X Maths 1 MP 2012

Thème de l'épreuve Représentations de dimension finie de l'algèbre de Lie de SU(2,C)
Principaux outils utilisés algèbre hermitienne, réduction, exponentielle de matrice, groupes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2012

FILIÈRE

MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES ­ A ­ (XLC)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Représentations de dimension finie de l'algèbre de Lie de SU(2, C)

Notations

Lorsque n est un entier positif non nul, on note Mn (C) l'algèbre des matrices 
à n lignes et n
colonnes dont les coefficients sont des éléments de C. On note In la matrice 
identité de Mn (C).
On munit cet espace de la norme subordonnée
|||A||| =

sup
XCn \{0}

||AX||2
,
||X||2

où ||X||2 est la norme hermitienne de X dans Cn , identifié à l'espace des 
vecteurs colonnes : si
Ö è
x1
.. , alors ||X|| = »|x |2 + · · · + |x |2 .
X=
2
1
n
.
xn
t la matrice transposée de A, et A la matrice dont les coefficients
Pour A  Mn (C), on note A
sont les conjugués dans C des coefficients de A. On note Tr(A) la trace de A et 
det(A) le
déterminant de A. On rappelle que les matrices M  Mn (C) de déterminant non nul 
forment un
groupe multiplicatif, que l'on note GLn (C). Pour A, B  Mn (C), on note [A, B] 
= AB - BA.
t + A = 0 et Tr(A) = 0.
On note L l'ensemble des matrices A de M2 (C) vérifiant A
t A = I , et SU(2, C) le
On note U(2, C) l'ensemble des matrices A de M2 (C) vérifiant A
2
sous-ensemble de U(2, C) formé des matrices dont le déterminant est égal à 1.

1

Première partie
1a. Dans cette question, M2 (C) est vu comme espace vectoriel sur R. Quelle est 
sa dimension ?
Montrer que L est un sous-espace vectoriel de dimension 3 dont une base est 
formée par (E, F, G)
avec
Ç
å
Ç
å
Ç
å
i 0
0 -1
0 i
E=
, F =
, G=
.
0 -i
1 0
i 0
1b. Calculer [E, F ], [F, G] et [G, E] en fonction de E, F et G.
2. Pour A  Mn (C), on rappelle que l'exponentielle de A est la matrice à 
coefficients complexes donnée par la formule

X
Ak
.
exp(A) =
k!
k=0
2a. Justifier la convergence de cette série.
2b. Montrer que pour A  Mn (C) et P matrice inversible de Mn (C),
exp(P -1 AP ) = P -1 exp(A)P.
2c. Montrer que si A est une matrice triangulaire supérieure de Mn (C), de 
coefficients diagonaux 1 , · · · , n , alors exp(A) est une matrice 
triangulaire supérieure de Mn (C) de coefficients
diagonaux e1 , · · · , en .
2d. Montrer que si A  Mn (C), alors det(exp(A)) = exp(Tr(A)).

Deuxième partie
3. Montrer que U(2, C) est un sous-groupe de GL2 (C), et que SU(2, C) est un 
sous-groupe de
U(2, C).
4. Montrer que les éléments de SU(2, C) sont les matrices de la forme
et |a|2 + |b|2 = 1.
5. Soient M  SU(2, C), X  C2 \ {0} et   C tels que M X = X.
5a. Montrer que || = 1.
t
t
= 0, alors XM
Y = 0.
5b. Soit Y  C2 . Montrer que si XY

6a. Montrer que toute matrice de SU(2, C) s'écrit sous la forme
P

-1

Ç

ei
0
P,
-i
0 e
å

avec P  SU(2, C) et   R.
2

Ç

å

a b
, avec a, b  C
-b a

6b. Montrer que si R, S  SU(2, C), il y a équivalence entre les deux propriétés 
suivantes :
i) Tr(R) = Tr(S) ;
ii) il existe P  SU(2, C) tel que R = P -1 SP .
7a. Soit A, B  M2 (C) ; on suppose que [A, B] = 0. Montrer que
|||

n
X
1

!
=0

(A + B) - (

n
X
1

j!
j=0

j

A )(

n
X
1

k!
k=0

B k )|||

tend vers zéro quand n  +. En déduire que exp(A + B) = exp(A) exp(B).
7b. Montrer que l'image de L, par l'application exp : A 7 exp(A), est contenue 
dans
SU(2, C).
7c. Montrer que l'application exp : L  SU(2, C) est surjective.
7d. L'application exp : L  SU(2, C) est-elle injective ?
8. Soit G un sous-groupe de SU(2, C) tel que pour tout P  SU(2, C) et tout g  
G, on ait
P -1 gP  G. On suppose de plus que G contient au moins un élément différent de 
I2 et de -I2 .
8a. Montrer que G contient au moins un élément de la forme

Ç

ei
0
0 e-i

å

avec   R \ {k |

k  Z}.
8b. Lorsque A  SU(2, Ç
C) est donnée
å sous
Ç la formeåindiquée à la question 4., calculer les
ei
0
e-i 0
coefficients diagonaux de A
A-1
en fonction de  et de |a|.
-i
0 e
0
ei
8c. Montrer que

S

gG {Tr(g)}

contient un intervalle de la forme [2 - , 2] avec  > 0.

