CCINP Physique 1 MP 2010

SESSION 2010 MPP1003

A

coucou: communs r'onncamours

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées

***

NB ." Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de la
rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu 'il a été amené à
prendre.

***

MÉCANIQUE

L "épreuve porte sur ] 'étude de deux mouvements plans particuliers, pour un 
système de solides en
première partie, pour un solide unique en seconde partie. Ces mouvements 
pourront comprendre
une phase de roulement sans glissement simple (première partie) ou une phase de 
roulement avec
glissement, suivie d 'une phase de roulement sans glissement. Il est à noter 
que la première partie
comporte ] 'étude d "un équilibre et qu 'elle est indépendante de la seconde 
partie.

Première partie

Un wagonnet destiné au transport de matière minérale comprend : une plateforme, 
une benne, deux
essieux portant chacun deux roues. L'ensemble présente un plan de symétrie 
vertical (il s'agit du
plan XOy qui sera défini ultérieurement et qui contient les points 00, O;, 02, 
GO et G, voir schéma
n°1, page suivante). Pour le déchargement du contenu éventuel de la benne, 
celle-ci peut basculer
autour d'un axe lié à la plateforme, toutefois ce mouvement ne sera pas 
considéré dans le cadre de
ce problème. Dans ces conditions, l'ensemble berme-plateforme--essieux sera 
considéré comme un
solide unique, indéformable, de masse M = 60 kg, de centre d'inertie Go dont la 
position est précisée
par les longueurs a = 0,5 m et b = 0,8 m. Les quatre roues circulaires et 
identiques sont de masse
m= 15 kg et de rayon r = 0,15 m ; elles ont pour centres d'inertie respectifs 
les points G] et G.;
(pour les roues avant) et les points GZ et 63 (pour les roues arrière). Ces 
roues reposent sur deux
rails parallèles, écartés de Z.e == 0,6 m. Le coefficient de frottement d'une 
roue quelconque sur le
rail est noté { ; il ne sera pas fait de distinction entre coefficients de 
frottement statique ou

SESSION 2010 MPP1003

A

coucou: communs r'onncamours

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées

***

NB ." Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de la
rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu 'il a été amené à
prendre.

***

MÉCANIQUE

L "épreuve porte sur ] 'étude de deux mouvements plans particuliers, pour un 
système de solides en
première partie, pour un solide unique en seconde partie. Ces mouvements 
pourront comprendre
une phase de roulement sans glissement simple (première partie) ou une phase de 
roulement avec
glissement, suivie d 'une phase de roulement sans glissement. Il est à noter 
que la première partie
comporte ] 'étude d "un équilibre et qu 'elle est indépendante de la seconde 
partie.

Première partie

Un wagonnet destiné au transport de matière minérale comprend : une plateforme, 
une benne, deux
essieux portant chacun deux roues. L'ensemble présente un plan de symétrie 
vertical (il s'agit du
plan XOy qui sera défini ultérieurement et qui contient les points 00, O;, 02, 
GO et G, voir schéma
n°1, page suivante). Pour le déchargement du contenu éventuel de la benne, 
celle-ci peut basculer
autour d'un axe lié à la plateforme, toutefois ce mouvement ne sera pas 
considéré dans le cadre de
ce problème. Dans ces conditions, l'ensemble berme-plateforme--essieux sera 
considéré comme un
solide unique, indéformable, de masse M = 60 kg, de centre d'inertie Go dont la 
position est précisée
par les longueurs a = 0,5 m et b = 0,8 m. Les quatre roues circulaires et 
identiques sont de masse
m= 15 kg et de rayon r = 0,15 m ; elles ont pour centres d'inertie respectifs 
les points G] et G.;
(pour les roues avant) et les points GZ et 63 (pour les roues arrière). Ces 
roues reposent sur deux
rails parallèles, écartés de Z.e == 0,6 m. Le coefficient de frottement d'une 
roue quelconque sur le
rail est noté { ; il ne sera pas fait de distinction entre coefficients de 
frottement statique ou

dynamique. Les points de contact roues-rail sont appelés [1 et L; (pour les 
roues avant), 12 et 13 (pour
les roues arrières). 01 est le milieu du segment 1114, O; est le milieu du 
segment 1213, 00 est le milieu

