CCP Physique 1 MP 2003

Thème de l'épreuve Isolation thermique par double vitrage. Effet de marée et distance Terre-Lune.
Principaux outils utilisés conduction, transferts thermiques, problème à deux corps, terme de marée
Mots clefs loi de Fourier, conduction thermique, rayonnement thermique, corps noir, marée, référentiel non galiléen

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2003 | MPP106

CONCOURS COMMUNS POlYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - F ILIERE MP

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à
prendre.

THERMODYNAMIQUE

La première partie de ce problème rappelle certaines notions de la théorie des 
transferts thermiques
par conduction, convection et rayonnement.

Dans la deuxième partie, un local situé dans une maison doit être rénové et 
l'on dispose en hiver
d'un chauffage de puissance maximale 1%. On veut évaluer les températures du 
local et de la paroi

séparant ce local de l'extérieur selon que la paroi est constituée :

a) d'une fenêtre entourée d'un mur de béton,
b) d'une baie vitrée en simple vitrage,
c) d'une baie vitrée en double vitrage.

Hypothèses : Les échanges thermiques entre le local et les autres pièces de la 
maison sont négligés.
Pour la paroi séparant le local de l'extérieur, on prendra en compte les 
transferts thermiques par
conduction, convection et rayonnement.

I -- Etude préliminaire

1. Conduction thermique

On considère un corps homogène (figure 1) de section droite S, de longueur L, 
de masse
volumique p, de conductivité thermique À, de capacité thermique massique c, 
avec X, p , c

constants. La température du matériau ne dépend que de x et de t et sera notée 
T (x,t). Les

parois parallèles à l'axe x sont isolées thermiquement et on note Î(x,t) = 
J(x,t)èî le vecteur
densité de courant thermique.

...--.

x=O x x+dx x=L e

x : vecteur unitaire

Figure 1

a) Que représente J(x,t) ? Quelle est son unité ? Enoncer alors la loi de 
Fourier.

b) Effectuer un bilan énergétique pour un volume élémentaire de matériau 
compris entre les
abscisses x et x+dx entre les instants t et t+dt en supposant qu'il n'existe 
pas d'apport
énergétique autre que par conduction et qu'il n'y a pas production d'énergie 
interne. Donner

alors l'équation aux dérivées partielles vérifiée par T (x,t) .

On se glace désormais (your la suite des questions! en régime stationnaire.

c) Donner les lois de variation T (x) et J(x) en supposant que les extrémités 
du matériau sont
maintenues à températures constantes, T (O) = 7}, et T (L) = T L .

2. Résistance thermique due à la conduction

B,, représentant le flux thermique à travers la section droite S du matériau, 
on définit Rth ,

résistance thermique de conduction du matériau de longueur L et de surface S 
par la relation
76 _ TL = Rth --3h-

a) Exprimer Rth en fonction de L, S et À. En faisant l'analogie avec 
l'électrocinétique, justifier
le terme de résistance thermique et préciser l'unité de R,,,. Quelle doit être 
la condition sur

R,,, pour que le flux transmis soit faible ?

b) On associe deux corps A, et A 2 (figure 2) de résistances thermiques Rthl et 
Rch de même

section S, l'un de conductivité thermique X] est compris entre x = 0 et x = L 1 
, le second de
conductivité thermique À2 est compris entre x : L1 et x = L 1+ L2. On note 76, 
1], T2 les

températures pour x = 0 , x = L 1 , x = L 1+ L 2. Etablir l'expression de 
résistance themique

R:}: de l'ensemble en fonction de Rth, et Rch .

6) Même question lorsque les deux corps A], de section SI et de longueur L1 et 
A2 de

section S2 et de longueur L2 sont associés en «parallèle » (figure 3). On note 
Ib, la
température sur les faces d'entrée pour x = 0 et ?} la température sur les 
faces de sorties

pourx=Ll pourAl, et x=Lz pourA2.

3. Transfert convectif

On considère une surface S à la température T, en contact avec de l'air à la 
température 7}, et
échangeant par convection avec celui-ci une puissance thermique Pc (sortant 
algébriquement

de la surface S) s'écrivant : Pc = hc .S (T -- T a) où hc est le coefficient de 
convection.

On remarquera que l'énergie thermique correspondante s'écoule du milieu où la 
température est
la plus élevée vers le milieu où la température est la plus faible.

Montrer que cet échange convectif est décrit par une résistance thermique de 
convection RC

dont on donnera l'expression.

