X Maths 2 MP 2013

Thème de l'épreuve Exposant de Hölder ponctuel d'une fonction continue
Principaux outils utilisés analyse générale, formules de Taylor, suites et séries de fonctions
Mots clefs exposant de Hölder, système de Schauder, module de continuité, partie entière, convergence normale, convergence uniforme

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2013 FILIÈRE MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES -- B -- (X)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

Exposant de Hôlder ponctuel d'une fonction continue

N désigne l'ensemble des entiers naturels et R celui des nombres réels.

On note C l'espace vectoriel réel des fonctions continues définies sur 
l'intervalle compact [O, 1[
et a valeurs dans R. Cet espace est muni de la norme [[ ' [[oo définie pour 
tout f E C, par

W...» = SUpoeEUR[0,l] lf(OE)l-

On note C0 le sous--espace de C formé par les fonctions f telles que f (O) = f 
(1) = O.

n t
log2 est la fonction définie pour t E [O, +oo[, par log2 t : ñ' où ln est le 
logarithme népérien.
n

Première partie : définition de l'exposant de Hôlder ponctuel

Soit 560 E [O, 1]. Pour tout 3 E [O, 1[, on désigne par F3(a30) le 
sous--ensemble de C formé par
les fonctions f qui vérifient :

|f<æ> -- f<æo>|
sup < --l--oo .
oeEUR[O,l[\{oeo} [oe -- OE0[S

la. Montrer que F3(a30) est un sous--espace vectoriel de C, puis que, pour tous 
réels 51 et 52
vérifiant O S 51 S 52 < 1, l'on a F32(oe0) C F31(oe0). Enfin, déterminer 
F0(oe0).

lb. Soit f E C. Si f est dérivable en 550, montrer que f E F3(a30) pour tout 3 
E [O, 1[.

1c. Montrer que pour tout 560 EUR [O,1[, il existe f E C non dérivable en 5130 
tel que pour tout
5 EUR [O,1[, f E F3(oe0).

Pour tout f E C et tout 560 E [O, 1], on pose

Oéf(âî0) = SUP {5 E [O, 1l[f EUR 118(550)} -

Le réel OEf(SIÏO) est appelé eæposant de Holder ponctuel de f en 5130 ; il 
permet de mesurer finement
la régularité locale de f au voisinage du point 5170.

1
2.S°t : 01 R \/1--4 2.D't ' l' td H"ld t ld --.
01 p [ , [ --> , a: l--> [ a: [ e erm1ner exposan e 0 er ponc ue e p en 2

Pour tout f E C, on définit la fonction wf : [O, 1[ --> R+ par

Wf(h) =Sup{lf(æ) --f(y)l [way EUR l071l et la?--gl £ h}-

3a. Montrer que wf est croissante, et continue en O.

3b. Montrer que pour tous h, H E [O, 1[ tels que h S H, wf vérifie
wf(h') £ Wf(h) + Wf(h' -- h) -

3c. En déduire que wf est continue sur [O, 1[.

4a. Soit 3 E [O, 1[. On suppose que la fonction h l-->

h

w';L(S ) est bornée sur [0,1]. Pour tout

5130 E [O, 1[, montrer que f E F3(oe0).

4b. Soit q : [O, 1[ --> R définie par

77

{q(oe) : a:cos (--) pour a: > O,
56

q(O) O.

wq(h)
\/Ë

Montrer que pour tout 5130 E [O, 1], qu(aî0) : 1, mais que

ne tend pas vers 0 quand h tend

vers O.
Deuxième partie : le système de Schauder

On note 1 = {(j, lc) E N2 [j E N et O S 16 < 27}; pourj E N, on désigne par 7}- 
l'ensemble
T,={keN[ng [O, 1[ la fonction de Co, 
définie pour tout a: E [O, 1[ par

1 _ [2j+1oe _ 2k -- 1[ si a: & [k2_--7, (k + 1)2_--7l7
j,k(aï) :

O sinon.

