CCP Physique 1 MP 2009

Thème de l'épreuve Oscillations d'une barre. Étude thermodynamique d'un dispositif cylindrique.
Principaux outils utilisés mécanique, thermodynamique, diffusion thermique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 

av.--:o: .v " nm.--:D

... mao...oeüË

È... ËmËm - ...ËOEÜËm Ë5ËÈ

m--=o_z=uup>_ooe m::<--SOu ...u=°vzcu

'

SESSION 2009 A MPPIOOS

CONCOURS (0MMUNS POlYÏE(HNIOUES
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de

la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera
sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été

amené à prendre.

MÉCANIQUE

Ce problème traite des mouvements d'oscillation de deux solides simples, 
mouvements
pouvant être couplés. Il est à noter que les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Le référentiel du laboratoire étant considéré comme galiléen, on lui associe un 
repère
orthonormé direct O'OEyz et on note ë;, ê; , EUR? les vecteurs unitaires 
correspondants aux

trois axes. L'axe O'y étant vertical orienté positivement vers le haut, le 
vecteur

accélération dû a la pesanteur s'écrit ÿ = --gêy avec g = 10 m.s_2 .

Partie 1 -- Oscillations dans le champ de pesanteur terrestre

On considère une tige homogène, de masse m, de longueur 2L et de centre 
d'inertie G (les
dimensions transversales de la tige sont négligeables devant L). 
Ultérieurement, le
mouvement de ce solide va s'effectuer dans le plan vertical :cO'y (voir schéma 
n°1). Soit un
point 0 appartenant à la tige tel que OG = EUR < L. On note GZ un axe passant 
par G,
perpendiculaire à la tige, orienté dans le sens du vecteur EUR ; de même, on 
note 02 un axe
passant par O, perpendiculaire à la tige, orienté dans le sens du vecteur ë; . 
On donne le

2

. . . . . mL

moment d'inertie du solide relat1vement à l'axe GZ, soet ] = T

1.1. Le moment d'inertie [O de la tige relativement à l'axe Oz peut se calculer 
a partir de
la formule 10 = IG + mEUR2 (formule découlant du théorème de Huygens). On désire

. 2 , . .
obtenir ] = ----mIÎ , determ1ner la valeur du rapport ---- dans ce cas. Oec1 
sera

maintenu dans la suite du problème (partie 3).

1/10

1.2. Soumise à l'action de la pesanteur, la tige effectue des mouvements 
d'oscillation dans

le plan æO'y, l'axe 02 étant maintenu horizontal et fixe, on repère sa position 
par
l'angle 9 = 9(t). La liaison en 0 étant supposée parfaite, la réaction d'axe en 
0 se

limite a une force R agissant en O.
Etablir les expressions de l'énergie cinétique EC et de l'énergie potentielle 
de pesanteur

d9

E,, du solide en fonction de m, [' , (9, -------- et g.

dt

1.3. Justifier le fait que l'énergie totale est constante au cours du mouvement 
; en déduire
l'équation différentielle pour la variable 9.

1.4. La tige étant lâchée sans vitesse initiale avec 9(0) = 90 = 0,1 rad ce qui 
correspond a

des petits mouvements, simplifier puis résoudre l'équation obtenue à la 
question 1.3. ;
en particulier, exprimer puis calculer la valeur de la pulsation du mouvement 
obtenu,

pulsation notée a)1 .

A.N. [: %Qm z 222 m
y
EUR 5
_. io
e .A x
0' EUR.
__+ EUR
8

C')

CD

Schéma n°1

Partie 2 -- Oscillateur harmonique

Une plateforme--support, de masse M, de centre d'inertie O, est guidée de façon 
a ne
pouvoir effectuer qu'un mouvement de translation suivant l'axe O'2: (voir 
schéma n°2). Elle
comporte un évidement dont l'intérêt apparaîtra a la partie 3. La liaison 
guides--plateforme
est supposée parfaite. Cette plateforme est solidaire de l'une des extrémités 
d'un ressort de
raideur K, l'autre extrémité du ressort étant fixée au point O'. On repère la 
position de la

plateforme par l'abscisse a: du point 0, soit 00 = OE(t).ê; . La longueur au 
repos du ressort
étant 607 à. l'équilibre, cette abscisse vaut donc 5130 = 50 + d , 2d désignant 
la longueur de la

2/10

plateforme (voir schéma n°3). On écarte le point 0 de sa position d'équilibre 
d'une
quantité X0 et on lâche la plateforme sans vitesse initiale.