4. Transfert par rayonnement

La puissance PR rayonnée par l'unité de surface d'un corps noir et répartie sur 
toutes les

3
fréquences v est donnée par PR : EP(v)dv avec P(v)=--------ZËÆ---- où
c'lexplf'Xl--ll

kT
h =6,62.10'34 J.s (constante de Planck) et k =1,38.10"23 J.K"1 (constante de 
Boltzmann).

c = 3.108 m.s'1 (vitesse de la lumière dans le vide).

a) Montrer que PR est donnée par la loi de Stephan : PR : o.T4 . Exprimer o en 
fonction de k,
00 3 4
hetc. Ondonne: ! --£--dÂ--=n-- .
0 exp(x)--l 15
b) On rappelle que la loi de Wien liant la longueur d'onde km du maximum 
d'émission

thermique du corps noir, à sa température T s'écrit: Àm.T : 2898 um.K. On admet 
que

l'ensemble des couches de l'atmosphère rayonne comme un corps noir à la 
température
Te : 263K. Calculer les valeurs respectives des longueurs d'onde Àma et kms du

rayonnement thermique de l'atmosphère terrestre et du rayonnement thermique 
solaire
(température de la surface du soleil TS de l'ordre de 57OOK ).

A quels domaines du spectre électromagnétique, ces longueurs d'onde 
appartiennent--elles ?

c) On considère une surface S délimitant un corps à la température T en contact 
avec un
environnement à la température T,. Le corps et l'environnement se conduisant 
comme des

corps noirs, donner l'expression de la puissance P échangée par rayonnement à 
travers S
entre le corps et l'environnement (sortant algébriquement du corps vers 
l'environnement).

d) On suppose que T est très proche de T, et on pose T = T, + AT avec AT << T,. 
Montrer que
P peut se mettre sous la forme approchée : P = G.(T -- T,) et donner 
l'expression de G en
fonction de T,, 6 et S. Quelle est la résistance thermique de rayonnement RR
correspondante ? Montrer qu'on peut confondre T, et T dans l'expression de RR 
lorsque la

forme approchée de P est du premier ordre en (T -- 72).

e) Donner l'expression de la résistance thermique R si l'on considère à la fois 
un transfert par
convection et par rayonnement entre un corps à la température T délimité par 
une surface S

et un environnement à la température T,.

II -- Transfert à travers le mur séparant le local de l'extérieur.

On considère dans cette partie que les lois d'association des résistances 
thermiques vues
précédemment sont vérifiées, que la puissance transmise associée soit rayonnée, 
de nature

conductive ou convective.

1. On souhaite évaluer les pertes en puissance entre un local à la température 
7}... et le milieu
extérieur à la température T,xt. On suppose que la paroi (figure 4) séparant le 
local à la
température 7}... de l'air extérieur à la température Text , est constituée 
d'une vitre (conductivité

À, surface S, épaisseur 9) et d'un mur de béton (conductivité kb , surface Sb, 
épaisseur e,, ),

orthogonaux à l'axe x. La paroi, le milieu extérieur et le milieu intérieur au 
local se conduisent
comme des corps noirs. Les transferts thermiques se font en régime stationnaire 
et le
rayonnement solaire direct n'est pas pris en compte.

On considèrera pour la surface de la paroi en contact avec l'extérieur, un 
transfert thermique par
convection avec l'air extérieur, à la température 1}, = ... , et par 
rayonnement avec l'ensemble

des couches de l'atmosphère, à la température ]; = ... ; on exprimera la 
contribution du

rayonnement àla résistance thermique en fonction de 72m

Pour la surface en contact avec l'intérieur, on considère un transfert 
convectif et un transfert
radiatif avec l'intérieur du local ; on exprimera la contribution du 
rayonnement à la résistance

thermique en fonction de Y}... .
. On note 11,-- et he les coefficients de convection pour la surface interne et 
externe de la paroi.

Ondonne:
k=l,2Wm_lK--l, S=2m2, e=3mm, Àb=0,9Wm_lK_l, Sb=3m2, eb=0,3m,

h,. = 15 Wm"'K"1 , he = 35Wm"'K"' , 7;... = 73K, Tint = 293K, (: = 5,67.10'8 
Wm'2K"4.

