X Maths 1 MP 2013

Thème de l'épreuve Algèbres d'endomorphismes remarquables en dimension infinie
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, projecteurs, réduction

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE -- ECOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2013 FILIÈRE MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES -- A -- (XLC)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
***

On se propose d'étudier des algèbres d'endomorphismes remarquables d'espaces 
vectoriels de di-
mension infinie.
Préambule

Une racine n--ième de l'unité est dite primitive si elle engendre le groupe des 
racines n--ième
de l'unité.

Dans le problème, tous les espaces vectoriels ont pour corps de base le corps 
des nombres
complexes C. Si 8 est un espace vectoriel, l'algèbre des endomorphismes de 8 
est notée £(8 ) et
le groupe des automorphismes de 8 est noté GL(8 ) On note ldg l'application 
identité de 8 . Si
u EUR £(5), on note C[u] la sous--algèbre {P(u) \ P E C[X]} de £(5) des 
polynômes en u.

On note CZ l'espace vectoriel des fonctions de Z dans C. Si f est une fonction 
de Z dans C,
on note Supp( f ) l'ensemble des le E Z tels que f (lc) # 0. On appelle cet 
ensemble le support de

f. Dans tout le problème, V désigne l'ensemble des fonctions de Z dans C dont 
le support est
un ensemble fini.

I - Opérateurs sur les fonctions à support fini

la. Montrer que V est un sous--espace vectoriel de CZ. Étant donné f E CZ, on 
définit
E(f) @ 62 par E = f(k+ 1). k 6 z.

lb. Montrer que E E £(CZ) et que V est stable par E.
Dans la suite) E désignera uniquement l'endomorphisme de V induit.
2. Montrer que E E GL(V).

3. Pour i E Z7 on définit ui dans CZ par

1°k='
wUEUR)= 8? '."
Os1k;£7...

3a. Montrer que la famille {v,-}OEZ est une base de V.
3b. Calculer E(o,).

Soient À, M EUR CZ. On définit les applications linéaires F, H E £(V) 
respectivement par
H(v,) : À(7Ç) v,- et F(v,) : u(7Ç) ?),-+1, 756 Z .
4. Montrer que H 0 E = E 0 H + 2E si et seulement si pour tout 75 EUR Z, À(7L) 
: À(O) -- 275.

Dans la suite de cette partie I (mais pas dans les parties suivantes), on 
suppose
que les conditions de la question 4 sont vérifiées.

5. Montrer que E 0 F = F 0 E + H si et seulement si pour tout 75 EUR Z,

u(75) = u(0) + 75(À(0) -- 1) -- i2 -

6a. Montrer que pour f E V, l'espace vectoriel engendré par les H "( f), n E N, 
est de
dimension finie.

6b. En déduire qu'un sous--espace non réduit a {0} de V, stable par H, contient 
au moins un
des c,.

Dans la suite de cette partie I (mais pas dans les parties suivantes), on 
suppose
que les conditions de la question 5 sont vérifiées et que À(O) : O, ,u(O) : 1.

7a. Montrer que F E GL(V).

7 b. Montrer que E et F ne sont pas d'ordre fini dans le groupe GL(V).

7 c. Calculer le noyau de H et montrer que H "' # Idv pour r 2 1.

8. On note C]X ] l'algèbre des polynômes a coefficients complexes en une 
indéterminée X.
8a. Montrer que C]E] est isomorphe (en tant qu'algèbre) a C]X ]

8b. Montrer que C]F ] est isomorphe (en tant qu'algèbre) a C]X ]

8c. Montrer que C]H ] est isomorphe (en tant qu'algèbre) a C]X ]
II - Intermède

Dans toute la suite du problème, on fixe un entier impair EUR 2 3 et q une 
racine
primitive Æ-ième de l'unité.

