X Maths 2 MP 2014

Thème de l'épreuve Exponentielles de matrices et application aux chemins de Carnot
Principaux outils utilisés calcul matriciel, groupes, équations différentielles linéaires, trigonométrie
Mots clefs groupes de matrices, exponentielle, chemin de Carnot

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2014 FILIÈRE MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES -- B -- (X)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
* * *

Toute affirmation doit être justifiée. On prendra soin a la clarté et a la 
précision de la rédaction.

Notations

Soit d un entier strictement positif. On note MAR) l'espace vectoriel des 
matrices carrées réelles
de taille d et Id désigne la matrice identité. Le produit de deux matrices A et 
B de MAR) est noté
A >< B ou simplement AB. On appelle commutateur de A et B la matrice

[A, B] = AB -- BA.

On rappelle que l'exponentielle d'une matrice carrée A E MAR) est définie par
00
A'ÏL
OXp(A) : Id + z ?.
n--1
On munit MAR) d'une norme d'algèbre H - H, c'est--à--dire que pour toutes 
matrices A, B de MAR),

HABH £ llAllllBll-

On note GLAR) le groupe linéaire des matrices de MAR) qui sont inversibles, et 
SLAR) le
sous--groupe de GLAR) formé des matrices de déterminant 1.

La première et la troisième parties sont consacrées a l'étude de matrices 
carrées de taille d = 3.
La deuxième partie est largement indépendante des autres parties.

Première partie

On considère l'ensemble des matrices carrées de taille 3 triangulaires 
supérieures strictes :

L : {Mp,q,r l (p, 61,7") EUR R3} Où Mp,q,r :

ooo
OO'Ü
©»Q'3

On définit H = {13+M \ M E L}.

1. Calculer l'exponentielle de la matrice Mp,q,f,...

Za. Montrer que l'on définit une loi de groupe * sur L en posant pour M, N E L :

1
M*N=M+N+5[M,N].

. . ,.
On exphoetera l inverse de Mp,q,f,...

2b. Déterminer les matrices Mp,q,fr E L qui oommutent avec tous les éléments de 
L pour la loi *.
(L, *) est--il commutatif ?

3. Montrer que pour toutes matrices M, N E L, on a :
(expM) >< (expN) : exp(M * N).
4. Soient M et N deux éléments de L. Montrer que
eXp(lMa Nl) = eXp(M) EURXp(N) eXp(--M) eXp(--N)-
5. Montrer que H muni du produit usuel des matrices est un sous--groupe de 
SL3(R) et que
exp : (L, *) --> (H, ><)

est un isomorphisme de groupes.

Deuxième partie

On considère dans cette partie deux matrices A et B de Md(R).
Dans les questions 6 et 7, on suppose de plus que A et B oommutent avec [A, B].

ôa. Montrer que [A,exp(B)] : exp(B)[A,B].
6b. Déterminer une équation différentielle vérifiée par t |--> exp(tA) exp(tB).

6(:. En déduire la formule :

exp(A) exp(B) : exp (A + B + %[A, B]) .

7. On note E : Ve0t(A, B, [A, B]).
721. Si M, N E E, montrer que [M, N] oommute avec M et N.

7b. Soit G = {exp(M) \ M E E}. Montrer que (G, ><) est un groupe et que 
l'application
 : H --> G, exp(Mp,q,fr) |--> exp(pA + qB + r[A, B]),
est un morphisme de groupes.

Dans toute la suite de cette partie, A et B sont a nouveau deux matrices 
quelconques de Md(R).

8. Soit (Dn)nEURN une suite de MAR) qui converge vers D E MAR). Elle est donc 
bornée : soit
À > 0 tel que pour tout entier n E N, HD,,H $ À.

|
821. Soit le E N. Justifier que ("W --> 1 quand n --> +00 et que si n 2 le (et 
n 2 1),
n -- .n
n!
0 < 1 < 1
_ (n--k)!nk _

En déduire que

D,, " " 1
(Id + --) -- Ü(Dn)k --> 0 quand n --> +oo.
n .
k=0

8b. Montrer que pour tous entiers le 2 1 et n 2 O,

H(D,,)"" -- Dkll £ 7EURÀk_1lan -- Dll-
Dn "
8c. Conclure que (Id + --) --> exp(D) quand n --> +oo.
n