------béton

A
|
|

------ béton

Figure 4

a) Exprimer la résistance thermique totale RH de la partie vitrée en fonction 
de Km la

résistance thermique due à la conduction, Rext et Rim les résistances 
thermiques dues à la

convection et au rayonnement respectivement sur la surface en contact avec 
l'extérieur et
l'intérieur. En déduire la puissance thermique BI sortant du local à travers la 
partie vitrée.

b) A l'aide des résultats obtenus aux questions I.4.e) et 1.2.a), calculer 
numériquement R,] et
Pn-

c) Exprimer et calculer numériquement la résistance thermique totale Rt2 de la 
partie en béton

de la paroi ainsi que la puissance thermique 32 à travers celui--ci. Comparer 
les valeurs

numériques de 31 et 32- Conclusion ?

(1) Que vaut la puissance totale E' si la paroi est constituée simplement d'une 
baie vitrée de

surface S " = 5 m2 ?

2. Pour des raisons de luminosité, on opte pour une paroi (figure 5) 
entièrement constituée d'une

vitre de surface S =5m2 et d'épaisseur e = 3mm. Les échanges thermiques sont de 
même

nature que dans la question 1, sauf pour l'échange par rayonnement entre la 
surface extérieure
de la paroi et le milieu extérieur. En effet, un modèle plus réaliste envisage 
que l'ensemble des

couches de l'atmosphère rayonne comme un corps noir à une température Te : 
Tèl--e, inférieure à
T

C
températures des surfaces en x = 0 (surface S] ) et x = e (surface S2 ).

xt . Un chauffage fournit au local la puissance calorifique & = 1500W et on 
note îî et T2 les

Po

Surface S] à la
température T1

x=0

Local à la

Surface SZ a la____ température T,...

température T 2

T..., =263K
"" Vitre

Figure 5

On désire calculer T, T2, 7}... en fonction de 1%, Il..., TZ,--el et des 
grandeurs relatives à la

conduction, à la convection et au rayonnement.

a) Que vaut, en régime stationnaire, le flux thermique à travers S1 et S2 ? En 
exprimant la
contribution du rayonnement à la résistance thermique en fonction de T , 
exprimer l'écart
T nt -- 7l '

1
b) Exprimer l'écart ]] --T2.

c) Ecrire l'équation vérifiée par le flux thermique s'écoulant vers l'extérieur 
à travers Sz- En

supposant que T2 puisse s'écrire sous la forme T2 = Text+AT2 avec AT2 << Text , 
montrer
que l'écart de température T2--Text peut se mettre sous la forme:

T2--T __ PO_f(Text' Tete!)

-- et donner l'expression de f T , T . .
ext he S + 46 S Te3xt ( ext czel )

d) A.N. : Tciel : 263K. Calculer alors T2, ]] et 7{.... Evaluer les importances 
respectives de la
conduction, de la convection et du rayonnement.

e) Par grand vent, le coefficient de convection externe peut atteindre la valeur
he : 60Wm_2K_l . Que valent alors, T2, ]] et T,... ? Conclusion.

3. Afin de réaliser des économies d'énergie, la paroi est finalement réalisée 
en double vitrage
composé de deux vitres d'épaisseur e : 3mm , de surface S : Sm2 , séparées par 
une épaisseur

e' : 5mm d'air de conductivité thermique N : 0,0ZSWm"'K"'. Les différentes 
températures
envisagées sont indiquées sur la figure 6.

e=3mm e=3 mm

Tciel : 263K

Surface intérieure

(Tla)

Po

Text: 273K

x

Surface extérieure
Extérieur ( T2 b) Local (Ti...)

e '=5mm

Figure 6

a) Montrer que l'on peut confondre îîa et ]{ b en s'appuyant sur les résultats 
de la question

H.2.d)e), ainsi que T2a et T2], . On note alors ]}a : 7ib : îî et T2a = T2b--= 
T2.

b) Les échanges thermiques sont de même nature que précédemment, mais l'on 
considère
maintenant que chacune des vitres est assimilable à un corps noir rayonnant 
dans 2 demi--

espaces (à la température 7{ pour la première vitre et à la température T2 pour 
la seconde).

Pour l'air emprisonné entre les vitres, on néglige le phénomène de convection 
et de
rayonnement pour ne considérer qu'un transfert purement conductif.

Montrer que la relation entre 7{m et 71 est identique au cas du simple vitrage 
et exprimer
l'écart Tnt _]î .

