CCP Physique 1 MP 2011

Thème de l'épreuve Étude de systèmes mécaniques. Le moteur de Stirling.
Principaux outils utilisés mécanique du solide, thermodynamique, machines thermiques, corps noir
Mots clefs frottements solides, transmission hydraulique, moteur de Stirling, moteur de Stirling solaire, transferts thermiques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2011 MPP1003

A

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

N.B. .' Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

MÉCANIQUE

L 'épreuve porte sur l'étude de deux systèmes particuliers. Le premier système 
étudie le
mouvement plan d'un ensemble composé d'un solide en translation et de deux 
autres solides en
rotation autour d'axes fixes, il y aura glissement pour l 'un des contacts et 
nan--glissement pour
l'autre. La seconde partie va s'intéresser au mouvement de deux solides en 
rotation autour d'un
axe commun ; il est à noter que cette seconde partie est indépendante de la 
première.

Première partie : Freinage d'un lingot métallique

Un solide S se déplace sur un convoyeur à rouleaux ; on va s'intéresser à une 
phase de freinage de
ce solide. S est homogène et caractérisé par ses dimensions : longueur 2£, 
hauteur 2h, largeur 19 (voir

schémas n°1 et n°2), sa masse M son barycentre G. Soit un repère Oxyz 
orthonormé ; e e e

désignent les vecteurs unitaires associés aux axes (Ox est horizontal, Oy 
vertical ascendant). Ce
repère est lié au référentiel du laboratoire supposé galiléen. La position de 0 
est choisie de telle
façon qu'à t = O, le point G se situe sur la verticale de 0. Chacun des 
rouleaux du convoyeur est
constitué d'un cylindre homogène, de rayon r, d'axe de symétrie horizontal, le 
moment d'inertie
relativement à cet axe sera noté ]. Chaque rouleau est susceptible d'effectuer 
un mouvement de
rotation autour de son axe horizontal. Les axes des rouleaux sont parallèles, 
tous situés dans le
même plan horizontal et distants de 2d. On va considérer la situation pour 
laquelle le solide est en
contact avec deux rouleaux particuliers, les rouleaux n°1 et n°2 de barycentres 
respectifs les points
01 et 02 (on suppose 2EUR > 2d ). Le rouleau n°1 peut tourner librement autour 
de son axe horizontal,

la liaison étant supposée parfaite. Le rouleau n°2 est entraîné en rotation par 
un moteur extérieur
non figuré, sa vitesse de rotation est 602 > 0 constante au cours du temps. A 
l'instant initial,

l'extrémité droite du solide se situe à la verticale du point 02, la vitesse du 
solide est

' dX
X =--0>0.
0 dt()

Les points de contact du solide sur les rouleaux sont notés respectivement 11 
et 12. Le rouleau n°2 va
donc freiner le solide S et, à un instant t = T, S va s'immobiliser ; la suite 
du mouvement ne sera
pas considérée ici.

Le coefficient de frottement S/rouleau sera noté ,a, il ne sera pas fait de 
distinction entre les
coefficients de frottement dynamique ou statique.

g des1gne le vecteur acceleraüon due a la pesanteur, s01t g = --g ey . On note 
X = X (t) , ] abs01sse

du point G à un instant quelconque, îR1 = Tlex + N1ey , SR, = T 2 ex + N 2 ey , 
les actions des rouleaux

sur S appliquées en 11 et 12.

Dans la suite du problème, on supposera toujours que le mouvement du solide S 
s'effectue sans
glissement sur le rouleau n°1 .

Pour les applications numériques, on donne [ = lm, d = 0,8 m, h = 0,2 m, r = 
0,2 m, ,u = 0,1

M= 3500 kg, J= 20 kg.m2, g = 9,81 m.s'2, XO = 0,442 m.s'1

2.h

À= Rouleau n°2

\

2.d

Schéma n°1 : vue dans le plan vertical Oxy à l'instant t = 0 [les flèches
rondes indiquent le sens de rotation des rouleaux]

? /

ÎV <î"/

Schéma n°2 : vue dans l'espace à un instant t quelconque

Les questions 1.1 à 1.8 correspondent à une mise en équation du problème posé.