921. Soit D E MAR) telle que HDH S 1. Montrer qu'il existe une constante ,u > 0 
indépendante de
D telle que
ll GXP(D) -- Ïd -- Dll S MllDll2-

9b. Montrer qu'il existe une constante V > O, et pour tout n 2 1 une matrice Cn 
EUR MAR), tels
que

A B A B V

10. Déduire de ce qui précède que
A B "
exp(A + B) : lim (exp (--) exp (--)) .
n-->+oo n n

Troisième partie

Soit T un réel strictement positif. On note E (T) l'ensemble constitué des 
couples (u, v) de fonctions
continues sur [O, T] a valeurs réelles.

Un chemin de Carnot contrôle" par (u, @) EUR E(T) est une application v : [O, 
T] --> MAR) de classe
C'1 solution de l'équation différentielle matricielle :

{y'(t) : u(t)v(t)Mi,0,0 + U(Ë)V(É)MÜ>LÛ?
v(0) = 13»

où les matrices M1)0)0 et MO,... ont été introduites dans la première partie.

1121. Pour tout (u, @) E E (T ), justifier l'existence d'un unique chemin de 
Carnot controlé par (u, v).

11b. Montrer que y vérifie
W EUR l07Tl, v(t) E H,

et calculer explicitement, en fonction de t, u et c les fonctions p(t), q(t) et 
r(t) telles que
W) = exp(Mp,qm)-
12. Pour tout (EUR, 90) E R2 et t E R, on définit les contrôles
ue,fi(t) : sin(9 -- got) et v9,@(t) : cos(9 -- got),

et on note vg,oe(t) : exp(Mp(t)7q(tw(t)) le chemin de Carnot controlé par 
("9,907 o9,SÛ).

1221. On suppose 90 # 0. Calculer p(t) et q(t) et vérifier que

1590 -- sin(tgp)

12h. Calculer de même v970(t).

La sphère de Carnot est l'ensemble :

B... = {(paqn") EUR R3 \ 3(9790) EUR l--7md >< l--27T927Tl9 19, =

Montrer que f et g se prolongent par continuité sur [O, 27r] , que f est alors 
une bijection continue de

2(1 -- cos s) 3 -- sins

t =
52 EUR 9(8)

[O, 27r] sur un ensemble qu'on précisera; et que g atteint son maximum en 7T.

14. Montrer que si (p, q, 7") EUR B(1) avec 7" 2 0 alors 7" = g @ f_1(p2 + q2).
Énoncer et établir une réciproque.

On pourra donner l'allure de la fonction 3 |--> go f _1(32) pour 3 E [O, 1] et 
notamment les tangentes
en 3 = 0 et 3 = 1.

15. Montrer l'existence d'une constante c1 > 0 telle que pour tout (p, q, T) E 
B(1), on ait
cî' Sp2+q2+lrl Sci-
1ôa. Montrer que pour tout (p, q, 7") EUR R3\{(O, O, O)}, il existe un unique À 
> 0 tel que :

(Àp, Àq, À2r) e B(1).

16h. En déduire que pour tout point A E H, il existe un réel positif T(A) et 
des paramètres
(EUR, go) (dépendants également de A) tels que A soit l'extrémité du chemin de 
Carnot contrôlé par

("9,g07 Ü9,g0) EUR E(T(A))

16c. Montrer l'existence d'une constante c2 > 0 telle que pour tout (p, q, 7") 
EUR R3,

02_1 V 292 + 612 + ... É T(eXp(Mp,q/r)) É 02'V P2 + 612 + ...

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths B MP 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Antoine Sihrener (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Walter Appel (Professeur en CPGE) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE).