La famille des fonctions (9j,k)(j,k)eî est appelée le système de Schauder.

On note là,--(a:) la partie entière du réel 2jÇC, c'est donc l'unique entier 
tel que

"là,--(oe) g 235: < "%,--(a:) + 1.
5a. Montrer que pour tout j E N et tout lc EUR 7}+1, il existe un unique entier 
lc' EUR Î, tel que

[k2--j--1, (k + 1)2--j--1[ c [k'2--j, (k' + 1)2--j] .

On précisera le lien entre 1--6 et lc' .
5b. Calculer 9j,k(Æ2_j_l) pour tous j E N, lc EUR 7}, EUR EUR 7}+1.

5c. Montrer que pour tout ( j, lc) EUR I , la fonction 93--71, est continue, 
affine sur chaque intervalle
de la forme [Æ2_n, (EUR + 1)2_"[ où n > j et EUR EUR 7},

5d. Prouver que pour tous (j, lc) EUR I et (a:,y) E [O, 1[2, on a
|9j,k<æ> -- 9j,k| £ Wlæ -- y\ .
Dans le reste de cette partie f est un élément de Cg.

Pour tout n E N, soit Sn f la fonction de Cg définie par
Snf = Z Z Cj,k(f) 9j,k ,
j=0 keTj

où, pour tout (j, lc) EUR 1, on a posé

cj,i =f((k+g)2--j) _ f +f2<2"> .

6. M t 1' ° = 0-
on rer que j_1}ranO %Ê7Ë [Cg,k(f)[

721. Pour tout (j, lc) EUR I, (i,Æ) EUR I, calculer Cj7k(9i7g).

7b. Soit dj,], une famille de réels indexée par (j, lc) EUR 1. On note bj : 
rfinaÎx [aj,k[, et on suppose
EUR j

que la série 2 b, est convergente.

Pour tout j E N, soit ff la fonction définie par

f Ï(OE) = 2 aj,k9j,k(æ) -

keTj

Montrer que la série z ff est uniformément convergente sur [0,1] vers une 
fonction noté f a, qui
appartient a Cg et qui vérifie, pour tout (j, lc) EUR I, cj,k(fa) : aj,k.

821. On suppose f de classe C 1. Montrer qu'il existe une constante M 2 0 telle 
que pour tous
(ja [EUR) EUR 17 [Cj7k(f)[ £ M2_j°

En déduire que la suite de fonction Sn f est uniformément convergente sur [O, 
1[ lorsque n
tend vers oo.

8b. On suppose f de classe C2. Montrer qu'il existe une constante M ' 2 0 telle 
que pour tous
(jvk) EUR 17 [Cj7k(f)[ £ Ml4_g°

9a. Montrer que pour tout n E N et tout EUR EUR %+1, la fonction Sn f est 
affine sur l'intervalle
[£2--n--1, (EUR + 1)2--n--1].

9b. Soit n E N. On suppose que pour tout EUR EUR %, (Sn--if)(Æ2_n) : f(Æ2_n). 
Montrer que
l'on a aussi que pour tout EUR EUR %+1, (Snf)(Æ2_n_l) : f(£2_n_l).

On pourra distinguer les cas suivant la parité de EUR.
9c. En déduire que pour tout n E N et tout EUR EUR %+1, (Snf)(Æ2_n_l) : 
f(£2_n_l).

10a. Déduire de la question 9 que pour tout f de Co, nl_lïloe llf _ Sanoe = 0.

10h. Soit n E N. Montrer que Sn est un projecteur sur Co, dont la norme 
subordonnée (à
H - Hoc) vaut 1.

