X Maths 2 MP 2012

Thème de l'épreuve Valeurs d'adhérence de séries entières sur le cercle de convergence
Principaux outils utilisés séries entières, moyenne de Césaro, sommes d'exponentielles
Mots clefs séries entières, Césaro

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

FILIÈRE

CONCOURS D'ADMISSION 2012

MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES ­ B ­ (X)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Valeurs d'adhérence de séries entières sur le cercle de convergence
La notation i étant réservée (c'est un nombre complexe dont le carré est -1) 
les candidats
éviteront de l'utiliser à d'autres fins, par exemple comme indice de suite, de 
sommation ou de
produit.
Première partie : convergence au sens de Césaro
Soit (an )n>0 une suite de nombres complexes. On dit qu'elle est C-convergente 
si la suite
(mn )n>0 définie par
n > 0,

mn =

a0 + a1 + · · · + an
n+1

est convergente et on appelle alors C-limite de (an )n>0 la limite de la suite 
(mn )n>0 .
1. Montrer que toute suite convergente est C-convergente et donner un exemple 
de suite
C-convergente mais non convergente.
2. Montrer que si la suite (an )n>0 est C-convergente, alors lim

n

an
= 0.
n

3. Montrer que pour tout   ]0, 1[, la suite de terme général an = (-1)n n est 
C-convergente.
X

Si (bn )n>0 est une suite de nombre complexes, on dit que la série
bn est C-convergente si
la suite des sommes partielles de la série est C-convergente et la C-limite de 
la suite des sommes
partielles sera appelée C-limite de la série.
Soit

X

cn z n une série entière de rayon de convergence R > 0. On note pour tout n > 0,
Sn (z) =

n
X

ck z k ,

n (z) =

k=0

1

S0 (z) + S1 (z) + · · · + Sn (z)
.
n+1

4. Soit z0 un nombre complexe tel que la série
|z0 | 6 R.

X

cn z0n soit C-convergente. Montrer que

X

Si z0  C est tel que
cn z0n est C-convergente, on note (z0 ) sa C-limite. On note F
l'ensemble des nombres complexes de module R pour lesquels la série est 
C-convergente.
X

5. Pour chacune des séries entières
cn z n suivantes, déterminer le rayon de convergence,
l'ensemble F et la valeur de (z) pour tout z  F .
5a. n  N, cn = 1.
5b. n  N, c2n = ,

c2n+1 =  + ,

5c. n  N, cn = 1 + ein ,

,   C,

  ]0, 1[,

 6= 0,

2 +  6= 0.

  R.

Deuxième partie : un théorème de Kronecker
On rappelle que des nombres réels x1 , . . . , xm sont linéairement 
indépendants sur Q s'ils
forment un système libre de R considéré comme Q-espace vectoriel.
Soit Cb (R, C) le C-espace vectoriel des fonctions continues bornées de R dans 
C. Il est muni
de la norme définie pour toute fonction f  Cb (R, C) par
||f || = sup |f (x)| .
xR

Si   R, on désigne par e  Cb (R, C) la fonction définie par e (t) = eit . Soit 
E le
sous-espace de Cb (R, C) engendré par les fonctions e ,   R.
Z

1 x
f (t) dt admet une limite lorsque x
2x -x
tend vers + qu'on note M (f ). Vérifier que f 7 M (f ) est une forme linéaire 
continue sur E.
6a. Montrer que pour tout f  E, la fonction x 7

6b. Montrer que (e )R est une base de E et que pour tout f  E, M (f ) est la 
coordonnée
de f suivant e0 dans la base des (e )R .
6c. Montrer que si f, g  E alors il en est de même de f g. Dans le cas où g est 
à valeurs
réelles positives, établir que |M (f g)| 6 ||f || M (g).
7. On pose pour tout entier N > 0, KN =

N
X

j=-N

7a. Montrer que KN (t) = 1 +

Ç

|j|
1-
N +1

å

ej .

N
X

2j
cos((N + 1 - j)t).
N +1
j=1

7b. Montrer que pour tout t  R \ 2Z,
N
sin( N 2+1 t) X
N
1
=
ei( 2 -k)t puis que KN (t) =
t
N +1
sin( 2 )
k=0

2

Ñ

Ä

N +1
2 t
sin( 2t )

sin

ä é2

.

