CCP Physique 1 MP 2006

Thème de l'épreuve Étude énergétique des oscillateurs mécaniques. Détentes en thermodynamique.
Principaux outils utilisés mécanique du point et du solide, force gravitationnelle, thermodynamique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2006 MPP1005

A

CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

NB: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision 
et à la concision de la
rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à prendre.

Conformément à l'usage, les vecteurs sont notés en caractères gras.

-- MECANIQUE --

Le problème étudie différents oscillateurs en vue de l'application du théorème 
du viriel. Celui-ci
affirme en particulier que si un point matériel M (x,y,z) possède une énergie 
potentielle

Ep(x, y,z) vérifiant la propriété suivante : Ep(kx,ky,kz) : N'Ep(x, y,z) pour 
tout A réel alors il

existe la relation suivante entre valeurs moyennes temporelles au cours du 
mouvement de M
k < Ep >= 2 < Ec > à condition que la trajectoire soit bornée.

Ec désigne l'énergie cinétique de M et < f > la valeur moyenne de f (I) au 
cours du temps.

Nous ne considèrerons que des mouvements périodiques donc les moyennes seront 
calculées sur
une période. '

Dans tout le problème l'étude est faite dans un référentiel galiléen Rauquel 
est associé un repère
orthonormé ((),x, y,z).

Les parties 1, II et III sont indépendantes.

I -- Oscillateur harmonique dans un champ de pesanteur

Un point matériel M de masse m pouvant se mouvoir dans la direction 02 
(verticale descendante)
est fixé à l'extrémité d'un ressort de raideur k et de longueur à vide la .

Le champ de pesanteur g est uniforme (figurel). On désigne par 2 la cote de M.

1%

M

Z

Figure ( 1 l

1. a) Ecrire l'équation du mouvement du point M ; quelle est la pulsation 
propre (00 du système ?
b) Déterminer sa position d'équilibre ze .

c) Déterminer z(t) sachant qu'initialement le point est abandonné sans vitesse 
initiale de la cote

z=lo+mg/k+a.

2. a) Déterminer l'énergie potentielle Ep(M ) du point M en imposant Ep : 0 à 
l'équilibre.

b) Exprimer l'énergie potentielle en fonction de Z = z -- ze et k.

c) Dans le cas du mouvement du l-c déterminer les valeurs moyennes de l'énergie 
cinétique et
de l'énergie potentielle. Quelle relation existe-t-il entre ces deux grandeurs?

(1) Application numérique k = 20 Nm'1 m = 100 g a = 5 cm . Calculer la 
pulsation des
oscillations ainsi que l'énergie potentielle moyenne.

Il -- Cas d'un système

Un disque (©) de masse m, de rayon a et de centre C peut rouler, dans un plan 
vertical, à l'intérieur
d'un cylindre de centre O fixe dans R ; on note b : OC la distance de O à C. 
(®) est homogène de

moment d'inertie J =1/2ma2 par rapport à son axe (C ,ez).

Le coefficient de frottement entre le cylindre et le disque est f.

Ox est l'axe vertical, le champ de pesanteur g est uniforme.

On appelle 9 l'angle entre e" et OC et (p celui entre ex et la direction CA où 
A est un point

périphérique de (©) (figure 2).
On suppose que (®) roule sans glisser dans le cylindre.
En outre l'angle 6 reste faible.

1. Déterminer l'énergie potentielle Ep(0) de (©) en imposant Ep(0)=0. En donner 
une

expression approchée au deuxième ordre en 0.

2. Etablir la relation reliant & et @

dl dt '
3. Etablir l'expression de l'énergie cinétique de (Q)).
4. L'énergie mécanique du disque est-elle conservée '? Pourquoi '?

5. Déterminer l'équation du mouvement vérifiée par 0(t). La résoudre avec les 
conditions initiales

0=00>0 et îi--e--=O.

dt

6. a) Pour la solution précédente calculer les valeurs moyennes de l'énergie 
potentielle et de
l'énergie cinétique. Que constate--t--on ?

b) Application numérique : 00 = 0,1 rad , m = 160 g , g = 10 Nms'2 , b = 20 cm. 
Calculer
l'énergie cinétique moyenne de (®).