1

0) Ecrire l'équation vérifiée par le flux thermique s'écoulant de la vitre 1 
vers la vitre 2. En
déduire ]} en fonction de T2 et 1%. Quelle est la modification par rapport au 
cas du simple

vitrage ?

d) Montrer que la relation entre 7}_ et I}... est identique au cas du simple 
vitrage et exprimer
l'écart T2 -- Te

xt'

e) Calculer T2, 71 et Tim. Montrer alors qu'une valeur de l% divisée par 2 
donnerait une valeur

plus raisonnable de I}... (voisine de celle obtenue en Il.2d).

MECANIQUE
Conséquence de l'effet de marée sur la distance Terre--Lune

Ce problème est formé de trois parties. La première partie étudie l'effet de 
marée exercé par la
Lune sur la Terre. La seconde partie étudie l'orbite de la Lune autour de la 
Terre dans le cadre du
système à deux corps. La dernière partie met en évidence, à partir de la 
conservation du moment
cinétique total du système Terre Lune, le ralentissement de la rotation de la 
Terre sur elle-même
provoqué par l'effet de marée et l'augmentation de la distance Terre Lune qui 
en résulte.

Notations et données numériques :

Constante gravitationnelle g = 6,67.10"1 1Nm2kg_2
Masse du Soleil : mS =1,99.1030 kg

Distance Terre Soleil : DS =1,50.10"m

Masse de la Lune : mL : 7,34 . 1022 kg

Distance moyenne Terre Lune : DL : 3,84.108m
Rayon dela Lune: RL =1,75.106m

Masse de la Terre : mT : 5,98 . 1024 kg

Rayon dela Terre: RT : 6,37.106m

Définition des différents référentiels et repères associés utilisés dans le 
problème :

On rappelle que le référentiel de Copernic, noté Rdont l'origine est le centre 
de masse O du
système solaire et les trois axes x, y, z pointent vers trois étoiles 
lointaines de la sphère céleste,

réalise une excellente approximation d'un référentiel galiléen. Le repère 
associé est (0, ex,ey,ez) .

On note T, le centre de masse de la Terre et R]-- le référentiel barycentrique 
de la Terre (ou
référentiel géocentrique) de repère associé (T, ex,ey,ez) avec ez : vecteur 
unitaire de l'axe des

pôles.

On note L, le centre de masse de la Lune et RL le référentiel barycentfique de 
la Lune (ou

référentiel sélénocentfique) de repère associé (L, ex,ey,ez ).

Le Soleil, la Lune et la Terre sont supposés être sphériques à répartition de 
masse à symétrie
sphérique.

I -- Etude de l'effet de marée

1. Quel est le mouvement du référentiel géocentrique RT dans le référentiel de 
Copernic si l'on

suppose mL << mT ? Dans ces conditions, RT est-il galiléen ?

2. On considère une particule de masse m assimilée à un point matériel se 
trouvant au point P, au

voisinage de la Terre à l'instant t. On appelleî' , la résultante des forces 
autres que les forces de
gravitation et d'inertie s'exerçant sur la particule.

On note GE(P), GL(P), G;(P), les champs gravitationnels créés respectivement en 
P par le
Soleil, la Lune, et la Terre.

Les seuls astres contribuant au champ gravitationnel en P étant la Lune, la 
Terre et le Soleil,
montrer que l'on peut écrire le principe fondamental de la dynamique pour la 
particule dans le

référentiel RT sous la forme :
mä(P)/RT =î+mîî;(P)+mäg(P)+mäg(P)--mE(T)Æ où 5(P)OET et Z:(T)OE désignent

les accélérations des points P et T, respectivement dans RT et R .

3. On suppose P= Ô. M étant un point de la Terre, on montre qu' en faisant un 
développement de
GS(M ) et de GL(M ) au voisinage de T, on peut écrire: GS(M )-- GS(T)+ [(TM. 
grad )GS]T et

GL(M ) GL(T )+[(TM grad)GL]T où (TM. grad) est un opérateur appliqué à GS ou GL,
dont le résultat est calculé en T.

a) En considérant la Terre comme un système de points discrets A,-- , de masse 
m,, tels que

2 mi : mT , exprimer Ïz(T ) en appliquant le théorème du centre d'inertie à la 
Terre.

i

/R

b) Montrer alors que l'on peut écrire : mâ(P)/RT =mGË(P)+mGL(P)+mG£(P) où

GL(P) : GL(P)-- GL(T ) représente le champ de marée dû à la Lune en P et
GE(P) : OE(P) -- GÊ(T ) représente le champ de marée dû au Soleil en P.