---0 --. ----b

du segment 0102. Les actions des rails sur les roues se résument à quatre 
forces 9î, ,9î,,9î_, ,9î,
dont les points d'application sont 11, 12, 13, [4. Pour simplifier le problème, 
on supposera que ces

forces n'ont pas de composantes suivant la direction "é, et que, de plus, îÏî, 
: 'Ïî, et %, : 'Îî,. On

posera ÊR, : Yîex + N1 "éy et 9î, : T,ex + N,ey, [ex , ey, e,] étant une base 
définie ci-après.
Soit un référentiel terrestre supposé galiléen auquel on associe un repère 
cartésien orthonormé

direct Oxyz, de vecteurs unitaires associés @ %? ë, , le plan xOy est vertical, 
il passe également

X' »"

par les points 00, O;, 02, l'axe OX étant parallèle aux rails. Par symétrie, le 
centre d'inertie C du
wagonnet se situe dans le plan xOy, sa position est précisée par une abscisse X 
telle que
OG : X.ëX + c."éy . Il est à remarquer que les points 00, G et Go sont alignés.

Pour l'accélération due à la pesanteur, on pourra prendre g ="Ë1l : 10 ms"2 .

benne

axe de
basculement
de la benne

plateforme

I°OUC 3V&l]t

)
O
" 0 " 4" rail
82 ex
19 14
rar] gauche essieu essieu EUR
0 ëx arrière avant

OEi

rail droit

Schéma n°1

1) Dans un premier temps, on va étudier l'équilibre du wagonnet en présence 
d'une pente.
Un dispositif de freinage (non figuré) bloque les deux roues avant et laisse 
libre les roues arrière

(dans ce cas, on a donc T 2 = 0). Les rails se situent dans un plan incliné 
d'un angle 05 : 5° par
rapport à l'horizontale (voir schéma n° 2, page suivante).

Schéma n°2

1.1. Déterminer l'expression de l'ordonnée (: du centre d'inertie G en fonction 
de m, M, b, et r.

1.2. En écrivant que la résultante dynamique du wagonnet est nulle, établir 
deux :relations liant
N], Mz, T1, M, 111, g et a (pour simplifier l'écriture, on pourra poser M = M + 
4.m,
% désignant la masse totale du wagonnet).

1.3. Calculer la valeur numérique de T1.

1.4. Le moment dynamique du wagonnet relativement au point 0; étant nul, établir
l'expression de N; en fonction de M,, g, a, cet &.

1.5. Des questions 1.2. et 1.4, déduire l'expression de N2.

2) Dans un second temps, le système de freinage étant débloqué, le wagonnet se 
situant toujours sur
une pente inclinée de l'angle a par rapport à l'horizontale, on soumet celui-ci 
à une force

C..,

F = F ."èx située dans le plan de symétrie vertical du wagonnet XOy. Cette 
force est caractérisée

par son intensité constante F, sa ligne d'action étant une parallèle aux rails 
passant par le point
G. Les accélération et vitesse observées étant suffisamment faibles, la 
résistance à l'avancement
du milieu ambiant sera négligée. Le mouvement des roues sur les rails est 
supposé s'effectuer
sans glissement. La vitesse de rotation instantanée est donc identique pour 
chacune des roues et

sera notée Q = (0.252.

, . . . . dX
2.1. Etablir la relat1on de roulement sans glissement liant a), ---- etr.

dt

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

. 1 7 . . .
Sort ] = +-- mr'" _, le moment d'1nert1e de l'une quelconque des roues 
relat1vement a son axe

2
de rotation. Déterminer l'expression de l'énergie cinétique de l'une quelconque 
des roues

. dX
en fonct10n de m et ----------

dt '
Déterminer l'expression de l'énergie cinétique de l'ensemble 
benne-plateforme--essieux en

fonction de M et _CÏ_)_(_ , puis celle de l'énergie EC du wagonnet en fonction 
de m, M et Ë_Ï_

dt dt '

Montrer que l'énergie potentielle de pesanteur du wagonnet peut s'écrire sous 
la forme

E,,== % . g.X.sina.