Dans la suite de cette partie, on fixe un entier n > 1, des nombres réels 1 , . 
. . , n , n+1
linéairement indépendants sur Q, des nombres réels positifs r0 , . . . , rn+1 
et des nombres réels
1 , . . . , n+1 .
Pour j = 1, . . . , n + 1, on pose aj = rj eij et pour tout x  R, f (x) = r0 +

8. Pour tout entier N > 0, on pose gN (x) =

n+1
Y

n+1
X

aj eij x .

j=1

KN (p x + p ).

p=1

8a. Écrire gN comme combinaison linéaire de fonctions e avec  de la forme
 = k1 1 + · · · + kn+1 n+1 , ki  {-N, . . . , N } .
En déduire que M (gN ) = 1.
8b. Montrer que M (f gN ) = r0 +

8c. En déduire que ||f || =

n+1
X

X
N n+1
rj .
N + 1 j=1

rj , (on pourra utiliser 6c).

j=0

9. Soient u1 , . . . , um des nombres complexes de module 1 et  un réel 
strictement positif. On

suppose que |u1 +· · ·+um | > m-. Montrer que si k 6= j on a |uk +uj | > 2- et 
|uk -uj | 6 2 .
Dans la suite on suppose de plus que n+1 = 2, rj = 1 pour tout j  {1, . . . , n 
+ 1} et
n+1 = 0, de sorte que f (x) = 1 +

n
X

eij eij x + ei2x .

j=1

10a. Montrer qu'il existe une suite de nombres réels (xm )mN telle que lim |f 
(xm )| = n+2.
m+

10b. Montrer qu'une telle suite (xm )mN vérifie pour tout j  {1, . . . , n},
lim eij xm = e-ij ,

m+

lim ei2xm = 1 .

m+

10c. Posons xm = Nm + ym , avec ym  [- 12 , 12 [ et Nm  Z. Montrer que

que pour tout j  {1, . . . , n}, on a

ij Nm

lim e

m+

-ij

=e

lim ym = 0, puis

m+

.

11. Dans cette question, on considère le cas particulier où j = , pour tout j  
{1, . . . , n},
de sorte que f (x) = 1 -

n
X

eij x + ei2x .

j=1

11a. Montrer que sur tout intervalle fermé borné I de R, sup |f (x)| < n + 2.
xI

 )
11b. En déduire l'existence d'une suite (Nm
mN d'entiers relatifs telle que lim Nm = ±
m+

3

et pour tout j  {1, . . . , n},

lim eij Nm = -1. Que peut-on dire des suites (ei2j Nm )mN ?

m+

12. Déduire de ce qui précède le théorème suivant.
Théorème de Kronecker. Soient 1 , . . . , n des réels tels que 1 , . . . , n ,  
sont linéairement indépendants sur Q. Soient 1 , . . . , n des réels. Alors il 
existe une suite (Nm )mN d'entiers
naturels tels que lim Nm = + et pour tout j  {1, . . . , n}, lim eij Nm = eij .
m+

m+

Troisième partie : valeurs d'adhérence aux points de C-convergence
On rappelle que  est une valeur d'adhérence de la suite (un )nN s'il existe une 
application
strictement croissante  : N  N telle que  = lim u(n) .
n+

X

Les valeurs d'adhérence d'une série sont celles de la suite de ses sommes 
partielles. Si
cn z n
est X
une série entière et z0  C, on note L(z0 ) l'ensemble des valeurs d'adhérence 
de la série
cn z0n . Dans cette partie, on étudie l'ensemble L(z0 ), z0  F , pour les 
exemples de la
question 5. Les notations F , (z) sont celles de la première partie.
x
x
 Q. Lorsque 
/ Q, montrer

que L(eix ) est un cercle de centre (eix ) dont on déterminera le rayon.
13a. On reprend l'exemple 5a. Déterminer L(eix ), lorsque

x

/ Q,  6= 0 et  
/ R. Montrer que L(eix )

est réunion de deux cercles de centre (eix ) dont on déterminera les rayons.
13b. On reprend l'exemple 5b. On suppose que

13c. On reprend l'exemple 5c. On suppose que les nombres x, ,  sont 
linéairement indépendants sur Q. Montrer que pour  > 0 suffisamment petit,
L(eix ) = {  C; | - (eix )|  [r1 , r2 ]}
pour des réels 0 < r1 < r2 que l'on déterminera.