4. On suppose l'astre considéré (Soleil ou Lune), de centre A (A = S ou A =L) 
de masse mA
situé àla distance D A de T telle que TÂ = D A E; , dans le plan équatorial. '

On considère les points R et P2 de la surface terrestre de coordonnées (RT,O,O) 
et (--RT,O,O)

' ' I ' I ' R
dans le repere assoc1e au referent1el RT. En considérant que --b--Ï-- <<1 
évaluer le champ de
A

marée G;(P) et GÂ(PZ). Quelle est la direction de ces deux vecteurs ? Faire un 
schéma.

2 R
Evaluer numériquement le terme £%LË dans le cas où l' astre A est le Soleil, 
puis la Lune.
A

Quel est l'astre qui a l'effet le plus important ?

Il -- Trajectoire de la Lune

On néglige les effets dus au Soleil; le système Terre--Lune est donc considéré 
isolé et on
s'intéresse aux mouvements relatifs de la Terre et de la Lune. On considère le 
référentiel

barycentrique R* du système Terre--Lune et on appelle C le centre de masse de 
l'ensemble.

52 et E); désignent le vecteur vitesse angulaire de rotation propre 
respectivement de la Lune dans
RL et de la Terre dans Q{T.
2

J L : ;mLRÊ désigne le moment d'inertie de la Lune par rapport à son axe de 
rotation dans RL .
2 , . . . . .
] T = --5-mTR% de51gne le moment d'1nert1e de la Terre par rapport a son axe de 
rotat10n dans RT.

On désigne par L* (T, L) le moment cinétique du système Terre--Lune dans le 
référentiel QÜ.

On désigne res ectivement par L* T , L* L les moments cinéti ues au oint C dans 
le
P C C q P

référentiel R* de la Terre, de la Lune.

T.; (T ) / RT et ÎZ (L) / 411. sont respectivement, les vecteurs moments 
cinétiques de rotation propre

de la Terre au point T dans le référentiel RT et de la Lune au point L dans le 
référentiel Q{L .

1. a) Montrer que L* (T,L) se conserve.

b) La répartition de masse de la Lune et la Terre étant à symétrie sphérique, 
montrer que
LT (T ) / RT et LL (L) / RL se conservent. En déduire que QT et QL sont 
constants.

2. a) En considérant la Terre comme un système de points discret, montrer que

Î(Ê(T)=ËÎAmT

___--..

VT/R... +LT (T) ou VT/R* represente le vecteur v1tesse de T dans le

/RT

' I ' *
referent1el Q{ .

_.

b) Donner la relation analogue pour L} (L).

__

c) En déduire que L* (T ,L) peut se mettre sous la forme :

L* (T, L) : L2rb +Î7Î (T ) / RT +Σ (L) / RL où L2rb désigne le moment 
cinétique orbital dans

R* du système Terre--Lune. Exprimer L:,rb en fonction de (ÎT, mT, VTOE* et de

CL, mL, VL/R* .

meL

3. On appelle M la particule fictive, telle que C--Â;Ï : ÎÎ de masse réduite u 
= de vecteur

mT+mL

v1tesse VMOE* .

a) Calculer les vecteurs CIÎ et C? en fonction de mT, mL et ÎÎ. En déduire les 
vecteurs

. . , , . * .
v1tesses VT/R* et VUR* des pomts T etL dans le referent1el R , en fonct10n de 
VM /R. .

b) Ecrire la relation fondamentale de la dynamique dans R* pour L et T, et 
montrer que cela
revient à considérer la particule fictive soumise à la force exercée par la 
Terre sur la Lune.

4. a) Exprimer LÏ,rb en fonction de VM /Q* et u. Montrer alors que le mouvement 
de la particule

fictive est plan.

b) En considérant que mT >> mL , à quels points peut--on assimiler les points C 
et M ? Avec

quel référentiel peut--on confondre R* '?

5. On suppose la condition précédente remplie. On se place dans le plan de la 
trajectoire de L et on

__

introduit le repère des coordonnées polaires (T , e,,e9) tel que ÎÏ : ré: .

1
"(9)'

où l'on donnera les

a) Etablir par la méthode de votre choix l'équation différentielle suivie par 
u(6) =

P

Montrer que l'équation de la trajectoire s'écrit : r =----------+
1+ecos(9)

significations de p et 6.

b) Le périgée est caractérisé par rp : 363 000km et l'apogée par ra : 405 
000km. Calculer p

et e.

c) Montrer que la trajectoire de la Lune autour de la Terre peut être assimilée 
à un cercle dont
on donnera le rayon DL. Calculer la vitesse angulaire orbitale mL de la Lune 
autour de la

Terre, puis la vitesse vL de la Lune sur son orbite par rapport au référentiel 
RT.

