X Maths 2 MP 2003

Thème de l'épreuve Étude de la trigonalisation simultanée d'endomorphismes unipotents
Principaux outils utilisés endomorphismes nilpotents, trigonalisation, commutant, propriétés de la trace
Mots clefs trace, sO(n, k), sous-algèbre, lemme de Schur

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
        

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
        

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2003

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***
'I'rigonalisation simultanée d'endomorphismes unipotents

Notations. On désignera par K le corps des réels ou celui des complexes; pour 
tout entier
n > 1, on note M (n,K ) l'espace des matrices a n--lignes et n--colonnes à 
coefficients dans K
et on l'identifie à l'espace des endomorphismes de K ". On note S O(n, R) le 
sous-ensemble de
M (n, R) formé des matrices orthogonales de déterminant 1.

La lettre E désignera toujours un K --espace vectoriel de dimension n > 1; L(E) 
désignera
l'ensemble des endomorphismes de E et GL(E ) désignera celui des endomorphismes 
inversibles.

On dit qu'une partie F de E est laissée stable par un endomorphisme T si l'on a 
T(F) C F.

On appelle commutant d'une partie X d'une algèbre Y l'ensemble des éléments de 
Y qui
commutent a tous les éléments de X.

Première partie

1. Soit A une matrice de M (n,R), diagonale avec coefficients diagonaux a1, . 
.. ,on; on
suppose qu'il existe deux indices i et j tels que ai # aj. Vérifier que si une 
matrice B commute
a A, on a b...-- = O.

2. Déterminer le commutant de SO(2, R) dans M (2, R).

3.a) Montrer que, si n > 3, le commutant de SO(n, R) dans M (n, R) est formé de 
matrices
diagonales.

b) Déterminer ce commutant.
Deuxième partie

Une partie W de L(E) sera dite irréductible si {0} et E sont les seuls 
sous--espaces vectoriels
de E laissés stables par tous les éléments de W.

4. Vérifier que, si E = R", n > 2, SO(n, R) est irréductible.

5. Vérifier que, si deux éléments A et B de L(E) commutent, tout sous--espace 
propre de
l'un deux est laissé stable par l'autre.

6. Montrer que, si K = C, le commutant d'une partie irréductible de L(E) est 
réduit aux
multiples scalaires de l'endomorphisme identité, id E.

7. Ce résultat subsiste--t-il lorsque K = R?
Troisième partie

Un élément A de L(E) est dit unipotent si A -- id E est nilpotent 
(c'est--à--dire s'il existe un
entier [EUR > 0 tel que (A -- idE)k = 0).

On se propose de démontrer que, si K = C et si G est un sous--groupe de GL(E) 
formé
d'éléments unipotents, E admet une base dans laquelle tous les éléments de G 
sont représentés
par des matrices triangulaires supérieures avec coefficients diagonaux égaux à 
1.

8. Montrer que tout élément unipotent A est inversible, et déterminer la somme
Z (id E -- A)".

n20

9. Traiter le cas où n = 2 et où G est l'ensemble des puissances d'un élément 
go. Dans ce
cas, est--il nécessaire de supposer K = C ?

On suppose maintenant n > 1. On rappelle que K = C.

10. Vérifier que le sous--espace vectoriel W de L(E) engendré par G est une 
sous--algèbre de
L(E).

11. Calculer Tr (g ---- idE), Tr (g), Tr ((g -- idE)g') pour g,g' E G.
12. Supposant en outre G irréductible, montrer que G est réduit à id E, et 
préciser la valeur
de n. '

[On pourra utiliser le résultat suivant, qui sera démontré dans la quatrième 
partie : si
K = C et si W est une sous--algèbre de L(E), irréductible et contenant id E, 
alors W = L(E)].

13. Ne supposant plus G irréductible, démontrer l'existence d'un vecteur non 
nul a: de E tel
que g(oe) = :c pour tout 9 E G.

14. Conclure.
Quatrième part ie

Le but de cette partie est de démontrer le résultat admis à la question 12. 
Procédant par
l'absurde, on suppose W # L(E).