1121. Soit 3 EUR ]0,1[. Montrer que si a, b 2 0, alors a.3 + 193 £ 21_3(a + b)3.

11b. Montrer que si f E F3(a30) fiCg, alors il existe un réel c1 > 0, tel que 
pour tout (j, lc) EUR 1,
on a,

\c,,k(f)\ g 01 (r?" + lk2_j -- æ0\)3 .
Troisième partie : min0ration de l'exposant de Hôlder ponctuel

L'objectif de cette partie est d'établir une forme de réciproque du résultat de 
la question
11b. Dans toute cette partie, on désigne par f E Cg une fonction vérifiant la 
propriété suivante :

(731) il existe 560 EUR [0,1], 3 EUR ]0,1[ et c1 EUR ]0, +oo[, tels que pour 
tout (j, lc) EUR I,
le,k(f)l £ c1(2----7' + vw -- OE0l)8 .
Dans tout le reste de cette partie, on fixe les 560, 3 et cl de la propriété 
731 et a: E [O, 1] \ {270}.
12. Montrer qu'il existe un unique 710 E N tel que 2_"0_1 < la: -- a:0l S 2_"0.

13. On rappelle que la notation là,--(a:) a été introduite en préambule de la 
deuxième partie.
On pose

W....-- = 2 lc;--.æ(f)l |H...<æ> -- e.,.<æo>| .

keî}

Montrer que
. N ... j+1 _
W.... £ (le,,,,(oe,l + \c,,,,.,,,l) 2 tv æo\ .
14a. Montrer que pour j £ no (no est déterminé dans la question 12), on a
Wj S 4c12(1_3)j33loe -- aîgl .

14h. En déduire que, en posant c2 : 8(21_3 -- 1)_1(3/2)8c1,

Z 2 lcj,k(f)l |9...<æ> -- e.,.<æo>| £ c.læ -- :... . .

j=0 keî}

15. Montrer que pour tout j E N, le (f)l £ 23<1_j)01. En déduire, en posant

03 = (1 -- 2--8)_12801,

j,kj(oeo)

+00
2 Z le,I--c(f)l l9j,k(oeo)l S CBlOE -- oeOls-

j=no+l kEUR'Îj

Dans la suite du problème, on suppose que M flloe : 1 et on rappelle que la 
fonction wf a été
définie a la question 3.

16. Montrer qu'il existe un unique nl E N tel que wf(2_nl_l) < 2_"03 S wf(2_nl).
17. Montrer que pour tout n 2 nl, où nl est déterminé dans la question 16, on a

Hf _ SanOO £ 28+1'oe _ oe0'8°

On pourra utiliser les résultats des questions 93 et 9e.

1821. Montrer que lorsque no < nl, on a,

Z Z le,k(f)l lQÿ,k(OE)l S 0133(n1 -- "O)loe -- oeOls-

j=no+1 kEURTj
On suppose de plus dans la suite que la fonction wf vérifie la propriété 
suivante :

(732) pour tout entier N 2 1, il existe un réel C4(N) > 0, tel que pour tout h 
EUR ]0,1],
wf(h) £ C4(N) (1 + l10g2 hl)_N -

18h. Pour tout entier N 2 1, on pose C5(N) : 3301(04(N))1/N. Montrer que

n1--nol s C5læ -- æ0\<1--w>s .

j=no+l kEUR'Îj

19. Déduire de ce qui précède que ozf(oe0) > 3

On pourra distinguer les cas no 2 nl et no < nl.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths B MP 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Samuel
Baumard (ENS Ulm) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE).

Ce sujet est consacré au thème original de l'exposant de Hölder ponctuel d'une
fonction continue.
· Dans la première partie on définit l'ensemble s (x0 ) des f  C([ 0 ; 1 ]) 
vérifiant
Hs,x0 (f ) =

