CCP Physique 1 MP 2008

Thème de l'épreuve Accélérographe mécanique. Transformations dans un cylindre à deux pistons.
Principaux outils utilisés mécanique du point et du solide, thermodynamique
Mots clefs changement d'état, frottement solide, oscillateur, satellite, pression de vapeur saturante, accélérographe, satellite, thermostat, piston

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé complet

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 

av.--:o: .v " nm.--:D

... mao...oeüË

È... ËmËm - ...ËOEÜËm Ë5ËÈ

m--=o_z=uup>_ooe m::<--SOu ...u=°vzcu

'

Les calculatrices sont autorisées
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera
sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été
amené à prendre.

­ MÉCANIQUE ­
Le but du problème est d'étudier un accélérographe construit à l'aide d'un 
oscillateur mécanique.
Les trois parties sont largement indépendantes.
Dans tout le problème on prendra pour l'intensité du champ de pesanteur 
terrestre
g 9,8 m.s 2 .

I. Étude sommaire
& & &
Dans un référentiel R galiléen muni du repère cartésien (O, ex , ey , ez ), on 
considère un
corps solide (S) de masse m 0,1 kg et de centre d'inertie G pouvant se déplacer 
sans frottement solide le long de l'axe horizontal Ox (cf. figure 1) ; G est 
relié au point E par un
ressort de &raideur )&
k ; (S) est en outre soumis à une force de frottement visqueux de la
forme EV (G ) où V (G ) est la vitesse de G par rapport à E.
O

G
x

E

Figure 1
On repère la position de G par l'écart à la position d'équilibre l o par la 
relation
x EG l o .
1. Détermination des caractéristiques de l'oscillateur
Dans un premier temps, E est fixe en O.
On écarte G de sa position d'équilibre vers la droite, d'une distance xo = 10 
cm et on le
lâche sans vitesse initiale.
1/9

1-a) Déterminer l'équation du mouvement ; on posera Zo2

k
et 2O
m

E
m

.

1-b) Déterminer x(t) dans le cas d'un régime pseudo-périodique.
1-c) La durée séparant 10 passages de G par la position d'équilibre, de droite 
à gauche,
est 't 12 s . Par ailleurs, l'amplitude de la dixième oscillation est x1 7,5 cm 
.
En déduire les valeurs de la pseudo pulsation, de E et de k.
2. Mesure d'une accélération
Dans cette question
)))& le point E& est solidaire d'un solide en vibration dans R. Sa position
est donnée par OE a cos Zt ex .
2-a) Déterminer l'équation différentielle vérifiée par x(t).
2-b) Déterminer x(t) en régime forcé (ou permanent).
2-c) Le tracé de l'amplitude X o des oscillations en fonction de la pulsation a 
l'allure
Xo
Z
suivante en coordonnées réduites y
:
en fonction de u
Zo
a

Que représente le maximum de cette courbe ? Cette situation se présente-t-elle
pour toute valeur du coefficient d'amortissement ?
Déduire graphiquement l'amplitude a dans le cas où, pour Z = 7 rad.s-1, on 
mesure
X o 0,2 m .
2-d) Exprimer puis calculer la puissance moyenne dissipée par les frottements.

II. Amélioration du dispositif
Afin de se prémunir des inévitables frottements de glissement, le solide 
précédent est remplacé par une roue de rayon a 20 cm qui peut rouler sur le 
plan horizontal (cf. figure 2).
Le coefficient de frottement entre le plan et la roue est f 0,2 supposé 
identique en régime
statique et dynamique. On néglige le frottement visqueux. Le ressort de raideur
k = 2,22 N.m-1 et de longueur à vide lo est relié au centre G de la roue, 
l'autre extrémité E
étant fixe de sorte que EG est horizontal. La roue est libre de tourner autour 
de son axe
1
Gy. Le moment d'inertie de la roue par rapport à son axe est J
ma 2 . On note x
2
l'abscisse de G, l'origine étant prise à la position d'équilibre : x EG l o ; 
la rotation de la
roue dans R est repérée par un angle .
2/9

