X Maths 2 MP 2007

Thème de l'épreuve Relations de commutation
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, réduction des endomorphismes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
           

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
           

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2007

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

Relations de commutation

Dans ce problème, on se propose de décrire les triplets (K, E, F) où K, E, F 
sont trois endo--
morphismes d'un espace vectoriel satisfaisant certaines relations de 
commutation. On désignera
toujours par q un nombre complexe non nul et tel que pour tout entier n > 0, q" 
# 1.

Première partie

Dans cette partie, on désigne par X un espace vectoriel complexe de dimension 
finie n > 2,
et par (an, . .. ,a:,,) une base de X.

1. Soit A un endomorphisme de X représenté dans la base (an, . . . ,a3n) par 
une matrice diago--
nale de coefficients diagonaux 0.1, . . . , un deux a deux distincts. Montrer 
que tout endomorphisme
B de X, commutant a A, est aussi représenté par une matrice diagonale.

2. Soit A1, . . . ,Ap des endomorphismes de X.

2.21) Montrer que, si les seuls sous-espaces vectoriels de X stables par A1, . 
.. ,Ap sont {0}
et X, alors tout endomorphisme B de X, commutant a A1, . .. ,Ap, est un 
multiple scalaire de
l'identité.

2.b) La réciproque est--elle vraie ?

Deuxième partie

On définit X et (an, . .. ,a3n) comme a la première partie. On note Kg et F0 
les endomor--
phismes de X définis comme suit :

a: si < 77.
n--l--1--2p a: "" p
p

Vp=1,...,n , Kgoep=q , F0oep=

0 sip=n

3. Calculer Ko F0 -- q_2F0 Ko.
4. Déterminer les sous--espaces vectoriels de X stables par Fg, puis ceux 
stables par Fg et Kg.

On définit un troisième endomorphisme Eg de X par

{ (q -- ç'F')_2(çfi'_1 -- q1_p)(qn+l_p -- qp_"_') ftp--1 si 29 > 1
EO £L'p =

0 si p = 1
5. Calculer Kg Eg -- q2Eg Kg.
6. Vérifier la relation
EO F0 -- F0 EO = (q -- q_1)_1(K0 -- K0_1) -

7. Déterminer les sous--espaces vectoriels de X stables par Kg, Eg, Fg.

Troisième partie

Dans cette partie, on désigne par K et E deux endomorphismes d'un espace 
vectoriel complexe
X de dimension n satisfaisant les conditions suivantes :

i) KE = q2EK
ii) K est inversible

iii) E est non nul.

Pour tout nombre complexe À on pose
X,\=Ker (K--Àl) , Y,\=Ker (E--Àl).
8. Vérifier les relations
E(XÀ) C Xq2,\ , K(YÀ) C Yq_2/\ .
9. Montrer que Y,\ est réduit a {0} si À est non nul.
10. Indiquer un nombre entier 7" > 0 tel que E" = O.

11. Montrer qu'il existe un élément a: non nul de Ker E, vecteur propre pour K.

12. On suppose X de dimension 2, et on se propose de démontrer l'existence 
d'une base
(551,152) de X possédant les propriétés suivantes :

(P1) K 5171 : Àa:1 où À est un scalaire convenable
(PQ) KSL'2 = q_2Àoe2

(P3) EOE1 = 0
(P4) EOEQ = 5171.

12.21) Montrer qu'il existe un vecteur a:? et un scalaire À tels que l'on ait
KOEÊ=ÀOEY et EoeY=O.

On note 513% un vecteur non nul et non proportionnel a 5179.

12.b) Montrer que le vecteur E 5178, qu'on note 5171, est un multiple non nul 
de 5179.

12.c) Montrer qu'il existe un scalaire fi tel que
Ka:3 : fia:1 + q_2Àaîg .

12.d) Trouver un scalaire & tel que les vecteurs 5171 et 5132 = 5138 + aa:1 
répondent a la question.

Quatrième partie

Dans cette quatrième partie on désigne par X un espace vectoriel complexe de 
dimension
n > 2 et on considère un triplet (K ,E,F) d'endomorphismes de X satisfaisant 
les conditions
suivantes :

13. Vérifier que) pour tout entier m > 0, on a
EFm _ FmE : (Q _ q--1)--2(qm _ q--m) Fm--1 (q1--mK _ qm--1K--1)_

Dans ce qui suit) on note V1 un vecteur non nul de X , annulé par E et vecteur 
propre de K pour
une certaine valeur propre que l'on notera À. Pour tout entier m > 0, on pose 
V... : Fm_1 m.

14. Calculer K V....

15. Démontrer la relation

Vm > 2 , EV... = (q -- (1--1)_2(çfl"_1 -- q1_m)(q2_mÀ -- qm_2À_1) %... .