2.1. On pose X = a: ----(ZO + d). Exprimer l'énergie potentielle emmagasinée 
par le ressort
en fonction de K et X.

dX

2.2. Exprimer l'énergie totale de la plateforme en fonction de K , M, X, ---- ; 
celle--ci étant

constante au cours du mouvement, en déduire l'équation différentielle pour la
variable X.

2.3. Déterminer l'expression de X en fonction du temps.

Ressort ' Plateforme

" O' -- ,

Guides
Schéma n°2

Schéma n°3

3/10

Partie 3 -- Oscillations couplées

La tige et la plateforme précédentes sont associées comme indiqué sur le schéma 
n°4.

L'articulation en () étant supposée parfaite, on note R : TE; +Ncy,
s'exerçant sur la tige. Les paramètres du problème sont comme précédemment X et 
9,

deux fonctions du tem 8. On notera ? et ? les deux vecteurs unitaires de la base
9 7

la réaction d'axe

T'

. . _. OG _. . _. . 7ï
pola1re du plan vertical : c,, = --l-l--------, 69 se déduisant de e,. par une 
rotation de +--ï--2--rad.
OG"
. , , , . . _. . dQOG . _. _. ,
3.1. Exprimer laccelerat10n de 0 suivant eæ, pu1s d 2 suivant 67. et 69 , en 
fonction
t

------->

de X(t), 9(t) et de leurs dérivées ; en déduire les composantes du vecteur FG

---+

accélération de G, dans le référentiel du laboratoire, suivant e,, et EUR;.

3.2. Par application du théorème de la résultante cinétique a la tige, écrire 
les expressions

. d9 d26' d2X
de Net Ten fonction de m, g, EUR, EUR, --, ---ä--, --------2--.
dt dt dt
3.3. Déterminer l'expression du moment cinétique 55 de la barre, relativement 
au point
G, dans le référentiel du laboratoire.
, . d"oÎî . . . . d29
3.4. Ecrire dti et établir une relation liant la quantité ] G _d_tÎ et N, T, E, 
6'.
3.5. D'aprèsles questions 3.2. et 3.4., écrire une équation différentielle 
faisant intervenir
d29 d2X
--'--2--, 9 EURt _--Î--°
dt dt
3.6. Dans l'hypothèse des petits mouvements, montrer que l'équation obtenue à la
. . d29 d' X EUR .
question 3.5. peut s'écrire sous la forme : --C--i--2-- + a)12 9 : 
--a-----(ä£ä--L--)-- (équation I) où
t.

a est un coefficient dont on donnera l'expressmn.

3.7. Par application du théorème de la résultante cinétique a la plateforme, en 
projection

. . . . . d2X d9
sur l'axe des :IJ, écrire une équation différentielle faisant intervenir dt2 , 
X, 9, --C--i--t-- et
d29
dt2 '

3.8. Montrer que, dans l'hypothèse des petits mouvements, l'égalité obtenue 
peut se

d2 (X 2 X d29 .
__ +co----=-- ------- éuat10nIl.

Expliciter les expressions de la pulsation (0.2 et du coefficient ,Û .

mettre sous la forme :

3.9. On donne : m = 4,5 kg ; M= 1,5 kg ; K== 24 N.m".
Calculer les valeurs numériques de (022 et du produit a ,5 .

4/10

3.10. On recherche des solutions du système des équations l et Il sous la forme

X

6' =Acoth et Î=Bcoth où Q est une pulsation & priori inconnue, A et B
étant deux constantes réelles. Vérifier que les 2 valeurs de Q : x/Î rad.s_1 et
Q : 2\/ä rad.su1 sont possibles (pour ce calcul, on pourra prendre (01 = \/3 
rad.sm1 et

% =2rad.s--l).