k
m

On posera Zo

z

&
g
G

E

T

x
O

y

Figure 2
Initialement x (0) x o . L'ensemble est lâché sans vitesse initiale.
1. On suppose que le mouvement a lieu sans glissement
1-a) Établir une relation entre les dérivées de x et de T.
1-b) Déterminer l'expression de l'énergie cinétique de la roue dans R en 
fonction de

dx
.
dt

1-c) Établir l'équation du mouvement vérifiée par x(t) et la résoudre. On 
notera Z la
pulsation des oscillations.
1-d) Montrer que le mouvement s'effectue sans glissement si x o
miner en fonction de f, g et Zo. Calculer la valeur de x1 .

x1 , x1 étant à déter-

2. On se place dans le cas où x o ! x 1 et on étudie la première phase de 
glissement
2-a) Rappeler les lois de Coulomb pour le frottement solide, dans le cas du 
glissement.
2-b) Déterminer l'équation du mouvement vérifiée par x(t) et la résoudre. On 
exprimera
x(t) en fonction de x1 , x o et Zo .
2-c) Déterminer la vitesse angulaire

dT
.
dt

2-d) Déterminer la vitesse de glissement v g en fonction de x1 , x o et Zo .
2-e) Pour des temps proches de zéro, donner une expression très simple de v g . 
Commenter le signe de v g .
2-f) Donner l'équation que vérifie l'instant t 1 pour lequel le glissement se 
termine.

3/9

III. Accélération radiale d'un satellite
Un satellite, de masse m s , de centre d'inertie S, est en orbite circulaire 
autour de la terre
de centre O, sa période est To = 12 h. Dans ce satellite un point matériel M de 
masse
m 100 g peut se déplacer sans frottements sur un axe Sx, fixe dans le satellite 
(cf. figure
3). En outre M est soumis à une force élastique qui dérive d'une énergie 
potentielle
))))&
1
&
E p (x )
m Z12x 2 avec Z1 0,03 rad.s 1 et SM xex .
2
Rayon de la terre R 6400 km
x

M

JJG
ey
O JG
ez

S

JG
ex

Figure 3
On pose ro =OS et on désigne par RS le référentiel lié au satellite muni du 
repère cartésien
& & &
(S, ex , ey , ez ).
Le référentiel Rg géocentrique est supposé galiléen.
1.
1-a) Déterminer la vitesse v o du satellite en fonction de ro , g et R.
1-b) En déduire l'expression de To en fonction de ro , g et R. Calculer 
numériquement
ro , v o et la vitesse angulaire &o du satellite dans Rg .
2. On étudie le mouvement de M dans le référentiel RS.
2-a) Déterminer l'équation différentielle du mouvement.
2-b) Donner une équation du mouvement approchée en considérant que x << ro, en 
ne
faisant intervenir que ZR Z x et ses dérivées temporelles.
2-c) Montrer que M oscille et que sa période d'oscillation n'est quasiment pas 
affectée
par la révolution du satellite.
2-d) Pourquoi ce dispositif est-il pertinent pour mesurer, s'il y a lieu, 
l'accélération radiale du satellite ?

4/9

­ THERMODYNAMIQUE ­

On considère un dispositif expérimental constitué d'un cylindre vertical ouvert 
dans
l'atmosphère, aux parois indéformables, de section S, dans lequel deux pistons 
de masse et
d'épaisseur négligeables peuvent se déplacer librement. Ces deux pistons, notés 
S 0 et S 1
définissent deux compartiments étanches dans le cylindre. Le piston S 0 est le 
piston inférieur (cf. figure 1). On utilisera le symbole 0 pour repérer les 
grandeurs relatives au compartiment inférieur et le symbole 1 pour repérer les 
grandeurs relatives au compartiment
supérieur. On appellera longueur du compartiment 0 la distance qui sépare le 
fond du cylindre du piston S 0 , et longueur du compartiment 1 la distance qui 
sépare les deux pistons.
Quelle que soit la nature des fluides contenus dans les compartiments, on 
supposera qu'à
l'équilibre la pression est uniforme dans les compartiments.
On supposera dans toute la suite que les frottements lors du déplacement des 
pistons sont
totalement négligeables du point de vue énergétique.

