CCP Physique 1 MP 2002

Thème de l'épreuve Étude d'un climatiseur pour avion pressurisé. Étude d'un horizon artificiel.
Principaux outils utilisés thermodynamique, mécanique dans un repère non galiléen
Mots clefs loi de Fourier, principes de la thermodynamique, machines thermiques, force d'inertie, gyroscope, loi de Laplace, référentiel non galiléen

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                             

Rapport du jury

(PDF non trouvé ! |/net/www/doc-solus.fr/www//prepa/sci/adc/pdf/rapports.pdf/2002/MP_PHYSIQUE_CCP_1_2002.rapport.pdf|)

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2002 A MPP105
CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa

\

copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené a
prendre.

***

A. Thermodynamique : étude d'un climatiseur pour avion pressurisé

Les avions de ligne actuels subissent des conditions variées. Dans ce problème, 
on considérera
deux situations :
-- Altitude de croisière (de l'ordre de 10000 m): l'air est très froid 
(température extérieure

Te = 215 K) et la pression très faible (pression extérieure pe : 25><103 Pa ).

-- Au sol : la pression est normale ( pe =105 Pa ), mais il peut être 
nécessaire de refroidir la

cabine en été ou dans les pays chauds. On prendra Te : 308 K .

D'autre part, pour assurer le confort des passagers, il faut renouveler l'air 
dans l'avion. Le débit
volumique à fournir est dp : 280 litres par minute et par passager, à une 
pression pc : 105 Pa

(pour simplifier, on considère que cette valeur ne varie pas avec l'altitude de 
l'avion) et une
température TC : 293 K. C'est le but de l'appareil étudié dans ce problème, qui 
sera nommé

conditionneur d'air dans la suite, que de prélever l'air à l'extérieur et de 
faire circuler le débit
prescrit en maintenant l'air de la cabine à la température TC et à la pression 
pc.

Dans une première partie, on analyse les pertes thermiques et on effectue un 
bilan énergétique de
l'air de la cabine. Dans une deuxième partie, on cherche le travail minimal à 
fournir pour

maintenir TC et pc avec le débit d'air prescrit. Enfin, la troisième partie est 
une étude d'un

dispositif effectivement utilisé. Dans tout le problème, on n'envisagera que le 
régime stationnaire.

Tournez la page S.V.P.

A.I. Bilan énergétique de la cabine

\

On assimile la cabine a un cylindre de diamètre intérieur D = 5 m, de longueur 
L=3O m et
d'épaisseur E = 0,1 m, plongé dans une atmosphère extérieure à température 
uniforme Te. Pour

les échanges énergétiques avec l'extérieur, on ne considère que la conduction 
thermique à travers
les parois du cylindre (en négligeant la conduction par les coins) et on 
supposera les contacts
thermiques entre l'air extérieur et la paroi extérieure d'une part et l'air 
intérieur et la paroi
intérieure d'autre part comme parfaits (pas de différence de température entre 
la paroi et l'air
ambiant). La conductivité thermique est  : 0,151 .

Figure 1 : Schéma de la cabine

De plus, chaque passager dégage une puissance thermique P,) = 75 W. Le nombre 
de passagers est
N p = 150.

A.I.l) Écrire explicitement l'unité de À.

A.I.2) On s'intéresse d'abord aux parois de la base du cylindre. En supposant 
que la température
en un point de la paroi n'est fonction que de la variable z selon l'axe du 
cylindre,

exprimer la différence de température Te --Tc en fonction de la puissance 
thermique

((D...)b traversant la base du cylindre (comptée positivement de l'extérieur 
vers
l'intérieur) et de À, D et E.

A.I.3) Pour le transfert à travers la paroi cylindrique, on suppose que la 
température ne dépend
que de la distance [) à l'axe du cylindre. Calculer de nouveau Te --TC en 
fonction

maintenant de la puissance thermique (< g ?

B.II. Approximation gyroscopique

On considère un solide de révolution de moment d'inertie I par rapport à son 
axe de révolution.
On note 11 le vecteur unitaire porté par cet axe. Le montage est tel que 
l'orientation de u est libre

mais que le centre de masse A du solide est lié à l'avion. Ce type de montage 
est appelé
gyroscope.

On introduit le référentiel du centre de masse du solide RCM (Axyz ).

Un moteur impose au solide une vitesse angulaire de rotation Q=Qu par rapport à 
RCM
(Q = 12000 tours/min maintenue constante).

Le moment cinétique en A du solide par rapport à RCM est noté L . On peut 
considérer avec une
très bonne approximation que L = Lu , même si la direction de u est variable au 
cours du temps

(approximation gyroscopique).
B.II.1) Quelle est l'unité de I '?

B.II.2) Équation d'évolution de u : on suppose que des forces extérieures 
exercent sur le
gyroscope un moment en A noté M.
3) Écrire L en fonction de 52.
b) En appliquant le théorème du moment cinétique dans RCM, donner l'équation 
d'évolution
de L . En déduire que :

du M

ÎJÎ Î

RCM

B.III. Système érecteur

Du fait de sa stabilité, le gyroscope gardera assez longtemps une direction 
fixe dans l'espace.
Toutefois, cette direction n'est pas la verticale. Il faudrait donc ramener u 
sur ez.