3. 11. Montrer que:

9 : ê90 cos [fit] + ---2--90 cos lî2Jâ.t]

5 5
X 9
_E_ = 5660 (cos l\/î°t:l -- cos [2Jä.t])
Constituent une solution du système des équations I et Il, vérifiant les 
conditions
initiales ËÎ(0) = @, @@ = @... X(O) = @, ËË(0) = @.
dt dt
y
x(t)
: _
/ \
O 0 _...
er
Schéma n°4 G

5...

5/10

THERMODYNAMIQUE

Données générales :
-- Constante de Stefan-Boltzmarm : O' = 5,67 10----8 W.1rf2. K_4 .

-- Constante des gaz parfaits : R = 8,31J.moÎ1 .K"1.

On étudie, dans ce problème, un dispositif expérimental constitué d'un cylindre 
horizontal,
aux parois indéformables, de rayon intérieur 7int et de rayon extérieur Text' 
fermé de part
et d'autre par deux pistons de masses et d'épaisseurs négligeables (cf. figure 
1). Le cylindre
est fixe dans le référentiel du laboratoire et les pistons sont mobiles. Sur le 
piston gauche
noté "G est accroché un ressort de raideur kG relié a l'autre extrémité a un 
support fixe.

De la même façon, sur le piston droit noté 72'D est accroché un ressort de 
raideur kD relié a

l'autre extrémité a un support fixe. Un axe Oil: muni d'un vecteur unitaire eæ 
permet de

re érer les ositions a: et a: res ectivement des istons 7ï et 72' . Le ressort 
auche
p P C D p p G D %

----->

. 7 ' ° _-- __ _
exerce sur le piston n'a une force que l on peut ecrire sous la forme FG --- kg 
(336. æG,0)eoe

dans laquelle $C 0 représente l'abscisse a vide du piston 7rG (ressort au 
repos). De la même
façon, le ressort droit exerce sur le piston 7Z'D une force que l'on peut 
écrire sous la forme

------+
-------+

FD =--kD (:IJD --OED,O)6æ dans laquelle :L'D)0 représente l'abscisse a vide du 
piston "D

(ressort au repos). Pour toute la suite on pose L : £L'D 0 ---- $C 0 .

Les raideurs des ressorts sont réglables par l'utilisateur au travers d'un 
système non décrit,
sans pour autant modifier les abscisses a vide. Une résistance chauffante de 
volume et

capacité thermique négligeable permet d'apporter de l'énergie thermique au 
fluide qui se

trouve à. l'intérieur du cylindre.
On suppose qu'à l'équilibre mécanique du système, la pression est uniforme dans 
le

cylindre.
On supposera en outre dans toute la suite que les frottements lors du 
déplacement des

pistons sont totalement négligeables du point de vue énergétique.

Données numériques du problème :

-- L=O,4m,

-- 7int =0,05m,

- À=O,5W.m"'.K"',

- Pt =3OW,

_ 7=1747

- TW =300K,

- n =0,02mol,
g 4

--- pA =10 Pa,

_ k1 =500N.m_1,

- a=1,3,

- cv =500J.K"'.

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

6/10

1. Une première étude thermique

Dans cette partie les p1stons 72'G et "D sont respect1vement aux absc1sses 
OEG,O et 513070 et

les ressorts sont équivalents à des tiges rigides (les raideurs sont infinies). 
La résistance
chauffante apporte une puissance thermique constante P au gaz qui se trouve a 
l' intérieur

du cylindre. On admet que les pistons sont parfaitement calorifugés et que les 
échanges
thermiques ne se produisent que sur la surface latérale du cylindre comprise 
entre les

abscisses a: et a: On note T. et T respectivement les températures de la surface
G,O D,O int ext

intérieure et extérieure du cylindre.

