CCP Physique 1 MP 2001

Thème de l'épreuve Exemple simple de servomécanisme à bifurcation mécanique. Influence du rayonnement et de la gravitation dans l'étude d'un gaz parfait.
Principaux outils utilisés mécanique du point, mécanique du solide, thermodynamique

Corrigé

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SESSION 2001 MPOO5

A

CONCOURS (0MMUNS POLYÏE(HNIOUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

PHYSIQUE 1

DURÉE : 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous 
réserve des conditions
définies dans la circulaire n°99-186 du 16.11.99.

Conformément à l'usage international, les vecteurs sont représentés en gras et 
la dérivée par

rapport au temps d'une grandeur par un point placé au-dessus de la lettre 
représentant cette
grandeur.

On donne les constantes physiques suivantes, en unité SI :

Nombre d'Avogadro : NA : 6,02><1023mor1

Constante universelle des gaz parfaits : R : 8,314].K"'mol"1

Vitesse de la lumière dans le vide : c : 3><108 m.s'1

Constante de Boltzmann : kB : 1,38X10_23J.K_1
Constante de Planck : h z 6,626X10"34J.s

A. Un exemple simple de servomécanisme à bifurcation mécanique

\

On se propose d'étudier un système mécanique déformable constituant un 
servomécanisme a

bifurcation. Ce servomécanisme, de type régulateur à boules, fut inventé par 
l'ingénieur écossais
J. Watt en 1788.

On considère le système déformable 5d représenté sur la figure Al. Il est 
constitué d'un losange
plan articulé OAIBA2, de côté 1: 0,3m, qui peut tourner autour de sa diagonale 
verticale OB.
L'extrémité supérieure 0 est fixée au bâti extérieur @, auquel est associé le 
référentiel du

laboratoire K(Oxyz), supposé galiléen, alors que l'extrémité basse B peut 
coulisser librement sur
l'axe vertical descendant Oz du référentiel.

L'autre diagonale du losange, horizontale, porte à ses extrémités deux 
masselottes identiques A1 et
A2, de masse rn : 0,5 kg . Toutes les autres masses du système sont 
négligeables devant m.

Tournez la page S.V.P.

On désigne par Ozx' le plan du référentiel tournant £R_'(Ox'y'z) associé au 
losange (plan de la

figure Al), par g le champ de pesanteur terrestre, de valeur g=9,81m.s"2, par 9 
l'angle

(Oz,OA1) que fait la tige OAI avec Oz et par (p l'angle (Ox,Ox'). Dans tout le 
problème, on
supposera que 9 varie entre 0 et 1r/2 .

Figure Ala} : Vue de face Figure Albz : Vue de dessus

1. Liaisons

On distingue, d'une part les liaisons entre 5d et @, d'autre part les liaisons 
entre les différentes

parties de 5d . Toutes les liaisons intérieures et extérieures sont supposées 
parfaites.

a) Que peut--on dire de la puissance totale des actions intérieures de contact 
entre les différentes
parties de Sd ? Sa valeur dépend-elle du référentiel considéré ? Pourquoi ?

b) Quelle est la valeur de la projection selon Oz du moment FO des actions de 
contact de $ sur
Sd GI] 0 ?

2. Solide tournant

En fixant l'extrémité B sur l'axe Oz et en supprimant les tiges OA2 et A28 du 
losange, on obtient

le solide OAl,B (figure A2). On communique initialement à ce solide 5 une 
vitesse angulaire (po
autour de l'axe de rotation Oz.

