X Maths B MP 2016

Thème de l'épreuve Étude d'une marche aléatoire à pas positifs
Principaux outils utilisés variables aléatoires à valeurs dans N, inégalités de Bienaymé-Tchebychev et Markov, séries de fonctions, continuité uniforme
Mots clefs marche aléatoire, énumération, limite supérieure, équirépartition

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2016 FILIÈRE MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES -- B ---- (X)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

Toute affirmation doit être clairement et complètement justifiée.

On considère une variable aléatoire réelle discrète X définie sur un espace 
probabilisé
(Q, %,lP') dont la loi est donnée par :

+oo
ViEN, IP(X=w)=P1>O avec Zp,;=l,
i=0

et où (xi)i>0 est une suite de réels strictement positifs. On suppose que X 
admet une espérance
finie notée m := lE(X) > 0.

Soit (X k) k>1 une suite de variables aléatoires discrètes définies sur (Q, %, 
IP), indépendantes
et identiquement distribuées, de même loi que X. On note (Sk)k>0 ses sommes 
partielles définies
par

'n
SO=O, et pourn>1, Sn=ZXk-
k=1

L'objet de ce probléme est l'étude du nombre (aléatoire) d'éléments de la suite 
(Sn)n;0 qui
appartiennent a l'intervalle [a, b], défini pour ou EUR il par

+oo
N(a, b)(w) = Oard{k E N | Sk(w) EUR [a, b]} = z ll 0 et n E N, (N(O,Æ) = n + 1) : (Sn { EUR < 
Sn+1). En déduire
que
(Sn < 6) = (N(O,Æ) > n + 1) et (S..., > 6) c (N(O,Æ) < n + 1).

lb. On suppose dans cette question que X admet de plus une variance finie V. 
Montrer alors
que
V

Ve > O, Vn) 1, lP(Sn  O,
lP(Sn { EUR) { lE(exp(£ -- Sn)),

puis que
IP(S.. < EUR) < eÆE(exp(--X)>n-
3b. En déduire que lP(Sn < EUR) tend vers 0 quand n ----> +00 et que
EUR

lE(N(O,É)) < m-

3c. Montrer que pour tous oe E R, EUR > 0, k E N* et n E N*,
R(Sn_1 < a: { S... N(æ,oe + EUR) > k) < lP(Sn_1 < a: < Sn)R(N(O,Æ) > k),

puis que
EUR

E(N(OE,OE +Ë)) < @.

Deuxième partie

Soit f : R ----> R une fonction. Si f est bornée, on note

llflloe = suplf(flî)l

oeEURR

sa norme uniforme. On appelle support de f l'adhérence de {$ E R \ f(oe) # 0}. 
En particulier,
si a: n'appartient pas au support de f, alors f (ac) = 0.

Soit K > 0 et g : R --> R une fonction positive bornée à support inclus dans 
[D, K ] On va
étudier la suite de fonctions fn : R --% R définies pour n > 0 par

fn(év) = ZE(g(OE -- Sk))--
k:=0 .

4a. Montrer que pour tout oe E R, la suite ( fn(az))n>0 est croissante. On note 
f (ac) sa limite
dans R U {+oo}.

4b. Montrer que sig = ll[O,K], alors f(oe) = E(N(oe -- K, $)).

4c. En déduire que pour tous a: E R et n E N ,

EURK

0 < fn(æ) < ||9iloem--

4d. Conclure que la suite de fonctions fn converge simplement vers une fonction 
f positive,
bornée et dont le support est inclus dans R+.

5. Soit Y une variable aléatoire discrète, indépendante de X, et 90 : R2 --+ R 
une fonction
bornée. Montrer que

+oo
E)
i=0
Ga. Montrer que pour tous n E N et w E R,
+oo
fn+1<æ> = g(æ> + Zpifn<æ -- gaz-->.
i=0

6b. Montrer que la fonction f vérifie l'égalité suivante sur R

f = g<æ> + zpif<æ -- .... (E)

+00
7. Soit h : R --> R une fonction bornée qui vérifie h(oe) = z p,;h(oe ---- 
a:,--) pour tout 512 E R.
i=0

7a. Montrer que pour tous a: E lR et n E N, on a h(a:) = E(h(oe -- Sn)).