9. Montrer que (12 est une racine primitive Æ--ième de l'unité.

Soient Wg : ®05i V par Pa(vi) : apr}. où pour 75 
EUR Z, on définit
?" et p respectivement comme le reste et le quotient de la division euclidienne 
75 par E ; autrement
dit,i=p£+roù0îr<ÆetpEURZ

11. Montrer que Pa est un projecteur d'image Wg.
III - Opérateurs quantiques

12. Montrer que H 0 E : q2E @ H si et seulement si pour tout 75 EUR Z, À(7L) : 
À(O)q_2i.

Dans la suite du problème, on suppose que les conditions de la question 12 sont
vérifiées et que À(O) # O.

13. Montrer que H E GL(V).

14. Montrer que E 0 F = F 0 E + H -- H_1 si et seulement si pour tout 75 EUR Z,

W) = u(i -- 1) + À(0)q_2l -- À(0)_1q2i --

Dans la suite du problème, on suppose que les conditions de la question 14 sont
vérifiées.

153. Montrer que À et ,a sont périodiques sur Z, de périodes divisant EUR.
15h. Montrer que la période de À est égale a E.

15c. Montrer que la période de ,u est aussi égale a E.

16. Soit G = (q -- q_1)E @ F + q_1H + qH_1 avec H_1 l'inverse de H.
163. Montrer que C = (q -- q_1)F 0 E + qH + q_1H_l.

16h. Pour 75 EUR Z, montrer que 1),- est un vecteur propre de C .

16c. En déduire que C est une homothétie de V dont on calculera le rapport 
R(À(O), ,u(0), q)
en fonction de À(O), ,u(0) et q.

16d. On fixe q et À(O). Montrer que l'application u(0) l--> R(À(O), ,u(0), q) 
est une bijection
de C sur C.

16e. On fixe q et ,u(0). Montrer que l'application À(O) l--> R(À(O), ,u(0), q) 
est une surjection
de C* sur C mais pas une bijection.

IV - Opérateurs quantiques modulaires

Soient EUR, Wg, &, Pa comme dans la partie II. On dit qu'un élément çb de £(V) 
est compatible
avec Pa si PaoçboPa =Paoçb.

17 a. Montrer que si çb EUR £(V) commute avec P... alors çb est compatible avec 
Pa.
17 b. Montrer que H et H _1 sont compatibles avec Pa.

Soit Z/{q l'ensemble des endomorphismes çb EUR £(V) qui sont compatibles avec 
Pa.
18. Montrer que Z/{q est une sous--algèbre de £(V).

19. Montrer que E E Mq et F E Uq.

20a. Montrer qu'il existe un unique morphisme d'algèbre \Ifa : Z/{q --> £(Wg) 
tel que
VçbEURMq, OEa(çb)oPa=Paoçb.

20h. Montrer que çb EUR Z/{q est contenue dans le noyau de \11a si et seulement 
si l'image de çb est
dans le sous--espace de V engendré par les vecteurs @@ -- GPU... 75 EUR Z7 où 
75 : p£ + r est la division
euclidienne de 75 par E.

21. On étudie dans cette question \Ifa(E).

21a. Déterminer \Ifa(E)(v0).

21h. En déduire \Ifa(EE).

21e. Calculer la dimension du sous--espace vectoriel C[\Ifa(E)].

21d. Calculer les vecteurs propres de \Ifa(E).

22. Soit W un sous--espace non nul de WE stable par \Ifa(H )

22a. Montrer que W contient au moins un des vecteurs m.

22h. Que dire si W est de plus stable par \IJOE(E) ?

23. Donner une condition nécessaire et suffisante sur R(À(O), ,u(0), q) pour 
que l'opérateur
\Ifa(F ) soit nilpotent.

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X Maths A MP 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jules Svartz (ENS Cachan) ; il a été relu par 
PierreElliott Bécue (ENS Cachan) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE).

