X Maths 2 MP 2011

Thème de l'épreuve Transformation d'Euler et accélération de la convergence
Principaux outils utilisés comparaisons de suites, séries numériques, polynômes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

FILIÈRE

CONCOURS D'ADMISSION 2011

MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES ­ B ­ (X)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Transformation d'Euler et accélération de la convergence
Dans ce problème, R désigne l'ensemble des réels, R+ est l'ensemble des réels 
positifs et R+
l'ensemble des réels strictement positifs. La notation N désigne l'ensemble des 
entiers naturels
et N l'ensemble des entiers naturels non nuls.
On note E l'espace vectoriel des suites réelles. On note u = (un )nN une suite 
réelle de terme
général un . On considère l'endomorphisme  de E qui à toute suite u = (un )nN 
associe la suite
de terme général (u)n = un+1 - un , n  N.
On pose, pour k et n dans N,
Ç å

n
k

Ç å

n
k

=

n!
si n  k. On convient que 0! = 1 et que
k!(n - k)!

= 0 si k > n.

Les candidats vérifieront la convergence des séries qu'ils rencontrent, même si 
cela n'est pas
explicitement demandé.
Première partie : suites complètement monotones
Pour tout p  N , on note p le p-ième itéré de  défini par p =   p-1 , et par
convention, 0 est l'identité de E.
On dit qu'une suite (un )nN est complètement monotone si pour tous entiers 
naturels p et n
on a
(-1)p (p u)n > 0.
1. Soit f une fonction sur R+ à valeurs réelles et indéfiniment dérivable. On 
considère la
suite de terme général un = f (n).

1

1a. Montrer que pour tout entier p  1 et tout entier n, il existe un réel x 
dans l'intervalle
]n, n + p[ tel que
(p u)n = f (p) (x).
On pourra raisonner par récurrence en considérant la fonction g(x) = f (x + 1) 
- f (x) et la suite
de terme général vn = g(n).
1
. Montrer que (an )nN est complète1b. On considère la suite de terme général an 
=
n+1
ment monotone.
2a. Démontrer que pour tout p  1, on a
(p u)n =

p
X

(-1)p-k

k=0

Ç å

p
k

un+k .

2b. Soit b ]0, 1[. On considère la suite de terme général bn = bn . Calculer (p 
b)n pour tous
les entiers naturels n et p et en déduire que (bn )nN est complètement monotone.
Soit  une fonction continue et positive sur [0, 1], non identiquement nulle. 
Jusqu'à la fin de
la première partie, on considère la suite de terme général un =

Z 1

tn (t) dt.

0

3a. Montrer que la série de terme général (-1)k uk converge et que
+
X

k

(-1) uk =

k=0

Z 1
(t)
0

1+t

dt.

3b. Montrer que la suite (un )nN est complètement monotone.
3c. Démontrer que
+
X

(-1)k uk =

k=0

X
1 +
2 p=0

Z 1Å
ã
1-t p
0

2

(t) dt.

3d. En déduire que l'on a
+
X

(-1)k uk =

k=0

+
X

(-1)p p
( u)0 .
2p+1
p=0

4. Déduire des questions précédentes que
ln 2 =

5. On pose En =

n
1X
2 k=0

+
X

+
X
(-1)n
1
=
.
n+1
(p + 1)2p+1
n=0
p=0

Z 1Å
ã
1-t k
0

2

(t) dt.

2

5a. Montrer que
En =

n
X
(-1)p
p=0

5b. On pose S =

+
X

2p+1

(p u)0 .

(-1)k uk . Montrer que |S - En | 

k=0

S
.
2n+1

Deuxième partie : Transformée d'Euler
Dans cette partie, on se donne une suite (un )nN telle que la série de terme 
général (-1)n un
soit convergente, et l'on note S sa somme. On ne suppose aucune autre propriété 
particulière de cette suite (un )nN . Le but est de démontrer que
S=

+
X

(-1)k uk =

k=0

On dit que la série

X (-1)p

2p+1

+
X

(-1)p p
( u)0 .
2p+1
p=0

(p u)0 est la transformée d'Euler de la série

X

(-1)k uk .