Ce sujet a pour but d'établir des propriétés de l'exponentielle de matrices.
· La première partie traite de l'exponentielle sur l'ensemble des matrices de
taille 3 triangulaires supérieures strictes. On donne le produit de deux 
exponentielles de telles matrices et on finit par démontrer que l'exponentielle 
est un
isomorphisme de groupes. Les questions de cette partie sont assez abordables et
ne consistent qu'à faire des produits de matrices et à montrer que des ensembles
sont des groupes, mais il faut faire attention à ne pas se lancer tête baissée 
dans
certains calculs, qui peuvent être évités avec des propriétés de symétrie et qui
sinon prendraient énormément de temps.
· La deuxième partie étudie l'exponentielle des matrices de taille quelconque d.
On donne d'abord exp(A) exp(B), dans le cas où A et B commutent avec leur
commutateur [A, B] = AB - BA, en résolvant une équation linéaire matricielle
à coefficients constants. Le reste de la partie a pour but d'établir le résultat
suivant, appelé formule de Lie :

 n
A
B
exp
exp
----- exp(A + B)
n+
n
n
pour des matrices A et B qui sont maintenant quelconques. Cette partie est
plus difficile et demande d'être à l'aise avec les majorations.
· Enfin, la troisième et dernière partie a pour cadre la théorie du contrôle.
On étudie ce qu'on appelle des « chemins de Carnot contrôlés par deux fonctions 
u et v », encore une fois pour des matrices de taille 3. On s'intéresse aux
matrices qui sont à une extrémité de tels chemins, et on finit par donner un
encadrement de la « durée de vie » d'un tel chemin. En clair, on résout des
équations différentielles sur des matrices 3 × 3, et on s'intéresse à 
l'intervalle de
définition des solutions, ainsi que de leurs valeurs aux bornes. Cette dernière
partie introduit un vocabulaire nouveau, avec lequel il est toujours difficile 
de
se familiariser en temps limité, mais derrière lequel se cachent des questions
plus concrètes : la plupart des questions de cette partie sont des calculs sur R
ou des systèmes 3 × 3 à résoudre. Elle est tout de même difficile et 
calculatoire.
En conclusion, c'est un problème utilisant des chapitres variés, la difficulté 
est
progressive, et les résultats sont souvent donnés dans l'énoncé, de sorte qu'un 
candidat
n'arrivant pas à faire une question est rarement bloqué pour la suite. Il faut 
enfin
être efficace sur les calculs car ils peuvent prendre beaucoup de temps et 
empêcher
d'atteindre les questions où un raisonnement plus fin est attendu.

Indications
Première partie
1 Voir que la matrice Mp,q,r est nilpotente.
2.a Pour l'associativité, voir qu'un produit de trois éléments de L est nul.
2.b Calculer Ma,b,c  Mp,q,r et Mp,q,r  Ma,b,c pour tous réels a, b, c, p, q, r 
et comparer
les matrices obtenues.
3 Utiliser le fait que M  N est un élément de L que l'on connaît (en utilisant 
la
question 2.a), et utiliser la première question.
4 Utiliser la question précédente, ne surtout pas faire le calcul ! Montrer 
enfin que
(M  N) et ((-M)  (-N)) commutent.
5 Pour la bijectivité, résoudre l'équation exp(Ma,b,c ) = I3 + Mp,q,r .
Deuxième partie
6.a Écrire les deux quantités de l'énoncé sous forme d'une somme.
6.b Dériver , et utiliser la question précédente pour donner une autre 
expression
de exp(tA)B, puis montrer que exp(tA) et [A, B] commutent.
6.c Résoudre l'équation différentielle de la question précédente et prendre t = 
1.
7.a Montrer que le commutateur est une application bilinéaire, développer, et 
utiliser le fait que celui-ci est nul si les deux matrices commutent.
7.b Appliquer la question 6.c à M et N.
8.a Pour le calcul de la limite, utiliser la formule du binôme de Newton, puis 
rajouter
le reste de la série donnant exp(), couper en un n0 bien choisi, et ensuite
seulement faire tendre n vers +.
8.b Introduire le terme Dn Dk et faire une récurrence sur k.
8.c Introduire exp(D) dans la limite apparaissant à la question 8.a, couper la 
somme
infinie en n, factoriser, et montrer que deux des trois membres tendent vers 0.
9.a Utiliser l'inégalité triangulaire.
 