' .
"'--""'" -------------------------------------------- > :--:--:--:--:
.\ \t'k

!
|__--
___-l
----I

l

----l

|__-. ----I
----l

:-:--:--:--:3 m...... -:--:--:--:

. - - - | :
::.--.: EUR : : ::.--:.:
----- | |

0 OEG OED d 51:

Fig. 1 -- Dispositif expérimental

1.1 Conducti0n thermique à travers la paroi du cylindre de longueur L

On note e- -- Text-- 7". l'épaisseur de la paroi du cylindre, et À la 
conductivité
int

thermique du matériau constituant le cylindre. On admet que les échanges
thermiques s'effectuent à. travers la paroi selon une géométrie radiale 
cylindrique. La
coordonnée 7" permet de repérer la distance entre un point quelconque et l'axe 
du
cylindre et on notee eT le vecteur unitaire correspondant. Le problème de 
conduction

thermique a travers la paroi du cylindre est donc unidimensionnel selon 7". On 
se
place en régime stationnaire.

1. Rappeler l'expression générale du vecteur densité surfac1que de flux 
thermique ;
donné par la loi de Fourier relative à. la conduction. Donner son unité et

commenter les différents termes.
2. On considère une surface cylindrique (ST) de rayon 7' (compris entre 7int et 
Text)

et de longueur L, orientée selon ë: . Que peut--on dire du flux thermique CDU") 
à.
travers (ST) en régime stationnaire ? Comment se relie--t--il à. Pt ?

3. Donner l'expression de CD(7") en fonction des grandeurs 7', L, dT/ d?" et des

constantes du problème.

4. En intégrant l'expression de dT / dr obtenue avec le flux thermique, 
exprimer la
résistance thermique de conduction RCOH d en fonction des grandeurs 7int' Text 
, L et
des constantes du problème. On utilisera cette expression dans toute la suite 
(et

pas l'approximation de la question suivante).
5. Montrer que si 6 << 'Ênt (par un développement au premier ordre) 
l'expression de

la résistance thermique de conduction se ramène à. celle d'une plaque plane de
surface a préciser.

7/10

1.2 Échanges radiatifs entre le cylindre de longueur L et le milieu extérieur

On suppose que la surface extérieure du cylindre peut être assimilée du point 
de vue
radiatif a une surface noire : son comportement radiatif est identique a celui 
d'un

corps noir isotherme a la température TX .On admet que les murs de la pièce qui

englobent le cylindre peuvent être assimilés à un corps noir de température 
unique
notée Tmur. On admet aussi que le cylindre 11 'échange de l'énergie sous forme 
de

rayonnement qu'avec les murs de la pièce.

1. Donner l'expression du flux radiatif émis (De par le cylindre en fonction de

L7" TEUR

' ext' xt
2. On note (Da le flux radiatif émis par le mur et absorbé par le cylindre. 
Exprimer le

flux net d'énergie (®net = CDC -- (Da) échangé par rayonnement entre le 
cylindre et

les murs de la pièce en fonction de L,7'ex ,mTEURXt,Tu ur et des constantes du 
problème.

3. On pose Text : Tmur + EUR. Dans le cas où 8 << Text, donner (par un 
développement
au premier ordre autour de Tmur) une expression approchée du flux net radiatif 
de
la question précédente. En déduire l'expression de la résistance thermique 
radiative

R

rad '
Pour la suite on supposera que l'hypothèse de linéarisation est toujours valable

(sauf indication contraire) et on pourra utiliser l'expression de la résistance
thermique radiative.

et des constantes du problème.

1.3 Température de surface

On a créé un vide suffisamment poussé dans la pièce qui englobe le cylindre 
pour que
les échanges convectifs sur la surface extérieure du cylindre puisse être 
totalement

négligés.