6a. Montrer que pour tout p  N, on a lim (p u)n = 0.
n

p
1 X p
rk = 0.
de limite nulle, on a lim p
p 2
k
k=0

Ç å

6b. Montrer que pour toute suite (rn )nN
7a. Montrer que pour tout n  N, on a
un =

Ç
+
X
p=0

(-1)p p
(-1)p+1 p+1
(
u)
-
( u)n .
n
2p
2p+1
å

7b. Montrer que pour tout p  N, on a
+
X
(-1)p p
(
u)
=
(-1)n
0
p+1
2
n=0

8a. On pose En =

n
X
(-1)p
p=0

2p+1

Ç

(-1)p p
(-1)p+1 p+1
(
u)
-
( u)n .
n
2p
2p+1
å

(p u)0 . Montrer que

En - S = -

1
2n+1

Ç
n+1
X
p=0

åÑ

n+1
p

8b. Conclure.

3

X

é

(-1)k uk

kp

.

Troisième partie : une amélioration de la méthode
Dans cette partie, comme dans la question 3, on se donne une fonction  continue
et positive
Z
1

sur [0, 1], non identiquement nulle. On considère la suite de terme général un =
on pose
S=

+
X

tn (t) dt et

0

(-1)k uk .

k=0

On se donne aussi une suite de polynômes à coefficients réels (Pn )nN telle que 
pour tout n,
Pn (-1) 6= 0. Pour tout n  N, on pose
1
Tn =
Pn (-1)
9a. Montrer que S - Tn =

Z 1
0

9b. En déduire que |S - Tn | 

Z 1
Pn (-1) - Pn (t)

1+t

0

(t) dt.

Pn (t)
(t) dt.
Pn (-1)(1 + t)
SMn
où Mn = sup |Pn (t)|.
|Pn (-1)|
t[0,1]

10. Dans cette question, on choisit comme suite de polynômes Pn (x) = (1 - x)n 
. Donner une
majoration explicite de |S - Tn |, en fonction de S et n.
11. Dans cette question, on choisit comme suite de polynômes Pn (x) = (1 - 2x)n 
. Donner
une majoration explicite de |S - Tn |, en fonction de S et n.
12a. Démontrer l'existence et l'unicité d'une suite de polynômes (Pn )nN 
vérifiant les conditions suivantes : pour tout n  N, pour tout t  R,
deg Pn = n,

Pn (sin2 t) = cos(2nt)

12b. Calculer Pn (-1) pour tout n  N.
12c. Donner une majoration explicite de |S - Tn |.
Quatrième partie : comparaison des méthodes sur un exemple
+
n
n
X
X
X
1
1
,S=
(-1)k uk , Sn =
(-1)k uk , En =
et
n+1
(k + 1)2k+1
k=0
k=0
k=0
Pn (-1) - Pn (t)
dt, où les Pn sont les polynômes de la question 12.
1+t

Dans cette partie, un =
1
Tn =
Pn (-1)

Z 1
0

13. Donner un équivalent de S - Sn et de S - En . Comparez la vitesse de 
convergence de Tn
avec celle de Sn et En . Donner un équivalent de S - Tn .

4

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths B MP 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Jules Svartz (ENS Cachan) et Tristan Poullaouec (Professeur agrégé).