1.1 Le vecteur vitesse de rotation du premier cylindre est noté a;1 EUR. 
Exprimer la relation de non

glissement en Il, relation liant r, 601 et X (relation 1).

1.2 Exprimer la vitesse de glissement de S sur le rouleau n°2 en fonction deX , 
r, 502. Dans ces
conditions, quel est le signe de T 2 ? Ecrire la relation liant T 2 et N2 en 
supposant N2 > 0
(relation 2).

1.3 Exprimer le moment cinétique du premier rouleau relativement au point 01 
puis l'énergie
cinétique initiale de l'ensemble (solide S + rouleau n°1) en fonction de X 0 , 
M, J, r. Cette

énergie sera notée Ec(0). Calculer la valeur de cette quantité.

1.4 Par utilisation du théorème de la résultante dynamique appliqué à S, 
obtenir deux relations

liant N1, N2, T1, T 2, M, X (relations 3 et 4).

1.5 En considérant le rouleau n°1 seul et, en utilisant le théorème du moment 
dynamique, donner
ala)1

dt

une relation liant T1 et (relation 5).

1.6 On note 66. le moment cinétique en G de S. Quelle est la valeur de âG ?

1.7 En faisant appel au théorème du moment dynamique appliqué à S, établir une 
relation liant N 1,
T1, N2, T2, £, h, detX(relation 6).

1.8 D'après les relations obtenues, établir l'équation différentielle pour la 
variable X

Les questions 11.1 à 11.6 comprennent principalement une résolution du problème 
posé.

11.1. Pour simplifier l'écriture obtenue à la question 1.8, on pourra poser:

M ' = M + 12 [l + 2d,uh h] (et prendre M' = 4000 kg pour les applications 
numériques).
'" _ ."
- - , , - - r ' , r ' d2X 2
Dans cette 51tuaüon, l equaüon dlfferenüelle pour X 5 cent sous la forme d 2 + 
9 X = K
t
où 9 = ;; g % , K étant une constante dont vous préciserez l'expression en 
fonction
2d -- yh M '

de EUR, d et 92. Calculer la valeur numérique de la pulsationQ .

11.2. Donner la solution de l'équation différentielle en fonction de X 0 , Q , 
EUR , d et t.

11.3. À l'instant t= 1, la vitesse de S s'annule (pour la première fois). 
Établir l'expression de

tan(r Q ) en fonction de Q , £, d, X 0. Vérifier que tan(r Q ) «51 et calculer 
l'amplitude

maximale X m du déplacement du point G. Montrer que le solide S est toujours en 
appui sur le
rouleau n°1, à l'instant t = T.

11.4. Établir les expressions de N1 et de N2 en fonction de X et des 
constantes. N] et N2 étant des
fonctions respectivement décroissante et croissante de X, donner les conditions 
montrant qu'il

n'y a pas basculement du solide S entre les instants t = 0 et t = 17.

11.5. Quelle est l'expression de la puissance P due aux forces s'exerçant sur 
l'ensemble (solide S +
rouleau n°1) ? En déduire l'expression de W, travail reçu par l'ensemble 
(solide S + rouleau
n°1) entre les instants 0 et 1:. D'après la question 1.3, donner la valeur de W.

11.6. Exprimer W ' le travail fourni par le moteur d'entraînement au rouleau 
n°2 entre les instants 0

et 1:, expression faisant intervenir a)2 et X 0 . Quel est le travail dissipé 
en chaleur entre les

instants 0 et 17 ?

Seconde partie : Entraînement hydraulique

Dans cette deuxième partie, on va s'intéresser au fonctionnement d'un 
dispositif d'entraînement
hydraulique ayant pour but de transmettre un couple.

Soit Oxyz un repère orthonorrné direct lié au laboratoire et considéré comme 
galiléen. Les vecteurs

unitaires associés aux axes sont ex ,ey ,ez , l'axe Oy est vertical ascendant. 
Le dispositif

d'entraînement est constitué principalement de deux parties, notées l et 2 
(voir schémas n°3 et n°4).