Ce sujet d'algèbre porte sur l'étude de 3 opérateurs « quantiques » E, F et H
et leurs relations : ce sont des endomorphismes de l'espace vectoriel V de 
dimension
infinie des fonctions de Z vers C telles que l'ensemble {k  Z | f (k) 6= 0} 
soit fini.
C'est un sujet long, composé de quatre parties qui totalisent 43 questions.
· La première partie a d'abord pour objet de définir une base de V et de 
construire
les opérateurs E, F et H par leurs valeurs sur les éléments de cette base. La 
suite
est consacrée à la détermination de conditions sur F et H pour que les relations
H  E = E  H + 2E puis E  F = F  E + H soient vérifiées. En fin de partie,
il est demandé de démontrer que la sous-algèbre d'endomorphismes engendrée
par l'un des opérateurs E, F ou H est isomorphe à une algèbre de polynômes.
· La deuxième partie introduit des objets qui seront utiles dans la quatrième
partie : d'une part, un endomorphisme sur un sous-espace vectoriel de V de
dimension finie, d'autre part un projecteur de V sur ce sous-espace.
· La troisième partie propose de déterminer des conditions sur F et H pour que
les relations H  E = q 2 E  H puis E  F = F  E + H + H-1 soient vérifiées.
Elle est, comme la première partie, assez calculatoire.
· Enfin, dans la quatrième partie, on s'aperçoit que sous les conditions 
trouvées
dans la troisième partie, les opérateurs E, F et H vérifient une condition de
compatibilité avec le projecteur défini dans la deuxième partie. On se place
essentiellement dans le cadre rassurant de la dimension finie ; encore 
fallait-il
parvenir jusque-là.
Ce long sujet d'algèbre linéaire porte sur une large part du programme d'algèbre
de première et deuxième années, avec en plus quelques questions d'arithmétique.
L'ensemble est abordable, mais le cadre inhabituel de la dimension infinie a 
certainement dérouté nombre de candidats.

Indications
Partie I
2 Déterminer explicitement l'inverse.
3.a Montrer que {vi }iZ est une famille libre et génératrice de V.
3.b Calculer E(vi )(k) pour tous i, k  Z.
6.a Se restreindre à l'espace Vect {vi | i  Supp(f )}.
6.b Pour W un sous-espace comme dans l'énoncé, montrer tout d'abord que H
possède une valeur propre dans W en utilisant la question précédente, puis
montrer qu'un vecteur propre associé est colinéaire à l'un des {vi }iZ .
7.b Calculer Ei (v0 ) et Fi (v0 ) pour tout i  Z.
8.a Il existe un morphisme d'algèbre surjectif C[X]  C[E]. Il ne reste qu'à 
montrer
l'injectivité !
8.c Utiliser le fait que les valeurs propres de H annulent tout polynôme 
annulateur
de H.
Partie II
9 Utiliser le théorème de Gauss.
10.b Résoudre le système induit par l'équation Ga w = w, pour w un vecteur 
colonne
de taille  et  = bq i avec 0 6 i < .
11 Vérifier que l'image de Pa est contenue dans W et que Pa induit l'identité 
sur
ce sous-espace.
Partie III
15.b L'énoncé parle ici de la plus petite période strictement positive de .
15.c Calculer µ(i + t) - µ(i). Montrer que si cette quantité est nulle pour 
tout i  Z,
un certain polynôme admet tous les complexes q 2i comme racines.
16.c Montrer que toutes les valeurs propres obtenues en question 16.b sont 
égales.
16.e L'équation R((0), µ(0), q) = z se ramène à une équation de degré 2 en (0).
Partie IV
17.b Utiliser le fait que  est -périodique.
19 Montrer que Pa  E  Pa et Pa  E coïncident sur les vecteurs de la base {vi 
}iZ .
20.a Pour que la question ait un sens, on pourra supposer que Pa est dorénavant 
une
application dont l'espace d'arrivée est W .
20.b Montrer que le sous-espace considéré est le noyau de Pa .