7b. En déduire que si de plus le support de h est inclus dans R+, alors pour 
tout a: E IR,
h(oe) : O.

70. Conclure qu'il existe une unique fonction bornée a support dans R+ solution 
de (E).

8a. Montrer que l'ensemble A X := U {y E R | lP(Sn = y) > O} est dénombrab1e et 
inclus

nEN
dans R+.

On se donne une énumération de cet ensemble : A X = {y, | i E N}.

8b. Montrer que pour tout ac E R,

n+oo

fng(æ -- yz-)--

k=0 i=0

80. En déduire qu'il existe une suite de réels positifs (q,-),;O telle que pour 
tout :12 E R,

+oo
f(æ) =Zq,g(æ--y,), et 2 q,- =lE(N(æ--K,oe)).
'L=Û iEURN7 y,EUR[oe--K,oel

931. Dans la formule précédente, montrer que la convergence de la série est 
normale sur tout
segment de R. On pourra utiliser la question $C.

9h. On suppose que g est continue. Montrer que f est uniformément continue.

9(:. On suppose que g est de classe % 1. Montrer que g' bornée. En déduire que 
f est de classe
C(oâ1, que f' est bornée et uniformément continue et que pour tout a: E R,

+oo
f'(æ) : g'(oe) + ZpJ'(oe ---- aa).
i=0

Troisième partie

Soit A un sous--ensemble non vide de le tel que
V(oe,y) EUR A2, a:+y EUR A.
On dit que A est stable par addition.

103. Montrer si (oe,y) EUR A2, (km) E N2 et k { n, alors noe + k(y -- a:) E A.

On définit
l'= {z EUR lRî | El(oe,y) EUR A, z=y--oe}, et 7°(A) =ian'.

10b. Donner deux exemples de tels ensembles A, l'un pour lequel r(A) > 0 et 
l'autre pour
lequel r(A) : O.

11. Dans cette question, on suppose que T(A) > O.
113. Montrer qu'il existe (a, I)) E A2 tels que I) -- a E [T(A), 27"(A)[.
On noted=b--a.

11b. Soient k,n E N tels que le < n -- 1. Montrer que
A O [na + lcd, na + (k + 1)d] : {na + lcd, na + (le + 1)d}.

11e. Montrer qu'il existe no E N tel que mm + ngd > (no + 1)a puis qu'il existe 
k E N tel que
a : lcd.

11d. En déduire que A C dZ, où dZ = {led \ 16 EUR Z}.

12. On suppose maintenant que T(A) = O.

1231. Soit 77 > 0. Montrer qu'il existe A > 0 tel que pour pour tout oe > A,
Am [æ,oe+n] # @.

12h. Soit f : lR --> R une fonction uniformément continue. On suppose que pour 
toute suite
(oen)n>0 à valeurs dans A telle que OEn ----> +oo, f (:un) --> 0 quand n --> 
+oo. Montrer que f (cv) --> 0
quand a: --+ +oo._

Quatrième partie

On suppose dans cette partie que pour tout d > O,

]P(X & dZ) < 1.

13. On considère une fonction h uniformément continue et bornée sur R telle que 
pour tout
sv & R, W) < ...) et

On rappelle que pour tous 58 EUR lR et 71 E N , h(æ) = lE(h(oe -- Sn)) 
(question 7 a).
13a. Montrer que pour tout n E N et a: > 0 tels que lP'(Sn = a:) > 0, on a 
h(--oe) : h(0).

13b. Montrer que l'ensemble A X défini a la question Sa est stable par addition 
et que
T(Ax) = 0.

13e. En déduire que h(--oe) --> h(0) quand a: ----> +oo.

13d. Conclure que h est une fonction constante.

On suppose dans toute la suite que g est de classe % 1, a support dans [D, K ] 
avec K > 0. On
rappelle que f est la limite croissante des fonctions fn et l'unique solution 
bornée et uniformément
continue de l'équation (E).