4--
un
!
i
i Partie 1
i y
!
Fluide %» ! g,,
!
0 i
Partie 2 : disque ----> ' x
x
/ z Partie 2
carter :
l

/' i

Partie 1 : axe

Schéma n°3 : vue dans le plan horizontal sz Schéma n°4 : vue dans le plan 
vertical xOy

La partie 1 possède une symétrie de révolution; son barycentre se situe en 0. 
Elle peut tourner
autour de son axe horizontal coïncidant avec Oz. Cette partie 1 est soumise à 
un couple de moment

Feî par un moteur d'entraînement extérieur et non figuré sur les schémas n°3 et 
4 (F est
strictement positif et constant au cours du temps). Le vecteur vitesse de 
rotation de 1 est donc noté

_ _

91 = a)1ez ; le moment d'inertie relativement à Oz est noté J1.

La partie 2 possède également une symétrie de révolution autour de Oz, son 
barycentre coïncide
avec le point 0. La partie 2 tourne autour de son axe horizontal avec une 
vitesse de rotation notée

_»

Q, = 502 ez , le moment d'inertie relativement à Oz est noté J2.

Entre les solides 1 et 2 se situe un fluide visqueux qui va assurer 
l'entraînement de 2 par 1. En effet,
le fluide exerce sur 2 un couple de moment Ü; = f1 (@ --w2)ê, un couple opposé 
s'exerçant sur 1.
La partie 2 est destinée à faire fonctionner un appareil extérieur non figuré 
sur les schémas n°3 et 4
et subit de ce fait un couple Ü; = --f2 @2 EUR (il s'agit d'un couple 
résistant, « opposé >> à la vitesse de

rotation, les coefficients f1 et f; étant supposés positifs).
Le solide 1 est supporté par des paliers (non figurés), la liaison étant 
supposée parfaite. De même,
tout frottement entre 1 et 2 sera négligé.

_.

III.]. Donner les expressions des moments cinétiques GT et 02 en 0 des parties 
1 et 2.

111.2. Par application du théorème du moment dynamique, écrire deux relations 
liant col et 502 et
leurs dérivées premières.

III.3. Des deux égalités précédentes, déduire une équation différentielle du 
second ordre pour (01
puis pour (02.

111.4. Donner les expressions générales de col et 502 en fonction du temps, en 
supposant les
conditions initiales suivantes : w1(0) = 602 (O) = 0 et a)1(0) = @2 (O) = 0 .
III.5. Montrer que le régime transitoire va disparaître avec le temps.

III.6. En supposant le régime permanent établi, donner l'expression des 
vitesses de rotation 501 et 602

en fonction de F , f1, f2. En déduire l'expression de la puissance mécanique P1 
transmise par le
moteur au solide 1 en fonction de f1, f2, F.

III.7. De même, donner l'expression de la puissance P2 transmise par la partie 
2 à l'appareil
extérieur, en fonction de F et fg.

III.8. Quel est le signe de P1-- P2 ? Comment expliquez-vous cette différence ?

THERMODYNAMIQUE

Le moteur de Stirling est constitué de deux chambres, une chaude, une froide, 
reliées par un
régénérateur de volume constant pouvant être constitué de fils de cuivre 
tressés. Le gaz, en
circuit fermé, reçoit un transfert thermique d'une source chaude et cède un 
transfert thermique à
la source froide. Le rôle du régénérateur, base de l'invention de Stirling, est 
fondamental pour
obtenir une bonne efficacité. Dans son brevet original de 1816, Stirling 
explique que le gaz
chaud entre dans la partie chaude du régénérateur et est progressivement 
refroidi durant son
parcours pour ressortir par l'autre extrémité à une température presque 
identique à la
température de la source froide. Dans le parcours inverse, le gaz est 
progressivement réchauffé.
Cette astuce technologique permet d'avoir une partie des échanges thermiques 
internes au
moteur.

