X Maths 1 MP 2014

Thème de l'épreuve Groupe orthogonal d'une forme quadratique et théorème de décomposition de Witt
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, formes quadratiques
Mots clefs forme quadratique, isométrie, groupe orthogonal, orthogonalité, somme orthogonale, isotrope, anisotrope

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE -- ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2014 FILIÈRE MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES -- A -- (XLCR)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

Ce sujet porte sur l'étude des formes quadratiques sur un corps de 
caractéristique nulle
et des groupes d'isométries associés.

Notations, Définitions

Dans tout ce problème, K désignera un corps de caractéristique nulle, 
c'est--à--dire un corps
tel que, pour tout entier n # 0, on a n - 1 # 0 dans K où 1 désigne l'unité de 
la loi multiplicative
deK, etn-1=1+---+1.

Soit V un K--espace vectoriel de dimension finie. On rappelle les trois points 
suivants.

-- Une forme bilinéaire symétrique sur V est une application () : V >< V --> K 
telle que
b(aî, y) = b(ya a?) et b(OE + Àya z) = b(âæ z) + Wii; Z)

pour tous a:,y,z E V et À E K.

-- Une forme quadratique sur V est une application q : V --> K telle que :
i) q(Àu) : À2q(u) pour tout À E K et tout U E V;
ii) l'application qN: V >< V --> K définie par (a:, y) l--> qN(aî, y) : â(q(oe 
+ y) -- q(a:) -- q(y))
est bilinéaire symétrique.
-- Une forme quadratique est dite nou dégénére'e si, pour tout U E V -- {0}, il 
existe il) E V
tel que q(u, w) # 0.

On notera Q(V) l'ensemble des formes quadratiques nou dégénére'es sur V.

Soient V et V' deux K--espaces vectoriels de dimension finie.

-- Une isométrie entre deux formes quadratiques q : V --> K et q' : V' --> K 
est un isomor--
phisme linéaire f : V --> V' tel que q' 0 f = q. On notera q % q' si q et q' 
sont isométriques,
c'est--à--dire s'il existe une isométrie entre q et q' .

On notera O(q) := { f E GL(V) \ q 0 f = q} le sous ensemble de GL(V) des 
isométries
f : V --> V entre q et elle--mème. On appelle O(q) le groupe orthogonal de q.

Les deuoeième et troisième parties du problème sont largement indépendantes.

Préliminaires sur les formes quadratiques et les isométries

Soit V un K--espace vectoriel de dimension finie n. Soient al, . . . ,on E K -- 
{0}. On note
(al, . . . ,on) la forme quadratique q définie sur K" par la formule
_ 2 2
q(oe1,...,oen) -- 611561 +---+anoen.
1. Démontrer que (al, . . . ,on) est bien une forme quadratique sur K".

2. Démontrer que l'application q |--> qust une bijection de l'ensemble des 
formes quadratiques
sur V sur les formes bilinéaires symétriques sur V.

3. Soit 13 := (e1,. . . ,en) est une base de V. On associe a toute forme 
bilinéaire symétrique
() sur V une matrice symétrique OE3(b) := (b(eiflej))tj=1...n appelée matrice 
de b dans la
base 13 . On rappelle que () |--> g(b) est un isomorphisme entre l'espace 
vectoriel des formes

bilinéaires symétriques sur V et celui des matrices symétriques carrées de 
taille n.

(a) Démontrer qu'une forme quadratique q sur V est non dégénérée si et 
seulement si le
déterminant det (g(â)) est non nul.

(b) Quelle est la matrice de (al, . . . ,on) dans la base canonique de K" ? En 
déduire que
(al, . . . ,on) EUR Q(K").

4. Soit q EUR Q(V) une forme quadratique non dégénérée sur V.

(a) Soit V' un K--espace vectoriel de dimension finie et q' une forme 
quadratique sur V' .
Démontrer que si q et q' sont isométriques, alors q' est dans Q(V'), 
c'est--à--dire non
dégénérée.

(b) Pour a: # 0, on note {a:}L := {y E V \ â(oe,y) = 0}. Montrer que {a:}l est 
un
sous--espace vectoriel de V de dimension n -- 1.

(c) A quelle condition sur a: le sous--espace {a:}l est--il un supplémentaire 
de la droite Ka:
dans V ?

5. Soient q EUR Q(V) et (J' E Q(V' ) où V' est un K--espace vectoriel de 
dimension finie.
Démontrer que O(q) est un sous--groupe de GL(V) et que si q % q', alors O(q) et 
O(q')
sont deux groupes isomorphes.

Première partie : Existence des bases orthogonales
Soit V un K--espace vectoriel de dimension finie non nulle et q EUR Q(V).

6. On dit que q est isotrope s'il existe a: E V -- {0} tel que q(:c) : 0. Dans 
le cas contraire,
on dit que q est anisotropc.

(a) Démontrer qu'il existe a: E V tel que q(a:) # 0.

(b) On note h la forme quadratique sur K2 définie par Man, 552) = 561562 (on ne 
demande
pas de vérifier que h est une forme quadratique). Montrer que si V est de 
dimension
deux et q est isotrope alors q est isométrique a h.

(c) Démontrer que si q EUR Q(V) est isotrope, alors q : V --> K est surjective.

7. Une base (el, . . . ,en) de V est dite orthogonalc pour q si qN(eZ-, ej) : 0 
pour tout 75 # j.

(a) Montrer qu'il existe une base orthogonale pour q.
Indication : on pourra considérer {a:}L = {y E V \ çÎ(oe,y) : O} et utiliser 
les ques--
tions 4c et 6a.

(b) En déduire qu'il existe 0.1, . . . ,an E K -- {0} tels que q % (al, . . . 
,a").

Deuxième partie : Etude de O(q) quand K = K
On suppose dans cette partie que K = K.