1431. Prouver que la fonction a: l--> sup f'(t) admet une limite finie quand 
213 --> +oo. On note
t>oe

14b. Montrer qu'il existe une suite yn --> +oo telle que f'(yn) ----> c quand n 
--> +oo.

On admet qu'il existe une sous--suite (üç)k>0 de (yn)n>0 telle que la suite de 
fonctions (fik)k>0
définies par

EURk1R-->R, É'-->EURk(t)=fl(t+tk)

converge uniformément sur tout segment de R vers une fonction notée EUR .
14c. Montrer que 5 est constante, égale à c.

14d. Oonclure que c = 0.

On montrerait de même que lim inf ]" (t) = 0, résultat que l'on admet dans 
toute la suite.
oe-->+oo t>oe

14e. En déduire que f'(t) _) 0 quand t ----> +oo.

14f. Montrer alors que pour tout EUR > 0, f (t + EUR) -- f(t) --> 0 quand t --> 
+oo.

On suppose dans toute la suite de cette partie qu'il existe a, > 0 tel que lP(X 
E [D, a] = 1 et
on pose '

() lP(X>OE) sioe20,
w:
90 0 sioe<0.

. +oe
On admet que go est intégrable sur R, et que / g0(t)dt = lE(X )

--OO

On note 55 l'ensemble des fonctions continues par morceaux, positives, bornées 
et a support
dans un segment de R+. En utilisant la deuxième partie, pour tout 9 EUR 33 , on 
note Lg l'unique
solution de (E) bornée a support dans R+.

Nous dirons que la suite (tk)k>0 satisfait la propriété ($") si tk --> +00 et 
s'il existe une
unique fonction continue bornée ,u : R --> R+, telle que pour tout g E ÿ,

+oo
Lg(tk) --> / g(t)n(t)dt quand k: --> +oo.
_oe _

On admet que pour toute suite (æn)n>0 tendant vers l'infini, il existe une sous 
suite (Üç)k>0 de
(oen)n>0 qui satisfait la propriété (33)

153. Montrer, en utilisant la question 14f, que pour tous g E 35 fi %1(R, R+) 
et EUR > O,

]'°° g 0 et Lg0(oe) : 0 pour a: < 0.

1
16h. En déduire que u(t) = fiX--) pour tout t E R.

17. Conclure que pour tout g EUR 55,

1 00

ZlE(g(æ -- Sk)) --> lE(X) g(t)dt quand :c --> +oo.
k=0 --°°

18. Soit EUR > 0 fixé. Déterminer le comportement de lE(N(oe, a: + EUR)) quand 
au --+ +oo.
Interpréter le résultat. Ce résultat est--il vrai s'il existe d > 0 tel que 
lP(X EUR dZ) = 1 ?

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths B MP 2016 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Walter Appel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Sophie Rainero (Professeur en CPGE) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE).

Le but de ce problème est d'étudier une marche aléatoire à pas
P toujours positifs, c'est-à-dire la suite (Sn )nN des sommes partielles d'une 
série
Xn de variables
aléatoires positives, indépendantes et identiquement distribuées. Notamment, on 
s'intéresse à la variable aléatoire N(a, b) égale au nombre de sommes 
partielles se trouvant entre a et b, et on montre que, sous certaines 
hypothèses, les sommes partielles
ont asymptotiquement tendance à l'équirépartition, c'est-à-dire que N(x, x + ) 
tend
vers /E(X) quand x tend vers +.
· Dans la première partie, on établit, par des procédés élémentaires (mais
 pas toujours faciles !) de probabilités, une majoration uniforme de E N(a,b) . 
Cette partie est abordable dès que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev a été vue 
en cours.
· Dans la deuxième partie, on définit la fonction
Lg(x) =

P

k=0

E g(x - Sk )

(où g est positive,
 bornée et à support borné), qui a la propriété d'être égale
à E N(x - , x) lorsque g = 1[ 0 ;  ] . On montre alors que cette fonction est
l'unique solution bornée, nulle sur R- , de l'équation fonctionnelle
f (x) = g(x) +

P

P (X1 = xi ) f (x - xi )

(E)

i=0

où {xi | i  N} est l'ensemble des valeurs prises par X. On vérifie enfin que,
si g est de classe C 1 , alors Lg est bornée et uniformément continue, grâce à 
la
majoration uniforme de la partie 1.
· L'ensemble des valeurs prises par l'ensemble des Sn étant stable par addition,
la troisième partie est consacrée à des propriétés générales de tels ensembles.
Cette partie ne nécessite que très peu de connaissances, mais requiert de 
réfléchir calmement. Elle est indépendante des deux parties précédentes.