16. Démontrer les assertions suivantes :
16.a) Ceux des vecteurs V... qui sont non nuls, sont linéairement indépendants.

16.b) Il existe m0 > 1 tel que V... = 0 pour tout m > m0 et que y1, . .. ,u...O 
soient linéaire--
n1ent indépendants.

16.c) On a m0 = n.

16.d) On a A = :|:qn_1.

17. Comparer le triplet (K , E, F) avec le triplet (Ko, Eg, F0) considéré a la 
deuxième partie.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths 2 MP 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) ; il a été 
relu
par Rafik Imekraz (ENS Cachan) et Walter Appel (Professeur en CPGE).

Cette épreuve consiste en un sujet d'algèbre linéaire portant sur des triplets
d'endomorphismes d'un espace vectoriel complexe X satisfaisant certaines 
relations
de commutation. Il est constitué de quatre parties pouvant parfaitement être 
abordées indépendamment.
· Dans la première partie, on s'intéresse au lien entre la commutation 
d'endomorphismes de X et l'existence de sous-espaces vectoriels de X stables 
par ceux-ci.
· La deuxième partie est consacrée à l'étude de trois endomorphismes E0 , F0 et
K0 définis explicitement par leur action sur une base de X. On établit quelques
relations de commutation et l'on détermine ensuite les sous-espaces de X stables
par ces endomorphismes.
· Enfin, dans la troisième puis la quatrième partie, on adopte la démarche 
inverse :
partant des relations de commutation entre deux puis trois endomorphismes
(qui sont en fait les relations établies au cours de la deuxième partie), on 
montre
l'existence d'une base dans laquelle les endomorphismes considérés ont des 
expressions similaires à celles de E0 , F0 et K0 .
Ce sujet est remarquablement court et d'un niveau de difficulté assez faible
(surtout pour le concours d'entrée à l'École Polytechnique) : en particulier, 
les parties
II et IV peuvent parfaitement être proposées à des élèves de Mathématiques 
Supérieures. Par ailleurs, les différentes questions sont globalement 
dépourvues d'originalité et ne requièrent aucune astuce particulière ; 
certaines se limitent même à des
manipulations d'indice pures et simples. Tout ceci nous donne finalement un 
sujet
peu intéressant et peu apte à départager clairement les candidats.

Indications
Première partie
1 Raisonner sur les espaces propres de A.
2.a Considérer un sous-espace propre de l'endomorphisme B.
2.b Construire un contre-exemple en dimension 2 en prenant pour A1 et A2 deux
endomorphismes ayant un vecteur propre commun.

Deuxième partie
3 Évaluer cet endomorphisme en chaque vecteur de la base (x1 , . . . , xn ).
4 Effectuer une récurrence sur la dimension des sous-espaces stables par F0 .
7 Exploiter le résultat de la question 4.

Troisième partie
9 Raisonner par l'absurde en faisant usage de la seconde des relations établies
précédemment.
10 Déduire de la question précédente le spectre de E.
11 Montrer d'abord que Ker E est stable par K.
12.b Utiliser le résultat de la question 10.
12.c Appliquer la relation KE = q 2 EK au vecteur x02 .
Quatrième partie
14 Itérer la relation (iii).
16.a Exploiter le résultat de la question 14.
16.c Faire usage de la condition (v).
16.d Appliquer le résultat de la question 15 à l'entier m = n + 1.

Première partie
1 L'endomorphisme A admet dans la base B = (x1 , . . . , xn ) une matrice 
diagonale de coefficients diagonaux deux à deux distincts ; il possède donc n 
valeurs
propres distinctes et les sous-espaces propres associés sont les droites 
vectorielles C xi
pour i  [[ 1 ; n ]]. Soit maintenant un endomorphisme B de X commutant à A : il 
laisse
stable tout sous-espace propre de A. En effet, soient   C et x  Ker (A -  Id ) ;
comme AB = BA, on a A(Bx) = B(Ax) = Bx c'est-à-dire que Bx  Ker (A -  Id ).
Ainsi,
  C
B(Ker (A -  Id ))  Ker (A -  Id )
Concernant la base B,

 i  [[ 1 ; n ]]

