X Maths 2 MP 2007

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2007

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

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Relations de commutation

Dans ce problème, on se propose de décrire les triplets (K, E, F) où K, E, F 
sont trois endo--
morphismes d'un espace vectoriel satisfaisant certaines relations de 
commutation. On désignera
toujours par q un nombre complexe non nul et tel que pour tout entier n > 0, q" 
# 1.

Première partie

Dans cette partie, on désigne par X un espace vectoriel complexe de dimension 
finie n > 2,
et par (an, . .. ,a:,,) une base de X.

1. Soit A un endomorphisme de X représenté dans la base (an, . . . ,a3n) par 
une matrice diago--
nale de coefficients diagonaux 0.1, . . . , un deux a deux distincts. Montrer 
que tout endomorphisme
B de X, commutant a A, est aussi représenté par une matrice diagonale.

2. Soit A1, . . . ,Ap des endomorphismes de X.

2.21) Montrer que, si les seuls sous-espaces vectoriels de X stables par A1, . 
.. ,Ap sont {0}
et X, alors tout endomorphisme B de X, commutant a A1, . .. ,Ap, est un 
multiple scalaire de
l'identité.

2.b) La réciproque est--elle vraie ?

Deuxième partie

On définit X et (an, . .. ,a3n) comme a la première partie. On note Kg et F0 
les endomor--
phismes de X définis comme suit :

a: si < 77. n--l--1--2p a: "" p p Vp=1,...,n , Kgoep=q , F0oep= 0 sip=n 3. Calculer Ko F0 -- q_2F0 Ko. 4. Déterminer les sous--espaces vectoriels de X stables par Fg, puis ceux stables par Fg et Kg. On définit un troisième endomorphisme Eg de X par { (q -- ç'F')_2(çfi'_1 -- q1_p)(qn+l_p -- qp_"_') ftp--1 si 29 > 1
EO £L'p =

0 si p = 1
5. Calculer Kg Eg -- q2Eg Kg.
6. Vérifier la relation
EO F0 -- F0 EO = (q -- q_1)_1(K0 -- K0_1) -

7. Déterminer les sous--espaces vectoriels de X stables par Kg, Eg, Fg.

Troisième partie

Dans cette partie, on désigne par K et E deux endomorphismes d'un espace 
vectoriel complexe
X de dimension n satisfaisant les conditions suivantes :

i) KE = q2EK
ii) K est inversible

iii) E est non nul.

Pour tout nombre complexe À on pose
X,\=Ker (K--Àl) , Y,\=Ker (E--Àl).
8. Vérifier les relations
E(XÀ) C Xq2,\ , K(YÀ) C Yq_2/\ .
9. Montrer que Y,\ est réduit a {0} si À est non nul.
10. Indiquer un nombre entier 7" > 0 tel que E" = O.

11. Montrer qu'il existe un élément a: non nul de Ker E, vecteur propre pour K.

12. On suppose X de dimension 2, et on se propose de démontrer l'existence 
d'une base
(551,152) de X possédant les propriétés suivantes :

(P1) K 5171 : Àa:1 où À est un scalaire convenable
(PQ) KSL'2 = q_2Àoe2

(P3) EOE1 = 0
(P4) EOEQ = 5171.

12.21) Montrer qu'il existe un vecteur a:? et un scalaire À tels que l'on ait
KOEÊ=ÀOEY et EoeY=O.

On note 513% un vecteur non nul et non proportionnel a 5179.

12.b) Montrer que le vecteur E 5178, qu'on note 5171, est un multiple non nul 
de 5179.

12.c) Montrer qu'il existe un scalaire fi tel que
Ka:3 : fia:1 + q_2Àaîg .

12.d) Trouver un scalaire & tel que les vecteurs 5171 et 5132 = 5138 + aa:1 
répondent a la question.

Quatrième partie

Dans cette quatrième partie on désigne par X un espace vectoriel complexe de 
dimension
n > 2 et on considère un triplet (K ,E,F) d'endomorphismes de X satisfaisant 
les conditions
suivantes :

13. Vérifier que) pour tout entier m > 0, on a
EFm _ FmE : (Q _ q--1)--2(qm _ q--m) Fm--1 (q1--mK _ qm--1K--1)_

Dans ce qui suit) on note V1 un vecteur non nul de X , annulé par E et vecteur 
propre de K pour
une certaine valeur propre que l'on notera À. Pour tout entier m > 0, on pose 
V... : Fm_1 m.

14. Calculer K V....

15. Démontrer la relation

Vm > 2 , EV... = (q -- (1--1)_2(çfl"_1 -- q1_m)(q2_mÀ -- qm_2À_1) %... .

16. Démontrer les assertions suivantes :
16.a) Ceux des vecteurs V... qui sont non nuls, sont linéairement indépendants.

16.b) Il existe m0 > 1 tel que V... = 0 pour tout m > m0 et que y1, . .. ,u...O 
soient linéaire--
n1ent indépendants.

16.c) On a m0 = n.

16.d) On a A = :|:qn_1.

17. Comparer le triplet (K , E, F) avec le triplet (Ko, Eg, F0) considéré a la 
deuxième partie.