6. a) Evaluer numenquement le moment c1net1que orb1tal L0rb , am31 que les 
moments c1net1ques

de rotation propre E (T ) / R , Ïî (L) / R et les comparer entre eux.
T L

Données : QL : 2,66 10"6 rad s"1 QT = 7,29 10"5 rad s"1

_

b) En supposant les vecteurs QT et (13L colinéaires et dirigés suivant ez , 
montrer alors que l'on

peut écrire: Î(T,L)z(mL./ÇDLmT +JTQT)EUR.

III ---- Eloignement de la Lune

En généralisant à un point quelconque de la Terre, le calcul fait dans la 
partie l, on peut montrer
que l'effet de marée se traduit par l'existence de deux bourrelets 
diamétralement opposés, alignés

avec la ligne des centres de l'astre A et de la Terre.
En fait, les bourrelets de marée sont entraînés par la rotation de la Terre, 
plus rapide que le
mouvement de la Lune sur son orbite et se trouvent donc décalés par rapport à 
la direction Terre--

Lune d'un angle ou (voir figure 7). La Lune exerce alors une action dont le 
moment sur les
bourrelets tend à freiner la rotation de la Terre. Le système Terre--Lune étant 
toujours considéré

1sole dans l'espace, son moment cmet1que total L (T ,L) se conserve. La 
d1mmut10n du moment

cinétique de rotation propre de la Terre est alors compensée par une 
augmentation du moment
cinétique orbital de la Lune et donc par une augmentation progressive de la 
distance Terre--Lune.
Cette troisième partie veut quantifier cet effet.

1. La surface de la Terre étant essentiellement recouverte par les océans, on 
modélise le
phénomène des marées par deux bourrelets d'eau symétriques de hauteur h formant 
un

ellipsoïde tangent à la sphère terrestre (voir figure 7). Calculer la masse m,, 
de l'ensemble des

deux bourrelets.

Données : Volume d'un ellipsoïde de demi grand axe a et de demi petit axe b : V 
= %nab2

Masse volumique de l'eau : p = 1000 kg m"3 h = 0,50m

2. On admettra que le moment en T des forces exercées par la Lune sur 
l'ensemble (Terre

sphérique + bourrelets) 9Vl peut s'écrire en première approximation 914 = W11 + 
M2 où 9141 et

_, _ ___--> _

fil; sont les moments en T des forces FI = %.CAH) et F2 : %°CL(PZ) résultant de 
l'action

de la Lune sur les pomts R et Pz de masse --ä'-- 51tues sur la dr01te de 
deformatmn max1male

_.

formant l'angle ou avec l'axe e,. .

Exprimer % en fonction de m,, et des vecteurs Oî(fi), ÎÏZ(Tä_) et T_H .

. . R --' , .
3. On admettra qu'en fa1sant l'hypothese que -- << 1 , 9Vl peut s'ecnre : 9Vl 
=------3---- ez

DL DL

où A=--â--Ç mb.mL.(R+h)2.On obtientpour oc=3°, M"=9Vl=4,5.101681.

. . . dû
a) JT gardant la même valeur définie dans la part1e Il, expnmer alors _ÆT_ et 
calculer sa

valeur numérique.

b) On appelle T la période de rotation propre terrestre. Exprimer fil en 
fonction de QT et

dt

dQT
dt
Comparer avec la valeur observée qui est de 1,65 .lO"5 secondes par an.

et calculer sa valeur numérique en secondes par an avec QT =7,29.10"5 rad s'].

c) En considérant l'expression du moment cinétique total L* (T ,L) du II-6-b, 
donner

d (DL)
dt
valeur observée qui est de 3,4 cm par an.

l'expression de et calculer sa valeur numérique en cm par an. Comparer avec la

âl

@
N'" 1
--------------------.>

Figure 7

Fin de l'énoncé.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 MP 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Stanislas Antczak et Cécile Ursini (Professeurs 
agrégés) ; il a été relu par Rémy Hervé (ENS Lyon) et Jean-David Picon (École 
Polytechnique).