Exprimer la puissance OE'fournie par la force F en fonction de F, --CË(--

dt '
Les liaisons étant supposées parfaites, déduire des résultats précédents 
l'expression de
d'X
dr'

l'accélération en fonction de F, M, 1771, a, g.

Donner l'expression du moment cinétique (en GI) de la première roue (avant 
droit) soit

--'

0'1(G1) en fonction de Jet a) .

Appliquer le théorème du moment dynamique pour la première roue. En déduire
d 2 X
dt'

l'expression de T1 en fonction de 111, puis en fonction de m, M, g, F et 05.

Montrer que T1 = T 2. Calculer la valeur numérique de ces grandeurs pour F = 
564,5 N.

2.10. Par projection des forces agissant sur le wagonnet suivant la direction 
de Oy, trouver une

première relation entre Nl et N2.

2.11. Les moments cinétiques aux points G2, G3, & pour les autres roues, soient

62 (6--2 ), ô"3 (G3 ), 611 (G4 ), possèdent des expressions identiques à celle 
de 5"! (G] ).

En utilisant ce résultat, donner l'expression de 5"(G) , moment cinétique en C 
du
wagonnet. Pour cela, on remarquera que les points G, G; 63 et G4 possèdent la 
même

---+ dX....

v1tesse sort VG} : VG2 : VG3 : VG4 =---Æ--.ex et, de plus, on remarquera que:

...+--...----+--------+------------+

GGl + 662 + GG3 + GG4 = --4(c-- r).ëy.

---+

2.12. Donner le moment relativement au point G de la force F et du poids du 
wagonnet M {. @.

2.13. Par utilisation du théorème du moment dynamique et d'après les résultats 
des questions

2.14. Établir les expressions de N1 et N2 en fonction de %, m, C, r, a , g,

2.11 et 2.12, trouver une seconde relation entre N; et NZ.

d'X
dz'

eta.

Deuxième partie

3) Soit un référentiel terrestre supposé galiléen auquel on associe un repère 
cartésien orthonormé
direct Oxyz, Oy étant vertical, les vecteurs unitaires correspondant aux 3 axes 
sont notés

un...--n. --'

6386

X' )" Z"
Soit un disque homogène pesant de masse m, de rayon r et d'épaisseur 
négligeable devant r. Le
centre d'inertie du disque est noté G; le moment d'inertie du disque 
relativement à un axe

perpendiculaire au plan de celui--ci passant par G est ] : â-- mr2 .

Dans la suite du problème, on va considérer le mouvement de ce solide dans le 
plan XOy.
Initialement, ce disque est animé d'un mouvement de rotation autour d'un axe 
passant par G et

---o

dirigé suivant 6 : on pose donc 9 : a)0"èz, Q désignant ainsi le vecteur 
vitesse de rotation

instantanée du disque à l'instant t = 0 (COO > 0). Dans ces conditions, le 
disque est déposé sur le

plan horizontal ZOX, il s'ensuit un mouvement de roulement avec glissement 
s'effectuant dans le
plan XOy, dans le sens contraire à celui de l'axe OX. On note X = X(t) 
l'abscisse du point G à un

. X & . .
instant quelconque [on supposera X (0) : 0;%(0) == 0]. Le coefficrent de 
frottement du disque
sur le plan est f. On notera îÎî :: Téx + Né}, l'action du plan sur le disque, 
action s'appliquant au

point de contact [(voir schéma n°3).

% 1
N,.

H
N
('J'
r----..

H

N..

EUR , r= 0
e
. . EUR,},
1 0 ex
schéma n°3

3.1. Exprimer, en fonction. de r, 600, "é, la vitesse de glissement initiale du 
disque sur le plan ; en
déduire le signe de T.