4

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths B MP 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jules Svartz (ENS Cachan) ; il a été relu par Yvon
Vignaud (Professeur en CPGE) et Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à 
l'université).

Toute série entière converge absolument à l'intérieur de son disque ouvert de
convergence. Sur le bord peut apparaître chacune des situations de convergence 
absolue, de convergence simple ou de divergence. Le problème porte 
essentiellement sur
des outils pour étudier la divergence de séries entières en des points de ce 
bord.
· La première partie introduit la convergence au sens de Césaro, appelée 
Cconvergence, d'une suite ouP
d'une série, qui est plus générale que la convergence
usuelle. Une série entière
cn z n est C-convergente en z0 et de C-limite  si
la suite des moyennes des n premières sommes partielles en z0 converge vers .
Le sujet pose des questions classiques sur les suites et les séries entières. 
La dernière question demande une certaine technicité calculatoire pour 
déterminer le
domaine de C-convergence sur trois exemples.
· La seconde partie, indépendante de la première, propose d'établir le théorème
de Kronecker qui généralise à n complexes le résultat classique suivant : si z  
C
est de module 1 sans être une racine de l'unité, alors l'ensemble {z k | k  N} 
est
dense dans U = {z  C | |z| = 1}. On y trouve de nombreuses manipulations
de sommes et d'exponentielles complexes. C'est la partie la plus longue et la
plus technique du problème alors qu'elle porte essentiellement sur les suites
numériques.
· La troisième partie reprend les trois exemples de la première partie. À 
l'aide du
théorème de Kronecker, on détermine l'ensemble des valeurs d'adhérence des
sommes partielles d'une série entière en un point de C-convergence se trouvant
sur le bord du disque de convergence. Cette partie demande une grande part
d'autonomie pour répondre aux questions.

Indications
Partie I
1 La suite (mn )nN a en fait la même limite que (an )nN . Choisir  > 0 et couper
la somme mn en deux parties.
2 Exprimer an en fonction de mn et de mn-1 .
n
P
3 L'expression
ak est une somme alternée dans le sens où les termes sont
k=0

alternativement positifs et négatifs. Utiliser en outre la croissance de (|ak 
|)kN
n
P
pour majorer
ak .
k=0

4 Appliquer deux fois le résultat de la question 2. Que peut-on dire des rayons 
de
P cn n
P
convergence des séries
z et cn z n ?
n
Partie II
Z
1 x
6.a Pour toute fonction f dans E, introduire la fonction x 7
f (t) dt, et se
2x -x
ramener par combinaisons linéaires au cas des fonctions x 7 eix .
P
6.b Pour montrer que les coefficients d'une combinaison linéaire S = a e 
supposée nulle sont nuls, on pourra utiliser astucieusement la forme linéaire M,
en remarquant que multiplier S par une fonction e0 permet de translater les
indices, puisque e e0 = e+0 .
N
P
ia
ia
ia
N
7.b Partir de
ei( 2 -k)t et remarquer que 1 - e-ia = e- 2 (e 2 - e- 2 ).
k=0

7.c Utiliser la question précédente en partant du terme de droite.
8.a Développer le produit !
8.b Dans le produit f gN , on ne s'intéresse en fait qu'aux produits de termes 
colinéaires à e0 .
9 Appliquer l'identité du parallélogramme à uk et uj .
10.a Utiliser le résultat de la question 8.c.
10.b Exploiter la question 9.
10.c Montrer tout d'abord que sin(ym ) ---- 0 et utiliser ensuite la concavité 
de
m

la fonction sin sur [ 0 ; /2 ] pour conclure.
11.b L'égalité lim Nm = +
-  est à comprendre comme
m+

lim Nm = +

m+

ou

lim Nm = -.

m+

On pourra d'abord montrer que la suite (xm )mN n'est pas bornée, et procéder
à une extraction.
12 Utiliser les deux suites construites dans les questions 10.c et 11.b. On 
pourra
encore une fois procéder à une extraction, et s'assurer que la suite (Nm )mN
ainsi construite est strictement croissante, ce qui est utile dans la partie 
III.
Partie III
13.a Appliquer le théorème de Kronecker à la famille {x, }.
13.b Appliquer le théorème de Kronecker à la famille {x, , }.
13.c Appliquer le théorème de Kronecker à la famille {x,  + x, }.