Ce sujet est composé de deux parties indépendantes. La première porte sur la
thermodynamique, plus précisément sur les transferts thermiques, et la seconde 
sur
la mécanique.
La partie de thermodynamique propose l'étude de l'isolation d'une pièce grâce
à une vitre entourée d'un mur de béton, puis par une baie vitrée seule, et 
enfin au
moyen d'un double vitrage.
Elle fait appel à des points de cours concernant les transferts thermiques par
conduction, présents dans les premières questions (loi de Fourier et densité de 
courant
thermique). La suite nécessite plus de calcul et une certaine habileté à « 
jongler » avec
des puissances thermiques dissipées. Il s'agit aussi d'être très vigilant et de 
prendre
le temps de bien comprendre l'énoncé, qui est parfois un peu obscur. Toutefois, 
les
résultats à retrouver sont parfois donnés, ce qui peut permettre de ne pas 
rester
bloqué.
Dans ce genre de problème, il ne faut surtout pas négliger les applications 
numériques. D'une part, elles peuvent rapporter des points et d'autre part, 
elles permettent
de détecter des erreurs. En outre, c'est le but de ce sujet de pouvoir 
quantifier l'isolation thermique : les résultats se rapportent à la vie 
pratique et il est intéressant de
les discuter.
La partie mécanique étudie le système Terre-Lune et plus particulièrement les
effets de marée. Dans un premier temps, on explicite les termes de marée dus à 
la Lune
et au Soleil, avant de considérer la Lune seule. Ensuite, on étudie le moment 
cinétique
du système Terre-Lune et on résout le problème à deux corps dans le référentiel
barycentrique. On observe enfin le ralentissement de la Lune dans sa rotation 
autour
de la Terre, et donc son éloignement, du fait de la conservation du moment 
cinétique
de l'ensemble.
Les problèmes posés dans les deux premières sous-parties sont relativement 
classiques : termes de marée, problème à deux corps avec masse fictive, 
équation conique
d'un satellite, etc. Il faut toutefois être vigilant et ne pas avoir peur des 
calculs longs,
car il y a souvent beaucoup de termes, de sommes, de produits vectoriels et 
d'occasions de se tromper. Cependant, l'énoncé guide suffisamment les questions 
pour que
l'on ne perde pas le fil.
Le troisième mouvement de cette partie mécanique est peu calculatoire mais 
nécessite une fois de plus de ne pas négliger les applications numériques. 
L'aboutissement
de ce sujet, quantifiant l'allongement de la distance Terre-Lune sous l'effet 
des forces
de marée, est original et intéressant.

Indications
Thermodynamique

-
I.1.a J est la quantité d'énergie thermique qui passe à travers une surface de
contrôle par unité de temps et de surface.
I.2.a On peut faire l'analogie entre la résistance thermique et la résistance 
électrique
en partant soit de la définition, soit de l'expression trouvée.
h
I.4.a Poser u =
.
kT
I.4.c Considérer la différence entre le rayonnement sortant du corps et le 
rayonnement sortant de l'environnement.
I.4.d Que vaut le développement limité en 0 de (1 + x)4 ?
S
II.1.d Ne pas refaire tous les calculs, se servir de
.
S
II.2.a Que devient la puissance P0 ?
II.2.c Se souvenir qu'on peut faire apparaître T2 , Text ou Tciel 
indifféremment dans
l'expression de la résistance de rayonnement.
Mécanique
I.1 Les référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre.
I.3.a Faire apparaître la définition vectorielle de T comme centre de masse des 
points
Ai .
II.1.a Utiliser le théorème du moment cinétique barycentrique.
II.1.b Utiliser la symétrie sphérique de la Terre pour regrouper les termes de 
la
somme, qui s'annulent deux à deux.
II.2.a Comme à la question I.3.a, faire apparaître la définition vectorielle de 
T.
II.5.a Commencer par écrire la relation fondamentale de la dynamique et la 
projeter
d

sur -
er et -
e , puis montrer que r2
est constant grâce à la conservation du
dt

-
moment cinétique L orb . Utiliser cette expression pour éliminer  dans l'une des
expressions issues du principe fondamental de la dynamique. Enfin, procéder
au changement de variable proposé par l'énoncé et intégrer.
II.5.c Revenir au principe fondamental de la dynamique en considérant r = DL
constant.

Thermodynamique
I.