3.2. On note a) : (0(t) la vitesse de rotation du disque à un instant 
quelconque {> 0. Donner
l'expression de 5'G, moment cinétique en C du disque (vu du référentiel 
terrestre). Par

application du théorème du moment cinétique en G, établir une relation liant m, 
[, T

dw
et -------- .
dt

_--.

3.3. En projetant la résultante dynamique du disque sur les vecteurs e
d 2 X
dt' '

et ëy, donner les

X

expressions de N et T en fonction de 111, g,

3.4. Compte tenu du fait que le mouvement s'effectue avec glissement et compte 
tenu de la
question 3.1, déduire l'expression de l'accélération du centre de masse G.

. , . . dX dca .
3.5. Determmer les expressrons de --, X ,----,w en fonction du temps.

dl dt

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

3.11.

Déterminer l'expression de la vitesse de glissement à un instant t. Celle--ci 
s'annule à
l'instant tl dont on déterminera l'expression.

Préciser les valeurs de %(q) et w(q).

Pour t> a, on suppose que le mouvement s'effectue sans glissement. Donner la 
relation de
dX

roulement sans glissement liant r,---à----,a).
[

Déterminer l'expression de l'énergie cinétique à un instant t quelconque > r; 
en fonction de
dX

m, -------------.
dt

Expliquer pourquoi cette énergie demeure constante au cours de cette phase du

mouvement.

De l'instant t; à un instant t; > î1, le centre de masse se déplace d'une 
longueur EUR.
Déterminer l'expression de t;_------- 11 en fonction de EUR , r, 600 .

THERMODYNAMIQUE

On étudie dans ce problème le cycle thermodynamique d'une machine motrice 
ditherme qui
fonctionne au contact de deux thermostats (sources de chaleur dont la 
température reste constante)

dont les températures sont respectivement notées T froid pour le thermostat le 
plus froid (noté SF) et

72.haud pour le thermostat le plus chaud (noté SC ). Le système que l'on 
considère au cours du cycle

est une masse 17) de 1 kg d'air assimilable à un gaz parfait dont le rapport de 
capacité thermique est
noté y.

On note WC la quantité d'énergie échangée sous forme de travail avec le milieu 
extérieur par le

système au cours d'un cycle. Qfi.ojd et QChaud sont respectivement les 
quantités d'énergie

échangées sous forme de chaleur par le système avec S F et SC au cours d'un 
cycle.

Données :
- Rapport de capacités thermiques de l'air : 7: 1,4

--- Constante du gaz parfait : R = 8,32 ] K"lmol"1
=29g
--- Température de la source froide : T [Im-d : 290K

--- Masse molaire de l'air : M ail.

--- Température de la source chaude : T h

CâU

-- Pression basse : Po == 105 Pa

-- Pression haute : pl === 106 Pa

1. Questions préliminaires
1.1 Généralités sur les moteurs

1. Quels sont les signes de WC, Q froid et Qchaud dans la convention 
thermodynamique ?

2. Définir l'efficacité thermodynamique (notée n) du moteur.

3. A. partir de l'écriture du premier et deuxième principes de la 
thennodynamique sur le cycle,
montrer que l'efficacité maximale du moteur est obtenue pour un fonctionnement 
réversible.
Donner son expression.

1.2 Gaz parfait

l. Rappeler la relation de Mayer pour un gaz parfait qui relie les capacités 
thermiques molaires à
volume et pression constants et la constante R.
2. Expliciter pour un kilogramme d'air la variation d'énergie interne entre 
deux états d'équilibre

quelconques en fonction de R, M air, 7 et AT (la variation de température entre 
les deux
états).

3. En déduire pour un kilogramme d'air une expression de la variation 
d'enthalpie entre deux
états d'équilibre quelconques en fonction des mêmes grandeurs.

2. Thermodynamique du moteur

La masse d'air subit dans le moteur la succession de transformations suivante :
--- Une transformation d'un état d'équilibre noté A à un état d'équilibre noté 
B, qui. fait passer la

ression d'une valeur basse notée à une valeur haute notée . Les tem ératures et 
les
0

volumes dans l'état A et dans l'état B sont respectivement T A = Tfmjd, VA, T 3 
= T froid et VB,.