1. Classer par ordre croissant les températures Tin ,Text et Tmur. Justifier 
votre

réponse.
2. On cherche à. analyser la dépendance des températures Tim: et TeXt en 
fonction de

la géométrie du cylindre (Tin et Text ).

(a) Donner l'expression de la température T. en fonction des grandeurs r , r ,
1nt mt ea:t

L,PÏ,,Tmur et des constantes du problème en utilisant la résistance thermique

radiative et conductive.

(b) Montrer que si ?"th est inférieur à un rayon 7:

existe une valeur 7" . de 7°
cr1t ext

physiquement ce phénomène.

(c) Apphcat10ns numer1ques : vérifier que l'on a bien ri nt < 7°int max.

rcrit comme valeur de Text calculer RC ond et Brad .Oalbuler Tin et Text.

(d) On cherche à. déterminer les conditions que doivent vérifier les paramètres
contrôlables du problème P et Tmu pour satisfaire à l'hypothèse 8 << TEURXt

i. Exprimer Tin en fonction de11 7: nt, Text, L,PÉ,Tmur et des constantes du
problème sans utiliser l'hypothèse de linéarisation du flux net d'énergie
échangé par rayonnement.

ii. Quelle condition le rapport Pt / TÊmr doit-il satisfaire pour retrouver

l'expression de la question 1.3.2.a ?
iii. Expliquer physiquement cette condition.

que l'on déterminera il
1,mnt '

indépendante de P qui minimise Tim. Justifier

En prenant

8/10

1 .4 Régime variable

On admet l'hypothèse précédente, et donc l'expression linéarisée du flux net 
radiatif.
On va étudier dans cette question l'évolution du système lorsque l'on interrompt
l'apport d'énergie par la résistance électrique.

Pour cela, on suppose que la paroi du cylindre est suffisamment fine de sorte 
que les

températures Tint et Text puissent être confondues (hypothèse plaque mince). On

admet en outre que la température T3 (t) du gaz est uniforme a chaque instant et
identique a celle du cylindre. La capacité thermique à. volume constant du 
système
total Cv est supposée constante.

A l'instant t = 0, on coupe l'apport en énergie (Pt = 0), la température du 
système

vaut alors TO .

1. Relier le taux de variation dU / dt d'énergie interne du système au flux net 
CDnet

échangé par rayonnement entre le cylindre et les murs.
2. Trouver en le justifiant une relation entre dU / dt et dTg (t) / dt.

3. Ecrire l'équation différentielle à. laquelle obéit T8 (25).
4. En déduire l'expression de 11 (t). Exprimer littéralement puis calculer

numériquement la constante de temps du processus (on prendra 7" 2571 pour
ext mt

l'application numérique).

2. Etude d'un gaz parfait

Dans cette partie du problème, le cylindre (Fig. 1, page 7) contient ng mole de 
gaz

assimilable à un gaz parfait de rapport des capacités thermiques ]/. A 
l'extérieur du
cylindre, on a créé un vide suffisamment poussé, de sorte qu'il n'y ait pas de 
forces de
pression liées à l'atmosphère extérieure au cylindre. Les parois du cylindre et 
des pistons

sont parfaitement calorifugées.

2.1 Ressorts identiques : kD : kG : k1
Les raideurs des deux ressorts sont réglées identiquement a une valeur noté 
161. La
résistance chauffante n'est pas alimentée électriquement. Le dispositif 
expérimental
est dans l'état d'équilibre noté A. Le gaz a l'intérieur du piston est a la 
pression pA

0011111163.

1. Par un bilan de forces sur chacun des pistons, exprimer les positions 
d'équilibre
OEG, A et OED7 A respectivement des pistons 7rG et 72'D, en fonction de p A et 
des
constantes du problème.

2. En déduire l'expression du volume VA occupé par le gaz en fonction de p A et 
des

constantes du problème. Calculer VA'

3. Exprimer littéralement puis calculer numériquement la température T A du gaz.

4. On alimente électriquement la résistance chauffante pendant une durée 
déterminée,
qui apporte au gaz l'énergie Q1 sous forme de chaleur. Le gaz atteint alors un

nouvel état d'équilibre noté B. Le volume final occupé par le gaz est mesuré et

vaut VB = aVA, avec a > 1.