Ce problème comporte 3 parties. La première partie permet de comprendre 
l'intérêt du
régénérateur dans le calcul de l'efficacité. La seconde partie analyse le rôle 
du volume et des
pertes thermiques dans un régénérateur réel. La dernière partie, indépendante 
des deux

précédentes, aborde la concentration du flux solaire et le transfert thermique 
à la chambre
chaude du moteur de Stirling.

C0nstantes du problème :
Constante des gaz parfaits : R = 8,314 J .mol'l.K'1
Constante de Stephan : 0 = 5,67.10'8 W.m'2.K'4

Données sur le dihydrogène (Hz)
Masse molaire : M Hz = 2, 00.10"3 kg.mol'1

C
Rapport des capacités thermiques y = C--" = 1,40
V
Données sur le cuivre
Masse volumique : p = 8913 kg.m'3
Chaleur spécifique massique : c = 387 .Ï.kg'1.K'1
Conductivité thermique : À = 362 W.m'l.K'1

Données sur le sodium
Masse molaire : MNa = 22,96.10'3 kg.mol'1

Masse volumique : p = 968 kg.m'3
Capacité thermique massique du liquide : c = 1230 J .kg'l.K'1
Température de vaporisation à pression atmosphérique : T v = 1156 K

Enthalpie molaire de vaporisation à pression atmosphérique : AH...aP = 99,2 
kJ.mol'1

Description du cycle de Stirling
Le cycle associé à un moteur de Stirling est constitué de 2 isothermes et de 2 
isochores. Il est décrit
comme suit :

1-->2 : compression isotherme à Tf = 313 K

2-->3 : transformation isochore de la température Tf = 313 K à la température T 
c= 1173 K
3-->4 : détente isotherme à T c= 1173 K

4-->1 : transformation isochore de la température T c= 1173 K à la température 
7} = 313 K

Ce cycle est représenté figure 1 :

Piston chaud Régénérateur Piston froid

1 | ' FROID ' _ÿ
2 Il I
l ' l
| 3
l
' CHAUD ' |
L x

%.-->

Figure 1 : déplacement des pistons

Caractéristiques du moteur de Stirling retenu

Température de la source chaude : 1173 K

Température de la source froide : 313 K

Volume minimum du gaz libre (uniquement chambre chaude et/ou froide) : V... = 
1,0 L
Volume maximum du gaz libre (uniquement chambre chaude et/ou froide) : VM= 2,0 L
Volume du régénérateur accessible au gaz quand il est pris en compte : Vr = 0,2 
L
Volume du régénérateur occupé par du cuivre : 0,6 L

Masse de dihydr0gène, traitée comme un gaz parfait, contenue dans le moteur : 
0,01 kg.

1 - Moteur de Stirling avec un régénérateur parfait
Les questions 1.1 à 1.9 ne tiennent pas compte de la présence du régénérateur. 
Dans toutes les
questions de cette partie 1, le volume du régénérateur est nul (Vr = 0), comme 
indiqué sur la figure 2.

1.1.

1.2.
1.3.

1.4.

1.5.
1.6.

=l vvl

Piston chaud Piston froid

Figure 2 : volumes à considérer pour le régénérateur parfait

À partir des caractéristiques du moteur de Stirling, déterminer numériquement 
le nombre de
moles n de gaz et les pressions p1, p2, p3 et 194.

Représenter le cycle moteur de Stirling sur un diagramme p(V).

Exprimer algébriquement la variation d'énergie interne AUab et les transferts 
énergétiques,
Wah et Qab, entre un état a et un état b pour une transformation isotherme.

Exprimer algébriquement la variation d'énergie interne AUCd et les transferts 
énergétiques,
Wed et ch, entre un état 0 et un état d pour une transformation isochore.

Calculer numériquement les travaux Wl---2, Wz-3, W3-4, W4-1

Calculer numériquement les transferts thermiques Q..., Q2-3, Qg-4, Q4-1

1.8.
1.9.