Piston S 1
COMPARTIMENT 1

Piston S 0
COMPARTIMENT 0

Fig. 1 ­ Dispositif expérimental

Un mécanisme, non décrit ici, permet de modifier au gré de l'utilisateur, la 
nature des parois du cylindre et des pistons de la façon suivante :
­ Les parois peuvent être calorifugées (interdisant alors les échanges 
d'énergie sous
forme de chaleur).
­ Les parois peuvent être rendues perméables à la chaleur.
Par ailleurs un système mécanique permet de bloquer ou de débloquer le 
mouvement de
chacun des pistons sans modifier la géométrie du système.
Le problème est constitué de parties distinctes qui utiliseront toujours ce 
même dispositif
expérimental.

5/9

Données générales :
­ Section du cylindre : S 10 2 m2
­ Accélération de la pesanteur : g 10 m.s 2
­ La pression atmosphérique est constante et égale à patm

105 Pa

1. Étude de différentes transformations subies par un gaz parfait
Pour cette partie de l'étude, le compartiment inférieur contient du dioxygène 
assimilé à un
gaz parfait. Le compartiment supérieur contient du diazote également assimilé à 
un gaz
parfait. Les parois du cylindre et le piston S 1 sont perméables à la chaleur. 
Le piston S 0
est calorifugé.
Données :
­ Rapport de capacités thermiques du dioxygène : J 0 1, 4
­ Constante massique du dioxygène : r0 260J.K 1 . kg 1
­ Rapport de capacités thermiques du diazote : J 1 1, 4
­ Constante massique du diazote : r1 297 J.K 1 . kg 1

Remarque : On appelle constante massique d'un gaz parfait le rapport de la 
constante R
des gaz parfait sur la masse molaire du gaz.
1.1 On bloque le piston S 0 . Le piston S 1 peut se déplacer librement. Le 
dispositif expérimental est alors dans l'état d'équilibre noté A.
Le dioxygène contenu dans le compartiment 0 est caractérisé par une pression
pA0 105 Pa et une température TA0 300 K. La longueur du compartiment 0 est alors
dA0 0, 2 m.
Le diazote contenu dans le compartiment 1 est caractérisé par une pression pA1 
105 Pa
et une température TA1 300 K. La longueur du compartiment 1 est alors dA1 0, 15 
m .
On place le cylindre au contact d'une source (thermostat) à la température TS 
600 K.
Chacun des sous-systèmes, constitué par chacun des gaz (repéré comme les 
compartiments par 0 et 1), atteint un nouvel état d'équilibre (B).
On note TB0 , pB0 et dB0 respectivement la température du dioxygène (gaz 0), la 
pression
du dioxygène et la hauteur du compartiment 0 dans cet état d'équilibre.
De la même façon TB1 , pB1 et dB1 représentent la température du diazote (gaz 
1), la
pression du diazote et la hauteur du compartiment 1 dans son nouvel état 
d'équilibre.

(a) Calculer la masse m 0 de dioxygène contenue dans le compartiment 0 et la 
masse
m1 de diazote contenue dans le compartiment 1.
(b) Caractériser la transformation subie par le dioxygène. En déduire TB0 , dB0 
et pB0 .
(c) Caractériser la transformation subie par le diazote. En déduire TB1 , dB1 
et pB1 .
(d) Calculer la quantité d'énergie reçue par transfert mécanique (travail) par 
le dioxygène WA0oB , et par le diazote WA1oB au cours de la transformation.
(e) Calculer la quantité d'énergie reçue par transfert thermique (chaleur) par 
le dioxygène QA0 oB , et par le diazote QA1 oB au cours de la transformation.
0
(f) Calculer la variation d'entropie 'S AB
pour le dioxygène entre les deux états
d'équilibre.
1
(g) Calculer la variation d'entropie 'S AB
pour le diazote entre les deux états
d'équilibre.
(h) Calculer l'entropie produite S ApoB au cours de la transformation.
6/9