· La quatrième partie est consacrée à l'étude asymptotique de E N(x, x + )
quand x  +, dans le cas où P(X  dZ) < 1 pour tout réel d > 0. Elle demande de 
bien avoir en tête l'ensemble des résultats démontrés, et fait appel à
de nombreux raisonnements fins d'analyse (en revanche, il n'y a pas de 
probabilités, sauf à une seule question). Les dernières questions sont plus 
délicates,
d'autant que certaines imprécisions ou erreurs d'énoncé pouvaient perturber
les candidats.
Voici donc un problème à la fois intéressant, original (très original), long 
(très,
très long) et difficile, mêlant intimement la théorie des probabilités à celle 
des séries
de fonctions.

Indications
Première partie
1a Les trois propriétés se montrent de manière élémentaire, sans que les deux
dernières se « déduisent » des premières.
1b Se ramener à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
2 Écrire le membre de droite comme une double somme et invoquer le théorème
de Fubini pour les familles positives pour permuter ces sommes.
3a On peut utiliser l'inégalité de Markov pour la variable positive e -Sn .
3b Utiliser le résultat de la question 2.

4b Utiliser le fait que E

Deuxième partie

P
P
g(x - Sk ) =
E g(x - Sk )

k=0

k=0

La démonstration de cette propriété est assez délicate.
4c Utiliser la majoration 0 6 g 6 kgk 1[ 0 ; K ] .
5 Utiliser la formule de transfert pour (X, Y).
6a Montrer que

P

pi fn (x - xi ) =

i=0

n
P

E g(x - X - Sk )

k=0

puis le fait que Sk + X a même loi que Sk+1 .
6b La convergence normale de la série des x 7 pi fn (x - xi ) autorise l'usage 
du
théorème de la double limite.
7a Procéder par récurrence en utilisant la question 5.

7b Vérifier que h(x) 6 E |h(x - Sn )| 6 khk P (Sn 6 x).

8c Écrire f (x) sous la forme d'une double somme et invoquer le théorème de 
Fubini.
Enfin, appliquer le résultat de la question 4b pour g = 1[ 0 ; K ] .
9c Appliquer la même méthode qu'en 8c pour montrer que f  est bornée, et celle
du 9b pour l'uniforme continuité.
Troisième partie

10a Légère erreur d'énoncé, il faut prendre n  N .
11b Tout élément de ] na + kd ; na + (k + 1)d [ est à distance strictement 
inférieure
à d/2 d'une des bornes de l'intervalle.
11c Choisir le plus petit entier n0 tel que n0 d > a, et montrer que
n0 a + (n0 - 1)d 6 (n0 + 1)a < n0 a + n0 d
11d Soit x  . Noter n = x/a, r = x - na et k = r/d, et montrer
na + kd 6 x < na + (k + 1)d
Utiliser ensuite la question 11b quand x est suffisamment grand ; dans le cas
général, considérer un multiple de x suffisamment grand.