On fixe une base (el, . .. ,en) de E et on identifie les éléments de L(E) a 
leurs matrices

représentatives dans cette base. Pour tout z' = 1, . . . ,n on désigne par
-- V.- l'ensemble des matrices A telles que a... = 0 si EUR # i;

-- L.- l'application de E dans V}; définie par
(Li(oe))k,EUR = 673,EUR 9% ;
---- P.; l'application de L(E) dans V.; définie par
(Pi(A))l--c,£ = 51,5 Ak,i --
Enfin on note (1) l'application linéaire de L(E) dans L(L(E)) définie par
(A), A E L(E) et OE(A)(Lz(oe)) = L.(A(oe)).
b) (A) 0 PL-- = R- o (A).
c) W n V.- est nul ou égal à Vi.

16. Construire un sous--espace vectoriel W' de L(E), supplémentaire de W et 
laissé stable
par tous les <Ï>(A), A EUR L(E).

On note 7r le projecteur de L(E) sur W parallèlement à W'; pour i,j = 1, . .. 
,n, on pose
A...- =L;10PjO7r0Li & L(E) .
17. Montrer que A...-- est un multiple scalaire de id E, que l'on notera &... 
id E.
18. Vérifier les égalités suivantes :
&) 7r(idE) = idE.

b) 2 L.)--(ei) = idE.

C) Pz(ldE) = Li(EURz')-
19. Déterminer a....

20. Conclure.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths 2 MP 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Lévy (ENS Ulm) ; il a été relu par Jean
Starynkévitch (ENS Cachan) et Walter Appel (Professeur en CPGE).

Cette épreuve d'algèbre linéaire se propose de démontrer un élégant théorème de
coréduction :
Si E est un C-espace vectoriel et si G est un sous-groupe de GL(E) formé
d'éléments unipotents, alors il existe une base de E dans laquelle tous les
éléments de G sont représentés par des matrices triangulaires supérieures
dont les coefficients diagonaux sont égaux à un.
Ce problème ne requiert pas l'utilisation de théorèmes complexes, mais une 
certaine dextérité dans la manipulation des matrices et une bonne intuition en 
algèbre
linéaire.
Dans la première des quatre parties de ce problème, on effectue les calculs 
classiques des commutants de SO(2, R) d'une part, et de SO(n, R) pour n > 3 
d'autre part.
Dans la deuxième, on montre que le commutant d'une partie irréductible de L(C n 
)
est trivial. La troisième constitue la démonstration proprement dite du 
théorème de
coréduction annoncé. Enfin, dans la quatrième et dernière partie de ce problème,
on établit le lemme « clef » de la démonstration de la partie précédente : la 
seule
sous-algèbre irréductible de L(C n ) contenant idn est L(C n ) tout entier.

Indications
Première Partie
2 Qu'est-ce qu'un élément de SO(2, R) ?
3.a Utiliser la question 1.
3.b Utiliser la rotation d'angle /2 pour la dimension 2, et généraliser pour les
dimensions supérieures.
Deuxième Partie
4 Une matrice de SO(2, R) est une matrice de passage d'une base orthonormée
directe vers une base orthonormée directe.
6 Utiliser la question 5.
7 Qu'a-t-on calculé dans la première partie ?
Troisième Partie
8 Montrer que si x est nilpotent d'ordre p, alors (id -x) est inversible, 
d'inverse
p-1
P
xk .
k=0

11 Quelle est la trace d'un endomorphisme nilpotent ?
12 Utiliser la question 11.

13 Faire une récurrence sur la dimension de E et utiliser la question 12.
14 Faire une récurrence sur la dimension de E et utiliser la question 13.
Quatrième Partie
15.c Montrer que si x est un vecteur non nul de E, alors Wx = {w(x) w  W} = E.
16 Construire W à partir de certains Vj qui ne sont pas dans W, en pensant
au théorème de la base incomplète.
17 Montrer que Ai,j est dans le commutant de W.
P
19 Calculer Ai,j (ei ).
i

20 Utiliser les questions 15.c et 19.

Première partie
1 Soit B une matrice de M (n, R) commutant

a1 b1,1 a1 b1,2
 a2 b2,1 a2 b2,2

AB =  .
..
 ..
.

et

an bn,1

a1 b1,1
 a1 b2,1

BA =  .
 ..

a1 bn,1

an bn,2
a2 b1,2
a2 b2,2
..
.
a2 bn,2

avec A. Alors, on a

· · · a1 b1,n
· · · a2 b2,n 

.. 
..
.
. 