1.2 Les deux sous-systèmes étant chacun dans leur propre état d'équilibre 
(repéré par
l'indice B), on bloque le piston S 1 , puis on débloque le piston S 0 (qui est 
toujours calorifugé).
Le cylindre est toujours au contact de la source à la température TS 600 K .
Chacun des sous-systèmes atteint un nouvel état d'équilibre (C ).
On note TC0 , pC0 et dC0 respectivement la température du dioxygène, la 
pression du
dioxygène et la hauteur du compartiment 0 dans son nouvel état d'équilibre.
De la même façon TC1 , pC1 et dC1 représente la température du diazote, la 
pression du
diazote et la hauteur du compartiment 1 dans son nouvel état d'équilibre.

(a) Que peut-on dire sur les températures TC0 et TC1 et sur les pressions pC0 
et pC1 du
dioxygène et du diazote dans l'état d'équilibre C ?
(b) Déterminer les longueurs dC0 et dC1 . En déduire les pressions pC0 et pC1 .
(c) Calculer les variations d'énergie interne 'U BC et d'entropie 'S BC pour le 
système
(les deux gaz) entre les deux états d'équilibre.
(d) En déduire l'entropie produite S Bp oC au cours de la transformation.

2. Gaz parfait et mélange liquide-vapeur
Dans cette partie de l'étude, l'un des compartiments sera rempli d'eau en 
équilibre diphasique. Pour mener à bien l'étude il est nécessaire d'établir 
quelques résultats préliminaires.
Ainsi, dans une première partie (travail préparatoire) on propose, moyennant 
quelques hypothèses, de déterminer une équation qui relie la pression de 
saturation à la température
de saturation pour un fluide en équilibre diphasique. Aucune connaissance 
spécifique sur ce
terrain n'est nécessaire.
La partie suivante s'appuie sur les résultats du travail préparatoire mais ces 
derniers pourront être utilisés directement s'ils n'ont pu être établis.
­
­
­
­
­
­
­
­
­

Constante universelle des gaz parfaits : R 8, 31 J K 1mol 1
Masse molaire de l'air : M A 29 g.mol 1
Masse molaire de l'eau : M E 18 g.mol 1
Masse volumique de l'eau liquide : Ul 1000 kg.m 3
Capacité calorifique massique à volume constant de l'air (supposée constante) :
cV ,A 716J.kg 1 . K 1
Capacité calorifique massique à pression constante de l'eau sous forme de vapeur
(supposée constante) : cp ,v 1616J.kg 1 . K 1
Capacité calorifique massique à pression constante de l'eau sous forme de 
liquide
(supposée constante) : cp ,l 4180J.kg 1 . K 1
Pression de saturation de l'eau pour une température de T0 373 K : p0 105 Pa
Chaleur latente massique de vaporisation (enthalpie massique de changement 
d'état)
de l'eau à la température 373 K : lv T0 2240 kJ.kg 1

2.1 Travail préparatoire

On rappelle que pour un mélange liquide-vapeur à l'équilibre à la température 
T, la
pression de saturation est reliée à la température par la relation de Clapeyron 
:
dpsat
vg vl
dT
dans laquelle lv T désigne la chaleur latente massique de vaporisation, égale à 
la différence des enthalpies massiques de la vapeur à la saturation et du 
liquide à la saturation.
lv T

T

7/9

dpsat
est la dérivée de la pression de saturation par rapport à la température
dT
de saturation.
vg et vl représentent respectivement, le volume massique de la vapeur à la 
saturation
et du liquide à la saturation pour la température considérée.
On admet que la vapeur d'eau est assimilable à un gaz parfait et que le liquide 
est parfaitement incompressible.