A
A
- Id -
9.b Poser En = exp
n
n

et

B
B
Fn = exp
- Id -
n
n

et faire le produit de l'énoncé. Poser la matrice Cn qui conviendrait et 
appliquer
la question précédente pour borner En et Fn , avec n > n0 tel que kA/nk et
kB/nk soient inférieures à 1. Trouver enfin  qui convient pour n < n0 .
10 Mettre A, B et Cn sur n et poser Dn = A+ B+ nCn pour utiliser la question 
8.c.
Troisième partie
11.a C'est une question de cours.
11.b Résoudre l'équation différentielle de l'énoncé, en n'oubliant pas la 
condition
initiale. Le système 9 × 9 est plus facile qu'il n'y paraît !
Z

1 t
12.a Remarquer que r(t) =
v(x)p(x) - u(x)q(x) dx.
2 0

13 Remarquer qu'on peut écrire f à l'aide du sinus cardinal, et étudier les 
variations de cette fonction. Pour g, dériver normalement, chercher les points 
où g 
s'annule, pour cela utiliser la stricte convexité de la fonction tangente sur 
l'intervalle [ 0 ; /2 [. Se souvenir du signe de la tangente, et ne pas oublier 
de préciser
qu'une quantité est non nulle avant de diviser. Utiliser enfin les formules 
donnant
cos(s) et sin(s) en fonction de cos(s/2) et sin(s/2).
14 Utiliser les formules donnant cos(a) - cos(b) et sin(a) - sin(b) et mettre p 
et q
au carré. Séparer les cas r = 0 et r 6= 0. Préciser pourquoi  appartient à
l'intervalle [ 0 ; 2 ]. Pour la réciproque, séparer les cas  = 2 et  6= 2, puis
utiliser le fait que
a2 + b 2 = 1

=

  R

a = sin()

et b = cos()

15 Montrer que si (p, q, r)  B(1) avec r < 0 alors r = -g  f -1 p2 + q 2 .
Écrire p2 + q 2 + |r| comme une fonction continue prise en p2 + q 2 .
16.a Ne pas oublier les cas particuliers r = 0 et p2 + q 2 = 0. Dans le cas 
général,
appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à L définie par

L(x) = rx - g  f -1 x p2 + q 2

Montrer ensuite que g  f -1 est concave en la dérivant deux fois (ne surtout
pas remplacer ces fonctions ni leurs dérivées par leurs valeurs). Faire 
apparaître
g  /f  et simplifier son expression à l'aide de formules de trigonométrie pour 
faire
apparaître la fonction cotangente.

16.b Appliquer la question précédente, donner les valeurs de p, q et r, et 
chercher les
paramètres T(A),  et  permettant d'avoir l'expression de la question 12.a.
16.c Appliquer les trois questions précédentes.

Première partie
1 Soit (p, q, r)  R3 . Calculons les puissances

0 p r
0 p
Mp,q,r 2 = 0 0 q  0 0
0 0 0
0 0
Ensuite, Mp,q,r

3

successives
 
r
0
q  = 0
0
0

de Mp,q,r . Tout d'abord,

0 pq
0 0
0 0

= 03 et, pour tout n > 3
Mp,q,r

n

= Mp,q,r 3 Mp,q,r

n-3

= 03

Ainsi, la somme définissant l'exponentielle de la matrice

1
2
Mp,q,r

exp(Mp,q,r ) = I3 + Mp,q,r +
= 0
2
0

Mp,q,r est finie et
pq 
p r+
2
1
q 
0
1

2.a Montrons que (L, ) est un groupe.
· Montrons que  est une loi interne de L.

0
Mp,q,r Ma,b,c = 0
0
et

Ma,b,c Mp,q,r

Par conséquent,
Mp,q,r  Ma,b,c

0

= 0
0

0
= 0
0

a+p
0
0

Soit (p, q, r, a, b, c)  R6 .

0 pb
0 0
0 0

0 aq
0 0
0 0

1
c + r + (pb - aq)

2
L
q+b
0

(1)

Il en découle que  est interne dans L.
· Montrons que la loi  est associative dans L. Soient M, N, P trois éléments de 
L.
Par définition de la loi ,

1
(M  N)  P = M + N + (MN - NM)  P
2
1
1
= M + N + (MN - NM) + P +
2
2

1
M + N + (MN - NM) P
2

1
-P M + N + (MN - NM)
2

1
(M  N)  P = M + N + P + (MN - NM + MP + NP - PM - PN)
2
1
+ (MNP - NMP - PMN + PNM)
4