Figure A2

a) Exprimer, dans la base de R', en fonction de 9 et de (i), les vecteurs 
quantité de
mouvement P et moment cinétique La en 0, par rapport a R.

b) On désigne par R et F0 la somme et le moment des actions de contact 
qu'exerce @ sur 5. A

l'aide des théorèmes de la quantité de mouvement et du moment cinétique en O, 
appliqués à
ce solide en rotation autour de Oz, trouver les expressions vectorielles des 
actions de contact
--R et ---- 1"O qu'exerce réciproquement le solide en rotation sur l'axe Oz, en 
fonction des

dérivées dans R, dP/dt, dLO/dt et de la pesanteur.

c) Montrer que, si l'on veut rendre ---- R indépendant du mouvement de rotation 
autour de l'axe
vertical, et diriger --FO selon l'axe de rotation, il est préférable d'utiliser 
un solide

symétrique tel que le losange OAlBA2 plutôt que sa moitié OAlB. Que deviennent 
les
expressions vectorielles de --R et -- FO si le solide est le losange OAIBA2 ? 
Que peut-on
dire de (p, sachant que les liaisons sont parfaites ?

(1) Quelle est, en fonction de 9 et (p, l'expression de l'énergie cinétique E k 
du solide--losange
OAIBA2 ? Retrouver le résultat précédent, concernant (p, a l'aide de l'énergie.

3. Système déformable astreint à tourner uniformément

L'extrémité B peut coulisser sans frottement le long de l'axe de rotation. Un 
moteur impose, au
plan Ozx' du losange déformable OAIBA2, un vecteur vitesse angulaire de 
rotation constant

Q : QeZ par rapport à K, en exerçant le moment M... : Mm eZ en 0 (figure A3).

Moteur électrique

Figure A3

a) Quelle est, en fonction de Q et M la puissance fournie par le moteur au 
système articulé

5}; dans K?

Que vaut cette puissance dans le référentiel R' lié au plan du losange ?

HI '

L'énergie mécanique de Sd se conserve--t-elle dans R? Pourquoi ?

Tournez la page S.V.P.

. . , . . , . , , , . /
b) Etablir l'expressron de l'energ1e crnetrque E k de &, par rapport au 
referentrel tournant K ,
en fonction de 9 .

c) Trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur E p, du système, 
en fonction

de 6 . On prendra l'origine de cette énergie en 9 = n / 2 .

8

(1) Montrer que, dans le référentiel R'tournant à la vitesse angulaire 
constante Q, on doit tenir
compte d'une énergie potentielle supplémentaire, d'expression : E;,,c : 
--ocm12£22sin2 9, si
son origine est prise en 9 = 0, OL étant un facteur numérique que l'on 
déterminera. Quelle
est la nature physique de cette énergie potentielle ?

e) L'énergie potentielle totale E}, dans R' peut se mettre sous la forme :

"2
E;, : EO --cos9-- Îsin2 9

E0 et u étant deux quantités positives que l'on exprimera en fonction de m, g, 
[, Q et

000 = (g /l )1/2. Calculer E0 et (no en précisant leurs unités SI.

4. Positions d'équilibre du système astreint à tourner uniformément

3) Quelles sont les positions d'équilibre de Sd dans R', en rotation uniforme à 
la vitesse

angulaire Q '? Représenter, dans les trois cas, u << 1, u >> 1 et u : \/î , le 
graphe de
f(9)=E;,/EQ pour OS BSR/2.

b) Etudier la stabilité des positions d'équilibre. Représenter l'allure du 
graphe donnant la
variation de la position d'équilibre stable Ge de Sd en fonction de u. On veut 
que la position

d'équilibre stable soit Ge =45°. Quelle est, en tour par minute, la vitesse de 
rotation
Q correspondante ? Application numérique.

5. Influence d'un ressort vertical

Entre le point inférieur B du losange articulé et un point fixe F situé sur 
l'axe de rotation Oz, à une
distance h de 0, on place un ressort, de raideur K et de longueur à vide 10 
(Figure A4). On règle la

position de F de telle sorte que h : lo + 21 .

2 .
a) On introduit la quantité (1), = (K / rn)"2 et 112 : 2(oe, /oe0) . Quelles 
sont, en fonction de 9,

les expressions de l'énergie potentielle élastique introduite par le ressort et 
de l'énergie
potentielle totale du système ?

b) Trouver, en fonction de u et 11, les nouvelles positions d'équilibre du 
système lorsque le
moteur impose la vitesse de rotation constante Q . Etudier leur stabilité.

c) Etablir, en fonction de l, u et 11 , l'allongement Alr du ressort, pour une 
position d'équilibre
différente de 6 = 0 .