Le terme

2.1.1. Donner l'expression du volume massique vg de la vapeur d'eau à la 
saturation en
fonction de la pression psat , de la température T, de M E et de R.
2.1.2. Montrer numériquement que pour des pressions et des températures 
respectivement
voisines de 105 Pa et 373 K , le volume massique de l'eau liquide est 
négligeable devant celui de la vapeur. On fera cette hypothèse pour la suite.
2.1.3. Pour modéliser la dépendance en température de la chaleur latente 
massique de vaporisation on va considérer qu'un kilogramme d'eau effectue le 
cycle réversible constitué des transformations suivantes :

­ IJ : vaporisation isobare et isotherme (à la pression p0 et la température T0 
) du
liquide saturant jusqu'à la vapeur saturante.
­ JK : échauffement isobare de la vapeur jusqu'à la température T.
­ KL : compression isotherme de la vapeur à la température T jusqu'à l'obtention
de vapeur saturante à la pression psat .
­ LM : liquéfaction isobare et isotherme jusqu'à transformation totale du 
fluide en
liquide saturant.
­ MI : refroidissement du liquide en suivant la courbe de saturation.
(a) Représenter le cycle de transformations sur un diagramme de Clapeyron p ,V
en faisant figurer la courbe de saturation.
(b) Exprimer pour chaque transformation la variation d'enthalpie massique du
fluide en utilisant uniquement les grandeurs lv T , lv T0 , C p ,v , C p ,l , T 
et T0 . On
supposera pour la phase liquide que l'enthalpie ne dépend que de la température.
(c) En déduire que l'on peut écrire la chaleur latente massique de vaporisation 
sous
la forme lv T a bT . Donner les expressions de a et b.
(d) Expliquer pourquoi cette expression est une bonne approximation de la 
chaleur
latente massique de vaporisation uniquement si les températures T et T0 sont
suffisamment éloignées de la température du point critique.
2.1.4. A partir de la relation de Clapeyron et des résultats des trois 
questions précédentes,
trouver une expression analytique de la pression de saturation psat de l'eau en 
fonction de la température T et des constantes p0 , T0 , a , b , R et M E .
2.1.5. Montrer que si T T0 | 1 l'expression précédente peut s'approximer par 
l'équation
suivante :
ª M Elv T0
º
psat | p0 exp «
T T0 » .
2
¬ RT0
¼

On utilisera cette expression pour les calculs de la partie suivante.

8/9

2.2

Transformation au contact d'un thermostat

Dans cette partie du problème, on admet que les parois du cylindre et les 
pistons sont
perméables à la chaleur.
Le piston S 0 est libre de se déplacer et le piston S 1 est bloqué.
Le compartiment supérieur est rempli d'air et le compartiment inférieur est 
rempli
d'eau. Une partie de l'eau peut être sous forme liquide, le reste sous forme de 
vapeur.
A l'équilibre, on admet que ces deux phases sont parfaitement séparées. On 
rappelle
que l'air et la vapeur d'eau sont assimilables à des gaz parfaits et que le 
liquide est
parfaitement incompressible.
2.2.1. Dans l'état initial d'équilibre noté D , on mesure la température dans 
un compartiment TD 380 K, la longueur du compartiment 1 (rempli d'air) dD1 0, 
1m et la longueur du compartiment 0 (rempli d'eau) dD0 0, 1m . Dans le 
compartiment 0, on
note que l'eau est sous forme de liquide et vapeur et que la hauteur d'eau 
liquide en
bas du compartiment vaut dD0 ,l 0, 002 m .

(a)
(b)
(c)
(d)

Calculer la pression d'équilibre pD .
Calculer la masse d'air mA contenue dans le compartiment 1.
Calculer la masse d'eau mE (liquide+vapeur) contenue dans le compartiment 0.
Calculer le titre massique de vapeur d'eau x D (rapport entre la masse d'eau
sous forme vapeur et la masse d'eau totale).

2.2.2. Le cylindre est mis au contact d'un thermostat à la température 390 K . 
Le système
atteint un nouvel état d'équilibre noté E .

(a) Montrer que l'eau ne peut pas se trouver sous forme de vapeur sèche (pas 
d'eau
liquide).
(b) Montrer que l'eau ne peut pas se trouver sous forme de liquide seul (pas 
d'eau
vapeur).
(c) Calculer la pression d'équilibre pE .
(d) Calculer, à l'équilibre, la longueur du compartiment remplie d'air d E1 .
(e) Calculer, à l'équilibre, la masse volumique de la vapeur d'eau.
(f) Calculer, à l'équilibre, la hauteur de la zone vapeur d E0 ,V et liquide d 
E0 ,l dans le
compartiment 0.
(g) Calculer le titre massique de vapeur d'eau x E .
(h) Calculer la variation d'entropie 'SDE pour le système eau + air.

