X Maths 2 MP 2012

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

FILIÈRE

CONCOURS D'ADMISSION 2012

MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES ­ B ­ (X)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Valeurs d'adhérence de séries entières sur le cercle de convergence
La notation i étant réservée (c'est un nombre complexe dont le carré est -1) 
les candidats
éviteront de l'utiliser à d'autres fins, par exemple comme indice de suite, de 
sommation ou de
produit.
Première partie : convergence au sens de Césaro
Soit (an )n>0 une suite de nombres complexes. On dit qu'elle est C-convergente 
si la suite
(mn )n>0 définie par
n > 0,

mn =

a0 + a1 + · · · + an
n+1

est convergente et on appelle alors C-limite de (an )n>0 la limite de la suite 
(mn )n>0 .
1. Montrer que toute suite convergente est C-convergente et donner un exemple 
de suite
C-convergente mais non convergente.
2. Montrer que si la suite (an )n>0 est C-convergente, alors lim

n

an
= 0.
n

3. Montrer que pour tout   ]0, 1[, la suite de terme général an = (-1)n n est 
C-convergente.
X

Si (bn )n>0 est une suite de nombre complexes, on dit que la série
bn est C-convergente si
la suite des sommes partielles de la série est C-convergente et la C-limite de 
la suite des sommes
partielles sera appelée C-limite de la série.
Soit

X

cn z n une série entière de rayon de convergence R > 0. On note pour tout n > 0,
Sn (z) =

n
X

ck z k ,

n (z) =

k=0

1

S0 (z) + S1 (z) + · · · + Sn (z)
.
n+1

4. Soit z0 un nombre complexe tel que la série
|z0 | 6 R.

X

cn z0n soit C-convergente. Montrer que

X

Si z0  C est tel que
cn z0n est C-convergente, on note (z0 ) sa C-limite. On note F
l'ensemble des nombres complexes de module R pour lesquels la série est 
C-convergente.
X

5. Pour chacune des séries entières
cn z n suivantes, déterminer le rayon de convergence,
l'ensemble F et la valeur de (z) pour tout z  F .
5a. n  N, cn = 1.
5b. n  N, c2n = ,

c2n+1 =  + ,

5c. n  N, cn = 1 + ein ,

,   C,

  ]0, 1[,

 6= 0,

2 +  6= 0.

  R.

Deuxième partie : un théorème de Kronecker
On rappelle que des nombres réels x1 , . . . , xm sont linéairement 
indépendants sur Q s'ils
forment un système libre de R considéré comme Q-espace vectoriel.
Soit Cb (R, C) le C-espace vectoriel des fonctions continues bornées de R dans 
C. Il est muni
de la norme définie pour toute fonction f  Cb (R, C) par
||f || = sup |f (x)| .
xR

Si   R, on désigne par e  Cb (R, C) la fonction définie par e (t) = eit . Soit 
E le
sous-espace de Cb (R, C) engendré par les fonctions e ,   R.
Z

1 x
f (t) dt admet une limite lorsque x
2x -x
tend vers + qu'on note M (f ). Vérifier que f 7 M (f ) est une forme linéaire 
continue sur E.
6a. Montrer que pour tout f  E, la fonction x 7

6b. Montrer que (e )R est une base de E et que pour tout f  E, M (f ) est la 
coordonnée
de f suivant e0 dans la base des (e )R .
6c. Montrer que si f, g  E alors il en est de même de f g. Dans le cas où g est 
à valeurs
réelles positives, établir que |M (f g)| 6 ||f || M (g).
7. On pose pour tout entier N > 0, KN =

N
X

j=-N

7a. Montrer que KN (t) = 1 +

Ç

|j|
1-
N +1

å

ej .

N
X

2j
cos((N + 1 - j)t).
N +1
j=1

7b. Montrer que pour tout t  R \ 2Z,
N
sin( N 2+1 t) X
N
1
=
ei( 2 -k)t puis que KN (t) =
t
N +1
sin( 2 )
k=0

2

Ñ

Ä

N +1
2 t
sin( 2t )

sin

ä é2

.