Cette transformation fera l'objet d'une étude spécifique et à ce stade rien 
n'est dit sur sa nature ni
sa réalisation. On note simplement que le gaz dans l'état B est en équilibre 
thermique avec le

thermostat 5 F et qu'il n'y a pas, au cours de cette transformation, d'échange 
d'énergie

thermique avec le thermostat SC. On note WA _) B la quantité d'énergie échangée 
sous forme de

travail par le système au cours de la transformation A ----> B.
-- Un échauffement monobare au contact du thermostat SC de l'état d'équilibre B 
à l'état

d'équilibre C. La température, le volume et la pression de l'état C sont 
respectivement
TC : Tchaud> VC et 1067 3 pl '

--- Une détente adiabatique réversible qui fait passer le gaz de l'état 
d'équilibre C à l'état
d'équilibre D. La température, le volume et la pression de l'état D sont 
respectivement TD, VD et
PD=%--

--- De l'état d'équilibre D, un refroidissement monobare au contact du 
thermostat SF ramène le
système à l'état initial d'équilibre A.

2.1 Étude du cycle

2.1.1 Les états d'équilibres

]. Exprimer littéralement puis calculer numériquement les volumes VA, VB et VC.

2. Exprimer littéralement puis calculer numériquement la température T D et le 
volume VD.

3. Positionner qualitativement les points d'équilibre A, B, C et D dans un 
diagramme de
Clapeyron (p, V).

4. Exprimer littéralement puis calculer numériquement la variation d'entropie 
du système AS A B
entre les états d'équilibre A et B.

2.1.2 Production d'entropie sur le cycle

]. L'échange d'énergie sous forme de chaleur avec SC ne s'effectue au cours du 
cycle que sur la
transformation B -----> C. Exprimer littéralement puis calculer numériquement 
Qchaud.
2. L'échange d'énergie sous forme de chaleur avec SF s'effectue au cours du 
cycle sur la

transformation D ----> A et sur la transformation A ---> B. Exprimer 
littéralement Q froid en

fonction de Tfmid , de Tchaud , de WA _, B et des constantes du problème.

3. À partir de l'écriture du deuxième principe de la thermodynamique sur le 
cycle, déduire des

questions précédentes une expression de l'entropie produite sur le cycle Sp en 
fonction de

cycle
Tfroid ? de Th

(; aud , de WA _) B et des constantes du problème.

4. En déduire que la diminution de l'entropie produite sur ce cycle passe par 
la minimisation de
WA-->B°

2.2 Étude de la transformation A ---> E

Dans le dispositif réel, le fluide traverse deux éléments technologiques 
différents qui le font passer

de l'état d'équilibre A à l'état d'équilibre B :

--- Le premier élément est un système de compression qui permet d'amener le 
fluide jusqu'à la
pression haute pl.

- Le second élément est une simple canalisation qui permet le transport du 
fluide sur de longues
distances (ceci est lié au fait que dans le système étudié les thermostats sont 
très éloignés). Au

cours de ce transport, le fluide échange de l'énergie sous forme de chaleur 
avec 5 F (qui est ici

l'atmosphère) et finit par atteindre l'équilibre avec cette source (état 
d'équilibre B). La
transfom1ation que subit le fluide dans la canalisation est supposée monobare.
L'objectif de cette partie du problème est d'étudier plusieurs types de système 
à compression de

façon à comprendre comment on peut minimiser WA__,B.

2.2.1 Compression simple -- transformation (a)

Dans cette parti,e on a un système de compression simple pour lequel l'air pris 
dans l'état
d'équilibre A subit une compression adiabatique que l'on supposera réversible. 
Le fluide sort du

compresseur dans l'état d'équilibre noté al pour lequel pa1 -- pl. En sortie de 
compresseur le

fluide pénètre dans la canalisation.

l. Exprimer littéralement puis calculer numériquement la température Ta1 et le 
volume Va] du

système en sortie de compresseur.
2. Exprimer littéralement puis calculer numériquement l'énergie échangée sous 
forme de travail

par la masse de fluide au cours de la transformation A ---è al .