111 --- Mouvement dans un champ newtonien

On considère un satellite de masse m se trouvant à une distance r du centre 0 
de la terre. On note G
la constante de gravitation, M , la masse de la terre et r la distance entre 0 
et le satellite.

1. a) Comment s'écrit la force subie par le satellite '?

b) Déterminer l'énergie potentielle Ep du satellite (avec la convention Ep : 0 
à l'infini).

c) Comment s'exprime ici le théorème du viriel ? Quelle propriété de l'énergie 
retrouve-t-on
pour un état lié ?

(1) Dans le cas où la trajectoire du satellite est circulaire de rayon ro , 
déterminer sa vitesse v, .

Pour la suite, le satellite est lancé à une distance r,,, avec une vitesse 
orthoradiale (orthogonale au
rayon vecteur) de module

GM,

ro

avec 1= --e . Ce résultat vous 
surprend-t-il ?

Que pensez--vous de < sin(9) > '?

4. Pour mieux cerner le résultat précédent on cherche à évaluer les durées de 
passage du satellite
At, pour un angle 6 passant de --Tt/ 2 à n/ 2 et Atz pour un angle 9 passant de 
n/ 2 à 31t/ 2.

2 2
a) On rappelle la troisième loi de Kepler îä' : ;L ; exprimer la période T en 
fonction de p ,C
a !

et e.

b) Exprimer la durée At que met le satellite pour passer d'un angle polaire 91 
à 62 ; on donnera
le résultat en fonction de la période et d'une intégrale sans dimension.

si 6 = 0, 5 le calcul numérique donne le résultat suivant :

5j de
3 (1+ e cos(0))2
2

Ce résultat est-il en accord avec celui obtenu au 3e) ?

=0,195

5. On considère maintenant le mouvement d'un électron dans un atome d'hydrogène 
en supposant
le noyau fixe en O.

L'électron a une masse m = 9 10"31 kg et une charge --q avec q = 1,6 10--19C .

a) Pourquoi la trajectoire de l'électron est--elle, en général, une ellipse ?

b) On se place dans un cas où l'excentricité de la trajectoire est faible (EUR 
<< 1).
Comment s'écrit le moment dipolaire instantané de l'atome d'hydrogène ?
Proposer une expression approchée du moment dipolaire moyen en fonction du 
paramètre de

la trajectoire po et de l'excentricité 6.
Quelle valeur obtient--on pour po : 0,05 nm et e = 0,05 '? Le résultat sera 
donné en Debye :

1D=1/310"29Cm.

c) Que vaut réellement le moment dipolaire d'un atome d'hydrogène? Que 
pensez--vous du
modèle précédent '?

-- THERMODYNAMIQUE --

L'objectif de ce problème est l'étude de différentes détentes d'un gaz réel et 
d'un gaz parfait.
Les parties B et C d'une part, D et E d'autre part ne sont pas indépendantes.
La partie A, l'ensemble (B + C) et l'ensemble (D + E) peuvent être traités 
séparément.

A -- Fonctions d'état d'un système fermé

A.1.0n rappelle les expressions des différentielles dU et dH des fonctions 
d'état énergie interne
U(T,V) et enthalpie H(T,p) d'un système fermé :
dU : C,dT+(Æ-- p)dV ; dH : C,,dT +(k + V)dp

A.1.1. Définir les capacités thermiques à volume constant C, et à pression 
constante Cp à

partir des fonctions U(T,V) et H(T,p).
A.1.2. Etablir les valeurs des coefficients calorimétriques EUR et k pour un 
système dont
l'énergie interne et l'enthalpie ne sont fonctions que de la température.