Dans la suite de cette partie, on fixe un entier n > 1, des nombres réels 1 , . 
. . , n , n+1
linéairement indépendants sur Q, des nombres réels positifs r0 , . . . , rn+1 
et des nombres réels
1 , . . . , n+1 .
Pour j = 1, . . . , n + 1, on pose aj = rj eij et pour tout x  R, f (x) = r0 +

8. Pour tout entier N > 0, on pose gN (x) =

n+1
Y

n+1
X

aj eij x .

j=1

KN (p x + p ).

p=1

8a. Écrire gN comme combinaison linéaire de fonctions e avec  de la forme
 = k1 1 + · · · + kn+1 n+1 , ki  {-N, . . . , N } .
En déduire que M (gN ) = 1.
8b. Montrer que M (f gN ) = r0 +

8c. En déduire que ||f || =

n+1
X

X
N n+1
rj .
N + 1 j=1

rj , (on pourra utiliser 6c).

j=0

9. Soient u1 , . . . , um des nombres complexes de module 1 et  un réel 
strictement positif. On

suppose que |u1 +· · ·+um | > m-. Montrer que si k 6= j on a |uk +uj | > 2- et 
|uk -uj | 6 2 .
Dans la suite on suppose de plus que n+1 = 2, rj = 1 pour tout j  {1, . . . , n 
+ 1} et
n+1 = 0, de sorte que f (x) = 1 +

n
X

eij eij x + ei2x .

j=1

10a. Montrer qu'il existe une suite de nombres réels (xm )mN telle que lim |f 
(xm )| = n+2.
m+

10b. Montrer qu'une telle suite (xm )mN vérifie pour tout j  {1, . . . , n},
lim eij xm = e-ij ,

m+

lim ei2xm = 1 .

m+

10c. Posons xm = Nm + ym , avec ym  [- 12 , 12 [ et Nm  Z. Montrer que

que pour tout j  {1, . . . , n}, on a

ij Nm

lim e

m+

-ij

=e

lim ym = 0, puis

m+

.

11. Dans cette question, on considère le cas particulier où j = , pour tout j  
{1, . . . , n},
de sorte que f (x) = 1 -

n
X

eij x + ei2x .

j=1

11a. Montrer que sur tout intervalle fermé borné I de R, sup |f (x)| < n + 2. xI ) 11b. En déduire l'existence d'une suite (Nm mN d'entiers relatifs telle que lim Nm = ± m+ 3 et pour tout j  {1, . . . , n}, lim eij Nm = -1. Que peut-on dire des suites (ei2j Nm )mN ? m+ 12. Déduire de ce qui précède le théorème suivant. Théorème de Kronecker. Soient 1 , . . . , n des réels tels que 1 , . . . , n , sont linéairement indépendants sur Q. Soient 1 , . . . , n des réels. Alors il existe une suite (Nm )mN d'entiers naturels tels que lim Nm = + et pour tout j  {1, . . . , n}, lim eij Nm = eij . m+ m+ Troisième partie : valeurs d'adhérence aux points de C-convergence On rappelle que  est une valeur d'adhérence de la suite (un )nN s'il existe une application strictement croissante  : N  N telle que  = lim u(n) . n+ X Les valeurs d'adhérence d'une série sont celles de la suite de ses sommes partielles. Si cn z n est X une série entière et z0  C, on note L(z0 ) l'ensemble des valeurs d'adhérence de la série cn z0n . Dans cette partie, on étudie l'ensemble L(z0 ), z0  F , pour les exemples de la question 5. Les notations F , (z) sont celles de la première partie. x x Q. Lorsque / Q, montrer que L(eix ) est un cercle de centre (eix ) dont on déterminera le rayon. 13a. On reprend l'exemple 5a. Déterminer L(eix ), lorsque x / Q,  6= 0 et / R. Montrer que L(eix ) est réunion de deux cercles de centre (eix ) dont on déterminera les rayons. 13b. On reprend l'exemple 5b. On suppose que 13c. On reprend l'exemple 5c. On suppose que les nombres x, ,  sont linéairement indépendants sur Q. Montrer que pour  > 0 suffisamment petit,
L(eix ) = {  C; | - (eix )|  [r1 , r2 ]}
pour des réels 0 < r1 < r2 que l'on déterminera. 4