8. Soit q EUR Q(K") (n 2 1). Démontrer qu'il existe un couple d'entiers (T, 3) 
(r + 8 = n) tel
que q soit isométrique a Q... définie sur la base canonique de K" par

7' 'ÏL
2 2
QT7S(ÇÜ17...7ÇÜn)=ZÇÜ,À _ z OEj.
i=1

j=r+1

Soit j : £(K") --> MAK) l'isomorphisme linéaire qui a tout endomorphisme 
associe sa
matrice dans la base canonique de K". On note 0... := j(O(Q...)) le 
sous--ensemble de matrices
associé au groupe orthogonal O(Q...) de Q....

9. Soit f : K" --> K" une application linéaire et M = j( f ) sa matrice dans la 
base canonique

de K".

Démontrer que M E 0... si et seulement si tMI...M : [... où [... est la matrice 
[... =
I 0 , . . . . , . . .

{ 0 T '}8 } , Ip des1gne la matr1ce 1dent1te de ta1lle p >< p et Op,q la matr1ce nulle de ta1lle sm _'3 p >< q pour tous entiers p et q. Que peut--on dire du déterminant det(M ) de M si M E O... ? 10. Démontrer que 0... est un sous--groupe fermé de GLn(K) (on munit MAK), l'ensemble des matrices carrées de taille n a coefficients dans K, de sa topologie de K--espace vectoriel de dimension finie). 11. 12. 13. 14. 15. 16. On note O(n) le groupe orthogonal usuel de R" (qui s'identifie a 071,0). On note K... := O... D O(n). Démontrer que K... est compact et en bijection avec O(r) >< O(s). Démontrer que SO(2) = {M EUR O(2) \ det(M) = 1} est connexe par arcs. Soit H := {(a:, y, 75) E R3 \ z2 = 5132 + y2 + 1} un hyperboloïde a deux nappes. (a) Démontrer que si f E O(Q271), alors f(H) = H. (b) On note 50271 := {M EUR 0271 \ det(M) = 1}. Démontrer que 50271 est un sous--groupe fermé de 02,1. Pour f E O(Q2,1), on note (oef,yf,zf) le vecteur f(0,0,1). On note également SO?)1 := {M =j(f) EUR SOQ)1'Zf > 0}.
(a) Démontrer que, pour tout t E R, l'application linéaire rt dont la matrice 
(dans la
1 0 0
base canonique de R3) vaut 0 ch(t) sh(t) est dans SO?)1 (on pourra appeler
0 sh(t) ch(t)
par la suite une telle application linéaire une rotation hyperbolique).
(b) Soit M = j(f). On suppose que M EUR 50%. Montrer qu'il existe une rotation 
(au sens
usuel) p d'axe (O, O, 1) et t E R tels que rt 0 po f E SO?)1 et vérifie rt opo 
f(0, O, 1) =
(0,0,1).

(c) Démontrer que 3031 est connexe par arcs.

Déduire de la question 14 que 0271 est la réunion de quatre sous-ensembles 
fermés disjoints
deux a deux et connexes par arcs.

Démontrer qu'il existe un morphisme surjectif de groupes w : 0271 --> Z/2Z >< Z/2Z dont le noyau est S U;: 1. Troisième partie On revient dans cette dernière partie au cas où K est un corps quelconque de caractéristique nulle. Si V et V' sont deux K--espaces vectoriels de dimension finie, q EUR Q(V) et (J' E Q(V' ) sont deux formes quadratiques non dégénérées, la somme orthogonch q J. q' de q et q' est la forme quadratique sur V >< V' définie par (1 L Q'(% OE') = Q(OE) + Q'(OE') pour tout a: E V et tout a:' E V'. 17. Soient V,V' et V" trois K--espaces vectoriels de dimension finie et (q,q' ,q" ) EUR Q(V) >< Q(V') >< Q(V"). (a) Montrer que q J. (J' E Q(V >< V') puis que (q J. q') J. q" % q J. (q' J. q"). (b) Montrer que si q' % q" alors q J. q' % q J. q". (c) Démontrer que si V = V' @ V" et â(a:, y) = 0 pour tout a: E V' et tout y E V", alors q % q' J. q" où q' est la restriction de q a V' et q" celle de q a V". 18. Soient V un K--espace vectoriel de dimension finie, q EUR Q(V) et o,w E V deux vecteurs distincts de V tels que q(o) : q(w) # 0. On veut montrer dans cette question qu'il existe alors une isométrie h EUR O(q) telle que h(o) : w. (a) Soit a:NE V tel que q(a:) # 0. On note soe l'endomorphisme de V défini par y |--> soe(y) =

y -- 2%oe. Montrer que sa; et --soe appartiennent a O(q).

(b) On suppose ici que q(w -- o) # 0. Montrer que l'application s..._v est une 
isométrie
telle que sw_v(o) : w.

(c) On suppose ici que q(w -- o) = 0. Montrer qu'il existe une isométrie g E 
O(q) telle
que g(o) : w et conclure.

19. Soient (VZ-)1953 trois K--espaces vectoriels de dimension finie et qi EUR 
Q(VÙ pour 1 S i S 3
vérifiant en J. Q3 % (12 J. (13. Montrer que q1 % q2.
Indication : on pourra raisonner par récurrence et utiliser les questions 17 et 
18.

20. Soit V un K--espace vectoriel de dimension finie et q EUR Q(V). Montrer 
qu'il existe un
unique entier m positif ou nul et une forme quadratique anisotrope q..., unique 
& isométric
près, tels que q % q... J. m - h où m - h = h J. J. h est la somme orthogonale 
de m
copies de h et h est la forme quadratique introduite par la question 6b.

Indication : on pourra utiliser la question 6b et la question précédente.