3. Exprimer littéralement puis calculer numériquement l'énergie échangée sous 
forme de travail
par la masse de fluide dans la canalisation au cours de la transformation 051 
----> B.

4. On note W/(1-->B -- --WA--aal + Wa1_,B. Calculer sa valeur numérique. 
Représenter WÂ _, B sur un

diagramme de Clapeyron.

2.2.2 Compression double - transformation (b)

On étudie dans cette partie un compresseur double étage:
-- À partir de l'état d' équilibre A, le gaz est d'abord comprimé de façon 
adiabatique et réversible

jusqu'à la pression p,- =flp0, dans lequel ,a est un nombre compris entre l et 
-£'--. L'état
Po

d'équilibre atteint par le gaz à ce moment là est noté fil , la température et 
le volume sont

respectivement notés T5] et V5,-

- À partir de l'état ,6] , le fluide est mis en contact avec 5 F au travers 
d'un échangeur dans lequel
il subit une transformation monobare. Il sort de l'échangeur dans l'état 
d'équilibre ,62 tel que la

pression et la température sont respectivement [152 : pi et T 52 = T fmid.

-- À partir de l'état ,5'2 , le gaz est à nouveau comprimé de façon adiabatique 
et réversible jusqu'à la

pression pl . L'état d'équilibre atteint par le gaz à ce moment là est noté & , 
la température et le

volume sont respectivement notés Tfl3 et Vfl3.

En sortie du compresseur double étage (état ,63) le fluide pénètre dans la 
canalisation.

l.

Positionner qualitativement les points d'équilibre A, ,61 , ,62 , ,B3 et .B 
dans un diagramme de
Clapeyron (p,V). Donner sur le même diagramme, l'allure des transformations 
adiabatiques.

. Donner l'expression de l'énergie échangée par la masse de gaz sous forme de 
chaleur au

contact de 5 F au cours de la succession de transformations qui mène de l'état 
A à l'état B

dans ce nouveau dispositif. On la notera Q%ÏLB.

. Donner l'expression de la température T fil en fonction de Tfmid, # et y.

Po

. Donner l'expression de la température T 5} en fonction de T froid , ,u ,-- et 
}/ .

P1
P0

. Déduire des questions précédentes une expression littérale, en fonction de T 
froid, ,il ,--------- , }/,

P1

177, R et M . de l'énergie échangée par la masse de gaz sous forme de travail 
au cours de la

311"?
succession de transformations qui mène de l'état A à l'état B dans ce 
nouveau... dispositif. On la

., b)
notera WÏ1-->B'

6. Montrer qu'il existe une valeur de ,a qui minimise la valeur de WÂÎÏ>B. 
Exprimer

' ! ° , -- *
litteralement pu1s calculer numerrquement cette valeur que l'on notera ,u .

7. Calculer numériquement WÂÎÏ, B dans le cas où ,u = ,u* .

2.2.3 Compression multiple

]. Expliquer qualitativement pourquoi en augmentant le nombre de compressions 
intermédiaires,

on ne pourra jamais descendre en dessous d'une valeur limite WË_"Î, B pour 
WA->B-

2. Exprimer littéralement puis calculer numériquement WËÎÏ', B- Pour toute la 
suite on prendra

__ lim
WA-->B * WA-->B°

3. Calculer numériquement l'efficacité thermodynamique du moteur.
4. On rappelle que l'unité de puissance du cheval--vapeur est défini comme 
valant 736 W

(=] cv). Calculer le débit massique de fluide nécessaire pour obtenir une 
puissance mécanique
de 500 cv. '

5. Sachant que la conduite en sortie de détente (point D) a un diamètre de 40 
cm, calculer la

vitesse du fluide à cet endroit (on supposera que la vitesse du fluide est 
uniforme sur une
section de la conduite).

Fin de l'énoncé.