· · · an bn,n

· · · an b1,n
· · · an b2,n 

.. 
..
.
. 
· · · an bn,n

En identifiant les coefficients d'indice (i, j) dans l'égalité AB = BA, on 
trouve
ai bi,j = bi,j aj . L'hypothèse ai 6= aj implique bien
bi,j = 0
2 Le groupe SO(2, R) est constitué des matrices de la forme

a -b
b a
où a et b sont des réels vérifiant a2 + b2 = 1.
Soit A une matrice de M (2, R) commutant avec toute matrice de SO(2, R).
Écrivons

x y
A=
z t
Soient a et b deux réels vérifiant a2 + b2 = 0. Calculons

x y
a -b
a -b
x y
·
=
·
z t
b a
b a
z t

xa + yb -xb + ya
xa - zb ya - tb
=
za + tb -zb + ta
xb + za yb + ta
En mettant tous les termes de cette dernière égalité à gauche, il vient

y+z t-x
b
=0
t - x -y - z
En prenant (a, b) = (0, 1), on en déduit que x = t et y = -z.
Réciproquement, il suffit de « remonter » les calculs pour vérifier que toute 
matrice
de la forme

x -y
avec x  R et y  R
y x
commute avec toute matrice de SO(2, R). Le commutant de SO(2, R) est donc
l'ensemble

x -y
x  R, y  R
y x

Il est indispensable de connaître le groupe SO(2, R). Il faut aussi savoir
que le groupe des déplacements de l'espace affine R2 est constitué des 
rotations et des translations.
Le commutant que l'on a calculé est en fait le groupe des similitudes,
auquel on a ajouté la matrice nulle.
3.a Soit n > 3. Soit B  M (n, R) commutant avec toute matrice de SO(n, R).
Montrons que B est une matrice diagonale.
Montrons d'abord que b1,2 est nul. Notons

1 0
0
e
A
0
e = 0 -1 0 
A=
où A
0 In-3
0 0 -1
Alors A t A = In donc A  O(n, R). De plus, comme son déterminant vaut 1,
A est dans SO(n, R). Puisque B commute avec A, et comme a1 6= a2 , d'après la
question 1, b1,2 est nul.
De même, pour i et j distincts dans [[ 1 ; n ]], comme n > 3, on choisit un k 
dans
[[ 1 ; n ]], distinct de i et de j. Alors, en utilisant la matrice diagonale A 
dont les
coefficients diagonaux sont

-1 si  = j ou k
a =
1 sinon
on montre bi,j = 0. On en déduit que
B est une matrice diagonale.
Il est bon de connaître les différentes caractérisations des matrices 
orthogonales. La plus utile d'entres elles est sans doute celle utilisée ici :
A  O(n, R)

t

A A = In

3.b Soit B une matrice dans le commutant de SO(n, R). D'après la question 3.a,
c'est une matrice diagonale. Notons (b1 , . . . , bn ) ses coefficients 
diagonaux et montrons
que B = b1 In .
Montrons par exemple b2 = b1 . Notons

e
0 -1
A
0
e
A=
où A =
1 0
0 In-2
t

Alors A A = In donc A  O(n, R). En outre,

e det In-2 = det A
e =1
det A = det A.

d'où A  SO(n, R). Ainsi, A et B commutent. De plus, en notant e1 et e2 les deux
premiers vecteurs de la base canonique de Rn , on a
AB(e1 ) = A(b1 e1 ) = b1 e2
et

BA(e1 ) = B(e2 ) = b2 e2

de sorte que b1 = b2 .