X Maths 2 MP 2004

Thème de l'épreuve Courbure des surfaces dans R3
Principaux outils utilisés fonctions de plusieurs variables, calcul différentiel, équations différentielles, courbes paramétrées, calcul matriciel, déterminants, espaces euclidiens

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
           

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2004

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

Courbures des surfaces dans l'espace R3

Ce problème propose une étude des surfaces de l'espace R3 et de leurs courbures 
totale et
moyenne. Pour tout entier n > O, l'espace R" sera muni de son produit scalaire 
et de sa norme
usuels notés respectivement (.l.) et ||..." La première partie est consacrée à 
des préliminaires

algébriques.

Première part ie

1. Soient a:..., . .. ,æ(") des éléments de R"+1,(oeÿ))j=l,___,n+l les 
composantes de :c(') dans
la base canonique de En". Pour tout k = 1, . .. ,n + 1 on note Vk le produit 
par (--1)""+1 du
déterminant de la matrice (a:ÿ') où @ : 1,...,n etj = 1,...,k-- 1,k+1,.... 
,n+1. On note V

le vecteur de R"+1 de composantes Vk.
La) Montrer que V est orthogonal à. tous les a:(').
1.b) Comparer les conditions suivantes :
i) V = 0
ii) la famille (æ('))i=1,...,n est liée.

1.0) Exprimer en fonction de HVH le déterminant des n + 1 vecteurs V, a:..., . 
. . ,æ(n) dans la
base canonique de Rn+1.

2.a) Montrer que, pour tout n-uple de vecteurs (a:..., . .. ,æ(n)) linéairement 
indépendants,
il existe un unique vecteur W(æ..., . . . ,,oe(")) ayant les propriétés 
suivantes

i) W(oe..., . .. ,æ(n)) est de norme 1 et orthogonal à tous les ai")

ii) le déterminant des n+1 vecteurs W(oe..., . . . ,oe(")),æ(1), . . . ,oe(") 
dans la base canonique
de Rn+1 est strictement positif.

2.b) Vérifier que, pour toute rotation R de Rn+1, on a
W(R(oe<1>),... ,R(oe("))) = R(W(oe...,... ,oe("))) .

3) Soit (el, . .. ,en) une base de R", Q la matrice de coefficients q...-- : 
(e,!ej).

3.a) Montrer que Q est inversible et diagonalisable. Que peut--on dire de ses 
valeurs propres ?

3.b) Soit ?) un vecteur de R", de coordonnées U,; dans la base (61, . .. ,en). 
Exprimer le
vecteur ligne (vl, . .. ,on) en fonction de Q et du vecteur ligne ((vie1),. .. 
, (view)).
Dans la suite du problème, on désigne par U une partie ouverte de R", par u : 
(ul, . . . ,un)

un élément quelconque de U, par F une application de classe C2 de U dans R"+1, 
par Ô,--F (resp.
ÔZ-ÔjF ) ses dérivées partielles d'ordre 1 (resp. 2). On suppose que les 
n--vecteurs (Ô,F)(u) sont
linéairement indépendants pour tout u, et on pose W(u) : W((ÔlF)(u), . .. 
,(ÛnF)(u)).

4.a) Vérifier que l'application u l--> W(u) est de classe C 1.
4.b) Comparer ((akW)(u)z(a--F)(U)) et (W(u)y(aakm(u)).

4.c) Démontrer l'existence et l'unicité de nombres réels a...(u) tels que l'on 
ait

<&W> = za.,,ffl(U1) 0 > .

0 __(1 + f'(u1)2)

7.e) Donner une fonction f élémentaire pour laquelle H (u) est nul pour tout u.

7 .d) Montrer que, pour tous nombres réels & et 5 , a > 0, il existe f 
satisfaisant
H(u) = 0 pour tout u , f(0) = oz , f'(O) =fi.

Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
7 .e) Calculer K (u) pour une telle fonction f.

8.) Indiquer, sans aucun calcul, des surfaces pour lesquelles K (u) et H (u) 
sont des constantes.

Troisième part ie

Dans cette partie, on se propose d'étudier l'effet d'un changement de 
paramétrage sur les
fonctions H et K.

Dans la 51tuat10n du début de la deux1ème part1e on note 8-- la matrice 
(Jacob1enne) de
u
. ÔF . ÛW
coeffic1ents (Æ)i,j : Ôsz'. Notation analogue pour Ë°

, . ÔW ÔF
9. Ver1fier que _ÔÎ= --à----u tA(u ).

On se donne maintenant un difléomorphisme @ de U sur un autre ouvert Ü de R2 et 
on
pose \Il=  1.Pour tout 11 EUR U on écrira aussi u-- -- (u); on pose F(u ) 
: F(u), (: est- a-dire

F: F o \II, et on note W(u), Â(u), K(u), H(u ) les objets définis à partir de F 
et 11 comme
W(u), A(u), K(u), H(u ) l'ont été a partir de F et u. On suppose U connexe par 
ares.