(a) Exprimer les positions d'équilibre a:G7 B et "'D,Bî respectives des pistons 
72'G et
"D? en fonction de VA et des constantes du problème (on pourra en particulier
exploiter les symétries du problème). Calculer VB .

9/10

(b) Exprimer la pression pB du gaz dans l'état B en fonction de pA et des

constantes du problème. Calculer p B .

(c) Calculer la température TB du gaz dans l'état B.
(d) Exprimer la quantité d'énergie échangée par transfert mécanique (travail) 
par
le gaz (WA--+8) au cours de la transformation en fonction de pA, p B et les

constantes du problème. Calculer W A _» B'

(e) Exprimer @1 en fonction de pA, pB, TA, TB et des constantes du problème.
Calculer Q1°

(f) Exprimer la variation d'entropie du gaz AS A B en fonction de pA, pB, TA, TB
et des constantes du problème. Calculer AS A E'

2.2 Ressorts distincts : kD = la", et % = 21EUR,
Le dispositif expérimental étant dans l'état d'équilibre B, on modifie 
instantanément

la raideur du ressort gauche tel que kG : 2k1. Ceci a pour conséquence de 
modifier
instantanément la force qu'exerce le ressort gauche sur le piston gauche. La 
raideur

du ressort droit est inchangée (kD : lq). On suppose que le gaz atteint un 
nouvel état
d'équilibre noté C (pas d'oscillaticns permanentes). On note 556,0 et £ED,C les
nouvelles positions d'équilibre respectivement des pistons "G et fil). On 
admettra
que 336,0 > OEG78 et OED,C > OED,B°

L'objectif des questions qui suivent est de déterminer la pression pC de l'état

d'équilibre C .

1. Montrer qu'à. l'équilibre, le volume occupé par le gaz VO et la pression du 
gaz sont
reliés par une relation du type VC : ,Ô'pC + VD dans laquelle ,5 et VO sont des

constantes que l'on déterminera.
2. Exprimer la variation d'énergie interne du gaz AUBC entre les états B et C en

fonction des variables d'états correspondant à l'équilibre B, des constantes du

problème et de pc .
3. Exprimer la quantité d'énergie échangée par transfert mécanique (travail) 
par le

gaz (WB--m') au cours de la transformation en fonction des variables d'états

correspondant a l'équilibre B , des constantes du problème et de po (pour cela, 
on
exprimera séparément le travail dû au piston gauche et le travail dû au piston
droit).

4. En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que pc est 
solution

d'une équation de la forme apâ. +pr +c = 0 dans laquelle a, b et c sont des
constantes. Donner les expressions de a, b et c en fonction des variables 
d'états

correspondant à l'équilibre B et des constantes du problème.

Fin de l'énoncé.

10/10

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 MP 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jérôme Ropert (Professeur en CPGE) ; il a été relu 
par
Rémy Hervé (Professeur agrégé en école d'ingénieur) et Stéphane Ravier 
(Professeur
en CPGE).