(1) On se place dans le cas où oer : (DO. Quelle doit être la nouvelle vitesse 
de rotation Q pour
que la position 9 : 45° soit à nouveau une position d'équilibre stable ?

Moteur électrique

B. Influence du ra onnement et de la ravitation dans l'étude d'un az arfait

On se propose d'étudier l'influence du rayonnement et de l'interaction 
gravitationnelle mutuelle
sur le comportement d'un gaz parfait. Cette influence joue un rôle essentiel en 
astrophysique.

1. Energie interne et entropie d'un gaz parfait monoatomique

a) A l'aide de considérations simples, retrouver l'expression U : 3n RT/ 2 de 
l'énergie interne

de n moles d'un gaz parfait monoatomique, en fonction de la température 
thermodynamique

T. En déduire la capacité thermique molaire à volume constant CV... du gaz, 
ainsi que sa

capacité thermique molaire a pression constante. Quelle est la valeur du rapport
Y= Cpm/Cvm ?

b) Etablir l'expression de l'entropie de n moles d'un gaz parfait monoatomique, 
en fonction de

la température T et du volume V. Commenter le rôle de la constante additive qui 
apparaît
dans cette expression.

0) Le gaz parfait considéré se détend au cours d'une évolution réversible 
isentropique. Etablir
la relation entre T et V. Calculer la variation de température d'un gaz 
parfait, dont la

température initiale est Ti : 200K , lorsque son volume est multiplié par dix.

Tournez la page S.V.P.

d) Le gaz reçoit de la chaleur d'une seule source extérieure, de telle sorte 
que son évolution soit
réversible. Cette évolution est donc isotherme, à la température T de la 
source. Effectuer un
bilan énergétique et un bilan entropique pour une mole d'un gaz parfait 
monoatomique
subissant, à la température T=3OOK, une détente, au cours de laquelle son 
volume est

multiplié par dix. On constate que le gaz fournit du travail alors qu'il est en 
relation avec une
seule source. Un tel résultat n'est pas en contradiction avec l'énoncé de Lord 
Kelv1n du
deuxième principe de la thermodynamique. Pourquoi '?

e) On considère un système isolé 5, constitué de deux compartiments 51 et 52, 
remplis

d'argon, séparés par une cloison diatherme, rigide et fixe ; initialement, les 
compartiments,
de même volume, contenaient chacun une mole de gaz à des températures 
différentes. On

admet que l'énergie interne et l'entropie de 5 se mettent sous la forme de 
sommes des

énergies internes et des entropies des deux parties. Rappeler l'expression 
générale reliant les
différentielles de l'entropie, de l'énergie interne et du volume, pour un 
système
thermodynamique. Montrer, en appliquant les deux premiers princ1pes de la

thermodynamique, que la variation élémentaire d'entropie dS du système 5 a pour
expression:

_ _1____1_
ds_C(Tl T2 )dU1

dU ] étant la variation d'énergie interne de 51, T1 et T2 les températures 
respectives de 51 et

52 ; C est un facteur que l'on déterminera. En déduire le sens des échanges 
thermiques et la

condition d'équilibre thermique. Le système est stable si la dérivée seconde de 
S par rapport
à U 1 est négative à l'équilibre thermique. Exprimer, en fonction de la 
capacité thermique

molaire à volume constant C... de l'argon, la dérivée seconde de S par rapport 
à U 1 à

l'équilibre thermique. En déduire la condition à laquelle doit satisfaire C... 
pour que le
système soit stable.

2. Thermodynamique du rayonnement

Au rayonnement émis par un corps noir, dont l'énergie électromagnétique 
volumique totale est w,
correspond un gaz de photons dont la pression de radiation est :
w

pï'_3

a) On établit la relation générale suivante entre énergie interne U et pression 
p :

(fi) =T.a£_ ...--p
BV T BT V

V étant le volume et T la température. En l'appliquant au rayonnement pour 
lequel

U = U , : wV, où w ne dépend que de T, en déduire que : w : aT4, a étant un 
coefficient
dont on précisera l'unité SI.