A.2.0n définit les fonctions d'état énergie libre F(T,V) et enthalpie libre 
G(T,p) d'un système par
les relations F = U -- TS et G = H -- TS.
A.2.1. Exprimer les différentielles dF et dG d'un système fermé.
A.2.2. On désigne par S l'entropie du système. En utilisant les propriétés des 
différentielles dS,
dF et dG établir les expressions suivantes des coefficients calorimétriques EUR 
et k :

r = T(ôp/ÔT)V ; k =--T(ôV/êT)p

B -- Détente de Joule et Gay Lussac d'un gaz réel

Dans un certain domaine de température et de pression, l'équation d'état d'une 
mole de gaz réel
s'écrit : '
(p+a/TV2) (V--b)=RT

dans laquelle a, b et R sont des constantes (R = constante des gaz parfaits).

. . _ __ 2 2

B.1.Etabhr la relation . (êC, /ôV)T -- T(Ô p/ôT )V

B.2.Etablir l'expression de la capacité thermique à volume constant C,, (T,V) 
du gaz sachant
qu'elle tend vers une valeur Co , indépendante de T, lorsque Vtend vers 
l'infini.

B.3. Etablir l'expression de l'énergie interne U de ce gaz en fonction de T, de 
Vet de constantes.

8.4. On fait subir à ce gaz une détente de Joule et Gay Lussac qui fait passer 
son volume de V1 à
V2 = 214 .
B.4.1. Préciser les conditions expérimentales qui permettent de réaliser cette 
détente. En

déduire la variation d'énergie interne AU du fluide.
B.4.2. On note T, la température initiale du gaz et AT la variation de 
température qu'il subit

au cours de cette détente. }
Sachant que l'on peut considérer AT << Tl , exprimer AT en fonction de T1 , V, 
et de

constantes.
B.4.3. Que peut--on dire, a priori, de la variation d'entropie du gaz '? 
Justifier votre réponse.

B.4.4. Application numérique :
a = 100 sr; R = 8,31 J.mol--'.K"' ; T1 = 300 K; C() = 29,1 J.mol".K"' ; V1 = 10 
L.
B.4.4.1. Calculer AT .

B.4.4.2. Quelle valeur de AT aurait-on obtenu avec un gaz parfait ? Justifier 
votre
réponse.

C -- Détente de Joule Thomson (Joule Kelvin) d'un gaz réel

Aux faibles pressions, l'équation d'état du gaz réel défini ci-dessus peut se 
mettre sous la forme
suivante :

pV = RT+B(T)p avec B(T) =b--a/RTZ

C.1.Compte--tenud'une approximation que l'on peut faire aux basses pressions, 
montrer que
l'enthalpie H du gaz peut s'écrire, en fonction des variables T et p :

H=(CO+R)T+(b--3a/er)p

C.2.Le gaz subit une détente de Joule Thomson au cours de laquelle il passe 
d'une zone où il se
trouve à la température T1 sous la pression pl dans une zone où la pression est 
p2 : pl /2 .

C.2.1. Préciser la caractéristique énergétique de la détente de Joule Thomson.
C.2.2. Exprimer la variation de température AT du gaz dans le cadre des 
hypothèses ci-dessus

en fonction de T1, pl et de constantes. On considèrera encore AT << T1 .

C.2.3. Application numérique :
a = 100 sr ; R = 8,31 J.mol"'.K" ; T] = 300 K; CO = 29,1 J.mol"'.K"' ;

b = 22,8.10"6m3.m01_l ; pl= 2 bar.
Calculer AT .

D -- Application des principes de la thermodynamique à un système fermé en 
mouvement

L'objectif de cette étude est d'établir une expression générale permettant de 
calculer les variations
des grandeurs thermodynamiques caractéristiques d'un gaz qui s'écoule dans un 
élément
mécanique : conduite, tuyère, échangeur thermique, turbine, compresseur, etc.

L'évolution d'un fluide gazeux dans une installation industrielle est 
schématisée par la figure 1 ci-

dessous.

aA

_ o..=æE

9... + %

...qQ

v EURm

.
.
.
n
.
.
o
o
\

? ...oe

&

Al &

...Ëooe

oe...Ë=OE

Le fluide gazeux s'écoule dans la direction et le sens de l'axe horizontal x'x .
Le volume v délimité par les plans A'B' et CD constitue un volume de contrôle 
qui peut,
éventuellement, contenir une machine : compresseur, turbine, etc.