Fin de l'énoncé

9/9

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 MP 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE) ; il a été 
relu
par Pierre Jeannin (École Polytechnique) et Stéphane Ravier (Professeur en 
CPGE).

Ce sujet se compose de deux problèmes indépendants, d'égale longueur.
· Le premier problème propose l'étude d'un accélérographe mécanique, abordé
en premier lieu grâce aux outils de mécanique du point, puis modélisé comme
un solide en roulement sur un plan ; enfin, on envisage le mouvement de cet
oscillateur installé à bord d'un satellite en orbite circulaire autour de la 
Terre.
Ce problème, faisant intervenir de nombreux concepts de mécanique du point
et du solide, reste très proche du cours même s'il présente quelques difficultés
ponctuelles.
· Le second problème consiste en l'étude thermodynamique de transformations
opérées dans un cylindre compartimenté par deux pistons. Dans un premier
temps, les deux compartiments sont remplis de gaz parfaits et l'on détermine
les états finaux de deux transformations au contact d'un thermostat en étudiant 
leur irréversibilité. Une fois établie l'expression de la pression de vapeur
saturante d'un liquide, la fin du problème propose de l'appliquer à la 
détermination de l'état final d'un système contenant initialement de l'eau, 
sous forme
liquide et vapeur. Ce problème, extrêmement scolaire, ne présente pas de 
difficultés particulières. Seuls les raisonnements par l'absurde menés en fin 
de sujet
présentent une relative originalité.
Dans les deux problèmes, il convient de suivre scrupuleusement les notations de
l'énoncé et de veiller aux calculs, les erreurs éventuelles (théoriques ou 
numériques)
se répercutant de question en question, particulièrement en thermodynamique.
Signalons, une fois de plus, la déception du jury face aux applications 
numériques, « souvent traitées comme un exercice indépendant sans 
signification, mais qui
devraient être un aide à la compréhension et la critique des résultats ». Le 
jury pointe
également une maîtrise insuffisante de l'outil mathématique, en particulier 
pour les
développements limités et la résolution d'équations différentielles.
Ce sujet, sans être original, permet de réviser efficacement les notions 
élémentaires
de mécanique du point et du solide, ainsi que le programme de thermodynamique de
première année, qui est largement balayé.

Indications
Mécanique
I.1.c Bien compter le nombre de périodes ; exploiter la décroissance 
exponentielle
de l'amplitude.
I.2.b Passer en notation complexe.
II.1.b La roue possède un mouvement de rotation et de translation.
II.1.c Écrire la conservation de l'énergie mécanique.
-
II.1.d Calculer la réaction tangentielle du sol RT à l'aide du théorème du 
moment
cinétique.
II.2.b Utiliser le principe fondamental de la dynamique en remarquant que lors 
de
-

la première phase du mouvement, RT = f m g -
ex .
II.2.c Appliquer le théorème du moment cinétique, connaissant RT .
III.1.a Identifier poids et attraction gravitationnelle à la surface de la 
Terre pour
introduire g et R.
III.2.a RS n'étant pas galiléen, ajouter les forces d'inertie dans le bilan des 
forces.
Thermodynamique
1.1.h Ne pas oublier l'entropie échangée avec l'extérieur dans le bilan 
entropique.
2.1.3.c Comme h est une fonction d'état, sa variation est nulle sur un cycle.
2.2.2.a Raisonner par l'absurde en supposant l'eau sous forme de vapeur sèche à 
la
pression psat ; calculer la valeur de d correspondante.
2.2.2.b Raisonner par l'absurde en supposant que toute l'eau est sous forme 
liquide ;
calculer la pression correspondante et conclure.
2.2.2.f Faire l'hypothèse que peu d'eau liquide s'est évaporée.
2.2.2.h Imaginer un chemin fictif entre les états  et  sur lequel exprimer 
simplement S.