Que valent les transferts thermiques Qc et Qf provenant des thermostats chaud 
et froid si
aucun dispositif supplémentaire n'intervient (pas de régénérateur) en fonction 
des transferts

thermiques Q..., Q2-3, Q3-4 et Q4-1 ? Effectuer l'application numérique.
Que vaut le travail W sur le cycle ? Effectuer l'application numérique.

En déduire numériquement l'efficacité sans régénérateur (est).

En présence d'un régénérateur parfait (volume négligeable, transfert parfait), 
les transferts
thermiques Q2-3 et Q4-1 sont internes.

1.10. Vérifier que les transferts thermiques Q2-3 et Q4-1 se compensent.

W... + VV3-->4
Q...

L'efficacité est alors calculée à partir de e = --

1.11. Justifier cette expression.

1.12. Calculer algébriquement et numériquement l'efficacité (EUR).

1.13. Comparer l'efficacité (e) à l'efficacité de Carnot (ec).

Il - Régénérateur non idéal

Le régénérateur peut être constitué d'un empilement de disques de fils de 
cuivre tressés. On suppose
que la température dans le régénérateur varie linéairement avec l'abscisse 
selon la loi :

T (x) = T C + î(TJ, -- T C ). On prendra pour origine des abscisses la 
frontière chambre

L

chaude/régénérateur. L représente la longueur du régénérateur. On ne tiendra 
nullement compte des
aspects dynamiques. Il n'y a pas d'échange thermique entre les tranches 
élémentaires de fluide. Le
volume accessible au gaz dans le régénérateur Vr est aussi appelé volume mort.

11.1. Influence du volume mort du régénérateur

Dans le régénérateur, le gradient de température conduit à une distribution de 
densité
moléculaire en fonction des abscisses.

Il est donc intéressant de remplacer cette distribution liée au gradient de 
température par un
système équivalent d'un point de vue mécanique : le régénérateur sera alors 
supposé occupé
par nr moles de dihydrogène à la température effective T r, quelle que soit 
l'abscisse. Le
volume mort du régénérateur vaut V, = 0,2 L.

11.1 a) Dans le régénérateur, en considérant que la pression est homogène, 
montrer que la
température effective moyenne T , s'exprime selon :
TC -- Tf

ln &
Tf

Pour les questions c à f, toutes les molécules présentes dans le régénérateur 
seront supposées
être à la température T ,.

T,=

11.1 b) Calculer numériquement T ,.

11.1 c) À partir d'un bilan de matière, exprimer la pression p en fonction de 
n, R, des
températures Tr, TC, ?} et des volumes V,, VC et V], volumes associés au 
régénérateur, au
piston chaud et au piston froid (voir figure 3). On considérera la pression 
identique dans le
régénérateur et les deux chambres.

11.2.

11.3.

Régénérateur

IVe Ver '

Piston chaud Piston froid

Figure 3 : différents volumes pris en compte

11.1 (1) Exprimer littéralement le travail W... puis effectuer l'application 
numérique.

11.1 e) Exprimer littéralement le travail W3-4 puis effectuer l'application 
numérique.

11.1 1) Comparer la valeur numérique du travail sur le cycle avec un volume 
mort de
régénérateur de Vr = 0,2 L (WW # o) à sa valeur obtenue sans volume mort (WW = 
0)-
Commenter.

Pour les transferts thermiques, il est impératif de considérer le gradient de 
température dans le

régénérateur.

11.1 g) En discrétisant l'ensemble du système en fines tranches, chaque tranche 
de gaz est
toujours à la température du thermostat local aussi bien dans les chambres que 
dans
le régénérateur. Y a-t-il création d'entropie au cours d'un cycle ? En déduire 
sans
calcul l'efficacité.

Perte thermique dans le régénérateur

Soit x la fraction de chaleur non échangée dans le régénérateur par le gaz lors 
de la
transformation isochore (x varie de 0 à 1). Cette fraction est supposée 
identique dans les 2
sens de passage. Dans cette partie, le volume mort est supposé nul (Vr= 0).

11.2 a) Donner une raison qui pourrait expliquer que le transfert thermique 
n'est pas idéal.