B(xi )  C xi

Ceci montre que B est également une base de vecteurs propres de B, dans laquelle
cet endomorphisme est par conséquent représenté par une matrice diagonale. 
Ainsi,
Tout endomorphisme B de X commutant à A est aussi
représenté par une matrice diagonale dans la base B.
2.a Supposons que les seuls sous-espaces de X stables par A1 , . . . , Ap 
soient {0}
et X, et considérons un endomorphisme B de X commutant à A1 , . . . , Ap . 
Comme X
est un espace vectoriel complexe, B est un endomorphisme scindé et il possède 
donc
une valeur propre . L'espace propre associé Ker (B -  Id ) ­ qui n'est pas 
réduit au
vecteur nul ­ est stable par A1 , . . . , Ap puisqu'ils commutent tous à B : 
c'est donc X.
En conséquence, B =  Id ; ainsi,
Si les seuls sous-espaces de X stables par A1 , . . . , Ap sont {0} et X, alors 
tout endomorphisme B de X commutant à A1 , . . . , Ap est un multiple scalaire 
de l'identité.
On a ici affaire à un cas particulier du lemme de Schur, qui intervient dans
la théorie de la représentation des groupes.
2.b Pour construire un contre-exemple, fixons n = p = 2 et appelons A1 , A2
les endomorphismes admettant pour matrices dans la base B = (x1 , x2 ) :

1 0
1 1
M1 =
et M2 =
0 0
0 0

Soit B un endomorphisme commutant avec A1 et A2 . Comme A1 admet dans
la base B une matrice diagonale à coefficients distincts, on déduit de la 
question 1 que
la matrice M de B dans la base B est également diagonale. Notons-la M = Diag(a, 
b) ;
la relation de commutation BA2 = A2 B s'écrit alors

a 0
1 1
1 1
a 0
MM2 = M2 M 
=
0 b
0 0
0 0
0 b

a a
a b

=
0 0
0 0
MM2 = M2 M  a = b

Il s'ensuit que

M = a I2 et B = a Id

Nous avons prouvé que tout endomorphisme B de X commutant à A1 et A2 est
un multiple scalaire de l'identité. Cependant, la forme des matrices M1 et M2 
montre
clairement que la droite C x1 est stable par A1 et A2 . Comme elle n'est égale 
ni à X
ni à {0} pour des raisons de dimensions, on peut alors en déduire que
La réciproque de la propriété établie à la question précédente est fausse.
Pour montrer que cette réciproque est fausse, il nous faut considérer des 
endomorphismes laissant stable un sous-espace de X distinct de {0} et de X :
c'est ce qui nous a incité à étudier deux endomorphismes en dimension 2 
possédant une droite propre ; il suffit pour cela de prendre les endomorphismes
canoniquement associés à des matrices triangulaires supérieures.

Deuxième partie
3 Notons L0 = K0 F0 - q -2 F0 K0 . Par définition de F0 et K0 , on a
K0 F0 (xn ) = K0 (0) = 0

et F0 K0 (xn ) = F0 (q 1-n xn ) = 0

d'où L0 (xn ) = 0. Prenons maintenant p  [[ 1 ; n - 1 ]]. Il vient
(
K0 F0 (xp ) = K0 (xp+1 ) = q n-1-2p xp+1 = q -2 q n+1-2p xp+1
F0 K0 (xp ) = F0 (q n+1-2p xp ) = q n+1-2p xp+1

si bien que L0 (xp ) = 0. Ainsi, l'endomorphisme L0 envoie tous les vecteurs de 
la base
B = (x1 , . . . , xn ) sur le vecteur nul, ce qui permet d'affirmer que L0 = 0 
soit
K0 F0 - q -2 F0 K0 = 0
4 Par définition de F0 , on a
Im F0 = Vect {F0 (x1 ), . . . , F0 (xn )} = Vect {x2 , . . . , xn }
donc F0 est de rang n - 1. D'après le théorème du rang, Ker F0 est de dimension 
1 :
comme il contient xn 6= 0, alors Ker F0 = Vect {xn }. Enfin, il est clair que 
F0 n = 0
par définition de cet endomorphisme.
Maintenant, considérons la propriété P définie pour k  [[ 0 ; n ]] par P(k) :
« si le sous-espace A est stable par F0 et de dimension k, alors A est le 
sous-espace
vectoriel engendré par (xn+1-k , . . . , xn ). »
· P(0) est vraie puisque A = {0} = Vect  lorsque dim A = 0.
· P(k) = P(k + 1) : supposons la propriété P vraie au rang k  [[ 0 ; n - 1 ]] et
considérons un sous-espace A stable par F0 et de dimension k + 1. Dans ce cas,
F0 (A)  A et donc F0 (F0 (A))  F0 (A). De surcroît, F0 (A) = A implique
F0 n (A) = A 6= {0}
ce qui contredit la relation F0 n = 0 ; par conséquent, on a F0 (A)
dim F0 (A) 6 k. Le théorème du rang appliqué à F0 fournit
A

dim A = dim F0 (A) + dim Ker F0
d'où

A

6 dim F0 (A) + dim Ker F0

dim F0 (A) > dim A - dim Ker F0 = k

A et