faire fonctionner le compresseur (turbine et compresseur montés sur le même 
axe) et d'autre part à
fabriquer de l'électricité. Les transferts thermiques ont lieu dans des 
échangeurs. Le fluide, ici un
gaz d'hélium, décrit le cycle de Brayton. Ce cycle est constitué de deux 
isobares et de deux
isentropiques :
- compression adiabatique réversible du point 1 avec une température T1 = 300 K 
et une
pression p1 = 20 × 105 Pa vers le point 2 à la pression p2 = 80 × 105 Pa,
- détente isobare du point 2 vers le point 3 à la température T3 = 1300 K,
- détente adiabatique réversible de 3 vers 4 (de p3 = p2 à p4 = p1),
- compression isobare de 4 vers 1.

9/14

Tournez la page S.V.P.

3.1.1 Pour une transformation isentropique, justifier que la relation entre T 
et p peut se mettre sous
T
la forme :  = Constante.
p
C
Exprimer  en fonction de  (avec  = pm ).
CVm
3.1.2 Déterminer les températures T2 et T4. Effectuer l'application numérique.
3.1.3 Tracer le cycle de Brayton sur un diagramme p = f (Vm).
3.1.4 Calculer les travaux W12 et W34 échangés avec l'extérieur (travaux utiles 
reçus) lors des
transformations isentropiques 12 et 34.
Rappel : pour les systèmes ouverts, on a : dH m =  Wutile,m +  Qm avec  
Wutile,m = Vm dp .
Effectuer l'application numérique pour une mole d'hélium.
3.1.5 Exprimer les transferts thermiques reçus Q23 et Q41. Effectuer 
l'application numérique pour
une mole d'hélium.
3.1.6 Montrer que l'efficacité se met sous la forme :

e = 1-

1

( rp )

avec rp =

p2
.
p1

3.1.7 Calculer numériquement cette efficacité et comparer à l'efficacité de 
Carnot obtenue en
utilisant les deux températures extrêmes du cycle.
3.1.8 Exprimer le travail reçu au cours d'un cycle à partir des températures 
extrêmes T3 et T1, de R
(ou Cp), de  et du rapport des pressions rp.
3.1.9 Montrer que la valeur absolue du travail passe par une valeur maximale en 
fonction du
rapport des pressions rpm pour :
rpm

T
= 3
T1

1
2

.

Calculer numériquement rpm et l'efficacité dans ce cas.

3.2

Cycle de Brayton avec régénérateur

L'utilisation d'un régénérateur (ou récupérateur de chaleur) pendant les deux 
transformations
isobares peut se révéler judicieux dans certaines conditions que nous allons 
déterminer. Si la
température à la sortie de la turbine est plus élevée que la température du gaz 
comprimé à la sortie
du compresseur, une partie de l'énergie du gaz sortant de la turbine peut être 
cédée (en recourant à
un régénérateur) au gaz allant vers l'échangeur chaud et ainsi améliorer 
l'efficacité du cycle de
Brayton. On suppose que les transferts thermiques associés au régénérateur sont 
internes.

10/14

Figure n° 2 : Cycle de Brayton avec régénérateur

Dans le cycle, nous rajoutons deux lettres x et y afin d'isoler la partie 
échangée dans le
régénérateur. Le cycle est donc composé comme indiqué sur la figure n° 2 :
- compression adiabatique réversible du point 1 vers le point 2,
- détente isobare du point 2 vers le point x dans le régénérateur puis du point 
x au point 3 en
contact avec le thermostat chaud,
- détente adiabatique réversible du point 3 vers le point 4,
- compression isobare du point 4 vers le point y dans le régénérateur puis du 
point y au
point 1 en contact avec le thermostat froid.
En supposant un régénérateur parfait, on a : Tx = T4 et Ty = T2 .
3.2.1 Calculer algébriquement les transferts thermiques molaires Qx3 et Qy1 
provenant des
thermostats. L'application numérique n'est pas demandée.
3.2.2 En déduire l'efficacité et la mettre sous la forme :

T
e = 1 - 1 rp .
T3

( )

Effectuer l'application numérique avec p1 = 20 × 105 Pa et p2 = 80 × 105 Pa.
3.2.3 Pour quelle valeur de rpe l'efficacité avec régénérateur est égale à 
l'efficacité sans
régénérateur ? Vérifier alors que T2 = T4 , ce qui veut dire que le 
régénérateur ne joue plus
aucun rôle.
3.2.4 Calculer numériquement rpe dans ce cas et expliquer vers quelle valeur 
devrait tendre rp pour
atteindre l'efficacité de Carnot. Pour y parvenir, on utilise un étagement de 
la compression
et de la détente conduisant au cycle d'Ericsson.