9. Montrer que G = SU(2, C). On dit que le groupe SU(2, C)/{±I2 } est simple.

Troisième partie
On se donne un espace vectoriel E sur C de dimension finie, et des 
endomorphismes non nuls
e, f, g de E tels que
e  f - f  e = -2g

;

f  g - g  f = -2e ;

g  e - e  g = -2f.

On note w = f - ig et z = f + ig.
10. Calculer
e  z - z  e,

e  w - w  e,

z  w - w  z.

11. Soit v un vecteur propre de e, associé à une valeur propre   C. Si k  N, 
montrer qu'il
existe µk  C tel que
Ä
ä
e z k (v) = µk z k (v).
3

12. Montrer qu'il existe un vecteur propre v0 de e, associé à une valeur propre 
0  C, et tel
que z(v0 ) = 0.
13. Pour k  N , on note vk = wk (v0 ). Calculer e(vk ) en fonction de k, 0 et 
vk . Calculer
z(vk ) en fonction de k, 0 et vk-1 .
14a. Montrer qu'il existe n  N tel que vn+1 soit nul et v0 , . . . , vn soient 
linéairement indépendants.
14b. On suppose que n  1. Montrer que pour k = 1, . . . , n - 1, on a
e(vk ) = i(n - 2k)vk

,

z(vk ) = -4k(n - k + 1)vk-1

,

w(vk ) = vk+1 ,

et d'autre part
e(v0 ) = in v0
e(vn ) = -in vn

,

,

z(v0 ) = 0 ,

z(vn ) = -4n vn-1

4

w(v0 ) = v1 ,
,

w(vn ) = 0.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths A MP 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Christophe Fiszka (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Ce sujet porte sur l'algèbre hermitienne, plus précisément sur l'ensemble SU(2, 
C)
des matrices unitaires de taille 2 dont le déterminant est égal à 1. Il se 
compose de
trois parties. Les résultats de la première sont utilisés dans la deuxième, et 
la troisième
est indépendante.
· Dans la première partie, on définit d'abord un sous-espace vectoriel, noté L,
de SU(2, C), stable par passage à l'opérateur (M, N) 7- [M, N] = M N - N M,
que l'on appelle le crochet de Lie. On démontre ensuite des propriétés 
classiques
de l'exponentielle matricielle et on établit la formule det(exp(A)) = exp(Tr A),
valable pour toute matrice complexe A, qui sera utile dans la suite.
· Dans la deuxième partie, on établit un théorème de réduction des matrices
de SU(2, C), puis on démontre que l'exponentielle est une application 
surjective mais non injective de l'espace vectoriel L sur SU(2, C). Enfin, on 
prouve
que les seuls sous-groupes G de SU(2, C) tels que, si g appartient à G, alors
P-1 g P est dans G pour tout P dans SU(2, C), appelés sous-groupes distingués 
de SU(2, C), sont {I2 ; -I2 } et les sous-groupes triviaux {I2 } et SU(2, C).
Le début de cette partie est assez simple et proche du cours, sans en être
(les propriétés de l'exponentielle et la réduction des matrices unitaires sont
plutôt des exercices classiques), mais sa fin est constituée des deux questions
les plus délicates du problème.
· Enfin, la troisième partie commence par des calculs aisés de crochets de Lie
pour aborder ensuite des questions de réduction.
Ce sujet n'est ni très long, ni très difficile ; il convenait donc d'être 
soigneux et
rigoureux dans les raisonnements et les rédactions pour faire la différence 
avec les
autres candidats. Présentant de nombreuses questions classiques, mais aussi 
d'autres
demandant davantage de réflexion, il permet de réviser et d'approfondir 
l'ensemble
du programme d'algèbre de deuxième année.