I. Convergence au sens de Césaro
Dans tout le corrigé, on désigne par U l'ensemble {z  C | |z| = 1} des
complexes de module 1.
1 Supposons (an )nN convergente de limite   C. Montrons que (mn )nN converge
elle aussi vers . Soient n  N et  > 0. L'inégalité triangulaire donne
n
1 P
|aj - |
|mn - | 6
n + 1 j=0
Puisque (an )nN converge vers ,

n1  N

n > n1

|an - | 6

2

Par conséquent, pour tout n > n1
|mn - | 6
6
|mn - | 6

n
1 -1
1 nP
1 P
|aj - | +
|aj - |
n + 1 j=0
n + 1 j=n1

1 -1
1 nP
1 (n - n1 + 1)
|aj - | +
n + 1 j=0
n+1
2
1 -1
1 nP

|aj - | +
n + 1 j=0
2

1 -1
1 nP
|aj - | décroît vers 0
n + 1 j=0
puisque la somme est constante par rapport à n et que 1/(n + 1) tend vers 0 en
décroissant. Par suite,

De plus, lorsque n tend vers +, la quantité

n2  N

n > n2

1 -1
1 nP

|aj - | 6
n + 1 j=0
2

Prenons n0 = Max (n1 , n2 ), on a donc montré
n0  N
Autrement dit,

n > n0

|mn - | 6 

La suite (mn )nN converge vers .

Cette démonstration est un classique à maîtriser.
Considérons maintenant la suite (an )nN telle que an = (-1)n pour tout n.
Cette suite n'est pas convergente, mais
(
1
si n est pair
(n + 1) mn = a0 + · · · + an =
0 si n est impair
Ainsi, mn ---- 0.
n

La suite ((-1)n )nN est C-convergente mais n'est pas convergente.

2 Remarquons que pour tout n supérieur ou égal à 1,
an
n
= mn -
mn-1
n+1
n+1

an
n+1
n
=
mn -
mn-1
et donc
n
n
n+1

Si (an )nN est C-convergente vers , les deux suites (mn )nN et (mn-1 )nN ont 
même
n
n+1
limite . De plus,
---- 1 et
---- 1 donc
n
n + 1 n
n
an
=0
n

lim

n+

3 Remarquons que la suite (an )nN proposée a ses termes
alternativement positifs
(
R+ - R+
et négatifs. De plus, pour tout  > 0, la fonction f :
est strictement
x 7- x
croissante. Soit n  N.
· Si n = 2p est pair, on a, d'une part,
2p
P

ak =

k=0

donc

2p
P

p-1
P

(a2k + a2k+1 ) + an =

p-1
P

(f (2k) - f (2k + 1)) +an
{z
}

k=0 |

k=0

ak 6 an . D'autre part,

60 car f croissante

k=0
2p
P

k=0

ak = a0 +

p-1
P

(a2k+1 + a2k+2 ) =

p-1
P

(-f (2k + 1) + f (2k + 2)) > 0
{z
}

k=0 |

k=0

Par conséquent, si n est pair, 0 6

n
P

>0 car f croissante

ak 6 n

k=0

· Si n = 2p + 1 est impair, écrivons

2p+1
P

ak =

k=0

06

2p
P

2p
P

ak + a2p+1 . D'après le cas pair,

k=0

ak 6 (n - 1)

k=0

donc

-n = 0 + a2p+1 6

2p+1
P

ak 6 (n - 1) - n 6 0

k=0

Ainsi, si n est impair,

-n 6

n
P

ak 6 0

k=0

Par suite, pour toutes les valeurs de n, paires ou impaires,
|mn | 6

n
1
6 1- ---- 0
n
n+1
n

car   ] 0 ; 1 [

La suite de terme général an = (-1)n n est C-convergente de C-limite 0.