11/14

Tournez la page S.V.P.

PARTIE 4 : Coeur et dimensionnement de la centrale nucléaire

4.1

Les particules de combustible nucléaire

Le combustible est constitué de petites sphères multicouches appelées 
particules TRISO (voir
figure n° 3). Le coeur de matériau fissile est entouré de plusieurs couches 
successives ayant pour
rôles d'assurer la protection du noyau et le confinement des produits de 
fission. Nous prendrons
comme matériau pour le coeur et la couche de céramique non pas un oxyde 
d'uranium UO2 et un
carbure de silicium SiC comme déjà utilisé dans des centrales nucléaires mais 
un carbure d'uranium
UC et un carbure de zirconium ZrC pour leurs propriétés physiques plus 
intéressantes.
PyC-dense
ZrC
PyC-dense
C-poreux

Coeur
Matériau fissile
UC

Figure n° 3 : Vue et coupe d'une particule TRISO

Dans cette partie, on considèrera que les propriétés physiques sont isotropes 
dans l'espace.
Couche

Position

Carbure d'uranium (UC)
Carbone poreux
Carbone pyrolytique (PyC) dense
Carbure de zirconium (ZrC)
Carbone pyrolytique (PyC) dense

r < r1
r1 < r < r2
r2 < r < r3
r3 < r < r4
r4 < r < r5

Rayon extérieur
(m)
r1 = 250 × 10-6
r2 = 345 × 10-6
r3 = 385 × 10-6
r4 = 420 × 10-6
r5 = 460 × 10-6

Conductivité thermique 
(W.m-1.K-1)
12
0,5
4
20
4

Tableau n° 1 : caractéristiques de couches composant la particule TRISO

La puissance par unité de volume produite sous forme d'énergie thermique dans 
le matériau fissile
UC sera notée Q. La conductivité thermique de la couche numérotée i sera notée 
i.
4.1.1 Donner la loi de Fourier en indiquant les unités des différentes 
grandeurs.
4.1.2 L'équation de la chaleur pour le coeur en tenant compte du terme de 
production s'écrit
du
= - div jQ +  Q .
dt
Justifier cette équation.

( )

12/14

4.1.3 En régime stationnaire, à quoi se réduit cette équation ?
4.1.4 Sachant que le laplacien en coordonnées sphériques d'un champ scalaire  ( 
r , ,  ) vaut :
 2 =  =

1  2 
1

1
 2
r

+
sin

+
.
(
)
r

r 2 r
r 2 sin ( ) 
r 2 sin 2 ( )  2

Déterminer T(r) pour r

r1. On notera T0 la température en r = 0 m.

4.1.5 Calculer numériquement la variation de température entre les abscisses r 
= 0 et r = r1. La
puissance volumique Q vaut 5,0 × 109 W.m-3.
Afin de calculer la température dans les différentes couches de la particule 
TRISO, nous
allons utiliser le concept de résistance thermique.
4.1.6 Donner la définition de la résistance thermique Rth d'un matériau soumis 
à un écart de
température T1 - T2 (T1 > T2) impliquant un flux thermique th (th > 0 selon 
l'axe
décroissant des températures).
4.1.7 Calculer le flux thermique en coordonnées sphériques et le mettre sous la 
forme :

th = B

dT
,
1
d
r

où la constante B est à exprimer en fonction des données du problème. On 
rappelle que le
gradient d'un champ scalaire  ( r , ,  ) s'écrit en coordonnées sphériques :

 = er

1 
1

+ e
+ e
.
r
r 
r sin ( ) 

4.1.8 Calculer la résistance thermique Rth,12 d'une coque comprise entre un 
rayon r1 et r2 (r1 < r2).
4.1.9 Calculer numériquement les résistances thermiques des 4 coques, Rth,12, 
Rth,23, Rth,34 et Rth,45.
4.1.10 En déduire les températures aux interfaces T1, T2, T3 et T4 si la 
température extérieure T5
vaut 1300 K.