Le fluide entre dans v par une conduite cylindrique dont l'aire de la section 
droite est notée 21 et
dont l'axe, parallèle à x'x , est situé à l'altitude 21 dans le champ de 
pesanteur. Il en ressort par une
conduite cylindrique, dont la section droite a une aire 22 et dont l'axe, 
parallèle à x'x , est situé à

l'altitude 22 dans le champ de pesanteur.

On désigne par w le vecteur vitesse des particules fluides et on admet que la 
viscosité du fluide est
négligeable, le vecteur vitesse reste donc constant en tout point d'un plan de 
section droite
perpendiculaire à l'écoulement.

On désigne par m, p, T, E, EC , E p , U, H et S, respectivement, la masse, la 
pression, la température,
l'énergie totale, l'énergie cinétique macroscopique, l'énergie potentielle de 
pesanteur, l'énergie
interne, l'enthalpie et l'entropie du fluide. Les valeurs massiques des 
différentes grandeurs

extensives seront représentées par des lettres minuscules.
Ces grandeurs seront affectées de l'indice 1 ou de l'indice 2 suivant qu'elles 
caractériseront l'état

du gaz à l'entrée ou à la sortie du volume v.
D.1.Définir l'énergie totale E d'un système thermodynamique.

D.2.Ecrire le premier principe de la thermodynamique, sous sa forme générale, 
pour un système
fermé, en mouvement dans le champ de pesanteur, qui, au cours d'une 
transformation ouverte,
reçoit les quantités d'énergie Q par transfert thermique et Wpar transfert 
mécanique.

D.3.A l'instant t le système fermé considéré, désigné par S(t) sur la figure 1, 
occupe le volume
compris entre les plans AB et CD. Il comprend le fluide contenu dans v à cet 
instant et le fluide

qui va entrer dans v pendant la durée dt. Son énergie totale est notée E (t) . ,

A l'instant t+dt ce même système, désigné par S(t + dt), occupe le volume 
délimité par les
plans A'B' et C 'D' . Il comprend le fluide contenu dans v à l'instant t+dt et 
le fluide qui est
sorti de v pendant la durée dt. Son énergie totale est notée E (t + dt).

Entre les instants t et t+ dt le fluide gazeux reçoit les quantités algébriques 
d'énergie ôQ par

transfert thermique (chaleur), ôW' par transfert mécanique dû au travail des 
forces de pression
d'entrée et de sortie et ôW par transfert mécanique avec une machine qui se 
trouve dans v .

On suppose que le régime stationnaire est atteint et on admet que les pressions 
p] et p2,

respectivement en amont de l'entrée dans v et en aval de la sortie de v , 
restent constantes au
cours du transfert du fluide. Les vitesses w] et w2 du fluide, dans les 
conduites d'entrée et de

sortie, sont constantes.

D.3.1. p,,w,,E1 ; p2,w2,îï2 désignent la masse volumique, la vitesse du fluide 
et l'aire de la

section droite des conduites, respectivement, à l'entrée et à la sortie de v .
Montrer, à partir d'un bilan de masse sur le système fermé considéré, entre les 
instants !

et t+dl, que l'on a:
P121W1 : P222W2-
L'expression p2w représente le flux de masse à travers la section droite 2 d'une

conduite dans laquelle le fluide s'écoule avec la vitesse w, c'est-à--dire le 
débit massique

qm du fluide exprimé en kg .s"1.

D.3.2. On désigne par ôm la masse de fluide qui traverse le volume v pendant la 
durée dt.

On note g l'intensité du champ de pesanteur et on fixe l'origine de l'énergie 
potentielle
de pesanteur au niveau 2 = 0.