Ce sujet porte sur des méthodes d'accélération de la convergence de séries 
numériques et aborde en particulier la transformation d'Euler. Il comporte 
quatre parties.
· Dans la première partie, on étudie des suites complètement monotones, 
c'est-àdire des suites réelles u telles que (-1)p (p u)n > 0 pour tous entiers 
naturels n
et p, où  désigne l'opérateur qui, à une suite u, associe la suite de terme 
général
un+1 - un . C'est dans cette partie qu'est définie la série alternée qui est 
étudiée
tout au long du problème. On montre qu'elle converge et que sa somme S est
également celle d'une autre série, à la convergence plus rapide. Ce résultat est
appliqué en particulier à la série harmonique alternée.
· La deuxièmeP
partie aborde la transformation d'Euler d'une série convergente
de la forme (-1)k uk , où u est une suite réelle : il s'agit d'écrire sa somme
comme celle d'une autre série, faisant appel à l'opérateur  défini dans la
première partie.
· Dans la partie III, on utilise une famille de polynômes proche de la famille
des polynômes de Tchebychev afin de construire une suite de limite S, qui
converge plus rapidement vers S que les sommes partielles des séries étudiées
précédemment.
· Enfin, dans la quatrième partie, qui ne comporte qu'une question, on compare
précisément les différentes vitesses de convergence vers S, dans le cadre de la
série harmonique alternée, pour laquelle S = ln 2, et on donne des équivalents
des restes.
Ce problème est intéressant et progressif ; il peut dans sa majeure partie être
traité dès que le chapitre sur les séries numériques a été étudié en classe. De 
nombreuses questions, en particulier dans la partie III, peuvent même être 
abordées dès
la première année de classe préparatoire. Signalons que cette épreuve est 
proche de
celle donnée en 2007 à ce même concours aux étudiants de la filière PSI.

Indications
Partie I
1.a Faire une récurrence sur p en utilisant l'indication de l'énoncé dans 
l'hérédité.
1.b Appliquer le résultat de la question précédente à une fonction bien choisie.
2.a Procéder par récurrence sur p.
2.b Appliquer le résultat de la question précédente à la suite étudiée.
3.a Pour démontrer la convergence, on peut appliquer le critère des séries 
alternées.
3.b Se servir de la formule établie à la question 2.a.
3.c Démontrer la convergence normale de la série de fonctions pour intervertir 
le
symbole de sommation avec l'intégrale sur un segment.
3.d Utiliser la formule établie à la question 3.b pour n = 0.
4 Appliquer ce qui précède avec une bonne fonction .
Z 1
5.b Majorer (1-t)p (t) dt à l'aide de S en se servant de la croissance de 
l'intégrale.
0

Partie II
6.b S'inspirer de la démonstration du théorème de Cesàro en observant que les
coefficients binomiaux dépendent de p : ce n'est pas sa généralisation 
habituelle.
7.a Reconnaître une série télescopique et utiliser le résultat de la question 
6.b.
7.b Calculer les sommes partielles de la série en faisant apparaître une somme 
télescopique, puis appliquer le résultat de la question 6.a.
8.a Utiliser le résultat de la question 7.b pour calculer En - S, puis la 
formule de la
question 2.a afin de faire apparaître la somme de séries du membre de droite.
Partie III
12.a Se souvenir des démonstrations de l'existence et de l'unicité de la 
famille des
polynômes de Tchebychev et s'en inspirer.
12.b Selon la méthode utilisée dans la question précédente, utiliser les 
résultats du
cours sur les suites récurrentes linéaires doubles ou bien faire un calcul 
direct.
Partie IV
13 Écrire S-Sn sous forme intégrale et déterminer un équivalent de cette 
intégrale.
Pour S- En , effectuer une transformation d'Abel. Enfin, écrire S- Tn comme la
différence de deux intégrales à l'aide d'un changement de variable et d'une 
formule de trigonométrie, puis trouver un développement asymptotique de chacune
d'elles grâce à des intégrations par parties successives.