11.2 b) Exprimer l'efficacité sous la forme :

Tf

î

T ?
1+C2(1-- T--f)
C

C2 étant une constante à exprimer en fonction de x, y, VM et Vm.

1_

EUR:

11.2 c) Calculer numériquement C2 et l'efficacité qui en résulte, en 
considérant un transfert
non idéal correspondant à x = 0,1.

11.2 (1) Le volume de cuivre nécessaire à la construction du régénérateur vaut 
0,6 L. Estimer
la variation de température du cuivre induite par le passage du gaz du piston 
froid au

piston chaud (2-->3) dans le cas non idéal x = 0,1.

Conducfion thermique dans le régénérateur

Considérons une barre calorifugée en cuivre de longueur L = 2RCu et de section 
A = J'ERcu2
entre 2 thermostats de température T c et 7}. On se place dans l'approximation 
d'un régime
stationnaire.

11.3 a) Ecrire la loi de Fourier.
11.3 b) Calculer le flux de conduction thermique °.

11.3 (1) Dans une réalisation technologique d'un régénérateur, on utilise un 
empilement de
disques de fils de cuivre en treillis. La conduction thermique est donc bonne 
dans le
plan des disques et moyenne selon l'axe x. Commenter.

111 - Moteur de Stirling solaire

Moteur de Stirling

, , @à
et generateur ?\J
J
J
J
J

//EUR?Y
// 'V

Flux solaire
concentré

Figure 4 : concentrateur parabolique sur un moteur de Stirling

Une parabole dont la bordure circulaire a pour diamètre d = 10 m (voir figure 
4), recouverte d'une
couche parfaitement réfléchissante, concentre les rayons solaires sur une 
ouverture dont le fond est
un disque récepteur de diamètre D = 0,2 m, disque en contact avec des tubes 
permettant d'échanger
de l'énergie. Cette surface est considérée comme un corps noir. Le coefficient 
surfacique de
transfert conducto-convectif au niveau du récepteur est noté h. Le flux 
surfacique solaire parvenant

normalement àla parabole vaut (Ps = 1000 W.m'2 .

111.1.Le moteur est retiré, seule la face réceptrice assimilée à un corps noir 
est gardée. Elle est
parfaitement isolée therrniquement sauf du côté récepteur.

111.1 a) Si l'environnement rayonne à la température ambiante de T amb = 313 K, 
cette
contribution est-elle importante par rapport au flux solaire concentré ? 
Justifier en
termes de flux surfacique.

111.1 b) Effectuer un bilan énergétique au niveau de la surface réceptrice.

111.1 EUR) La température de la surface réceptrice lors du test se stabilise à 
2473 K, en déduire
la valeur numérique du coefficient h.

111.2. Le moteur est maintenant en fonctionnement avec une efficacité e = 41 %, 
la température de
la face chaude vaut 1173 K. La face chaude est la surface réceptrice 
précédente. La
conversion de la puissance mécanique en puissance électrique s'effectue avec un 
rendement

n=95%.

111.2 a) Effectuer un bilan énergétique au niveau de la surface réceptrice. On 
supposera en
approximation grossière que le coefficient conducto-convectif déterminé
précédemment ne varie pas. La puissance thermique absorbée par la face chaude 
sera
notée PC.

111.2 b) Quelle est la valeur numérique de Pc ?

111.2 EUR) Quelle est la puissance électrique disponible Pe ? Effectuer 
l'application numérique.

111.3. Le flux solaire est soit directement concentré sur les tubes chauffants 
du moteur de Stirling,

soit concentré sur un caloduc. Le caloduc, comme indiqué sur la figure 5, est 
un récipient
fermé contenant ici du sodium sous forme diphasique.

Tube d'échange
Vapeur de sodium

Côté extérieur : corps noir
Côté intérieur : surface capillaire

énérateur

Retour du condensat
par gravitation

Flux solaire

concentré Sodium liquide

Figure 5 : caloduc en contact avec le moteur de Stirling

Dans la suite, la puissance absorbée par la face chaude sera prise égale à PC = 
70 kW. Le
caloduc a un volume de 30 L et contient 1,5 kg de sodium.