4.2

Dimensionnement de la centrale

La centrale nucléaire a une puissance thermique de Pth = 600 MW et une 
puissance électrique de
Pe = 300 MW.
4.2.1 À partir de la puissance volumique Q = 5,0 × 109 W.m-3 du combustible 
nucléaire,
déterminer le nombre de particules TRISO nécessaires au fonctionnement du 
réacteur. Quel
volume en m3 cela représente-t-il (voir caractéristiques du coeur et de la 
particule TRISO
dans le tableau n° 1, page 12) ? On considèrera un empilement cubique simple 
des particules
TRISO (particules aux sommets du cube).
13/14

Tournez la page S.V.P.

4.2.2 Que vaut l'efficacité du cycle thermodynamique de la centrale en 
considérant l'absence de
perte lors de la conversion du travail moteur en énergie électrique ?
Pour estimer le débit d'hélium D, nécessaire au fonctionnement de 
l'installation, on suppose une
installation idéale fonctionnant sur le cycle d'Ericsson (fin question 3.2.4), 
avec des échanges
externes uniquement sur les étagements correspondants à des 
pseudo-transformations isothermes.
4.2.3 Déterminer le transfert thermique QC nécessaire pour faire passer une 
mole d'hélium dans
un système ouvert de la pression p2 = 80 × 105 Pa à la pression p1 = 20 × 105 
Pa sachant que
la température constante du gaz est imposée par le contact avec le thermostat 
TC = 1300 K
(voir fin de la question 3.1.4).
4.2.4 En déduire le débit d'hélium D, en kg.s-1, permettant le fonctionnement 
de l'installation.

Fin de l'énoncé

14/14

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 MP 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Clélia de Mulatier (ENS Cachan) ; il a été relu par
Vincent Freulon (ENS Ulm) et Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE).

Ce sujet, comme chaque année, est composé de deux problèmes : un de mécanique
et un de thermodynamique. L'ensemble est divisé en quatre parties indépendantes.
· La première partie s'intéresse au principe d'une centrifugeuse, appareil 
utilisé
notamment en chimie organique, pour séparer une phase solide en suspension
dans une phase liquide. L'étude reste superficielle et concerne finalement une
application des relations de cinématique et de dynamique en référentiel non
galiléen.
· Dans la deuxième partie, on aborde un exercice de mécanique du solide en
considérant le roulement sans glissement d'un disque sur un cylindre. L'objectif
est de déterminer l'angle où le glissement s'amorce.
· Dans le deuxième problème, on étudie quelques aspects des futurs réacteurs de
centrales nucléaires. C'est la machine thermique, basée sur le cycle de Brayton,
qui fait l'objet de la troisième partie de ce sujet. Ce dispositif assure la 
conversion en électricité de l'énergie thermique produite par la réaction 
nucléaire.
· Enfin, on aborde succinctement, sous l'hypothèse stationnaire, la diffusion 
thermique au sein du combustible. La particularité du dispositif étudié tient 
en effet
à l'agencement de ce dernier en petites billes sphériques. Ce choix doit 
prévenir
toute fonte du coeur du réacteur.
L'ensemble de ce problème reste très proche du cours. Les questions sont très
directives, ce qui en fait un sujet de travail au cours de l'année. Soulignons 
que les
première et troisième parties peuvent être abordées dès la première année.

Indications
Partie 1
1.3 Attention à bien utiliser la formule proposée pour la poussée d'Archimède.
1.7 Utiliser les fonctions hyperboliques pour résoudre.
Partie 2
2.2 Utiliser le théorème de Koenig.
2.4 Quelle est la vitesse du point de contact ? Que peut-on en déduire quant au
travail de la réaction du support ?
2.8 Utiliser les lois de Coulomb relatives au frottement solide.
2.12 C'est le théorème du moment cinétique barycentrique qu'il faut utiliser.
2.13 Exploiter les résultats de la question 2.6.
Partie 3
3.1 Penser à la loi de Laplace !
3.1.4 Il est plus aisé de travailler avec la formule dHm = Wutile,m + Qm .
3.1.6 Le travail fourni par le gaz au cours de la transformation 3  4 sert à 
faire
fonctionner le compresseur, W12 et à produire de l'électricité, Wu .
3.2.2 L'énergie thermique Q2x n'est plus fournie par le milieu extérieur.
Partie 4
4.1.4 La température ne diverge pas en 0.
4.1.7 Exprimer le flux thermique à travers une sphère de rayon r, puis utiliser 
la loi
de Fourier.
4.1.8 Remarquer que pour tout r > r , -
 est à flux conservatif.
1