I. Suites complètement monotones
1.a Soit p  N . Notons P(p) l'assertion : « Pour toute fonction f  C  (R+ , R),
la suite u de terme général un = f (n) vérifie
n  N

x  ]n;n+ p[

(p u)n = f (p) (x). »

· P(1). Soient f  C  (R+ , R) et u la suite de terme général un = f (n). Soit n
un entier naturel fixé. On a
(1 u)n = (u)n = un+1 - un = f (n + 1) - f (n)
Comme f est de classe C  sur R+ ,
­ elle est continue sur [ n ; n + 1 ],
­ elle est dérivable sur ] n ; n + 1 [.
Le théorème des accroissements finis donne alors l'existence d'un réel x dans
] n ; n + 1 [ tel que f (n + 1) - f (n) = f  (x) (n + 1 - n), c'est-à-dire tel 
que
(1 u)n = f  (x)
L'assertion P(1) est donc vérifiée.
· P(p) = P(p + 1). Soit p  N , supposons que l'assertion P(p) est vérifiée.
Soient f  C  (R+ , R) et u  RN de terme général un = f (n). Soit n un entier
naturel fixé. Par définition de p+1 ,

(p+1 u)n = p (u)
n

Posons, suivant l'indication de l'énoncé,
(
R+ - R
g:
x 7- f (x + 1) - f (x)

puis

k  N

Ainsi,

vk = g(k) = f (k + 1) - f (k) = uk+1 - uk = (u)k
(p+1 u)n = (p v)n

La fonction g étant de classe C  comme f , on peut lui appliquer l'hypothèse
de récurrence : il existe un réel x dans l'intervalle ] n ; n + p [ tel que
(p v)n = g (p) (x) = f (p) (x + 1) - f (p) (x)
La fonction f (p) vérifie les hypothèses de l'égalité des accroissements finis 
sur
[ x ; x + 1 ] puisque f est de classe C  . Il existe alors un réel y dans ] x ; 
x + 1 [
tel que
f (p) (x + 1) - f (p) (x) = f (p+1) (y) (x + 1 - x)
c'est-à-dire

(p+1 u)n = f (p+1) (y)

Or, x  ] n ; n + p [ donc ] x ; x + 1 [  ] n ; n + p + 1 [ et ainsi y est 
strictement
compris entre n et n + (p + 1). L'assertion P(p + 1) est alors prouvée.

· Conclusion. D'après le théorème de récurrence, l'assertion P(p) est vraie pour
tout p  N , c'est-à-dire que, pour toute application f de classe C  sur R+ ,
si u désigne la suite (f (n))nN ,
p  N

(p u)n = f (p) (x)

x  ] n ; n + p [

n  N

1.b Définissons dans cette question la fonction

f:

 R+ - R
 x 7-

1
x+1

Cette application f est de classe C  sur R+ et la suite a définie dans l'énoncé 
est
la suite de terme général an = f (n). Appliquons alors le résultat de la 
question 1.a.
Soient p  N et n  N, il existe x  ] n ; n + p [ tel que (p a)n = f (p) (x). 
Alors,
(-1)p (p a)n = (-1)p

(-1)p p!
p!
=
>0
p+1
(1 + x)
(1 + x)p+1

(-1)0 (0 a)n = an =

De plus,

En conclusion,

1
>0
1+n

La suite a est complètement monotone.

2.a Soit u un élément de E. Démontrons par récurrence que l'assertion
« n  N

Q(p)

p

( u)n =

p
P

k=0

est vraie pour tout entier naturel non nul p.

p-k

(-1)

p
un+k »
k

· Q(1). Soit n  N. Par définition, (1 u)n = un+1 - un . En outre,
1
P

k=0

(-1)1-k

1
1
1
un+k = (-1)1
un + (-1)0
un+1 = un+1 - un
k
0
1

L'assertion Q(1) est donc vraie.
· Q(p) = Q(p + 1). Soit p  N , supposons que Q(p) est vraie. Fixons un entier
naturel n et calculons (p+1 u)n . Tout d'abord
(p+1 u)n = (  p u)n = (p u)n+1 - (p u)n
D'après l'hypothèse de récurrence Q(p) pour les entiers n et n + 1, on en déduit
(p+1 u)n =

p
P

(-1)p-k

k=0

p
P
p
p
(-1)p-k
un+k+1 -
un+k
k
k
k=0