I. Opérateurs sur les fonctions à support fini
1.a La fonction nulle ayant un support vide, celui-ci est en particulier fini 
donc
V 6= . De plus, pour tout (, f, g)  C × V2 ,
Supp(f + g)  Supp(f )  Supp(g)  Supp(f )  Supp(g)
Ainsi Supp(f + g) est un ensemble fini et f + g appartient à V. Par conséquent,
V est un sous-espace vectoriel de CZ .
1.b Soit (, f, g)  C × CZ × CZ . Alors pour tout k  Z
E(f + g)(k) = (f + g)(k + 1)
= f (k + 1) + g(k + 1)
E(f + g)(k) = E(f )(k) + E(g)(k)
de sorte que E(f + g) = E(f ) + E(g). Par conséquent,
E  L(CZ )
De plus, pour tout f  CZ et tout k  Z,
E(f )(k) 6= 0

f (k + 1) 6= 0

k + 1  Supp(f )

Ainsi, Supp(E(f )) = {k - 1 | k  Supp(f )}. En particulier si f  V, Supp(f )
et Supp(E(f )) sont tous deux finis. Par suite,
V est stable par E.

2 Considérons

E:

(

CZ - CZ
f 7- (k 7 f (k - 1))

En raisonnant de manière similaire à la question précédente, on montre que E est
un élément de L(CZ ) et que, de plus, V est stable par E . Notons toujours E 
l'endomorphisme induit sur V, alors pour toute fonction f  V, E  E(f ) = E  E 
(f ) = f .
Par conséquent E est inversible d'inverse E et en particulier
E  GL(V)
Notons que comme V est de dimension infinie (ce qui est un corollaire du
résultat de la question suivante), il ne suffit pas de montrer que E est 
injectif
ou surjectif pour conclure que c'est un endomorphisme inversible.
3.a Pour montrer que la famille {vi }iZ est une base de V, il suffit de montrer
qu'elle est libre et génératrice.
P
Soit I un ensemble fini de Z, et (i )iI  CI . Supposons que i vi = 0. Alors
iI

P
k  I
0=
i vi (k) = k
iI

Par suite, la famille {vi }iZ est libre.

P
Soit f  V. Puisque Supp(f ) est fini, on peut écrire f =
f (i)vi . Ainsi,
iSupp(f )
la famille {vi }iZ est une famille génératrice de V.
La famille {vi }iZ est une base de V.

3.b Pour k  Z,

E(vi )(k) = vi (k + 1) =

Par conséquent,

1
0

si k = i - 1
sinon

E(vi ) = vi-1

4 Soit i  Z. On a
et

(

H  E(vi ) = H(vi-1 ) = (i - 1)vi-1

(E  H + 2E)(vi ) = E((i)vi ) + 2vi-1 = (i)E(vi ) + 2vi-1 = ((i) + 2)vi-1

Deux applications linéaires sont égales si et seulement si elles coïncident sur 
une base
de l'espace de définition. Par suite,
H  E = E  H + 2E   i  Z

(i - 1) = (i) + 2

 i > 0

(i) = (i - 1) - 2 et (-i) = (-i + 1) + 2

 i > 0

(i) = (0) - 2i et (-i) = (0) + 2i

H  E = E  H + 2E   i  Z

(i) = (0) - 2i

5 Soit i  Z. On a E  F(vi ) = E(µ(i)vi+1 ) = µ(i)E(vi+1 ) = µ(i)vi
et

(F  E + H)(vi ) = F(vi-1 ) + (i)vi = (µ(i - 1) + (0) - 2i)vi (question 4)

d'où

EF= FE+H

i  Z

µ(i) = µ(i - 1) + (0) - 2i

Montrons l'équivalence entre cette dernière proposition et celle de l'énoncé. 
Supposons µ(i) - µ(i - 1) = (0) - 2i pour tout i  Z. Alors pour tout i > 0
µ(i) = µ(0) +

i
P

((0) - 2k)

k=1

= µ(0) + i(0) - i(i + 1)
µ(i) = µ(0) + i((0) - 1) - i2
de plus

µ(-i) = µ(0) +

i
P

(µ(-k) - µ(-k + 1))

k=1

= µ(0) +

i
P

(-2(k - 1) - (0))

k=1

= µ(0) - i(i - 1) - (0)i
µ(-i) = µ(0) - i((0) - 1) - i2
Par suite, pour tout i  Z, µ(i) = µ(0) + i((0) - 1) - i2 . En conclusion,
EF=FE+H

i  Z

µ(i) = µ(0) + i((0) - 1) - i2