|f (x) - f (x0 )|
< +
|x - x0 |s
xIr{x0 }
Sup

On y montre la décroissance de la fonction s 7 s (x0 ) pour l'inclusion, ce qui
permet de définir l'exposant de Hölder d'une fonction f en x0 par
f (x0 ) = Sup {s  [ 0 ; 1 [ | f  s (x0 )}
On étudie, de façon théorique ainsi que sur des exemples, le lien entre cet
exposant et le module de continuité de f défini pour h  [ 0 ; 1 ] par
n
o
f (h) = Sup |f (x) - f (y)| : (x, y)  [ 0 ; 1 ]2 et |x - y| 6 h
La dernière question de cette partie est astucieuse ; le reste relève de 
l'analyse
plus classique de première année.
· La deuxième partie est consacrée à l'étude du système dit de Schauder, 
c'est-àdire la famille indexée
j  N et k  [[ 0 ; 2j -1 ]] de fonctions positives « en tri par
-j
angle » de support k 2 ; (k + 1)2-j , de maximum 1 atteint en (k + 1/2)2-j .
Le résultat principal de cette partie est que toute fonction continue sur [ 0 ; 
1 ]
et nulle au bord de l'intervalle est développable en série de fonctions suivant
cette « base », avec convergence uniforme de la série et avec des « coefficients
de Schauder »
cj,k (f ) = f ((k + 1/2)2-j ) -

f (k 2-j ) + f ((k + 1)2-j )
2

Enfin, si f  s (x0 ) est nulle au bord, alors les coefficients de Schauder 
vérifient aussi une sorte d'inégalité höldérienne localisée en x0 dans laquelle 
intervient Hs,x0 (f ). Ici, beaucoup de technique et une compréhension fine de 
la position relative de deux subdivisons dyadiques différentes de [ 0 ; 1 ] 
sont requises.
· Enfin, dans la dernière partie on s'intéresse à une réciproque partielle de 
l'inégalité sur les coefficients obtenue en fin de deuxième partie, en rajoutant
une hypothèse de décroissance logarithmique sur le module de continuité f .
On en déduit une minoration de l'exposant de Hölder. Ici encore, peu de 
références au cours, mais beaucoup de technique, de rapidité d'esprit et 
d'aisance
dans les calculs sont nécessaires pour s'en sortir.
Ce sujet est long, difficile car technique, calculatoire, et éloigné du cours 
travaillé
pendant l'année. Même si les résultats développés sont intéressants et ont des 
applications concrètes en mathématiques (ondelettes, traitement du signal), 
dans l'optique
de l'entraînement aux concours il ne constitue pas vraiment un bon sujet de 
révision.

Indications
Première partie
-s1

-s

s -s

1.a Remarquer que |x - x0 |
= |x - x0 | 2 × |x - x0 | 2 1 avec s2 - s1 > 0.
Pour déterminer 0 (x0 ) : toute fonction continue sur [ 0 ; 1 ] y est bornée.
1.b Se servir du taux de variation de la fonction en x0 .
1.c Utiliser le fait que la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en zéro.
3.a Pour la croissance, établir que les ensembles dont on prend le supremum sont
croissants en h pour l'inclusion. Pour la continuité en zéro, calculer f (0) et
noter que toute fonction continue sur [ 0 ; 1 ] y est uniformément continue.
3.b Prendre h 6 h et (x, y)  [ 0 ; 1 ]2 vérifiant |x - y| 6 h et distinguer 
suivant
que |x - y| est inférieur ou supérieur à h.
4.a La relation |f (x) - f (y)| 6 f (|x - y|) est valable pour tous x, y  [ 0 ; 
1 ].
4.b Noter que q est continue sur [ 0 ; 1 ] et dérivable sur ] 0 ; 1 ]. Pour la 
deuxième
partie de la question, prendre hn = 2-2n et trouver xn et yn vérifiant
|yn - xn | 6 hn ,

et

cos(/xn ) = -1

cos(/yn ) = 1

Deuxième partie
5.a Distinguer les cas suivant la parité de k.

5.b Remarquer que j,k (x) 6= 0 équivaut à x  k 2-j ; (k + 1)2-j .