Par application du premier principe de la thermodynamique au fluide gazeux, 
entre les
instants t et t + dt , établir la relation :

ôm{[(1/2)wg +g22 +h,]-[(1/2)...2 +gz1 +h,]} =ôQ+ôW

D.3.3. A partir de l'expression établie à la question D.3.2, définir les 
conditions expérimentales
qui permettent de faire subir au fluide une détente de Joule Thomson.

E -- Détente d'un fluide gazeux dans une tuyère

Le fluide gazeux se détend, de manière adiabatique,
dans une tuyère dans laquelle sa vitesse varie. La
tuyère est constituée d'un tube de révolution autour
d'un axe horizontal x'x (figure 2 ci-contre).

La section droite, d'abscisse x, de la tuyère a une aire

Z(x) variable le long de l'axe x'x. On admet que

"

W(X)

"&...

cette variation est assez lente pour que le vecteur
vitesse des éléments de volume du gaz qui s'écoule
reste, pratiquement, parallèle à x'x , de même sens et

&

que sa composante w(x) ait la même valeur pour

tous les éléments de volume situés dans une tranche
de gaz, d'abscisse x, perpendiculaire à x'x .

On suppose que le régime d'écoulement stationnaire est atteint et on néglige 
toute perte d'énergie,
par frottement, le long des parois de la tuyère.

On note H(x) l'enthalpie d'une mole de gaz sous la pression p(x), à la 
température T(x).

On désigne par M la masse molaire du gaz et par p(x) sa masse volumique à 
l'abscisse x.

Figure 2

w, pl, T, Hl, pl ; w, 172, T , Hz, p2 désignent, respectivement, les valeurs de 
: w(x),p(x),
T (x), H (x), p(x) dans la section droite d'entrée de surface 21 et dans la 
section droite de sortie de

surface 22 .

E.1.0n considère l'évolution d'une mole de gaz entre son entrée dans la tuyère 
et son passage dans
la tranche d'abscisse x.
A partir de la relation générale établie à la question D.3.2 et compte tenu des 
conditions de

_ fonctionnement de la tuyère, établir la relation que vérifient M, w1 , w(x), 
H 1 , H (x).

E.2.Aucune hypothèse n'est faite sur l'équation d'état du gaz.
On admet que chaque élément de volume du gaz subit, dans la tuyère, une détente 
adiabatique
réversible. Montrer que, dans ces conditions :

(1/2)w2 (x)--(1/2)wl2 + E(x)dp/p(x) : 0

E.3.0n suppose, maintenant, que le gaz est un gaz parfait pour lequel le 
rapport 7 = C ,, /C,, est

indépendant de la température et on admet que son évolution, dans la tuyère, se 
produit de
manière adiabatique et réversible.

On pose 8 : p(x)/ p, et on désigne par C,, la capacité thermique molaire à 
pression constante
du gaz.

E.3.1. Exprimer w2 (x) en fonction de : w], Cp, T, M, y et e.

E.3.2. Exprimer le débit massique q... du gaz, à l'abscisse x, en fonction de : 
pl, s, y, Z(x) et

w(x).
E.3.3. On suppose que la section d'entrée de surface 21 de la tuyère est très 
grande. On peut
alors considérer w1 ---- O.

E.3.3.1. Montrer que, dans ces conditions, le débit massique s'écrit:
q... =K1 Z(x) f (a), expression dans laquelle Kl ne dépend que des

caractéristiques du gaz et des valeurs des paramètres relatifs à l'entrée de la
tuyère et f (8) est une fonction de 8 . On explicitera K et f (a).

E.3.3.2. On admet que p(x) décroît de manière monotone quand x croît.

Après avoir étudié les variations de la fonction f (8) pour 0 S 8 S 1 , montrer
que :
E.3.3.2.1. Si p2 / pl est supérieur à une valeur 80 que l'on précisera, la 
section E(x)

de la tuyère doit être une fonction décroissante de x (tuyère convergente).
E.3.3.2.2. Si p2 / pl est inférieur à 80, la section de la tuyère doit, 
d'abord, être une

fonction décroissante de x puis devenir une fonction croissante de x (tuyère
convergente -- divergente).