Malheureusement, il n'y a aucun système mécanique lié à l'avion qui puisse 
faire la différence
entre la verticale apparente (ez ) et la verticale vraie (eZ ). La seule chose 
possible est de
a

construire un dispositif tendant à ramener 11 sur ez . En effet, en moyenne, eZ 
est confondu avec
a

a

ez. Si le dispositif ramenant 11 sur ez est suffisamment lent, u restera 
toujours proche de el.

a

Un tel dispositif s'appelle « système érecteur ».

B.III.1) Détermination du moment à appliquer

Figure 6 : u doit être ramené vers la verticale apparente.

a) En vous aidant de la figure 6, déterminer la direction du moment M appliqué 
au
gyroscope pour que u soit ramené vers ez .

a

L . .
b) Vérifier que M = -- [ez -- (u - eza )u] est dans la bonne direction. Quelle 
est l'unité de la

T a
constante T ?

B.III.2) Évolution de u : le système érecteur applique en permanence au 
gyroscope le moment
M ci--dessus, avec une constante 7: = 360 81 .

a) On note [3 l'angle (ela ,u). On suppose eza fixe dans RCM (avion en ligne 
droite). Écrire

l'équation différentielle pour [3 .
b) Vérifier que la solution est donnée par tan(,B / 2) : tan(flO/2)exp(-- t/T).

B.IV. Comportement de l'horizon artificiel en virage

L'avion, muni de son horizon artificiel à système érecteur, effectue maintenant 
un virage à droite
dans le plan horizontal avec une inclinaison 9 = 30 ° et une vitesse constante 
(comme au BJ). La

vitesse est telle que l'avion effectue un tour complet en 2 mn. On se place 
dans le repère Ra lié à

Tournez la page S.V.P.

10

l'avion. La vitesse de rotation de ce repère par rapport à R est notée Qa. On 
suppose qu'au début

du v1rage, u : ez .

B.IV.1) Montrer que 323 : Qaez, où Qa est une constante positive. Calculer 
numériquement le

produit QaT qui servira dans la suite du problème.
B.IV.2) Montrer que Qa est aussi le vecteur rotation de Ra par rapport à RCM.

B.IV.3) Écrire l'équation d'évolution de u par rapport à Ra.

B.IV.4) On cherche une solution stationnaire de l'équation précédente, 
c'est-à--dire telle que 11
soit fixe dans Ra. Pour cela, on repère le vecteur u par les angles sphériques 
a et ,B , où

[3 est le même que précédemment et O! est l'angle entre eX et la projection de 
11 sur le

plan (eXa ,eya ).

Figure 7 : définition des angles 06 et fl.

a) Projeter l'équation donnant la solution stationnaire sur ey et ez .
a a

b) Exprimer sind et cosa en fonction de 6 , ,B et QaT .
c) En déduire une équation pour sin ,8 ne faisant intervenir que sin 9 et {lat .

(1) Montrer que, avec la valeur calculée précédemment de QaT , sin fi est très 
proche de

sin6.
e) Montrer que u--ez est dirigé suivant eX avec une très bonne approximation et 
en
a

déduire l'angle entre u et ez. Application numérique. Un pilote est sensible à 
une
déviation de l'ordre du degré sur l'horizon artificiel. Conclusion.

Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 MP 2002 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Christophe Lepage (doctorant) ; il a été relu par
Jean-David Picon (École Polytechnique) et Vincent Fourmond (ENS Ulm).

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants ayant pour point commun
l'aéronautique.
Le premier problème consiste en l'étude d'un climatiseur pour avion pressurisé.
Il couvre l'essentiel du programme de thermodynamique.
· La première partie concerne la conduction thermique et les pertes thermiques
à travers les parois.
· Le premier et le second principe de la thermodynamique appliqués aux machines
thermiques sont approfondis dans la deuxième partie.
· La troisième partie permet l'application des lois démontrées précédemment à
chaque partie du climatiseur, afin d'effectuer un bilan sur l'ensemble du 
système.
Le second problème étudie le fonctionnement d'un gyroscope. Il est, de loin, 
plus
calculatoire que le précédent. Il ne nécessite pas de connaissances préalables 
sur
l'appareil, mais des notions de mécanique dans un référentiel non galiléen.
· L'application du principe fondamental de la mécanique dans ce type de 
référentiel est étudiée dans la première partie.
· La deuxième partie introduit l'approximation gyroscopique.
· La troisième éclaire sur un dispositif de correction du gyroscope concernant
l'affichage de la verticale.
· Enfin, son comportement au cours d'un virage est étudié dans la quatrième
partie.
Ce problème permet de comprendre comment un gyroscope détermine la position
d'un avion par rapport à l'horizontale, et ceci quel que soit le mouvement.
Ce sujet recèle plusieurs questions ambiguës quant au résultat attendu, à la 
manière de les traiter ou bien à la définition des grandeurs.