111.3 3) Estimer la masse de sodium se vaporisant chaque seconde.
111.3 b) Expliquer le fonctionnement du caloduc.

111.3 c) Expliquer le rôle du caloduc dans cette application.

Fin de l'énoncé.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 MP 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jimmy Roussel (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

Comme à l'accoutumée pour la première épreuve de physique du concours CCP
filière MP, l'épreuve se compose de deux problèmes distincts, un de mécanique 
et un
de thermodynamique.
· Le premier problème porte sur l'analyse de deux systèmes mécaniques 
particuliers. Après l'étude du freinage d'un solide en translation sur deux 
rouleaux,
dont l'un est entraîné par un moteur, on s'intéresse à un système de 
transmission d'un couple par viscosité. Ce problème sans difficulté 
conceptuelle particulière, mais assez calculatoire, permet de se tester en 
mécanique du solide,
particulièrement sur les lois relatives aux frottements.
· Le second problème aborde l'étude du moteur de Stirling. Le sujet, très 
progressif, traite tout d'abord du moteur de Stirling idéal, puis consacre une 
large part
à une modélisation plus réaliste du régénérateur, pièce essentielle de 
l'invention de Stirling, pour montrer l'influence de différents paramètres 
techniques
sur l'efficacité de la machine thermique. Enfin, une dernière partie est 
consacrée à l'étude du moteur de Stirling solaire. Ce problème, très 
intéressant du
point de vue scientifique, présente l'avantage de visiter différents aspects du
programme de thermodynamique de première et seconde année : les transformations 
d'un gaz parfait, les machines thermiques, la conduction thermique,
ainsi que le rayonnement thermique.

Indications
Mécanique
I.3 Pour le calcul de l'énergie cinétique, utiliser le théorème de Koenig et le 
résultat obtenu à la question I.1.
I.6 Utiliser le théorème de Koenig relatif au moment cinétique.
I.8 Procéder par élimination en utilisant les six équations numérotées.
II.4 Utiliser les résultats obtenus à la question I.8 pour obtenir les actions 
N1 et
N2 en fonction de X, puis exprimer X en fonction de X à l'aide de l'équation
du mouvement trouvée à la question I.8.
II.6 Appliquer le théorème de l'énergie cinétique au rouleau n 2. Pour trouver
la chaleur dissipée, appliquer le premier principe de la thermodynamique au
système constitué par S et les deux rouleaux.
III.4 Reconnaître l'équation d'un oscillateur harmonique amorti soumis à une 
excitation constante.
Thermodynamique
I.5 Utiliser les formules du travail obtenues aux questions I.3 et I.4.
I.6 Reprendre les résultats des questions I.3 et I.4 sur les transferts 
thermiques.
I.12 Exprimer l'efficacité en prenant les expressions littérales des travaux et 
transferts thermiques obtenues aux questions I.5 et I.6.
II.1.a Décomposer le régénérateur en tranches d'épaisseur dx et calculer la 
quantité
de matière dans cette tranche, puis dans tout le régénérateur par intégration.
Utiliser la loi du gaz parfait pour identifier Tr .
II.1.e Profiter de l'analogie avec la question II.1.d.
II.2.b La chaleur que le régénérateur n'a pas pu échanger avec le gaz doit être 
fournie
par les sources.
III.1.b Appliquer le premier principe entre deux instants t et t + dt.