\

b) On rappelle l'expression de l'énergie électromagnétique volumique spectrale 
W,, a la
température T, donnée par la loi de Planck :

V c" exp(Bhv)--l

Quelle est la signification physique de B '? Calculer l'énergie 
électromagnétique volumique
totale w. On utilisera la valeur numérique de l'intégrale suivante :

W

a 4

oo x" "R
J...dx=_
0expx--l 15

Relier a aux constantes fondamentales de la physique et calculer sa valeur SI.

. ., . 3 ,
c) Montrer que l'entrop1e assoc1ee au rayonnement a pour express1on S =AT V, a 
une
constante additive près, A étant une constante que l'on déterminera en fonction 
de a. En

, . , . . . . , , . ,---1 _
déduire qu un rayonnement 1sentrop1que satisfait a une equation de la forme TVY 
-- Cte,
y,. étant un facteur que l'on calculera.

3. Thermodynamique d'un gaz parfait en présence de rayonnement

On considère un système de n moles d'un gaz parfait contenu dans une enceinte 
de volume V. Le
rayonnement électromagnétique dans ce récipient est celui d'un gaz de photons 
en équilibre
thermique avec le gaz parfait, à la température T. On admet que l'énergie 
interne et la press1on

s'obtiennent en ajoutant l'énergie interne de rayonnement U, et la pression de 
rayonnement p,,

aux quantités analogues U et pg}, relatives au gaz parfait :

gp
U=ng+Ur et p=pgp+pr

Dans la suite, on désigne par y le rapport des capacités thermiques à pression 
et volume constants
pour le gaz parfait et par oc le rapport de la pression pg}, sur la pression 
totale p.

a) En appliquant les deux premiers principes de la thermodynamique à une 
évolution réversible
élémentaire, établir l'expression suivante de la variation élémentaire de 
l'entropie du
système :

KdS =Y-- pÆ+12p, dT+(p

T Y--1 g,,+4p,)dV

K étant une quantité dont on donnera la dimension physique et que l'on 
exprimera en
fonction de la température.

b) En déduire l'expression de l'entropie du système. Le résultat obtenu 
était--il prévisible ?

EUR) Trouver, en fonction de oc et y, l'expression du facteur 1", tel que, au 
cours d'une évolution
isentropique, on ait : dT/T + (F -- l)dV/V : O .
Tournez la page S.V.P.

(1) Quelles sont alors les valeurs de F pour oc : l et pour oc : O ? Pour oc = 
1 , on envisagera les
cas des gaz parfaits monoatomiques et diatomiques.

4. Thermodynamique d'un gaz parfait autogravitant.

Un gaz parfait est dit autogravitant lorsqu'on doit tenir compte de 
l'interaction gravitationnelle
mutuelle entre les particules qui le constituent. On admet les deux hypothèses 
suivantes :

i) L'énergie interne totale U est la somme de l'énergie interne du gaz parfait 
U gp et de l'énergie

potentielle d'interaction gravitationnelle E I,, g .

ii) Dans le référentiel du centre de masse du système, il existe, entre 
l'énergie cinétique Ek,

associée aux mouvements des centres de masse des particules, et son énergie 
potentielle de

gravitation E I,, g , la relation suivante :

215, + E,,g : 0

3) Montrer que cette dernière relation est précisément celle qui existe entre 
l'énergie cinétique
et l'énergie potentielle de gravitation d'un satellite en mouvement circulaire 
uniforme autour
de la Terre, par rapport au référentiel géocentrique. Commenter, dans ce cas, 
la phrase
apparemment paradoxale suivante : « La vitesse du satellite augmente lorsqu'il 
est soumis à
une force de freinage ».

b) On rappelle les relations E k : 3nRT/ 2 et U gp : nC T entre E k, U

T. Etablir l'expression suivante de l'énergie interne totale U du système :
U : nBT(4 - 3y)

et la température

vm gp

n étant le nombre de moles et B un coefficient que l'on exprimera en fonction 
de C... .

c) Trouver la capacité thermique molaire à volume constant Cân , obtenue en 
tenant compte de
la gravitation, en fonction de y et Cvm. Etudier les cas où 7 = 5/ 3 et y = 7/5 
. Commenter

à l'aide du résultat obtenu àla question B 1 .e.