Étude préliminaire

-
I.1.a J (x, t) est le vecteur densité de courant thermique. Ici, ce vecteur est 
orienté

suivant -
ex et sa mesure algébrique sur -
ex est appelée J(x, t). C'est une densité de
courant thermique, donc c'est une grandeur qui rend compte de la quantité 
d'énergie
thermique (chaleur) qui passe dans une direction, par unité de temps et de 
surface.
L'unité d'une telle grandeur doit donc être celle d'une énergie par unité de 
temps
et par unité de surface, soit le J.s-1 .m-2 , que l'on peut aussi écrire W.m-2 .
Avec les notations de l'énoncé, on peut écrire la loi de Fourier ainsi :

-
--
J (x, t) = - grad T(x, t)
I.1.b Effectuer un bilan énergétique sur un volume de matériau signifie :
· calculer la variation d'énergie interne dU de cette portion de matériau 
pendant
un laps de temps dt ;
· faire le bilan des entrées et sorties d'énergie thermique Q sur le volume 
pendant
le même temps ;
· égaler ces deux grandeurs grâce au premier principe de la thermodynamique
(dU = Q).
La variation d'énergie interne du volume choisi peut être reliée à la variation 
de
température dT grâce à la capacité thermique massique c de la manière suivante :
dU = dm c dT, où dm =  Sdx est la masse du volume élémentaire choisi.

-

J (x) 

-
J (x + dx)

S

x

dU

x=0

x

x + dx

x=L

D'après la question précédente, il entre du côté gauche une énergie thermique
J(x, t) S dt et il sort de l'autre côté J(x + dx, t) S dt. La variation 
d'énergie thermique
de la tranche est donc Q = J(x, t) S dt - J(x + dx, t) S dt. On considère ici 
la chaleur
gagnée par le système, donc ce qui entre moins ce qui sort.
Notons qu'il n'y a aucune énergie thermique qui peut entrer ou sortir par les
surfaces latérales, puisque l'énoncé assure qu'elles sont isolées thermiquement.
On utilise le premier principe de la thermodynamique pour relier les deux 
expressions obtenues : dU = Q conduit à
 S dx c dT = J(x, t) S dt - J(x + dx, t) S dt
 
J
 S dx c dT = -
(x, t)dx S dt
x

T
J
c
=-
(x, t)
t
x
On utilise la loi de Fourier, énoncée à la question précédente, pour faire 
apparaître
la température dans le deuxième membre de l'équation différentielle. On obtient

 c T
2T
=

t
x2

I.1.c Se placer en régime stationnaire revient ici à annuler la dépendance 
temporelle
de toutes les grandeurs. En particulier, les dérivées partielles par rapport au 
temps
sont nulles. L'équation ci-dessus devient donc
2T
=0
x2
Ceci s'intègre facilement en une équation affine du type T(x) = ax + b, où a et 
b
sont des coefficients que l'on calcule à l'aide des conditions aux limites.
(
T(0) = T0
T(L) = TL

Cela donne un système de deux équations à deux inconnues a et b, que l'on 
résout.

TL - T0

a=
L
b = T
0
La loi de variation de la température est donc
T(x) =

TL - T0
x + T0
L

Pour trouver J(x), on applique la loi de Fourier J(x) = -
J(x) = -

T
et l'on obtient
x

TL - T0
L

Ce vecteur densité de courant est donc uniforme : il ne dépend pas de
x. Ceci est parfaitement normal ; c'est le contraire qui aurait été inquiétant :
en régime stationnaire, il y a une certaine quantité de chaleur, toujours la
même, qui va d'une extrémité à l'autre du matériau. On n'en perd pas sur
les côtés puisque les parois latérales sont isolées, et il n'y a accumulation
nulle part, sinon le régime ne serait pas stationnaire. Le seul moyen est que
l'énergie thermique qui traverse une section en un instant donné se retrouve
intégralement un peu plus loin et un peu plus tard, ce qui signifie que le
courant est constant. Cela n'est vrai que parce que le matériau est invariant
par translation (s'il y avait des variations de section, par exemple, cela ne
serait plus vrai).
On remarque d'autre part que ce courant est d'autant plus grand que la
différence de température entre les extrémités est grande et que la distance à
parcourir est petite, et qu'il va du chaud vers le froid. Tout ceci est conforme
à la loi de Fourier.
I.2.a Pth est le flux thermique à travers la section S, c'est donc l'intégrale 
du vecteur
densité de courant sur la surface considérée, autrement dit la puissance totale 
qui
passe à travers cette surface. Le courant J étant constant sur la section de 
surface S,
on obtient
S
Pth = S J = -
(TL - T0 )
L
Par identification avec la forme proposée T0 - TL = Rth Pth , il vient
Rth =

L
S