Mécanique
I.

Étude sommaire

I.1.a Étudions le solide (S), assimilé à un point matériel, dans le référentiel 
terrestre
galiléen. Présentons le bilan des forces sur un schéma :
-
RN
 (S)
-
F
- -
v
O
G
x
E

-
P
x
0
À l'équilibre, en l'absence de toute autre force suivant l'axe (Ox), la force F 
exercée
par le ressort est nulle. La longueur du ressort est donc 0 , et F s'écrit pour 
un
allongement quelconque :
F = -k(EG - 0 ) = -k x
dOG
Par ailleurs, vG =
= x. Le principe fondamental de la dynamique appliqué
dt
à (S) dans le référentiel R galiléen s'écrit donc en projection sur Ox :
m x = -k x -  x
soit

k
x + x = 0
m
m
= k/m et 2  = /m,
x +

puis, en posant 0 2

x + 2 x + 0 2 x = 0
I.1.b L'équation différentielle précédente a pour solution générale 
pseudopériodique

x(t) = e-t (A cos( t) + B sin( t))
avec
 = 0 2 - 2

Les constantes d'intégration A et B sont déterminées par les conditions 
initiales
x(t = 0) = x0 et x(t = 0) = 0. On calcule
x(t) = [-(A cos( t) + B sin( t)) - A  sin( t) + B  cos( t)] e-t
d'où l'on tire

x(t = 0) = - A + B  = 0

puis

B=A

De plus, x(t = 0) = x0 , donc
Finalement,

A = x0

-t
x(t) = x0 e
cos( t) + sin( t)

Il est plus simple d'appliquer les conditions initiales données sur une 
solution de la forme x(t) = e-t (A cos( t) + B sin( t)) que sur celle, 
totalement
équivalente, de formulation x(t) = A e-t cos( t + ).
Le jury s'étonne du grand nombre de candidats ne maitrisant pas la
résolution de ce type d'équations différentielles en régime pseudopériodique.

I.1.c La durée t correspond à 9 oscillations complètes, donc on a une 
pseudopériode T = 12/9 = 1,33 s, d'où une pseudopulsation
2
= 4,71 rad.s-1
T
L'amplitude A(t) des oscillations décroît exponentiellement suivant la loi
A(t) = A(t = 0)e-t

A(0)
d'où
t = ln
A(t)

1
A(0)
soit, à t = 9 T,
=
ln
= 2,40.10-2 s-1
9T
A(9 T)
=

Or,  =
Comme
il vient

, d'où
2m

 = 4,80.10-3 kg.s-1
0 2 =

k
=  2 + 2
m

k = m( 2 + 2 ) = 2,22 N.m-1

I.2.a Dans le référentiel non galiléen lié à l'extrémité du ressort E, on doit 
prendre
en compte la force d'inertie d'entraînement
-
-

Fie = -m 
 e = m a  2 cos( t) -
ex
Le principe fondamental projeté sur Ox s'écrit donc
mx = -k x -  x + m a  2 cos(t)
soit

x + 2  x + 0 2 x = a  2 cos(t)
On peut aussi rester dans le référentiel terrestre galiléen : dans celui-ci,
on a toujours EG = 0 + x, donc V(G) = x. En revanche,
OG = OE + EG = a cos( t) + 0 + x
d2 OG
= -k x - V(G) s'écrit donc
L'équation du mouvement m
dt2
m(x - a  2 cos(t)) = -k x -  x
Le rapport du jury pointe des lacunes certaines concernant l'application
du principe de la dynamique en référentiel non galiléen : « question mal 
traitée ; le référentiel n´est pas précisé et la force d'inertie mal 
introduite. »

I.2.b En régime permanent, on cherche une solution de la forme
x(t) = X0 cos(t - )
En notation complexe, x = X e jt ; on en tire
a 2
X= 2
0 -  2 + 2j 
En calculant le module et l'argument de X, il vient

a 2

 X0 = p 2
(0 -  2 )2 + 42  2
x(t) = X0 cos(t - )
avec

 tan  = 2 
0 2 -  2