Dans ce cas on note WO et po les valeurs de w(x) et p(x) dans la section

la plus étroite de la tuyère.
Exprimer po en fonction de p, et y et wo en fonction de y, R, T, et M.

E.3.3.3. Application numérique
Le gaz parfait considéré est de l'air pour lequel y = 1,4 ; M = 29 g .mol"' .
On rappelle que R : 8,31J.mol"1 .K" .

E.3.3.3.1. Sachant que pl : 20 bar et Tl : 2000K , calculer wo et po.

E.3.3.3.2. Calculer, dans les mêmes conditions, la vitesse du gaz, à la Sortie 
de la
tuyère, où p2 : lbar.

Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 MP 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE).

Cette épreuve est composée de deux problèmes.
· Le premier repose sur la mécanique au programme des deux années de classe
préparatoire. Il forme un ensemble cohérent sur le thème des oscillateurs et
sur l'utilisation de raisonnements énergétiques en mécanique. Il débute par une
première partie consacrée aux oscillations d'un simple système masse-ressort
vertical. Le même raisonnement est repris en deuxième partie dans le cadre
de la mécanique du solide. La troisième partie étudie la trajectoire elliptique
d'un satellite autour de la Terre. Cette partie est la plus longue. Sans être
difficile, elle nécessite une bonne maîtrise du cours. L'ensemble est de 
difficulté
croissante et constitue un très bon problème de révision en mécanique.
· Le deuxième problème, nettement moins classique en filière MP, est consacré
à l'étude thermodynamique de différentes détentes. Les trois premières parties 
sont clairement hors programme. Il s'agit d'extraire l'expression des 
coefficients calorimétriques de l'équation d'état d'un gaz réel et d'en déduire 
son
comportement lors des détentes de Joule ­ Gay-Lussac et Joule ­ Thomson.
Certaines questions théoriques sont difficiles mais des résultats intermédiaires
permettent d'avancer. Les quatrième et cinquième parties sont plus 
intéressantes. Après avoir démontré le premier principe pour un système fermé en
mouvement, on applique ce résultat à l'étude d'une tuyère qui permet de 
diminuer la pression d'un gaz au profit de sa vitesse.
Les deux problèmes ont en commun d'être longs et parfois calculatoires. Le 
premier problème, cependant, fait appel à des raisonnements classiques et 
proches du
cours alors que le second demande plus d'analyse et une bonne compréhension de
l'énoncé.

Indications
Premier problème
--

-
I.2.a Considérer que F rappel (M) = - grad Ep (M).
I.2.c On rappelle que cos2 (0 t) = sin2 (0 t) = 1/2.

-

II.2 Écrire que -
v (I  (D)/R) = 0 afin de relier  et  en travaillant dans la
base polaire.
II.3 Utiliser le théorème de Koenig.
II.4 Que dire de la vitesse du point d'application des forces de contact ?
III.1.c Identifier l'accélération centripète -v c 2 /r0 à l'aide du principe 
fondamental
de la dynamique appliqué à S.
III.2.a Appliquer le théorème du moment cinétique à S.
III.2.b Évaluer l'énergie mécanique Em en fonction de r et r. Que dire de Em 
quand r
tend vers l'infini ?
dEm
1
. Utiliser
= 0.
III.2.c Exprimer Em en fonction de u() =
r()
d
III.2.f Que vaut cos  au périgée et à l'apogée ?
III.3.c Utiliser la loi des aires.
III.4.a On a 2a = rm + rM .
d
III.4.b Écrire dt =
.
Cu2
III.5.b Simplifier r(t) lorsque e  1.
Deuxième problème
A.1.1 Pour cette question et les suivantes, identifier les dérivées partielles 
sur l'expression de la différentielle. On rappelle ainsi que pour une fonction 
f des
deux variables x et y :