Fin de l'énoncé.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 MP 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (ENS Lyon) ; il a été relu par 
Florent
Tournus (ENS Lyon) et Pierre Flauder (ENS Lyon).

Ce sujet se compose de deux problèmes totalement indépendants. Il est d'une
longueur raisonnable et ne comporte ni questions trop calculatoires, ni 
difficultés
insurmontables.
· Le premier problème est un problème de mécanique. Le système considéré est
un régulateur de vitesse, de conception simple. Après quelques considérations
sur les liaisons présentes dans le problème, on étudie plus particulièrement la
bifurcation qui peut apparaître lorsqu'on utilise ce dispositif. Aucune 
connaissance sur les bifurcations n'est requise et l'énoncé est très directif.
· Le second problème aborde différents points de thermodynamique. Une première 
question est consacrée à la thermodynamique du gaz parfait puis une
seconde est consacrée au rayonnement thermique. Une troisième utilise les 
résultats des deux questions précédentes pour étudier un gaz parfait en présence
d'un rayonnement. La dernière question, consacrée à l'étude d'un gaz parfait
en prenant en compte la gravité, permet de montrer qu'un tel système est
thermodynamiquement instable.

Indications

Problème A
A.1.a La puissance d'un torseur nul ne dépend pas du référentiel dans lequel on 
la
calcule.
A.2 Il faut être particulièrement attentif à la différence qui existe entre 
référentiel
et repère pour aborder cet ensemble de quatre sous-questions.
A.2.b Appliquer la relation fondamentale de la dynamique et le théorème du 
moment
cinétique dans R.
A.3.b Dans R , A1 (respectivement A2 ) est en rotation autour de O à la vitesse
angulaire  (respectivement -).
A.3.c Attention, la verticale est orientée vers le bas.
A.3.d Il faut considérer les forces d'inertie puisque R n'est pas galiléen et 
notamment
la force d'inertie d'entraînement, qui dérive ici d'un potentiel.
A.4.a Les positions d'équilibre correspondent aux extremums de l'énergie 
potentielle.
Une position d'équilibre est stable s'il s'agit d'un minimum de l'énergie 
potentielle.
Problème B
B.1.a On rappelle que
 lacapacité thermique molaire à volume constant
 est définie
1 H
1 U
et celle à pression constante par Cpm =
.
par Cvm =
n T V
n T p
B.1.c Utiliser le résultat précédent pour établir la formule demandée.
B.1.d L'énoncé de Kelvin concerne les évolutions cycliques.
B.2.c Partir de l'identité thermodynamique dU = T dS - p dV .
B.4.a La relation à montrer est un résultat classique du problème à deux corps.
Pour l'établir rapidement, dans le cas de l'orbite circulaire, exprimer 
l'énergie
potentielle de gravitation puis l'énergie cinétique en fonction de  et projeter 
la
relation fondamentale de la dynamique sur la direction radiale pour exprimer
 en fonction des autres paramètres.
Pour commenter la phrase, il faut considérer que l'on veut faire redescendre
le satellite : l'idée fausse est de croire que si on le freine, il va « tomber 
».
Lorsqu'on diminue le rayon de son orbite, il tourne plus vite.