Quatrième partie
13a Montrer que

h(0) =

P

qi h(-yi ) 6

i=0

P

qi h(0) + qj h(-x)

i6=j

13b L'énoncé comporte ici une petite erreur, puisque X contient le nombre 0, 
valeur
à supprimer de la définition de X .
13c Appliquer la question 12b à x 7 h(-x) - h(0).
13d Montrer que h atteint son minimum sur R- en un point a, et appliquer les
questions 13a et 13c à x 7- -h(a + x).
14c Dans la formule

k (t) = g  (t + tk ) +

P

pi k (t - xi )

i=0

remarquer que la série converge normalement et appliquer le théorème de la
double limite. Appliquer ensuite les résultats des questions 13a à 13d.
14d Utiliser le théorème d'intégration d'une suite de fonctions uniformément 
convergente sur un intervalle de largeur L, et en déduire que |c| L 6 2kf k.
15a L'énoncé comporte quelques petites erreurs : notamment, il semble préférable
de montrer
Z +

g(t) µ(t + ) - µ(t) dt = 0
-

ce qui est confirmé par la version du sujet mise en ligne par l'École 
polytechnique, et qui diffère sur quelques points du sujet distribué en réalité.
15b S'il existe x et  tels que µ(x + ) - µ(x) 6= 0, construire une fonction g 
positive,
nulle sauf sur un voisinage de x, et de classe C 1 , pour obtenir une 
contradiction.
16b Nouvelle petite erreur : faire comme si g0 était élément de F .
Z +
1
f.
E(X) -
Montrer par l'absurde que f tend vers  en l'infini en construisant une suite
de terme général f (tk ) qui converge vers une autre limite (on n'oubliera pas
que l'image de f est bornée et que de toute suite bornée on peut extraire une
sous-suite convergente).

17 Pour toute suite (tk )kN vérifiant (P), on sait que f (tk )   =

18 Appliquer le résultat de la question 17 à la fonction g = 1[ 0 ;  ] .

I. Première partie
Signalons, avant de commencer, que l'énoncé ne précise pas que les xi sont
deux à deux distincts, mais que c'est bien l'hypothèse naturelle à prendre ici.

1a Remarquons avant toute chose que, pour tout   , la suite Sn () n>0 est
strictement croissante, car les Xn sont à valeurs dans ] 0 ; + [.
Soit  > 0 fixé ; soit n un entier naturel.
Soit  un élément de  tel que N(0, )() = n + 1. Alors les n + 1 indices k tels
que 0 6 Sk () 6  ne peuvent être que les premiers de la suite, c'est-à-dire que
0 = S0 () < S1 () < · · · < Sn () 6  < Sn+1 ()

(1)

Notamment,   (Sn 6  < Sn+1 ).
Réciproquement, si   (Sn 6  < Sn+1 ), les inégalités (1) ont lieu, ce qui montre
que N(0, )() = n + 1.

N(0, ) = n + 1 = (Sn 6  < Sn+1 )

De la même façon, l'inégalité Sn () 6  implique qu'il y a au moins n + 1 sommes
partielles entre 0 et  ; réciproquement, dire qu'il y a au moins n+1 sommes 
partielles
entre 0 et  implique que la somme d'indice n est dans l'intervalle [ 0 ;  ].
(Sn 6 ) = N(0, ) > n + 1

Enfin, si la somme partielle d'indice n vérifie Sn > , alors, par stricte 
croissance,
toutes les sommes partielles d'indice supérieur à n + 1 sont strictement plus 
grandes
que  ; ainsi N(0, ) vaut, au maximum, n + 1.
(Sn > )  N(0, ) 6 n + 1

1b Soit n > 1. Soit  > 0. Par linéarité de l'espérance, E(Sn ) = n E(X) = nm.
(Rappelons en effet que deux variables ayant même loi ont même espérance et, 
plus généralement, mêmes moments.) Par indépendance mutuelle, les variances 
s'ajoutent :
V(Sn ) = V(X1 ) + · · · + V(Xn ) = n V
Majorons P(Sn 6 n(m - )) = P(Sn - mn 6 -n) 6 P |Sn - mn| > n

Puisque Sn admet une variance, utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

 V(S )

V
n
P |Sn - mn| > n = P Sn - E(Sn ) > n 6
=
2
(n)
n 2
Conclusion :

P(Sn 6 n(m - )) 6

V
n 2

2 D'unePpart, la variable aléatoire Y admet une espérance, c'est-à-dire que la 
série
positive
n P (Y = n) converge et a pour somme E(Y). D'autre part, la série
P
1[ 0 ; n ] (k) P(Y = n)
k>1