Indications
Première partie
2.d Trigonaliser A et utiliser les résultats des questions 2.b et 2.c.
Deuxième partie
5.a Calculer kM Xk2 de deux façons.
6.a Pour M dans SU(2, C), commencer par diagonaliser M en base orthonormée
à l'aide des éléments démontrés dans les questions 5.a et 5.b ; vérifier que la
matrice de passage obtenue est dans U(2, C).
 i

e
0
6.b Que vaut le produit F
F-1 ?
0 e -i 
7.a Transformer la différence et se servir de l'égalité
exp(|||A||| + |||B|||) = exp(|||A|||) exp(|||B|||).
7.b Utiliser les résultats des questions 2.d et 7.a.
7.c Faire appel aux propriétés établies dans les questions 2.b, 2.c et 6.a.
8.a Partir d'un élément de G différent de I2 et -I2 et lui appliquer le 
résultat de la
question 6.a.
[
8.c Construire des éléments de
{Tr g} à l'aide des propriétés démontrées aux
gG

questions 8.a et 8.b.
9 Remarquer que pour tout M  SU(2, C), il suffit de démontrer que Tr M est
dans l'union définie dans l'indication précédente, que l'on notera Tr G, pour
prouver que M est dans G.
Troisième partie
12 Combien de valeurs propres distinctes un endomorphisme d'un espace vectoriel
de dimension finie peut-il posséder ?
13 Montrer par récurrence que e(vk ) est colinéaire à vk pour tout k  N et que 
z(vk )
est colinéaire à vk-1 , pour tout k  N .
14.a Effectuer un raisonnement similaire à celui de la question 12.

Première partie
1.a Notons

1
E11 =
0

0
0

E12

0 1
=
0 0

E21

0
=
1

0
0

et

E22

0
=
0

0
1

les matrices de la base canonique du C-espace vectoriel M2 (C). Alors, la 
famille
(E11 , E12 , E21 , E22 , i E11 , i E12 , i E21 , i E22 ) est une base du 
R-espace vectoriel M2 (C)
et par conséquent
dimR M2 (C) = 8
Démontrons que l'ensemble
n
t
L = A  M2 (C) | A +A = 0M2 (C)

et

Tr A = 0

o

est un sous-espace vectoriel du R-espace vectoriel

 M2 (C). Par définition, L est inclus
a b
dans M2 (C) et, pour toute matrice M =
dans M2 (C),
c d
t

M +M = 0M2 (C) et Tr M = 0

a c
a b
0 0

+
=
et a + d = 0
b d
0 0
c d

M  L 

 a + a = 0, c + b = 0, b + c = 0, d + d = 0

et a + d = 0

 Re (a) = 0, d = -a, b = -c

i
- + i 
 (, , )  R3 M =
 + i
-i 

i 0
0 -1
0
3
M  L  (, , )  R M = 
+
+
0 -i
1 0
i

i
0

Avec les notations de l'énoncé, ceci prouve que
L = Vect R (E, F, G)
L'ensemble L est donc un sous-espace vectoriel de M2 (C) sur R, de dimension 
inférieure ou égale à 3. Vérifions que la famille (E, F, G) est libre sur R. 
Soit (, , )  R3 .
Supposons que  E +  F +  G = 0M2 (C) . Alors

i
- + i 
0 0
=
 + i
-i 
0 0
Il vient  = 0 et  + i  = 0. Comme  et  sont des réels, ils sont nuls. On conclut
que la famille (E, F, G) est R-libre. Finalement
(E, F, G) est une base du R-espace vectoriel L et dimR L = 3.

Notons que la famille (E, F, G) est également C-libre, mais ce n'était pas la
question posée ici.

1.b Calculons [E, F], [F, G] et [G, E]. Par définition,

i 0
0 -1
0 -1
i 0
[E, F] =
-
0 -i
1 0
1 0
0 -i

0 -i
0 i
=
-
-i 0
i 0

0
-2 i
[E, F] =
-2 i
0

En outre,

d'où

[E, F] = -2 G

0 -1
0 i
0 i
0 -1
[F, G] =
-
1 0
i 0
i 0
1 0

-i 0
i 0
=
-
0 i
0 -i

-2 i 0
[F, G] =
0
2i
[F, G] = -2 E

0 i
i 0
i 0
0 i
[G, E] =
-
i 0
0 -i
0 -i
i 0

0 1
0 -1
=
-
-1 0
1 0

0 2
[G, E] =
-2 0

Enfin,

c'est-à-dire

[G, E] = -2 F

On constate que [E, F], [F, G] et [G, E] sont dans L. Leurs opposés [F, E],
[G, F] et [E, G] sont alors également des éléments de l'espace vectoriel L.
Il en découle, par stabilité par combinaisons linéaires, que L est stable par
l'opérateur [·, ·], ce qui n'était pas évident a priori.
2.a Soit A  Mn (C). Pour tout entier naturel k, puisque d'après le cours ||| · 
||| est
une norme d'algèbre sur Mn (C),
Ak
k!

6

|||A|||k
k!

Rappelons qu'une norme N sur une algèbre A est dite une norme d'algèbre
lorsque N(1A ) = 1 et
(x, y)  A2

N(x y) 6 N(x) N(y)

P
P
La série |||A|||k /k! étant une série numérique convergente, la série Ak /k! 
converge
absolument. Comme (M2 (C), ||| · |||) est un espace vectoriel normé de 
dimension finie
donc un espace de Banach, on conclut
P
La série Ak /k! converge.