, ÔF ÔF Ô\II . ... ... -- N .
10.a) Exprimer % en ôfoynotion de % et ä' pu1s (ÔlF)(u) /\ (ÔgF)(U) en fonct10n 
de
(ÔiF)(u) /\ (Ô2F )(u )et dët %

10.b) Montrer qu'il existe 5 E {l, --1} tel que l'on ait W(ü) : EURW(u) pour 
tout 11 EUR U.

10.c) Exprimer Â(ü) en fonction de EUR,A(u ) et --Ô--\--II--.

Ôu

10.d) Comparer Ê(ü) et H(u),Ë(ü) et K(u).

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths 2 MP 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (ENS Cachan) ; il a été relu par
Walter Appel (Professeur en CPGE) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

L'objet du problème est clairement annoncé en préambule dans l'énoncé : il 
s'agit
d'étudier deux caractéristiques classiques que l'on peut définir sur des 
surfaces de R3 ,
la courbure moyenne et la courbure totale.
· La première partie introduit rigoureusement quelques notions concernant des
hypersurfaces de dimension n de Rn+1 . Les deux premières questions concernent 
la définition du produit vectoriel de n vecteurs dans Rn+1 . Cet objet est
utilisé, dans les questions suivantes, pour définir convenablement la normale à
une hypersurface paramétrée.
· La deuxième partie revient aux surfaces paramétrées de R3 . On y définit la
courbure moyenne et la courbure totale ; suivent quelques exemples, dans 
lesquels des calculs sont effectués sur des cylindres et des surfaces de 
révolution.
· La dernière partie consiste à montrer que les notions de courbure moyenne et
de courbure totale sont invariantes par changement de paramétrage.
Ce problème est assez classique dans sa problématique globale, et correspond
globalement à un chapitre d'un cours de niveau première année de master de
géométrie différentielle. Le fait de rendre un tel sujet accessible à des 
élèves de classe
préparatoire est une démarche classique des sujets de l'École polytechnique. 
Remarquons également qu'il est possible de traiter la quasi-totalité du sujet 
sans comprendre
vraiment la problématique.

Indications
Première partie
1.a Reconnaître dans le produit scalaire de V avec ei le déterminant d'un
(n + 1)-uplet de vecteurs contenant deux fois ei .
1.c Développer le déterminant par rapport à sa première colonne.
2.b Utiliser la caractérisation de W établie à la question 2.a.
3.a Vérifier que Q = t P P, où P est la matrice ayant pour vecteurs colonnes 
les ei .
3.b Exprimer (v|ej ) en fonction des qij et des ei , puis ramener les égalités 
obtenues
à une seule égalité matricielle.
4.b Reconnaître, dans la somme des deux termes, la dérivée partielle par rapport
à la k e variable d'une fonction.
4.d Appliquer la question 3.b avec v = (j W)(u) et ei = (i F)(u).
Deuxième partie
5 Utiliser le fait que R est une application linéaire (ce qui permet de faire 
facilement les calculs de dérivées partielles de composées).
6.a Effectuer les calculs de S(0) et Q(0). Compte tenu des hypothèses faites,
on trouve

r s
A(0) =
s t
7.a Calculer le produit vectoriel de (1 F)(u) avec (2 F)(u).
7.c Penser aux fonctions de trigonométrie hyperbolique.
7.d Utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz.
8 Tenter une extrapolation de ce que l'on connaît sur les courbes du plan à 
courbure constante.
Troisième partie
9 Revenir strictement à la définition des ai,j (u) (question 4.c).
e
F 
F
=
. Pour la suite, prendre
10.a La composition des différentielles s'écrit :
e
u
u e
u
les déterminants des matrices 2 × 2 extraites de chaque membre dans l'égalité
précédente.
10.b Utiliser le résultat de la question 10.a.
10.c Vérifier que l'égalité à la question 9 caractérise la matrice A, et 
utiliser cette
caractérisation.
10.d Nécessite le résultat de la question précédente.

Première partie
Notation : étant donnée une famille (y0 , y1 , . . . , yn ) de n + 1 vecteurs 
de Rn+1 ,
on notera tout au long de corrigé [y0 , y1 , . . . , yn ] le déterminant de 
cette famille de
vecteurs dans la base canonique de Rn+1 .
1.a Soit i  [[ 1 ; n ]]. On a

(V|x(i) ) =

n+1
P
k=1

(i)