Indications
Partie A
A.I.2 Dans la loi de Fourier, exprimer la densité de flux thermique en fonction
de la puissance et de la surface.
A.I.3 Poser l'équation différentielle issue de la loi de Fourier avant de la 
résoudre
car la variation de la température n'est plus linéaire à travers la paroi.
A.I.5 Réaliser un bilan des puissances échangées avec la cabine.
A.II.2 Utiliser la loi des gaz parfaits.
A.II.3.c Appliquer le premier principe de la thermodynamique avec les 
expressions
du travail trouvées dans les questions précédentes.
A.II.4.c Établir la relation demandée à partir des résultats des questions 
A.II.4.b
et A.II.3.c.
A.II.5.a Utiliser la relation dH = TdS + VdP comme point de départ.
A.II.5.b Calculer S et Séchangée.
A.III.1 Q2 et Pt correspondent à des phénomènes opposés.
A.III.2.b Utiliser la loi de Laplace en énonçant les conditions d'application.
A.III.3.a Réaliser un encadrement de T2 .
A.III.5.b Ne pas oublier la relation obtenue à la question A.III.2.c avec pc = 
pe .

Partie B
B.I.1 Inclure les forces de repère.
B.I.4.b Appliquer le PDF au pilote en incluant la force qui le maintient 
immobile.
-

B.III.1.a Dessiner d
u =-
u (t + dt) - -
u (t).
B.III.2.a Projeter l'équation différentielle de la question B.II.2.b sur -
e
za .
B.IV.1 Pour le signe, utiliser la règle de la main droite.
B.IV.3 Utiliser les formules de dérivation dans les repères tournants.

B.IV.4.e Déterminer les composantes de -
u --
e dans R .
z

a

A.

Thermodynamique : étude d'un climatiseur pour
avion pressurisé
A.I

Bilan énergétique de la cabine

A.I.1  est la conductivité thermique et se mesure, dans le Système International
en watts par mètre par Kelvin (W.m-1 .K-1 ).
On peut retrouver l'unité de la conductivité thermique grâce à la loi de
Fourier.

-
--
 = - grad T

-
·  : densité de courant thermique W.m-2

--
· grad T : gradient de température K.m-1
A.I.2 Le problème est étudié en régime stationnaire. Les variables sont donc 
indépendantes du temps. La loi de Fourier est par conséquent applicable et l'on 
obtient
avec la convention de signe de l'énoncé

-
--
 = - grad T
La variable T ne dépend que de z, d'où
dT
dz
Il y a conservation du flux à travers la base. Le gradient de température est 
donc
uniforme, et la température affine au travers de la base.
=

dT
Te - Tc
=
dz
E
Si (th ) b est la puissance thermique à travers une des deux bases, on a
=
On en déduit

donc

(th )b
Sbase

(th )b
Te - Tc
=
E
D2

4
Te - Tc =

4E (th )b
D2 

Démontrons que le flux à travers la base est constant. Pendant un intervalle de
temps t, l'énergie entrant sous forme de chaleur dans la base de surface S à
l'abscisse z est égale à  (z) St, tandis que que l'énergie sortant sous forme
de chaleur de la même base à l'abscisse z + z dans le même intervalle
de temps a pour valeur  (z + z) St. L'évolution se faisant sans apport

d'énergie sous forme de travail, l'énergie interne U du système de volume
Sz varie donc, dans l'intervalle de temps t, de la quantité
U (t + t) - U (t) = ( (z) -  (z + z)) St
Ceci correspond à une variation de l'énergie volumique qui s'écrit

UV
 (z + z) -  (z)
=-
t
z
Lorsqu'on fait tendre z et t vers 0, on obtient la relation entre les dérivées
partielles traduisant localement la loi de conservation de l'énergie, que l'on
appelle équation de continuité :
UV

=-
t
z
En régime stationnaire, on vérifie ainsi que le flux thermique à travers la base
ne dépend pas de z.
A.I.3 De même, la puissance est la même à travers n'importe quelle section 
cylindrique de rayon . La température, quant à elle, ne dépend que de , d'où
dT
(th )c
=
Slatérale
d
(th )c
dT
=
2L
d
(th )c d
Séparons les variables
dT =
2L 
Intégrons cette équation entre la paroi extérieure et la paroi intérieure :
soit

Te - Tc =

d'où

Te - Tc =

(th )c e
ln
2L
c

(th )c D + 2E
ln
2L
D

A.I.4 La puissance thermique totale traversant la paroi de la cabine est égale
à la somme de la puissance thermique transmise à travers les différentes 
surfaces.
Par conséquent,
(th )t = 2 (th )b + (th )c
D2
2L
=
(Te - Tc ) +
(Te - Tc )
D + 2E
2E
ln
D

(th )t = a (Te - Tc )

avec

 D2
a =  
 2E +

ln

2L
  = 520 W.K-1
D + 2E 
D

a est aussi appelé conductance thermique par analogie à la conductance en
électricité. Si l'on fait correspondre l'intensité électrique à la puissance 
thermique totale, ainsi que la différence de potentiel à celle de la 
température,
on retrouve alors la loi d'Ohm I = GU avec G la conductance électrique.