Cette épreuve est composée de deux problèmes indépendants.
· Le premier porte sur la mécanique du solide, avec deux premières parties 
relativement simples et courtes, dans lesquelles on étudie successivement les 
oscillations d'une tige autour d'un axe et les oscillations horizontales 
harmoniques
d'un plateau. Dans la troisième et dernière partie, on s'intéresse aux 
oscillations couplées des deux systèmes, la tige étant attachée au plateau qui 
oscille
dans le référentiel du laboratoire. Cette partie est techniquement plus délicate
et, comme souvent en mécanique, il convient d'être rigoureux lorsque l'on 
manipule les différents vecteurs, notamment lors de projections ou changements
de bases. Souvent donnée, la forme des résultats attendus permet de détecter
d'éventuelles erreurs.
· Le second problème, centré sur la thermodynamique, est scindé en deux parties 
indépendantes. La première porte sur le programme de deuxième année et
aborde les phénomènes de transfert thermique par conduction, puis par 
rayonnement. La seconde porte exclusivement sur le programme de première année
et demande une grande rigueur dans les calculs ; en effet, de nombreuses erreurs
de signe sont possibles et il convient d'être particulièrement attentif, 
d'autant
plus qu'à la différence de la partie mécanique, les formes des résultats 
attendus
ne sont pas données. Dans cette partie le candidat progresse donc sans savoir
si ses résultats sont valables, ce qui accroît la difficulté du problème.
Relativement long, ce sujet constitue un excellent problème de révision des 
chapitres abordés. En effet, il contient un grand nombre de questions où il 
faut appliquer
les résultats fondamentaux du cours tels que les théorèmes de la résultante 
cinétique,
du moment cinétique et de l'énergie cinétique en mécanique, ainsi que les deux 
principes de la thermodynamique pour la seconde partie, dans des situations 
relativement
classiques. Il est également profitable de s'entraîner aux calculs avec ce 
sujet.

Indications

Mécanique
1.3 La liaison étant parfaite, il n'y a pas de frottements.
3.7 Utiliser le principe des actions réciproques pour éliminer l'action 
mécanique

-
exercée par la tige sur la plateforme au profit de la réaction R de l'énoncé.
3.8 Effectuer un développement limité des fonctions sin  et cos  et ne conserver
au final que les termes d'ordre 1 en supposant que les dérivées successives
de  sont des infinitésimaux du même ordre que .

Thermodynamique
1.1.2 Appliquer le premier principe de la thermodynamique au système délimité
par (Sr ).
1.1.4 La résistance thermique est le rapport de la différence de températures 
entre
deux surfaces au flux thermique entre ces deux surfaces.
1.1.5 La résistance thermique d'une plaque plane de surface S et d'épaisseur e 
est
e
Rcond =
S
1.2.1 Le flux surfacique du rayonnement d'équilibre thermique à la température T
est donné par la loi de Stefan :
(T) =  T4
1.2.3 Faire apparaître un paramètre  sans dimension, très petit devant 1, et
effectuer un développement limité au premier ordre de Text ou factoriser
4
(Text4 - Tmur
) en remplaçant Text par Tmur dans les sommes.
1.3.2.a Utiliser la continuité du flux thermique sur la surface externe du 
cylindre.
1.3.2.b Rechercher le minimum de Tint en fonction de rext . En déduire une 
condition
sur rint .
1.4.1 Appliquer le premier principe de la thermodynamique au système global 
composé du cylindre et du gaz qu'il contient.
2.1.4.a Remarquer que par symétrie la variation du volume du gaz est le double 
de
celle due au déplacement d'un seul des deux pistons.
2.1.4.d Relier le travail reçu par le gaz à la variation d'énergie potentielle 
élastique
des ressorts.
2.1.4.e Appliquer, le premier principe de la thermodynamique au système global
composé du cylindre et du gaz qu'il contient.
2.2.3 Procéder comme à la question 2.1.4.d et relier le travail reçu par le gaz 
à la
variation d'énergie potentielle élastique des ressorts.
2.2.4 Appliquer le premier principe de la thermodynamique au système global.