Q

4.1.10 Utiliser la question 4.1.4 pour exprimer (r1 ).

Mécanique
Partie I
1.1 Commençons par remarquer, sur le schéma 1.b de l'énoncé, que
-

er = cos  -
ey - sin  -
ez

P étant astreint à se déplacer selon une droite, sa vitesse relative est -
v r = r -
er et son
accélération relative est
d2 r
-

ar = r -
er = 2 (cos  -
ey - sin  -
ez )
dt
L'accélération de Coriolis de P est donnée par la relation
 
-

-
ac = 2   -
vr
= 2

dr -

[
ez  (cos  -
ey - sin  -
ez )]
dt

dr
-

ac = - 2
cos  -
ex
dt

Soit M un point fixe dans R , confondu avec P à l'instant t, alors -
ae (P) = -
aa (M).
Or, M a un mouvement de rotation circulaire uniforme dans R, de centre H 
(projection de P sur (Oz)), de rayon HP = r cos  et de vitesse angulaire . 
Ainsi,
-
-

ae (P) = -2 HP = -r2 cos  -
ey
1.2 À partir des relations établies précédemment, on obtient
 2

d r-
dr -

-
-

-

-

2
e r · aP =
er + 2 ez  er - r cos  ey · -
er
dt2
dt
d2 r
-

er · -
a
- r2 cos2 
P =
dt2

-

1.3 Le poids de la particule est -mg -
ez , avec m = s V et 
er · -
ez = - sin , d'où

-mg -
ez · -
er = s Vg sin 
En coordonnées cartésiennes,
--
p 
p 
p -
-
-

grad p =
ex +
ey +
ez
x
y
z
On peut alors réécrire la poussée d'Archimède sous la forme
-

FA = -V( 2 x -
e x +  2 y -
ey - g -
ez )
Ainsi,

- -
FA · 
er = -V(2 y cos  - g sin )
- -

FA · 
er = - V 2 r cos2  + g sin 

avec y = r cos 

-
L'expression de FA peut paraître surprenante. Elle correspond cependant
bien à la définition « force verticale opposée au poids du volume de fluide
déplacé », mais dans le référentiel tournant. Il faut alors remplacer le poids
du fluide déplacé par le poids apparent.
-

La force de viscosité du fluide est Fr = -k -
v r = -k r -
er , donc
-
 
dr
Fr · -
er = -k
dt
1.4 La relation fondamentale de la dynamique appliquée à la particule solide de
masse s V dans R s'écrit
-
r
 -
-
A
m-
a
P = -mg ez + F + F

Soit, en projection selon -
e
r

-
r -

-
 -
-

A
s V -
a
P · er = (-mg ez + F + F ) · er
En explicitant les différents termes, il vient

k dr
d2 r
- r2 cos2  = g sin  - r2 cos2  - g sin  -
2
dt
s
s
s V dt
On obtient alors l'équation différentielle générale du mouvement de la particule

d2 r
k dr

2
2
+
-
1
-

cos

r
=
1
-
g sin 
(1)
dt2
s V dt
s
s
1.5 La position d'équilibre de la particule est atteinte pour r = 0 et r = 0, 
soit
re = -

g sin 
2 cos2 

Cette position d'équilibre négative n'est pas en contradiction avec la physique
du problème. En effet, il s'agit d'une position d'équilibre instable que le
système n'atteint jamais : la particule part d'une position r(t = 0) > 0, et on
s'attend à ce que r augmente au cours du temps.
1.6 Application numérique :

re = -52 µm

-

1.7 En négligeant Fr , l'équation différentielle (1) devient

d2 r
2
- r = 1-
g sin 
dt2
s
d2 r
-  2 r = -  2 re
dt2

d'après la question 1.5

On reconnaît une équation différentielle linéaire du second ordre à 
coefficients et à
second membre constants. En l'absence de terme d'ordre 1, la solution générale 
s'écrit
r(t) = A ch (t) + B sh (t) + re