5.c Tracer la fonction j,k pour visualiser la continuité. Ensuite, si n > j, 
montrer

[  2-n ; ( + 1)2-n ]  p 2-j ; (p + 1)2-j

pour un certain entier k  Tj . Distinguer les cas suivant que p 6= k ou p = k.
-n
-n
Pour ce dernier on montrera
 -j que [  2 -j ;( + 1)2 ] est inclus dans l'une des
moitiés de l'intervalle k 2 ; (k + 1)2
.
 -j

5.d Distinguer suivant que x et y sont dans k 2 ; (k + 1)2-j ou non.
6 Se servir de l'uniforme continuité d'une fonction continue sur [ 0 ; 1 ].

7.a Distinguer suivant que j > i, i > j, ou i = j.
· Si j > i, utiliser la question 5.c.

· Si i > j, situer par rapport à l'intervalle  2-i ; ( + 1)2-i , les points
j,k = k 2-j ,

j,k = k 2-j + 2-j-1

et

j,k = (k + 1)2-j

En particulier, montrer qu'ils sont toujours en dehors ou à une extrémité
de cet intervalle, ce qui assure que la fonction i, y est nulle.
· Si i = j, utiliser le résultat de la question 5.b.
7.b Montrer la convergence normale de la série en majorant le terme général 
après
P
j,k . En utilisant des opérations sur les
avoir tracé le graphe de la fonction
kTj

séries convergentes, établir ensuite que
(j, k)  I

cj,k (f a ) =

P

+

j=0

cj,k (fja )

8.a Penser à l'inégalité des accroissements finis et au résultat de la question 
7.b.

8.b Utiliser la formule de Taylor-Lagrange avec la majoration du reste pour une
fonction de classe C 2 entre les points x et (x + y)/2, puis y et (x + y)/2.
9.a Se souvenir de la question 5.b.
9.b Expliciter une relation de récurrence entre Sn f et Sn-1 f puis distinguer 
suivant
la parité de . Si  est pair, utiliser la question 5.b. Si  est impair, utiliser 
en
plus la question 9.a.
9.c Interpréter le résultat de la question 9.b en termes d'hérédité d'une 
propriété
sur les entiers.
10.a Pour  > 0, utiliser un réel  > 0 associé et donné par l'uniforme 
continuité de f .
Pour x  [ 0 ; 1 ], considérer n > - log2  - 1 et  = e
kn+1 (x). En utilisant l'inégalité triangulaire, majorer la différence |f (x) - 
Sn f (x)| par la somme de trois
termes en introduisant les points f ( 2-n-1 ) et Sn f ( 2-n-1 ). Que fournissent
alors les questions 9.a et 9.c, ainsi que l'uniforme continuité de f ?
10.b Calculer Sn (j,k ) pour j  [[ 0 ; n ]] et k  Tj en utilisant la question 
7.a.
Pour la norme, remarquer que Sn f est affine par morceaux avec une subdivision 
qui fournit les maxima potentiels, puis utiliser la question 9.c. Trouver
enfin une fonction telle que Sn f = f .
11.a L'inégalité se réécrit : (as + bs )/2 6 ((a + b)/2)s
11.b Faire intervenir f (x0 ) par inégalité triangulaire dans la définition de 
cj,k (f )
puis examiner les trois cas

x0  k 2-j ; (k + 1)2-j
ou x0 < k2-j ou x0 > (k + 1)2-j
Troisième partie

12 Passer au logarithme en base 2 et utiliser la partie entière.
13. Noter que j,k (x) est non nul si et seulement si k = e
kj (x). Se servir ensuite du
résultat de la question 5.d.
14.a Commencer par utiliser la propriété (P1 ), puis l'inégalité de la question 
11.a,
et enfin montrer que
kj (x0 ) 2-j
x0 - e
kj (x) 2-j 6 |x - x0 | + x0 - e