Les conseils du jury
« Globalement, l'épreuve de mécanique a été mieux traitée cette année
que les précédentes, le sujet étant volontairement plus simple. Le sujet a été
en général bien compris, la rédaction « pédagogique » de celui-ci et 
l'indépendance des parties ont favorisé le travail des candidats. Il n'en 
demeure
pas moins que les copies fournissent parfois beaucoup de résultats appris par
coeur ­ ce qui n'est pas totalement négatif ­ au détriment du raisonnement
et, parfois, sans justification suffisante. »
· « On retrouve cette année de nombreuses fautes d'homogénéité. Il s'agit
d'une évolution défavorable et surprenante. »
· « Subsistent également quelques erreurs d'écriture, notamment pour ce
qui est des dérivées partielles par rapport au temps », ainsi que des
erreurs techniques de calcul de produit vectoriel ou de projection.
· « Il apparaît que pour certains candidats le passage de la mécanique
du point à celle du solide n'est pas bien assuré. »
« Le sujet de thermodynamique était divisé en deux parties distinctes
permettant d'aborder deux aspects importants du programme. La première
partie a permis d'évaluer les connaissances des étudiants sur les aspects 
transferts thermiques, la seconde partie était d'avantage centrée sur la 
détermination d'équilibres thermodynamiques dans différentes situations. De 
façon
générale, il n'a pas été relevé, sur le sujet, de problème de compréhension
du texte qui aurait pénalisé les étudiants. La graduation de la difficulté des
questions a permis de sélectionner convenablement les copies. Néanmoins,
peu de copies ont traité avec succès l'ensemble du sujet qui pourtant avait
comme objectif d'évaluer les connaissances fondamentales (avec assez peu de
digression effrayante). Comme chaque année on reconnaît les étudiants qui ne
cherchent pas à s'approprier le sujet mais qui préfèrent « butiner » de 
question en question pour « grappiller » quelques points. On pourra noter aussi,
dans les remarques générales, que beaucoup d'étudiants ont une connaissance
très superficielle du cours, ce qui se traduit soit par une incapacité à la mise
en oeuvre des résultats dans un cadre applicatif, soit par l'impossibilité de
redémontrer les résultats principaux dans un contexte un peu différent. »
Pour ce problème également, le jury a relevé « beaucoup de problèmes
dans l'homogénéité des expressions. Ceci est probablement lié au fait qu'il
n'y a pas une vérification systématique ou/et que certaines grandeurs (flux,
résistance, conductivité, etc.) posent des problèmes sur la connaissance des
unités. »
Enfin, « Beaucoup trop d'étudiants semblent peu à l'aise avec les outils
mathématiques utilisés en physique. À titre d'exemple, on peut mentionner
les développements limités qui ont posé de sérieux problèmes. La linéarisation
est pourtant une des techniques de base en physique et devrait être totalement
maîtrisée à ce niveau d'étude. »

Mécanique
1.

Oscillations dans le champ de pesanteur terrestre

1.1 À partir du résultat donné, on sait que
I0 = IG + m2
On souhaite imposer

I0 =

3
m 2
2

1
m 2
L = m 2
3
2
r

2
=
L
3

par conséquent

soit

1.2 La tige effectuant un mouvement de rotation autour de l'axe (Oz), fixe, on a
 2
 2
1
d
3
d
E c = I0
= m 2
2
dt
4
dt
Le rapport du jury mentionne que « La notion d'énergie cinétique est parfois
mal assimilée, les candidats parvenant à confondre l'énergie cinétique d'un
point, à savoir le barycentre, et celle du solide. »
Puisque l'axe (Oy) est orienté vers le haut, son énergie potentielle de 
pesanteur est,
E p = m g yG + K
où K est une constante additive que l'on peut déterminer, en choisissant, par 
exemple,
l'origine de l'énergie potentielle de pesanteur en y = 0. Dans ce cas, K = 0 et
E p = m g yG
D'après le schéma n 1
On obtient

cos  = -

yG

Ep = -m g  cos 

1.3 La liaison étant parfaite, les contacts mis en jeu au niveau de la liaison 
sont
sans frottements ; la puissance de l'action de contact est alors nulle. Le 
poids est
donc la seule force susceptible de travailler lors des oscillations de la tige. 
Or, il s'agit
d'une force conservative qui dérive de l'énergie potentielle déterminée à la 
question
précédente. Par conséquent, l'énergie mécanique se conserve et on peut écrire
d(Ec + Ep )
=0
dt
En remplaçant Ec et Ep par leur expression, on obtient
3
d2  d
d
m 2 2
+ mg
sin  = 0
2
dt dt
dt