Vk xk

On reconnaît
 dans cette expression le développement par rapport à la première
colonne de x(i) , x(1) , x(2) , x(3) , . . . , x(n) . On y trouve deux fois le 
vecteur (x(i) ).
En conséquence, (V|x(i) ) = [x(i) , x(1) , x(2) , . . . , x(n) ] = 0 et donc
V est orthogonal à tous les x(i) .
1.b Montrons que les deux conditions (i) et (ii) sont équivalentes en raisonnant
par équivalences successives :
V = 0;
 Vj = 0 pour tout j ;
(i)

 chaque déterminant de taille n × n extrait de la matrice (xj )16j6n+1 ,
16i6n

c'est-à-dire obtenu en enlevant une ligne, est nul ;
(i)

 la matrice (xj )16j6n+1  Mn,n+1 (R) est de rang strictement inférieur à n ;
16i6n

(i)

 la famille des n vecteurs colonnes de la matrice (xj )16j6n+1 est liée ;
16i6n

(i)

 la famille (x )16i6n est liée.
(i)

Afin d'avoir des notations en accord avec l'énoncé, xj
la matrice

(i)
(xj )16j6n+1
16i6n

est le terme de

situé en j ligne et i colonne, ce qui est une convene

e

tion inhabituelle.

1.c Effectuons un développement par rapport à la première colonne du déterminant
[V, x(1) , x(2) , . . . , x(n) ] ; il vient
n+1
P
[V, x(1) , x(2) , . . . , x(n) ] =
Vk · Vk
k=1

c'est-à-dire

(1)

[V, x

(2)

,x

(n)

,...,x

] = kVk2

'La construction de V est la généralisation à Rn+1 du produit vectoriel
dans R3 . V est parfois appelé le produit vectoriel de x(1) , x(2) , . . . , 
x(n) .
On note même parfois V = x(1)  x(2)  · · ·  x(n) .
2.a Pour l'existence, remarquons au préalable, en gardant les notations de la 
question 1, que comme la famille (x(1) , . . . , x(n) ) est libre, la question 
1.b montre que
V 6= 0 ; posons alors
1
W=
V
kVk

De la sorte, par construction kWk = 1. De plus, la question 1.a montre que W
est orthogonal à tous les x(i) , ce qui montre la condition (i). La question 
1.c montre
alors que [W, x(1) , . . . , x(n) ] = kVk > 0, ce qui montre la condition (ii).
Pour l'unicité, comme la famille (x(1) , . . . , x(n) ) est libre, elle 
engendre un hyperplan de Rn+1 et son orthogonal est donc une droite 
vectorielle. Si W vérifie
la condition (i), il appartient à cette droite vectorielle et est de norme 1. 
Sous ces
deux conditions, le choix de W ne peut que se faire parmi deux vecteurs
possibles :

kVk-1 V ou bien son opposé. Comme le déterminant V, x(1) , . . . , x(n) est 
strictement
positif, seul kVk-1 V vérifie à la fois les conditions (i) et (ii).

2.b Utilisons la caractérisation établie à la question 2.a de W R(x(1) ), . . . 
, R(x(n) ) .
Si R est une rotation, c'est-à-dire que R  SOn+1 (R), R préserve en particulier
la norme et le produit scalaire et donc, en notant W = W(x(1) , . . . , x(n) ) :
· kR(W)k = kWk = 1
(R préserve la norme)

· R(W) R(x(i) ) = W x(i) = 0
(R préserve le produit scalaire)
h
i

(1)
(n)
· R(W), R(x(1) ), . . . , R(x(n) ) = det
>0
| {zR} W, x , . . . , x
=1

La partie unicité de la question 2.a montre alors que

W R(x(1) ), . . . , R(x(n) ) = R W(x(1) , . . . , x(n) )

3.a Notons (ei,k )16k6n les coordonnées dans la base canonique du vecteur ei .
n
P
On a donc qi,j =
ei,k ej,k . Ainsi, si P désigne la matrice de passage de la base
k=1

canonique de Rn à (e1 , . . . , en ), on reconnaît en qi,j le coefficient en 
position (i, j)
t
de la matrice P P. Ainsi,
t

Q = P P où P  GLn (R)
Q est inversible et symétrique, donc diagonalisable.

donc

Montrons que Q est définie positive : on a, pour x  Rn r {0}, Px 6= 0 (vu que P
est inversible) et
t

(Qx|x) = ( P Px|x) = (Px|Px) = kPxk2 > 0
Par suite,

Les valeurs propres de Q sont strictement positives.

En effet, si  est valeur propre d'une matrice symétrique Q définie positive,
et x un vecteur propre associé (en particulier, un vecteur non nul) alors
(Qx|x) = kxk2 > 0, donc  > 0.
3.b On a v =

P
vi ei , donc

On en déduit que
en encore

(v|ej ) =

n
P

vi qij .

i=1

(v|e1 ), . . . , (v|en ) = (v1 , . . . , vn )Q

(v1 , . . . , vn ) = (v|e1 ), . . . , (v|en ) Q-1

La formule établie, ainsi que le raisonnement, est valable dans tout espace
euclidien de dimension n, et pas seulement Rn ; elle sera utilisée à la question
4.d dans le cas d'un hyperplan de Rn+1 .