f
f
df =
dx +
dy
x y
y x
A.2.2 Exprimer  et k à partir des dérivées partielles de S. Utiliser le 
théorème de
Schwarz selon lequel
2f
2f
=
xy
yx
B.3 Calculer . Utiliser dU = CV dT + ( - p) dV et faire apparaître une 
différentielle exacte pour intégrer.
B.4.3 L'évolution est-elle réversible ?
C.1 Considérer que H = U + pV et simplifier à l'ordre 1 en p.
D.3.2 Écrire explicitement le travail des forces de pression à l'entrée et à la 
sortie
pendant dt et faire apparaître l'enthalpie massique h = u + p/.
dp
E.2 Justifier et simplifier l'égalité dh = T ds +
.

E.3 Utiliser Cp = R/( - 1) et les relations de Laplace pour relier  et p.
E.3.3.2 Montrer que f admet un maximum 0 . Utiliser la conservation du débit
massique q m = K1 (x) f ().

Mécanique
I. Oscillateur harmonique dans
un champ de pesanteur
I.1.a On applique le principe fondamental de la dynamique au point M soumis à la
force de rappel du ressort et à la pesanteur dans un référentiel galiléen. Cela 
donne
:
en projection selon -
u
z
d2 z
= -k(z - 0 ) + mg
dt2
On peut réécrire cette équation différentielle du second ordre en identifiant 
la pulsation propre 0 :
r
d2 z
k0
k
2
+ 0 z =
+g
avec
0 =
dt2
m
m
m

I.1.b À l'équilibre, l'accélération de M est nulle donc
0 = -k(z e - 0 ) + mg
d'où

z e = 0 +

mg
k

À l'équilibre, le poids de M allonge le ressort. Trouver z e > 0 est cohérent.
I.1.c La solution z(t) peut s'écrire z1 (t) + z2 (t) où z1 est la solution 
générale de
l'équation homogène sans second membre
d2 z1
+ 0 2 z1 = 0
c'est-à-dire
z1 (t) = A cos(0 t) + B sin(0 t)
dt2
et z2 est une solution particulière de l'équation avec second membre, soit par 
exemple,
la solution constante
mg
z2 (t) = z e = 0 +
k
Au total,

z(t) = A cos(0 t) + B sin(0 t) + 0 +

Les conditions initiales s'écrivent

mg

+a
 z(0) = 0 +
k
dz

 (0) = 0
dt

soit

(

mg
k

A=a
B 0 = 0

dont on déduit (A, B) = (a, 0) et

z(t) = a cos(0 t) + 0 +

mg
k

-
I.2.a La force de rappel F rappel (M) et l'énergie potentielle Ep (M) sont 
liées par
--
-

F rappel (M) = - grad Ep (M)

soit

-k(z - 0 ) = -

dEp
dz

On en déduit par intégration
Ep (M) =

k
(z - 0 )2 + Cte
2

et comme on impose Ep = 0 à l'équilibre en z e = 0 + mg/k,
k m2 g 2
×
+ Cte
2
k2

0=

d'où

Ep (M) =

k
m2 g 2
(z - 0 )2 -
2
2k

I.2.b Puisque z - 0 = z - z e + mg/k, on peut écrire
k
mg 2 m2 g 2
Z+
-
Ep (M) =
2
k
2k
d'où

Ep (M) =

k 2
Z + mg Z
2

I.2.c Selon l'expression de z(t) obtenue à la question I.1.c,
et

Z(t) = a cos(0 t)

z(t) = Z(t) = -a0 sin(0 t)

Ainsi, la valeur moyenne de l'énergie cinétique Ec est
hEc i =

m 2
m a2  0 2
hZ i =
×
2
2
2

soit

hEc i =

ka2
4

et la valeur moyenne de l'énergie potentielle Ep
hEp i =

k a2
k 2
Z + mg hZi =
+0
2
2 2

soit

hEp i =

ka2
4

L'oscillateur harmonique dans un champ de pesanteur vérifie donc
hEc i = hEp i
I.2.d Application numérique :
0 = 14 rad.s-1

et

hEp i = 1,3.10-2 J