14.b
15
16

17
18.a

Se souvenir ensuite que |x - x0 | 6 2-n0 et utiliser la condition j 6 n0 .
Sommer les inégalités de la question 14.a et se servir de la définition de n0 .
Ici encore, utiliser la définition de e
kj (x0 ) et de n0 .
Considérer X = {p  N | f (2-p ) > 2-n0 s }. Utiliser la condition kf k = 1
en lien avec le fait qu'une fonction continue sur un segment atteint ses bornes.
Montrer que X est majoré.
Reprendre le découpage de la question 10.a afin d'utiliser les questions 9.a et 
9.c
avec n > n1 , en majorant à présent à l'aide de f (2-n-1 ).
La somme portant sur Tj ne comporte qu'un élément. Se servir de (P1 ) puis se
rappeler que
x0 - e
kj (x) 2-j 6 |x - x0 | + 2-j

18.b La propriété (P2 ) donne l'inégalité droite par croissance de la fonction 
x 7 x1/N .
19 Majorer |f (x) - f (x0 )| par trois différences où interviennent Sn f (x) et 
Sn f (x0 ).
Distinguer ensuite les cas suivant que n0 > n1 ou n0 < n1 . Montrer que f
appartient à s (x0 ) dans le premier cas et à (1-1/N)s pour tout N  N dans
le second cas, grâce aux inégalités des questions 14.b, 15 et 18.b.

I. Définition de l'exposant de Hölder ponctuel
1.a Soient x0  [ 0 ; 1 ],   R, s  [ 0 ; 1 [ et f, g  s (x0 ). Posons h = f + g.
Alors h  C car C est un R-espace vectoriel et
x  [ 0 ; 1 ]
Notons Hs,x0 () =

|h(x) - h(x0 )| 6 || |f (x) - f (x0 )| + |g(x) - g(x0 )|
Sup

x[ 0 ;1 ]r{x0 }

|(x) - (x0 )|
pour toute fonction   s (x0 ).
s
|x - x0 |

Remarquons que pour tout   C, l'ensemble
{|(x) - (x0 )| / |x - x0 |

s

| x0  [ 0 ; 1 ]}

est un sous-ensemble non vide de R+ . Il admet par conséquent une borne
supérieure dans R+  {+}. Cela légitime la définition de s (x0 ).
Il vient alors
|h(x) - h(x0 )|
6 || Hs,x0 (f ) + Hs,x0 (g)
|x - x0 |s
La borne supérieure étant le plus petit des majorants on en déduit que
|h(x) - h(x0 )|
Sup
6 || Hs,x0 (f ) + Hs,x0 (g) < +
|x - x0 |s
x[ 0 ;1 ]r{x0 }
x  [ 0 ; 1 ] r {x0 }

f + g  s (x0 )

Par suite,

En remarquant que la fonction nulle appartient à s (x0 ) on peut ainsi conclure 
que
L'ensemble s (x0 ) est un sous-R-espace vectoriel de C.
Soient deux réels s1 , s2 vérifiant 0 6 s1 6 s2 < 1 et f  s2 (x0 ). Alors
|f (x) - f (x0 )|
|f (x) - f (x0 )|
s -s
s -s
=
× |x - x0 | 2 1 6 Hs,x0 (f ) |x - x0 | 2 1
|x - x0 |s1
|x - x0 |s2
Comme s2 - s1 > 0, il vient que |x - x0 |

s2 -s1

est borné, donc

|f (x) - f (x0 )|
< +
s
|x - x0 | 1
x[ 0 ;1 ]r{x0 }
Sup

c'est-à-dire f  s1 (x0 ). Finalement,
 0 6 s1 6 s2 < 1
Enfin, par définition,

0 (x0 ) = f  C |

Sup
x[ 0 ;1 ]r{x0 }

s2 (x0 )  s1 (x0 )

|f (x) - f (x0 )| < +  C

Réciproquement, si f  C, alors la fonction x 7- f (x) - f (x0 ) est continue sur
l'intervalle compact [ 0 ; 1 ], donc elle y est bornée. A fortiori
Sup

|f (x) - f (x0 )| < +

x[ 0 ;1 ]r{x0 }

Cela montre que C  0 (x0 ). Ainsi,
 x0  [ 0 ; 1 ]

0 (x0 ) = C