Problème A
Un exemple simple de servomécanisme à bifurcation mécanique

A.1.a Le torseur des actions de contact subi par un solide 1 au point de 
contact C
avec un solide 2 s'écrit
-
 -

R , C

-

-
où R est la résultante et C le moment en C de ces actions de contact. Au point 
C,
le torseur cinématique de contact est
-
 
r , -
vg
-

où -
v g est la vitesse de glissement de 1 par rapport à 2 et r est le vecteur 
rotation
de 1 par rapport à 2. La puissance de ce torseur s'écrit alors
  -
-
 -

P = R .-
v g +  . C
Le système que l'on étudie n'est pas un solide puisqu'il peut se déformer. Par 
ailleurs,
le torseur des actions intérieures est la somme des torseurs des actions de 
contact en
A1 , A2 , O et B. Les liaisons étant supposées parfaites, chacun de ces 
torseurs a une
puissance nulle, donc :
Pint = 0
En vertu du principe de l'action et de la réaction, le torseur des actions 
intérieures
d'un système est toujours nul. Or, on sait que la puissance d'un torseur nul ne 
dépend
pas du référentiel dans lequel on la calcule.
Quel que soit le référentiel choisi, Pint est nulle.

Dans notre cas, on peut s'en convaincre rapidement puisque la puissance
d'un torseur d'action de contact ne fait intervenir que la cinématique relative
entre deux solides, donc est évidemment indépendante du référentiel choisi.
Un torseur nul n'a, en général, pas une puissance nulle. Un exemple
simple est un système constitué de deux particules M1 et M2 de charge q :

-
chacune exerce sur l'autre une force électrostatique ± f et le torseur 
résultant est bien nul (avec deux charges, le moment du torseur, le couple, est
nécessairement nul puisque la direction de la force électrostatique est l'axe
des deux particules). Et pourtant, sauf si les particules se déplacent à la
même vitesse (ce qui n'est pas réalisable en l'absence d'autres « forces »), la
puissance correspondante n'est pas nulle puisqu'elle vaut

-

P= f . -
v (M1 ) - -
v (M2 )

A.1.b La liaison avec B en O est une liaison pivot parfaite, donc elle est non
dissipative.
Pcontact B = 0
Vu qu'il n'y a pas de glissement, on a
-
-

Pcontact B =  . O

-
On en déduit alors que la projection du moment O sur l'axe de rotation Oz est
nulle
 -
-
=0
c'est-à-dire
O . u
z
A.2.a On considère le système OA1 B de masse m et on cherche le vecteur quantité
de mouvement 
dans le référentiel
galiléen R. Pour des facilités d'écriture, on utilise

-
 -
 -

la base mobile ux , uy , uz .
Profitons de cette question pour insister sur la différence entre un 
référentiel et un repère. Un référentiel est un corps matériel par rapport 
auquel
on « observe » les phénomènes. La définition d'un référentiel, de même que
l'écriture des grands principes de la mécanique ne fait pas appel à un repère. 
Un repère est un simple outil mathématique qui sert à projeter les
relations intrinsèques issues de l'application des principes : on ne doit donc
pas parler, entre autres, d'axe d'un référentiel. Pour observer la chute des
corps par exemple, il n'y a pas besoin de repère en revanche un référentiel
est nécessaire pour voir « par rapport à quoi » les corps tombent.
-

-
P = m
v (A1  S/R)
Il n'y a que A1 à considérer pour la quantité de mouvement puisque toute la 
masse
du système est réunie en ce point. Dans R, A1 a un mouvement circulaire de 
vitesse
angulaire  par rapport à l'axe Oz (car B est fixe).

-
-
Il est important de bien avoir conscience que les quantités P ou LO par
exemple dépendent du référentiel dans lequel on les calcule. Afin de ne pas
trop alourdir les notations, on n'ajoute pas d'indice précisant ce fait quand
il s'agit du référentiel R.
Ce qui se traduit par

-

-

v (A1 /R) =  sin   uy
-

-

P = m  sin   uy

- -- -

Le moment cinétique en O est défini par LO = OA1  P .

-

--
-

Or
OA1 =  sin  ux + cos  uz
donc

-
LO = m 2  sin 

-

- cos  ux + sin  -
u
z