Mécanique
1. Freinage d'un lingot métallique

-

g

2h
I1

2

y

-

N1

Solide S

G

-

T1

·

-

N2

-

T2

O1

2r

I2

·

O2

·

-

ez

Rouleau n 1

·

.

x

Rouleau n 2

-

P

I.1 Le mouvement de S s'effectue sans glissement sur le rouleau n 1. Notons IR
1 un
point appartenant au rouleau n 1, situé au voisinage immédiat de I1 et IS1 un 
point
appartenant à S, situé au voisinage immédiat de I1 . L'absence de glissement 
signifie
S
que les points IR
1 et I1 ont la même vitesse. S étant en translation dans le référentiel
du laboratoire, il vient

-

v (IS1 ) = X -
ex
Le rouleau étant en rotation autour de l'axe (Oy), on a
-

-
-

v (IR ) = -

O I = -
e r-
e = -r  -
e
1

1

1 1

1 z

y

1 x

La condition de non glissement est donc
X = -r1

(1)

I.2 En adoptant une notation analogue à celle utilisée précédemment, la vitesse 
de

glissement -
vg de S sur le rouleau n 2 s'écrit

-

v =-
v (IS ) - -
v (IR )
g

2

2

et

-

v (IS2 ) = X -
ex

-

-
v (IR
2 ) = -r 2 ex

d'où

-

vg = (X + r2 ) -
ex

avec

(translation)
(rotation)

La vitesse de glissement étant une vitesse relative entre deux points, elle ne
dépend évidemment pas du référentiel.
Durant la phase de freinage, X et 2 sont positifs ; la vitesse de glissement 
est donc di
rigée suivant -
ex . Or, la force de frottement (l'action de contact tangentielle) qu'exerce
un support sur un solide est, en cas de glissement, opposée à la vitesse de 
glissement
du solide par rapport au support. C'est pourquoi
T2 < 0
De plus, en cas de glissement, la loi d'Amontons-Coulomb sur le frottement 
stipule
que |T2 | = µ|N2 | où µ est le coefficient de frottement. Finalement,
T2 = -µN2

(2)

Le coefficient µ est appelé coefficient de frottement dynamique, à ne pas
confondre avec le coefficient de frottement statique qui intervient dans la
condition de non glissement. Ces deux coefficients étant assez proches, on
confond souvent les deux concepts pour simplifier (sauf bien entendu si le
problème traite d'un phénomène qui repose précisément sur cette différence).
I.3 Par rapport au référentiel du laboratoire, le rouleau n 1 est en rotation 
autour
d'un axe fixe. Cet axe étant un axe principal d'inertie, le moment cinétique 
relativement à un point de l'axe est alors le produit du vecteur rotation et du 
moment
d'inertie par rapport à l'axe de rotation :
-

-

-

-
O1 (Rouleau n 1)  1 = J1 ez
Pour ce qui est de l'énergie cinétique du système constitué par le rouleau n 1 
et
le solide S, il suffit d'ajouter l'énergie cinétique de chaque sous-système. 
Comme S
est en translation rectiligne,
1
Ec (S) = MX2
2
Le rouleau n 1 étant en rotation autour d'un axe fixe, son énergie cinétique 
vaut
1 -
 = 1 J 2
Ec (Rouleau n 1) = -
1 · 
1
1
2
2
Finalement, si l'on utilise la relation (1), l'énergie cinétique initiale Ec 
(0) de l'ensemble est donnée par

1
J
Ec (0) =
M + 2 X02 = 390 J
2
r
Théorème de Koenig appliqué aux solides : L'énergie cinétique d'un
solide S en mouvement quelconque dans un référentiel R s'écrit
1 2 1 -

Ec (S/R) = M-
vG + 
 ·-

2
2

-
où M est la masse totale, -
v
G la vitesse du centre d'inertie,  le vecteur rota
-
tion et   le moment cinétique barycentrique. Le premier terme représente
l'énergie cinétique de translation et le second, celle de rotation.
I.4 Le théorème de la résultante dynamique stipule que, pour un système de masse
totale M dans un référentiel galiléen, on a

-
d-
v
G
M
= F ext
dt

-
où F ext est la résultante des forces extérieures et -
v la vitesse du centre d'inertie.
G

Appliquons ce théorème au solide S soumis à trois actions :

-

· le poids P = -mg -
ey ,
-

· l'action de contact en I1 , R1 ,
-

· l'action de contact en I2 , R2 .
 -
-
 -

Alors
P + R1 + R2 = MX -
ex
(
T1 + T2 = MX
ce qui donne en projection
N1 + N2 = Mg

(3)
(4)